这是《机器学习中的数学基础》系列的第11篇也是微积分的第4篇。

之前我们对简单函数的求导有了直观的了解但在实际情况中，函数往往都是由简单函数组合而成的复雜函数总结一下，无外乎有三种类型：一是函数的加和二是函数的乘积，三是函数的复合我们一个一个来看他们的导数该如何去求解。

我们先来看两个函数相加的情况举个例子，我们有组合函数y=x+x?，先把它的图像大概画一下：

如上图我们分别画出了y=x，y=x?，y=x+x?的图像，然后我们确定一点，给它一个微小的增量dx看看各个函数值是如何变化。很明显y=x的变化就是x'，y=x?的变化是(x?)'因为组合函数是两个函数的加和，所以组合函数的变化量也是两个函数的加和因此，y=x+x?的导数就是两个导数的加和，即y'=x'+(x?)'=2x+1.

接下来我们来看两个函数相乘又該如何求导呢？还是举个例子比如y=sin(x)x?。这里我们用面积法来求出它的导数，如下图：

上图中，我们画了一个矩形它的一边是sinx，另一边昰x?。然后我们给定一个微小增量dx看看矩形的各边有什么变化。首先矩形sinx的这边的变化量就是d(sinx)。注意因为长方形的边都是函数，而不昰自变量x因此变化量就是函数的导数。而x?这一边的变化量是d(x?)所以，整个组合函数增加的面积就是绿色线围起来的面积也就是x?d(sinx)+sinxd(x?)+d(sinx)d(x?)。因为我们给的是一个微小增量dx所以d(sinx)d(x?)这一项可以忽略为0.因此，组合函数y=sin(x)x?的导数为y'=x?d(sinx)+sinxd(x?)=x?cosx+2xsinx.我们可以把两个函数乘积的函数求导法則记为：左导右不导加上右导左不导。

接下来我们看最后一种情况函数的复合，也就是函数的嵌套举个例子，比如y=sin(x?)就是一个复合函数这种类型的函数怎么求导呢？

我们把复合函数的求导法则又叫做链式求导法则总结一下就是先对外层函数求导，然后再乘以内层函数的导数即可

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