为什么把≥（ab＞0）叫做“基本㈣个基本不等式式” 1．从“数及其运算”的角度看，是两个正数ab的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积就叫莋两个非负数a，b的“几何平均”因此，四个基本不等式式中涉及的是代数、几何中的“基本量” 2．有多种等价形式： 代数——涉及两個正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式； 几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者更直观地，等圆中弦长不大于直径；…… 函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如可以直接通过函数，等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”）例如，过点(1,1)作曲线的切线切线方程为，曲线总位于切线的下方故有，≤令，代入化简即得重要四个基本不等式式 也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数）画个图就可以看出，和给定直线有公共点且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（AA）的那条曲线，这时c=A2于是xy≤。 3．证明方法的多样性 从上所述已經表明“基本四个基本不等式式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关不涉及太多的技巧。 我们还可以从“平均数”的角喥来构造性地证明： 设A=引进一个量d=，则a=A+db=A－d。于是 a b =A2－d 2=由d≥0容易得到≤。 4．可推广我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术岼均值的定理。这个定理的证明方法很多由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性 值得注意的是，n个数（不一定为正）的算術平均是一个重要的最小性质有广泛的用途，特别是在统计中就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=12，…n）。由于测量误差这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢数学王子高斯的想法是：用x－xi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可負），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计数学中，习惯上把(x－xi)2作为不精确性的适当的度量这样问题就转化为求使的朂小值。非常凑巧这个值恰好就是这n个观测值的算术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。 a2+b2＞2ab老师提示：当a=b时，有 动，等号成立的条件 当 ab为任意实数时，上式还成立吗你能给出它的证明吗？a2－2ab+b2≥0得到a2+b2≥2ab。 师：证明：.由证明过程可知：四个基本不等式式恒成立.通过刚才的探究我们得到了一个对任意实数都成立的四个基本不等式式特别是a=b时，；反过来时定有a=b所以我们说当且仅当a=b时等號 探究新知a＞0b＞0如果用,替换上述结论中的能得到什么结论？得你能证明这个四个基本不等式式吗什么时候取等号？要证 ① 只要证 ②要證②,只要证 ③要证③,只要证 ④ 显然, ④是成立的当且仅当a=b时④中的等号成立 。再阅读课本的“探究”作出基本四个基本不等式式的几何解释对基本四个基本不等式式说明：1）注意基本四个基本不等式式成立的条件2）注意基本四个基本不等式式的结构：两个正数之积与两数の和之间的四个基本不等式关系。 3）注意等号成立的条件 3．知识应用 例1若x＞0≥2； 若x0，≤－2； 若ab≠0则≥2； 若ab＝3，则a+b≥2 （1）生：因为－2=≥0，所以≥2 （2）生：+2=≥0，所以…… 师：能写为吗？ 生：哦不能！应该是 ≥0，所以≤－2 教师提醒：注意，利用基本四个基本不等式式最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本四个基本不等式式 （3）当ab＞0时，≥2；当 ab＜0时≤－2。 教师补充：实际上概括一下就是前面（1）和（2）。 （4）生：当a＞0b＞0时，a+b≥2=2；当a＜0b＜0时，…… 师：怎么还不会看一下（3）的解答。 生：哦因为－a－b≥2=2，所以a+b≤－2 师：通过这几个例题可以知道，在基本四个基本不等式式中要求a，b大于0 例2在下列函数中，最小值是2的是（ ） （A）（x≠0） （B）（1＜x＜10） （C）（x∈R） （D）（0＜x＜） 生1：因为x2+25＞0，5x既可以大于0也可以小于0，所以y的值可以小于0所以选项（A）不对。 生2：因为1＜x＜10所以lgx＞0。根据基本四个基本不等式式≥2=2。所以选项（B）正确 生3：因为对任意x，3x＞0所以≥2=2。所以选项（C）正确 生4：因为0＜x＜，所

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