第七章 紧致度量空间间和赋范线性空间

1.设(X,d)为一紧致度量空间间令

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

4.设d(x,y)为空间X上的距离证明

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

为C[a,b]中的闭集，而集

为开集的充要条件是B为闭集.

7.设E及F是紧致度量空间间中两个集如果d(E,F)?0，证明必囿不相交开集O及G分别包含E及F.

9.设X是可分距离空间f为X的一个开覆盖，即f是一族开集使得对每个x?X，有f中开集O使x?O，证明必可从f中选出可数个集组成X的一个覆盖.

11.设X为距离空间F1,F2为X中不相交的闭集，证明存在开集

12.设X,Y,Z为三个紧致度量空间间g是Y到f是X到Y中的连续映射，

Z中的连续映射證明复合映射(gf)(x)?g(f(x))是X到Z中的连续映

13.设X是紧致度量空间间,f是X上的实函数，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c集合

14.证明柯西点列是有界点列.

15.证明§1中空间S,B(A)以及离散空间都是完备的紧致度量空间间.

16.证明l?与C(0,1]的一个子空间等距同构.

17.设F是n维欧几里得空间Rn中有界闭集,A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x,y?F(x?

证明映射A在F中存在唯一的不动点.

19.设A为从完备紧致度量空间间X到Y中映射若在开球U(x0,r) (r?0)内适合

证明：A在S(x0,r)中有唯一的鈈动点.

2当j?k时为1，否则为0.证明：代数方程组

21.设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体其线性运算

n?1?似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算.若令

25.设C为一切收敛数列所组成的空间其中的线性运算与通常序列空间相同.在C中令||x||?sup|xi|,x?{xn}?C，证明C是可分的Banach

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

1.举唎说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.

??1??16.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子若T的零空间是闭集，T是否一定有界

1p?1q?1，證明：T是有界线性算子.

9.设C0表示极限为0的实数列全体按通常的加法和数乘，以及

线性与非线性泛函分析◇

6.(苏艳丁亞男)设(X,d)为紧致度量空间间 A?X且A??．证明A是开集当且仅当A为开球的并．

7.(张振山赵扬扬)设(X,d)和(Y,?)是两个紧致度量空间间．那么映射f:X?Y是连续映射当且仅當Y的任意闭子集F的原象f?1(F)是X中的闭集．

9.(李敬华孙良帅)设(X,d)和(Y,?)是两个紧致度量空间间，在X?Y上定义度量

X?Y是完备空间当且仅当(X,d)和(Y,?)均是完备空间．

110.(李秀峰钱慧敏)设(X,d)是完备的紧致度量空间间?Gn?x1?G1是X中的一列稠密的开子集，证明?Gn也是X中的稠密子集．

16.(常铮岳晓鹏)设x,y,z?Z+定义d(x,y)?完备紧致度量空间间，Z+表礻正整数集．

19.设(X,d)为为紧的紧致度量空间间{An}为X的一列非空闭子集，且

n?120.设(X,d)为完备的紧致度量空间间映射 设(X,d)，(Y,?)为两个紧致度量空间间f:X?Y为单射，证明f是连续映射的充要条件是f把X中的任一紧集映成Y中的紧集．

21.设X,Y均为紧致度量空间间f:X?Y为连续映射，若A是X的稠密子集则f(A)是f(X)的稠密子集．

若知A有不动点，那么此不动点是惟一的．

线性与非线性泛函分析◇

27.证明在n维欧氏空间Rn中点列收敛等价于按坐标收敛．即如果