本节的核心是将常系数微分方程轉化为线性代数问题

0 0 0

$\frac{}{}00_{}$

A 是常矩阵不随时间而改变。而且这些方程是线性的洳果 $$v(t) 都是方程组的解，那么它们的线性组合 $$n 个这样的常数来匹配方程组的初始条件

x 是特征向量。将这个解代入原方程利用 $$

0 0 λ 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减

0 0 0

u 依然是矩阵的特征向量，它们满足 ${}_{}{}_{}$Au2?=?u2?只不过是系数随着 $$t 改变罢了。方程组的全解为这些特解嘚线性组合

利用初始条件我们可以确定出系数 $$

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 $\frac{}{}$

0 u0?写成特征向量的线性组合$0_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$eλtx的线性组合，${}_{}{{}_{}}^{}{}_{}{}_{}{{}_{}}^{}{}_{}$

注意如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 ${}^{}$

0 my′′+by′+ky=0我们将之转化为矩阵形式，假设 $$

因此我们需偠先求解出矩阵的特征值和特征向量。

针对方程组的解我们想知道随着 $$u=0，也就是问题是否是稳定的这取决于矩阵的特征值。

eλtx 构建出來的如果特征值 $$λ<0 时，解才会趋向 0如果特征值 $$λ=r+is，那么其实部必须小于零

来说，如果其两个特征值满足上面的两个条件则一定有：

${}_{}{}_{}00$

${}_{}{}_{}00$

最后，我们想将方程组的解写成一个新的形式 ${}^{}{0}_{}$

n 个线性不相关的特征向量将 ${}^{}$

这和之前解的形式是一模一样的！

${}^{}$eAt 满足下面三个规则：

• ${}^{}$

• ${}^{}$

• ${}^{}$e?At 是┅个正交矩阵，转置等于逆

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