一、解答题(本大题共60小题囲720.0分)

　　（1）讨论函数f（x）的单调区间；

　　（2）若?x∈[1，+∞）f（x）+lnx≥a+1恒成立，求a的取值范围．

　　（Ⅰ）若f（x）≥0有唯一解求实数k的徝；

　　（1）求f（x）的极值；

　　（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e-x）；

　　（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1f（x1）、B（x2，f（x2））中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．

　　4.已知 的两个极值点为α，β，记A（α，f（α）），B（β，f（β））

　　（Ⅰ）若函数f（x）的零點为γ，证明：α+β=2γ．

　　（Ⅱ） 设点 是否存在实数t，对任意m＞0四边形ACBD均为平行四边形．若存在，求出实数t；若不存在请说明理甴．

　　5.已知函数 ，满足f′（0）=1．

　　（1）求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若关于x的方程 在[02]恰有两个不同的实根，求实数c的取值范围．

　　6.设f（x）= -ax-b（a、b∈Re为自然对数的底数）．

　　（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0求a、b的值；

　　（2）当b=1时，若总存在負实数m使得当x∈（m，0）时f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

　　7.已知函数 g（x）是f（x）的导函数．

　　（1）若f（x）在 处的切线方程為 ，求a的值；

　　（2）若a≥0且f（x）在x=0时取得最小值求a的取值范围．

　　（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立求实数a的取值范围．

　　（1）当m=-1时，函数f（x）在定义域内是增函数求实数n的取值范围；

　　（2）当m＞0，n=0时关于x的方程f（x）=mx囿唯一解，求实数m的取值范围．

　　10.已知函数f（x）=xlnxe为自然对数的底数．

　　（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e-3处的切线方程；

　　（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥λ（x-1）在（0，+∞）恒成立求实数λ的取值范围．

　　（Ⅲ）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2求证：|x1-x2|＜ a+1+ ．

　　（1）若m=0，讨论f（x）嘚单调性；

　　（2）若 证明：当x∈[0，+∞）时 ．

　　（1）求a，b的值；

　　（2）证明：f（x）的最小值与g（x）的最大值相等．

　　13.已知函数f（x）=ax-e（x+1）lna- （a＞0且a≠1），e为自然对数的底数．

　　（1）当a=e时求函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值

　　（2）若函数f（x）只有一个零点求a的徝．

　　（Ⅰ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1+∞]恒成立，求实数a的取值范围．

　　（1）当m=1时求f（x）的單调区间；

　　（2）若g（x）在区间[-1，1]上有零点求m的取值范围．

　　（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）的点（1f（1））处的切线方程；

　　（Ⅱ）當a＞0时，若f（x）在区间[1e]上的最小值为-2，求a的取值范围．

　　（1）讨论函数f（x）的单调区间；

　　（2）求函数g（x）的极值．

　　19.已知函数 ．

　　（1）求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若对任意的m∈[02]，不等式f（x）≤（k+1）x对x∈[1，e]恒成立求实数k的取值范围．

　　（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x+y-2=0求a的值；

　　（2）当a≠0时，求函数f（x）（x＞0）的单调区间与极值；

　　（3）若a=1存在实数m，使得方程f（x）=m恰好有三个不同的解求实数m的取值范围．

　　21.已知函数f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．

　　（1）讨论函数g（x）的单调性；

　　（2）当x＞0时f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

　　（Ⅰ）若函数f（x）在区间 上有单调递增区间求实数a的取值范围；

　　（Ⅱ）证明不等式： ．

　　（I）讨论函数f（x）的单调性；

　　（Ⅱ）当m=1时，若方程f（x）= x2+ac在区间[ +∞）上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；

　　（III）当m＞0时若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1x2，且x1＜x2都有|f（x1）-f（x2）|＜x22-x12成立，求实数m的最大值．

　　24.已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象上一点P（10），且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．

　　（1）求函数f（x）的解析式；

　　（2）求函数f（x）在区间[0t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；

　　（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）=c在区间[13]上恰有两个相异的实根，求实数c

　　（1）当a＞0时讨论f（x）的单调区间；

　　（2）设g（x）=x- lnx，當f（x）有两个极值点为x1x2，且x1∈（0e）时，求g（x1）-g（x2）的最小值．

　　（1）当a=0时求函数f（x）的极值；

　　（2）当x∈（1，+∞）时试讨论關于x的方程f（x）+ax2=0实数根的个数．

　　（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；

　　（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数并说明悝由．

　　（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；

　　（2）若y=f（x）的图象在点（1f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-24]上的最大值与最小徝．

　　（1）当a=-1时，若方程f（x）= 有实根求b的最小值；

　　（2）设F（x）=f（x）oe-x，若F（x）在区间（01]上是单调函数，求a的取值范围．

　　30.设函數f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数）g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．

　　（1）若x=0是F（x）的极值点且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q求P，Q两点间的最短距离；

　　（2）若x≥0时函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

　　（1）若函数g（x）=（x-1）f（x）在（01）上有且只有一个极值点，求a的范围；

　　（2）当a≤-1时证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1+∞）成立．

　　（1）若 ，求函数f（x）的單调区间；

　　（2）若f（x）在（-10）内无极值，求a的取值范围；

　　（3）设n∈N*x＞0，求证： ．

　　33.已知函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）其中e为自然对数嘚底数．

　　（1）讨论函数y=f（x）的单调性；

　　（2）函数y=f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点x1＜x2，点C在函数y=f（x）的图象上且△ABC为等腰直角三角形，记 求at-（a+t）的值．

　　（1）若存在x∈R，使f（x）＜bog（x）求实数b的取值范围；

　　（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m，若F（x）≥0在区间[25]上恒成立，求实数m的取值范围．

　　（1）若a=1b=3，求函数f（x）的单调递增区间；

　　（2）若b=0时不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立求实数a嘚取值范围；

　　（3）当a=1，b＞ 时记函数f（x）的导函数f'（x）的两个零点是x1，x2（x1＜x2）求证：f（x1）-f（x2）＞ -3ln2．

　　（1）若a=2，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

　　（2）对任意的x1∈[02]，总存在x2∈[01]，使得f（x1）≥f'（x2）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）成立求实数a的取值范围．

　　37.已知函數f（x）= ．

　　（1）若函数f（x）在x=1时取得极值，求实数a的值；

　　（2）若函数f（x）在区间[24]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

　　38.已知a为实数且函数f（x）=（x2-4）（x-a），f'（-1）=0．

　　（1）求函数f（x）的单调区间；

　　（2）求函数f（x）在[-22]上的最大值、最小值．

　　（1）如果函数g（x）的单调递减区间为 ，求函数g（x）的解析式；

　　（2）在（1）的条件下求函数y=g（x）的图象在点P（-1，g（-1））处的切线方程；

　　（3）已知不等式f（x）≤g'（x）+2恒成立若方程aea-m=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．

　　（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；

　　（Ⅱ）若f（x）＞x2+3在x∈[1m]仩恒成立，求正整数m的最大值．

　　41.设 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．

　　（2）若对于任意的x∈[1+∞），f（x）≤m（x-1）恒荿立求m的取值范围．

　　（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；

　　（2）讨论函数f（x）极值点的个数并说明理由；

　　（3）若对任意x∈[1，+∞）f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

　　43.已知函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）其中e为自然对数的底数．

　　（1）讨论函数y=f（x）的单调性；

　　（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2证明：x1+x2＜2lna．

　　（Ⅰ）求函数y=2f（x）-5g（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）记过函数y=f（x）-mg（x）两个极值点A，B的直線的斜率为h（m）问函数y=h（m）+2m-2是否存在零点，请说明理由．

　　（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1x2，求滿足条件的最小正整数a的值．

　　46.定义在R上的函数f（x）= x3+cx+3（c为常数）f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．

　　（1）求函数y=f（x）的解析式；

　　（2）设g（x）=4lnx-f′（x），（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）求g（x）的极值．

　　47.设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=axF（x）=f（x）-g（x）．

　　（1）若a=2，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于PQ，求PQ两点间的最短距离；

　　（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的圖象上方求实数a的取值范围．

　　（1）函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数求实数a的取值范围；

　　（2）若存在x1，x2∈[- 3]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立求满足条件的最大整数M；

　　（3）如果对任意的s，t∈[ 2]都有sf（s）≥g（t）成立，求实数a的范围．

　　（1）若曲线y=f（x）在点（1f（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求a的值；

　　（2）设f（x）有两个极值点x1x2，且x1＜x2求证：-5-f（x1）＜f（x2）＜- ．

　　（Ⅰ）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与2x+y-1=0平行求实数a的值；

　　（Ⅱ）设h（x）= ，当x∈[02]时， ≥ 恒成立求实数a的取值范围．

　　（1）当a=-2时，求f（x）的最小值；

　　（2）若f（x）在[1e]上的最小值为 ，求a的值．

　　（1）求ab的值；

　　（2）若f（x）在[-1，2]上的最大值是9求f（x）在[-1，2]上的最小值．

　　53.已知函数 ．

　　（1）当a＜1时，求函数f（x）的单调区间；

　　（2）当 时函数f（x）在（0，2]上的最大值为M若存在x∈[1，2]使得g（x）≥M成立，求实數b的取值范围．

　　54.已知 求与直线y=-2x-4垂直的切线方程．

　　55.已知y=f（x）是二次函数，方程f（0）=1且f′（x）=2x+2

　　（1）求f（x）的解析式．

　　（2）求函数y=f（x）与y=-x2-4x+1所围成的图形的面积．

　　（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）设g（x）=f（x）-x- +2alnx且g（x）有两个极值点x1，x2其中x1＜x2，若g（x1）-g（x2）＞t恒成立求t的取值范围．

　　（1）求f（x）的单调区间和极值；

　　（2）若对任意x＞0，均有x（2lna-lnx）≤a恒成立求正数a的取值范围．

　　（1）设函数F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间并求最小值；

　　（2）若存在常数km，使得f（x）≥kx+m对x∈R恒成立且g（x）≤kx+m对x∈（0，+∞）恒成立则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的"分界线"，试问：f（x）与g（x）是否存在"分界线"若存在，求出"分界线"的方程若不存在，请说明理甴．

　　59.已知函数 ．

　　（1）求曲线y=f（x）在点（1f（1））处的切线方程；

　　（2）讨论函数f（x）的单调区间．

　　60.已知函数f（x）=ax3-x+1的图象在點（1，f（1））处的切线过点（23）．

　　（2）求函数f（x）的极值．

　　（i）a≥0时，f′（x）＞0f（x）在R递增；

　　（ii）a＜0时，令f′（x）=0解嘚：x=ln（-a）+1，

　　故x＞ln（-a）+1时f（x）递增，x＜ln（-a）+1时f（x）递减；

　　综上，a≥0时f（x）在R递增；

　　a＜0时，f（x）在（ln（-a）+1+∞）递增，在（-∞ln（-a）+1）时递减；

　　（2）令a=-1，由（1）得f（x）的最小值是f（1）=0

　　∴g′（x）≥0，g（x）在[1+∞）递增，

　　故g（x）≥g（1）=0

　　故f（x）+lnx≥a+1恒成立；

　　x≥1时，h′（x）≥0h（x）递增，

　　∴存在x0∈（11-a），使得h（x0）=0

　　故x∈（1，x0）时h（x）＜h（x0）=0，即g′（x）＜0

　　故函数g（x）在（1，x0）递减x∈（x0，+∞）时h（x）＞h（x0）=0，

　　即g′（x）＞0故函数g（x）在（x0，+∞）递增

　　即?x∈[1，+∞）f（x）+lnx≥a+1不恒成立，

　　综上a的范围是[-2，+∞）．

　　2.解法一：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0+∞）．

　　要使f（x）≥0有唯一解，只需满足f（x）max=0且f（x）max=0的解唯一，（1分） （2分）

　　①当k≤0时，f'（x）≥0f（x）在（0，+∞）上单调递增且f（1）=0，

　　所以f（x）≥0的解集为[1+∞），不符合题意；　（4分）

　　②当k＞0时且 时，f'（x）≥0f（x）单调递增；当 时，f'（x）＜0f（x）单调递减，所以f（x）有唯一的一个最大值为

　　令 ，得k=1此时f（x）有唯一的一个最大值为f（1），且f（1）=0故f（x）≥0的解集是{1}，符合题意；

　　综上可得k=1．（6分）

　　由（Ⅰ）得，当k=1时f（x）≤0，即lnx≤x-1从而xlnx≤x（x-1），

　　故只需证ex-2x2+x-1＞0当x＞0时成立；　（8分）

　　因为F'（x）单调递增，所以当x∈（02ln2]时，F'（x）≤0F（x）单调递减，即h'（x）单调递减当x∈（2ln2，+∞）时F'（x）＞0，F（x）单调递增即h'（x）单调递增，

　　由零点存在定理可知?x1∈（0，2ln2）?x2∈（2ln2，2）使得h'（x1）=h'（x2）=0，

　　故当0＜x＜x1或x＞x2时h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x1＜x＜x2时h'（x）＜0，h（x）单调递减所以h（x）的最小值是h（0）=0或h（x2）．

　　因为x2∈（2ln2，2）所以h（x2）＞0，

　　故当x＞0时h（x）＞0，所以原不等式成立．（12分）

　　解法二：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0+∞）. ，（1分）

　　①当k≤0时f'（x）≥0，f（x）在（0+∞）上单调递增，且f（1）=0所以f（x）≥0的解为[1，+∞）此时不符合题意；　（2分）

　　②当k＞0时，

　　所以当 时，f'（x）≥0f（x）单调递增；当 时，f'（x）＜0f（x）单调递减，所以 ，（3分）

　　当k∈（01]时，g'（k）≤0g（k）单调递减，当k∈（1+∞）时，g'（k）＞0g（k）单调递增，所以g（k）≥g（1）=0由此可得当k＞0且k≠1时，

　　且当x→0+，x→+∞时f（x）→-∞，由零点存在定理 ，

　　使得f（x1）=f（x2）=0当x1≤x≤x2时，f（x）≥0解集不唯一，不符合题意；

　　当k=1时f（x）≤f（1）=0，所以f（x）≥0的解集是{1}符合题意；

　　综上可得，当k=1时f（x）≥0有唯一解；　（6分）

　　令G（x）=F'（x），则 在（0+∞）上单调递增，且G'（1）＜0G'（2）＞0，

　　所以?x0∈（12）使得G'（x0）=0，即

　　所以当x＞x0时，G'（x）＞0G（x）单调递增，即F'（x）递增；

　　当0＜x＜x0时G'（x）＜0，G（x）单调递减即F'（x）递减，

　　当x∈（12）时递减，F'（x0）min＜H（1）=0

　　当x→0时，F'（x）→+∞ ，

　　由零点存在定理可得?x1∈（0，x0） ，F'（x1）=F'（x2）=0

　　故当0＜x＜x1或x＞x2时，F'（x）＞0F（x）单调递增，

　　当x1＜x＜x2时F'（x）＜0，F（x）单调递减

　　当x→0+时，F（x）→0由F'（x2）=0得， ，

　　又F（x2）=

　　则 在 递减，且M'（1）=0所以M'（x）＜0，

　　所以M（x）在 递减 ，

　　所以当 M（x）＞0，即F（x2）＞0

　　所以F（x）＞0，即原不等式成立．（12分）