上图来自同济大学高等数学第七蝂上册p23

我们已经知道数列极限存在的定义如下:

总存在一个数a，对于任意小的正数k存在一个n大于N，使得|Xn-a|<k恒成立

证明思路：反过来假设極限存在不是唯一，分别有极限存在a和极限存在b。这个证明中任意小的数是b-a/2，只是恰好b>ab-a/2可以是一个任意小的正数k。

所以可以得出|Xn-a|<(b-a)/2和|Xn-b|<(b-a)/2而这两个式子的前提条件都分别有n>N。如果我们取一个数作为n这个数大于式子2-2和式子2-3中的前提N1和N2。那么显而易见的这个取的数n，对于這两个式子是恒成立的。

我们化简这两个式子来更好的比较

可以看到，n代入后并没有成立反而矛盾了。