材料科学的物理基础（一） 计算題参考答案 （共七十题） 赵宝华 2、利用玻尔的量子化条件求： （1）频率为 ν 的一维经典谐振子的能量 （2）被限制在长宽高分别为 a,b,c 的箱内運动的质量为m 的粒子的能量。 第一章 经典物理的困难 与量子力学的诞生 解（1）对经典谐振子有： 1、 试定性画出作一维阻尼振动的振子在運动过程中其离开平衡位置的位移随时间变化的曲线和该振子的运动在相空间中的相轨迹。（解答略请自己考虑。） （2）对箱中的自由粒子在x方向有： 同理： 经典谐振子 ： 3、 已知某质量为 m 动量为 p 的微观粒子作接近光速的运动。试求： （2）与该德布罗意波相应的相速度 up （3）与该德布罗意波相应的群速度 ug 。 （1） 其德布罗意波的波长与频率 解： （1） 接近光速运动的微观粒子其能量为 mc2 ，由德布罗意关系可得： 所以其德布罗意波的频率为： 德布罗意波的频率为： （2）该德布罗意波的相速度 up = λν ，即有： （3）该德布罗意波的群速度 ug 为： 注意到： 楿对论的能量与动量之间的关系为： 两边微分可得： 代入前式可得： 若有： 这里 u 微粒子的运动速度显然应有： 1、 一维运动的粒子处于由波函数： （2）粒子在空间各处出现的几率密度。 （3）粒子几率密度最大的位置与几率密度的最大值 （1） 归一化系数 A 。 所描写的状态其Φ：λ> 0 。试求： 第二章 波函数与薛定格方程 解：（1） （2） （3） 2、 一维谐振子处于由波函数： 所描写的状态 试求： （1） 归一化系数 A 。 （2）諧振子位置的平均值 （3）谐振子势能的平均值。 解： （1） （2） （3）使用数学公式： 可计算： 3、设把宽度为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱的中点有： 试通过具体求解定态薛定格方程来证明：描写在该势阱中运动的质量为μ的粒子的定态波函数为： 粒子的能量本征值为： 解：其定态薛定格方程为： 边界条件为：︱x︱> a/2 有： ψ(x)=0 若设： A=0 cos(ka/2)=0 ; 方程的通解可写为： B=0 sin(ka/2)=0 : 利用边界条件可得： 由归一化条件: 归一化后的波函數为： 其中：ω 为谐振子的固有频率。试证明：该粒子的能量本征值和本征波函数分别为： 4、质量为μ，携带电荷为q 的一维谐振子处在场強为ζ的匀强电场中，其势能函数为： 证明：按题意系统的哈密顿量应写为： 其定态薛定格方程应为： 定义： 上式可写为： 这是一个以 x1 为洎变量的线性谐振子的定态薛定格方程 的三维无限深势阱中运动。试求该粒子的能量本征值和本征波函数 z方向一维无限深势阱. y方向一維无限深势阱. 在区间： 其它区间： 第三章 算符与力学量 解： (1) 设：φ和ψ为任意波函数： 所以，算符d/dx不是厄米算符。 1、 试利用厄米算符的定義判断下列算符中那些算符是厄米算符 (2) 所以，算符id/dx是厄米算符 (3) 所以，算符d2/dx2是厄米算符 (4) 同理有： 所以，算符id2/dx2不是厄米算符 解： 一维諧振子的哈密顿量为： 对本征态应满足： 2、某质量为μ，固有圆频率为 ω的一维谐振子处于能量算符的本征态： 求：该振子在此状态下的能量本征值。 把已知的 ψ(x) 代入这里有： 解： 解： （1）设：φ 和 ψ 为任意波函数： 所以，算符AB是厄米算符 （2）设：φ 和 ψ 为任意波函数： 所以，算符（AB+BA）/2是厄米算符 4、 设 ? 和 ? 是可对易的厄米算符，试通过证明回答： （1） ?? 是否仍为厄米算符？ （2） （?? + ??）/ 2 是否仍為厄米算符 （3）