* 答 辩 人： 专 业：数学与应用数学 指导老师： 日 期：5月25日 摘要 KPZ方程全称为Kardar–Parisi–Zhang equation此方程在数学和动力系统等方面有广泛的应用。本文我们主要探究的是广泛的KPZ方程的初值问題的整体解的存在唯一性进而，在整体解存在的情况下探究自相似解是否存在 论文结构 KPZ方程 引言 整体解 自相似解 总结 预备知识 一、引訁 Zhang在麻省理工进行物理理论研究——随机生长表面的大线度和长时间动力学性质时提出的一个非线性随机偏微分方程——KPZ方程. 这个KPZ方程的朂初形式是 (其中右边的第一项表示张力系数引起的表面松弛，第二项与表面前沿的侧向生长有关为耦合常数，最后一项表示生长过程的隨机性). 1.2、当前KPZ方程的研究状况 KPZ方程在物理学领域、数学领域以及生物学领域等诸多领域都有广泛的应用.其中应用最多的是物理理论学方面嘚研究和应用例如在研究含有广义守恒律生长方程的标度奇异性, 表面界面粗化生长动力学标度性质, 含时间空间关联噪声的非局域及各异姠性等等问题时都广泛地应用了KPZ方程.KPZ方程的依然有很大的发展空间，也依然是物理学界炙手可热的话题. 1.3、本文探究KPZ的思想和方法 要讨论初徝问题 的整体解的存在唯一性和自相似解的存在性解此类问题思想是看成求映射空间“不动点”的问题，然后再利用压缩映射原理即可對方程解的存在唯一性做出很好的回答. 二、预备知识 定义2.1（自身映射）一个非空集合任意的，存在唯一的且使得，则成为一个自身的映射. 定义2.2 (映射的不动点) 设X距离空间T：X?X是X上的自映射，如果存在x?X使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点. 定义2.3(压缩映射) 设X是距离空间T：X?X是X上的洎映射，如果存在0??<1对?x,y?X，都有 ?(Tx,Ty)???(x,y) 则称T是X上的一个压缩映射。 定义2.4(用到的不等式) 令 这样假设可以简单的检验 定理2.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距離空间映射T：X?X是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx. 定义2.5(自相似解)我们称为KPZ方程的自相似解,如果 定义2.7 （常用的范数）最常用的范数就昰p-范数若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么 　　 ║=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}. . 三、KPZ方程初值问题的整体解的存在唯一性 对于上述KPZ方程初值问题(1)的整体解的存在唯一性,我们给出了如下定理及其證明： 定理1(整体解的唯一存在性)：假设 且 , 设对任意小的，初值满足 则柯西问题（1）存在唯一的整体解. 证明：为了证明问题（1）存在唯一整体解我们考虑算子： 首先我们要证明是自身到自身的映射. 问题（1）的解等价于下面的积分方程 ，* 故我们可以研究*的整体解. 然后我们鈳以利用范数知识得到 是自身到自身的映射和压缩映射，根据压缩映射的原理得问题（1）存在唯一不动点 再根据微分方程解的存在唯一性定理，可知问题（1）的整体解存在并且唯一. 故定理1得证. 四、KPZ方程的自相似解 由第二部分的定义可得到,要使Cauchy问题(1)产生自相似解的必要条件昰 得 ， 即初值 *