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log函数的底通常设置为2此时，自信息量的单位为比特(bit)；在机器学习中$$log函数的底通常设置为自然常数e，此时自信息量的单位为奈特(nat)。

需要从以下两方面来理解自信息量：

• 自信息量表示如果随机事件$$p(x)越小，一旦其发生所获得的信息量就越大
• 自信息量反映了事件发生的不确定性

举例说明，“中彩票”事件的概率极小但是一旦中了彩票，“中彩票”事件的自信息量很大也就是说，“中彩票”会获得极大的信息量（即收益）另一方面，“中彩票”事件的概率很低自信息量很大，意味着“中彩票”事件发生的不确定性也很大

• 发生概率越高的事情，具有的自信息量越尐
• 发生概率越低的事情具有的自信息量越多

信息熵的单位与自信息量一样。一个随机变量$$X可以有多种取值可能信息熵是随机变量$$X所有鈳能情况的自信息量的期望。信息熵$$H(X)表征了随机变量$$X所有情况下的平均不确定度

• 不确定度越大，信息量越大
• 不确定度越小信息量越小

X所有取值的概率相等时，即${}_{}$p(xi?)的概率都相等时信息熵取最大值，随机变量具有最大的不确定性例如，情景一：买彩票中奖和不中奖的概率都是$$0.5时此时买彩票是否中奖的不确定性最大。情景二：真实情况中不中奖的概率远远大于中奖的概率，此时的不确定性要小于情景一因为几乎能确定为不中奖。

X在离散情况下所有取值概率相等（或在连续情况下服从均匀分布），此时熵最大即$0$

例1. 根据经验判断，买彩票中奖的概率是$$80%不中奖的概率是$$20%，求买彩票的信息熵

解： 买彩票的概率空间为：

x1?表示买的彩票没奖，${}_{}$x2?表示买的彩票有奖

• 買彩票后，“没中奖”事件获得的自信息量为：
  
• 买彩票后“中奖”事件获得的自信息量为：
  

I(x1?)<I(x2?)可知，彩票有奖的不确定性要大于彩票沒奖

**结果分析：**由最大熵定理可知，信息熵$$H(X)小于1比特意味着不确定性减少，带来的信息量也减少也就是说，先验经验（买彩票大概率不中奖）减少了不确定性

Y一起发生时的信息熵，即$$Y一起发生时的确定度**通俗地讲，联合熵$$Y一起发生时产生的信息量。

H(X∣Y)表示已知隨机变量$$X发生后新带来的不确定度**通俗地讲，条件熵$$X发生新带来的信息量

H(Y∣X)表示已知随机变量$$Y发生后新带来的不确定度。**通俗地讲條件熵$$Y发生新带来的信息量。

互信息量定义为后验概率与先验概率比值的对数：

互信息（平均互信息量）：