历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)

（第十四届高二第②试第18题）

译文：点M 是椭圆18

2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点点P （6，2）那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .

所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（10），离心率3

仅当点P 位于线段MD 上即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥

l 及点P （62），知点M 的纵坐标为2设M 的横坐标为0x ，即M （0x 2），则有

3±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后

再求其最大值可想而知，这是一件相当麻烦的事运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广可得

y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点c 为椭

圆E 嘚半焦距，P （m,n ）为定点.

1、 若点P 在椭圆E 内则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是

. 2、 若点P 在椭圆E 外则

，当且仅当P 、M 、Q 三点共线且M 在P 、Q 之

，当且仅當P 、M 、Q 三点共线且M 在P 、Q 之间时取等号.

，当且仅当P 位于线段MN 上即P 与R 重合时取等号.

-，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 重合时取等号.

，当且仅當P 位于线段MN 上即P 与R 重合时取等号.

--，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 重合时取等号.

关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的

4 （第十五届高二培訓题第19题）

上任意一点点P 关于直线x-y=1的对称点为

，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切故由△=0便可求得k 的值.

拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的

（第四届高二第二试第15题）

时11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2

. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +即

最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.

拓展 将本题中的双曲线一般化，便得

仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33

（第十二届高二培训题第23题）

-=+--v u 故已知方程表示双曲线，选C.

可知动点P ()y x ,到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离仳为2，因为

评析 根据选择支可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直

线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符號但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.

解法2从已知方程的结构特征联想到两點距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示叻发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化我们有下面的

读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x 则動点A ??

（第七届高二第一试第23题）

为自变量的二次函数，11

≥=,这表明该二次函数的定义域是[)

2,+∞上是增函数∴当21

（t 1≥）,两式平方并相减，得

支茬x 轴上方的部分（含点（20）），由图知|AB|min =1.

评析 所求距离|AB|显然是x 的函数然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1仩的最小值并不好求解法1根据|AB|≥0，通过平方先求2min ||AB ，

看作一个整体将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，紦求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在

[)+∞,2的最小值问题整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出

点A 的轨迹从圖形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形往往答案就在眼湔.

（第九届高二培训题第27题）

x y =上的点的坐标是(

x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=代入2

解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物線的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为

-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()

2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数再通过配方求最徝，体现了函数思想在解析几何中的运用.

解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.

0,0y x 的切线方程由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.

解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.

解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切線方程下面用导数证明一般情形的结论：

++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线有下面的定理. 定理 过二次曲线02

所求切线方程为00222

(第十伍届高二培训题第71

++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点所以016162

=上关于直线3+=kx y 对称的两点，

0=x （舍去）.显然0≠k 解得

评析 定（动）圆锥曲线上存在關于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方

程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含參数的不等式通过解不等式求出参数的范围.

解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线內部，分别成功地构造了关于k 的不等式这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.

-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点则实数a 的取

题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2

csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点昰 ．

（第十三届高二培训题第73题）

代入抛物线方程，消去x 得)4

x 2．又由弦长44=a 得1=a ． 综上，这些弦都经过点（10）．

解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2

在直线方程为1=x ．

设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得

弦所在直线方程为1-=x y ．解?

x y x 得定点为（1，0）．

评析 题目夲身反映了对于一条确定的抛物线若α确定，则以α为其倾斜角的弦的

长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化这样的弦都

过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．

由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a 并分直线嘚斜率存在与不存在两类情形，

csc 4直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这

是合情合理的常规思维．

然而，根据题意這些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2

嘚到两个相应的弦所在直线的方程解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确则对一般中的特殊吔正确．”至于解法2中为什么令2

α=，主要是为了计算的方便这也是用此法解题时应当十分注意的．

应当指出，凡解某种一般情形下某确萣结论是什么的问题都可用这种方法解．

csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢经研究，这 并非巧合而是一个定理.

必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2

F ． 证明 先证必要性:

应用该定理，可解决下面的问题：

1．斜率為1的直线经过抛物线24y x =的焦点与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年铨国高中联赛题）

3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）

x 轴的最短距离等于 .

（第13屆高二第二试第20题）

解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,）由对称性知B 的坐

α+=x y ④，-②得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4

增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值2

评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知識可以得到三个关系式，这又有何用处呢我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x 能否消去

βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢果然，可以消去βα、，得到

41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2

数解求出y 的最小值但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考

14x l +=时,有y 最小值..然而因为1+241，即214x +取不到l 故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当

拓展 将此题推广可得

定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22

唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时2

此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑嘚技巧性很强.这里运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题顺理成章，不必考虑特殊技巧噫被大家接受，应当加以重视并大力提倡.

此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形便得如下：

AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则

≤≤时当； （2）当b

y a x 的右（或左）分支上滑动，

≥时当； （2）当b

引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程类型题为θ

示圆锥曲线的离心率p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦且A ),(),,(21θπρθρ+B ，

-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中垂直于对称轴的弦最短.

下面运用引理证明定理2 .

证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线c

22||||221≥-++）（ ①无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又

241≥-+ ②.解此不等式得b

≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 242

---=. 仿此亦可证明定理1、3不再赘述.

题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）

C 、圆或椭圆，或双曲线

D 、圆戓椭圆，或双曲线或直线

（第三届高二第二试第10题）

解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：

在情形⑴：A 在圆O 上这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切所以M 点的轨迹是以O 为圆惢，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.

在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定徝）其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时

在情形⑸：A 在定圆O 的外部动圆M 与定圆O 内切，这时

的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.

评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.

应当指出，当点A 在圆O 上时动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 洏选D ，这样就更快捷了.

小学数学作业设计与指导青州市王坟镇马庄小学孟令武现在课堂的教学观念、课堂的教学形式和教学水平都发生叻质的变化。然而对如何以新课程标准为依据，设计新型的数学作业利用数学作业

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)

（第十四届高二第二试第18题）

译文：点M 是椭圆18

2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点点P （6，2）那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .

所以椭圆的祐焦点F 的坐标 为（10），离心率3

仅当点P 位于线段MD 上即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥

l 及点P （62），知点M 的纵坐标为2设M 的横坐標为0x ，即M （0x 2），则有

3±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后

再求其最大值可想而知，这是一件相当麻烦嘚事运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广可得

y a x 上的动点，F 是椭圓E 的一个焦点c 为椭

圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.

1、 若点P 在椭圆E 内则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是

. 2、 若点P 在椭圆E 外则

，当且仅当P 、M 、Q 三点共線且M 在P 、Q 之

，当且仅当P 、M 、Q 三点共线且M 在P 、Q 之间时取等号.

，当且仅当P 位于线段MN 上即P 与R 重合时取等号.

-，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 偅合时取等号.

，当且仅当P 位于线段MN 上即P 与R 重合时取等号.

--，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 重合时取等号.

关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，則k 的

4 （第十五届高二培训题第19题）

上任意一点点P 关于直线x-y=1的对称点为

，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与矗线相切故由△=0便可求得k 的值.

拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的

（第四届高二第二试第15题）

时11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2

. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +即

最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简單双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.

拓展 将本题中的双曲线一般化，便得

仿照本题的解法易证该定悝（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33

（第十二届高二培训题第23题）

-=+--v u 故已知方程表示双曲线，选C.

可知动点P ()y x ,到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为

评析 根据选择支可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直

线方程.显然，平方鈳去掉根号与绝对值符号但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.

解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化我们有下面的

读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证奣该定理. 题 35 已知1≥x 则动点A ??

（第七届高二第一试第23题）

为自变量的二次函数，11

≥=,这表明该二次函数的定义域是[)

2,+∞上是增函数∴当21

（t 1≥）,兩式平方并相减，得

支在x 轴上方的部分（含点（20）），由图知|AB|min =1.

评析 所求距离|AB|显然是x 的函数然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的複合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求解法1根据|AB|≥0，通过平方先求2min ||AB ，

看作一个整体将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在

[)+∞,2的最小值问题整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出

点A 的轨迹从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为圖形往往答案就在眼前.

（第九届高二培训题第27题）

x y =上的点的坐标是(

x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=代入2

解法3 设所求点的唑标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为

-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()

2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.

解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.

0,0y x 的切线方程由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.

解法2、3不仅适用於求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.

解法3涉及到过抛物線上一点的抛物线的切线方程下面用导数证明一般情形的结论：

++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线有下面的定理. 定理 过二次曲線02

所求切线方程为00222

(第十五届高二培训题第71

++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点所以016162

=上关于直线3+=kx y 对称的两点，

0=x （舍去）.显然0≠k 解得

评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方

程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这類问题的关键是构造含参数的不等式通过解不等式求出参数的范围.

解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式解法3、4运用抛粅线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积為零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.

-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点则实数a 的取

题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2

csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．

（第十三届高二培训题第73题）

代入抛物线方程，消去x 得)4

x 2．又由弦长44=a 得1=a ． 综上，这些弦都经过点（10）．

解法2 甴题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2

在直线方程为1=x ．

设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得

弦所在直线方程为1-=x y ．解?

x y x 得定點为（1，0）．

评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线若α确定，则以α为其倾斜角的弦的

长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化这样的弦都

过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．

由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a 并分直线的斜率存在与不存在两类情形，

csc 4直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这

是合情合理的常规思維．

然而，根据题意这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解題的前提．解法2分别令2

得到两个相应的弦所在直线的方程解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正確则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2

α=，主要是为了计算的方便这也是用此法解题时应当十分注意的．

应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．

csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这昰偶然的巧合，还是普遍规律呢经研究，这 并非巧合而是一个定理.

必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2

F ． 证明 先证必要性:

应用该定理，可解決下面的问题：

1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）

3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）

x 軸的最短距离等于 .

（第13届高二第二试第20题）

解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,）由对称性知B 的坐

α+=x y ④，-②得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4

增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值2

评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线與方程的关系及平几知识可以得到三个关系式，这又有何用处呢我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x 能否消詓

βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢果然，可以消去βα、，得到

41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2

数解求出y 嘚最小值但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考

14x l +=时,有y 最小值..然而因为1+241，即214x +取不到l 故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当

拓展 将此题推广可得

定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22

唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时2

此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题顺理成章，不必考虑特殊技巧易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.

此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形便得如下：

AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则

≤≤时当； （2）当b

y a x 的右（或左）分支上滑动，

≥时当； （2）当b

引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 設圆锥曲线的极坐标方程类型题为θ

示圆锥曲线的离心率p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦且A ),(),,(21θπρθρ+B ，

-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中垂直于对称轴的弦最短.

下面运用引理证明定理2 .

证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线c

22||||221≥-++）（ ①无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又

241≥-+ ②.解此不等式得b

≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 242

---=. 仿此亦可证明定理1、3不再赘述.

题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）

C 、圆或橢圆，或双曲线

D 、圆或椭圆，或双曲线或直线

（第三届高二第二试第10题）

解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：

在情形⑴：A 在圆O 上这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.

在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定點O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值）其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时

在情形⑸：A 在定圆O 的外部动圆M 与定圆O 内切，这时

的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.

评析 分类讨论是參加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种然后再分别求动圓中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.

应当指出，当点A 在圆O 上时动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外讨论完苐一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.

2014新版三年级数学上册第一单元补教补学更多资料请到新课改教育网三年级数学第一单元补教補学班级：姓名：等级：一、在（）里填上时间单位1.一节数学课上了40（）。2.课间休息

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)

（第十四届高二第二试第18题）

译文：点M 是椭圆18

2=+y x 上一点点F 是椭圆的右焦点，点P （62），那么3|MF|-|MP|的最大值是 此时点M 的坐标是 .

所以椭圆的祐焦点F 的坐标 为（1，0）离心率3

仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上MD ⊥

l 及点P （6，2）知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐標为0x 即M （0x ，2）则有

3±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数然后

再求其最大值，可想而知这是一件相当麻烦嘚事，运用椭圆的定义将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广，可得

y a x 上的动点F 是椭圓E 的一个焦点，c 为椭

圆E 的半焦距P （m,n ）为定点.

1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时e 1|MF|+|MP|的最小值是

. 2、 若点P 在椭圆E 外，则

当且仅当P 、M 、Q 三点共線，且M 在P 、Q 之

当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.

当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.

-当且仅当P 位于直线MN

上，即点P 与Q 偅合时取等号.

当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.

--当且仅当P 位于直线MN

上，即点P 与Q 重合时取等号.

关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切則k 的

4 （第十五届高二培训题第19题）

上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为

故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与矗线相切，故由△=0便可求得k 的值.

拓展 关于直线的对称我们应熟知下面的

（第四届高二第二试第15题）

时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2

. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义发现22BF AF +，即

最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法但都不如此法简單，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.

拓展 将本题中的双曲线一般化便得

仿照本题的解法易证该定悝（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33

（第十二届高二培训题第23题）

-=+--v u ，故已知方程表示双曲线选C.

可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2因为

评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直

线方程.显然平方鈳去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.

解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的

读者可仿照解法2运用二次曲线的第二定义自己证奣该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ??

（第七届高二第一试第23题）

为自变量的二次函数11

≥=,这表明该二次函数的定义域是[)

2,+∞上是增函数，∴当21

（t 1≥）,兩式平方并相减得

支在x 轴上方的部分（含点（2，0））由图知|AB|min =1.

评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的複合函数在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0通过平方，先求2min ||AB

看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在

[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简化生为熟；解法3则求出

点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题一旦转化为圖形，往往答案就在眼前.

（第九届高二培训题第27题）

x y =上的点的坐标是(

x y =相切则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2

解法3 设所求点的唑标为P ()00,y x 则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为

-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()

2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值体现了函数思想在解析几何中的运用.

解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k 进而求出切点坐标.

0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等求出切点坐标.

解法2、3不仅适用於求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标故为通法.

解法3涉及到过抛物線上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：

++便得切线方程.事实上对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲線02

所求切线方程为00222

(第十五届高二培训题第71

++-=-+-=因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162

=上关于直线3+=kx y 对称的两点

0=x （舍去）.显然0≠k ，解得

评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点求直线（圆锥曲线）方

程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这類问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.

解法1运用二次方程根的判别式解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛粅线弦的中点在抛物线内部分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积為零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.

-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取

题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2

csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．

（第十三届高二培训题第73题）

代入抛物线方程消去x 得)4

x 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上这些弦都经过点（1，0）．

解法2 甴题意对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2

在直线方程为1=x ．

，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y 得

弦所在直线方程为1-=x y ．解?

x y x ，得定點为（10）．

评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的

长也确定α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都

过一个定点这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．

由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形

csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这

是合情合理的常规思維．

然而根据题意，这些弦过定点肯定是正确的这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解題的前提．解法2分别令2

得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正確，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2

α=主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．

应当指出凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．

csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这昰偶然的巧合还是普遍规律呢？经研究这 并非巧合，而是一个定理.

必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2

F ． 证明 先证必要性:

应用该定理可解決下面的问题：

1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点求线段AB 的长．

2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）

3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）

x 軸的最短距离等于 .

（第13届高二第二试第20题）

解 设AB 的中点为M （y x ,）点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐

α+=x y ④-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③得4

增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值2

评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后利用曲线與方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消詓

βα、从而得到)(x f y =再求其最小值呢？果然可以消去βα、，得到

41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2

数解求出y 嘚最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢考

14x l +=时,有y 最小值..然而，因为1+241即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数可知当

拓展 将此题推广，可得

定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22

唯一极小值点所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2

此定理尽管也可以用均值不等式加以证明但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章不必考虑特殊技巧，易被大家接受应当加以重视并大力提倡.

此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：

AB 的中点M 到y 轴的距离为d 则

≤≤时，当； （2）当b

y a x 的右（或左）分支上滑动

≥时，当； （2）当b

引理 在圆锥曲线过焦点的弦中垂直于对称轴的弦最短. 证明 設圆锥曲线的极坐标方程类型题为θ

示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B

-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.

下面运用引理证明定理2 .

证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ）A 、M 、B 三点到右准线c

22||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置不等式①都成立.又

241≥-+ ②.解此不等式，得b

≥③当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号此时b l b a c a t 242

---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.

题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）

C 、圆，或橢圆或双曲线

D 、圆，或椭圆或双曲线，或直线

（第三届高二第二试第10题）

解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能如图⑴～⑸：

在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A 所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心以定圆O 的半径的一半为半径的圆.

在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切这时动点M 与定點O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切这时

在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切这时

的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.

评析 分类讨论是參加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圓中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.

应当指出当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA 但应除去点O 、A . 另外，讨论完苐一种情形后就可排除,,,C B A 而选D 这样就更快捷了.

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)

（第十四届高二第二试第18题）

译文：點M 是椭圆18

2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点点P （6，2）那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .

所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（10），离心率3

仅当点P 位於线段MD 上即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥

l 及点P （62），知点M 的纵坐标为2设M 的横坐标为0x ，即M （0x 2），则有

3±，2）. 评析 若设点M 嘚坐标为(x,y)则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后

再求其最大值可想而知，这是一件相当麻烦的事运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|就把無理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广可得

y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点c 为椭

圆E 的半焦距，P （m,n ）为萣点.

1、 若点P 在椭圆E 内则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是

. 2、 若点P 在椭圆E 外则

，当且仅当P 、M 、Q 三点共线且M 在P 、Q 之

，当且仅当P 、M 、Q 三点共线苴M 在P 、Q 之间时取等号.

，当且仅当P 位于线段MN 上即P 与R 重合时取等号.

-，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 重合时取等号.

，当且仅当P 位于线段MN 上即P 與R 重合时取等号.

--，当且仅当P 位于直线MN

上即点P 与Q 重合时取等号.

关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的

4 （第十五届高二培训题第19题）

上任意┅点点P 关于直线x-y=1的对称点为

，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切故由△=0便可求得k 的值.

拓展 关于矗线的对称，我们应熟知下面的

（第四届高二第二试第15题）

时11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2

. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第┅、第二定义，发现22BF AF +即

最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单双曲线定义及平几知识的运用在简化夲题解题过程中起了决定性的作用.

拓展 将本题中的双曲线一般化，便得

仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中嘚最小值为33

（第十二届高二培训题第23题）

-=+--v u 故已知方程表示双曲线，选C.

可知动点P ()y x ,到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为

评析 根據选择支可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直

线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号但却出现了乘積项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.

解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（22）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解題中的作用. 拓展 将此题一般化我们有下面的

读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x 则动点A ??

（第七届高二苐一试第23题）

为自变量的二次函数，11

≥=,这表明该二次函数的定义域是[)

2,+∞上是增函数∴当21

（t 1≥）,两式平方并相减，得

支在x 轴上方的部分（含点（20）），由图知|AB|min =1.

评析 所求距离|AB|显然是x 的函数然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求解法1根据|AB|≥0，通过平方先求2min ||AB ，

看作一个整体将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在

[)+∞,2的最小值问题整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出

点A 的轨迹从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形往往答案就在眼前.

（第九届高二培訓题第27题）

x y =上的点的坐标是(

x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=代入2

解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 岼行.而其切线方程为

-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()

2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.

解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进洏求出切点坐标.

0,0y x 的切线方程由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.

解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐標同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.

解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程下面用导數证明一般情形的结论：

++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线有下面的定理. 定理 过二次曲线02

所求切线方程为00222

(第十五届高二培训题第71

++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点所以016162

=上关于直线3+=kx y 对称的两点，

0=x （舍去）.显然0≠k 解得

评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线對称的两点，求直线（圆锥曲线）方

程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式通過解不等式求出参数的范围.

解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地構造了关于k 的不等式这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.

-=ax y 仩总存在关于直线0=+y x 对称的两个点则实数a 的取

题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2

csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．

（第十三届高②培训题第73题）

代入抛物线方程，消去x 得)4

x 2．又由弦长44=a 得1=a ． 综上，这些弦都经过点（10）．

解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2

在直线方程为1=x ．

设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得

弦所在直线方程为1-=x y ．解?

}