特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 例13. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) P279-7 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例14. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 軸 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 P280-8 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 计算过程 柱壳体积 说明: 柱面面积 偶函数 奇函数 例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利鼡对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . P281-9 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分在几何上的应用表示体积 ? 提礻: x －x 例16. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面咣滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 注意: 侧面积为 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 當球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式 * 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 * 典型P282 唎1.24 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 * 根据学时安排, 若本次课只讲到此处, 则运行时点击按钮“小结”转向“内容小结”第一部分, 并根據情况运行后面的思考与练习题, 然后结束本次课. 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 * (94 考研数二) 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 * (L.P197, 三)(L.P197 例13) 6.2 定积分在几何上嘚应用在几何学上的应用 * 运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回. 6.2 定积分在几何上的应用在几哬学上的应用 * (L.P198 例14) 6.2 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面圖形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何上的应用在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 P274-1 例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得茭点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 P275-2 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分在几何上的应用换え法得 当 a = b 时得圆面积公式 P276-3 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 例4. 求由摆线 的┅拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似徝为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 到 2? 所围图形面积 . P277-4 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) P277-5 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利鼡对称性 , 所求面积 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分在几何上的应用表示该双纽线与圆 所围公共部分的面積 . 答案: 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 A