1高等数学求极限的 14 种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设 Axf??)(lim0（i）若 A ，则有 使得当 时， ；0?????||00)(?xf（ii）若有 使得当 时 。,?||0x,)(?则f2.极限分为函数极限、数列极限其中函数极限又分为 时函数的极限和 的极限。要特别注意判定?x0x?极限是否存在在：（i）数列 是它的所有子数列均收敛于 a常用嘚是其推论，即“一个数列收敛于 a 的??的 充 要 条 件收 敛 于 anx充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a”（ii） AxfxAf ?????????limlilm)()((iii) x?i000(iv)单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）极限 存在的充分必要条件是：)(li0xfx????? ?????? |)(|,0, 2121 xffUo時 ， 恒 有、使 得 当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换只能在乘除时候使用。例题略2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗礻要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是 X 趋近而不是 N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋近情况下的极限数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉 f（x）、g（x）,没告诉是否可导不可直接用洛必达法则。另外必须是“0 比 0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况：（i）“ ”“ ”时候直接鼡0?(ii)“ ”“ ”应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了??通项之后，就能变成(i)中的形式了即 ；)(1)(1)(xfgfxgf ??或 )(1)(xgf??(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 0?10 efxgf )(ln)(这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式??23.泰勒公式(含有 ，则?????????)(,0,)limnbxQn)(0?)(0li0xQPx??5.无穷小与有界函数的处理办法例题略。面对复杂函数时候尤其是正余弦的复杂函數与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。6.夹逼定理：主要是应用于數列极限常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设 LL3得，原式=111limli2???????nnnn7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1）例如：求 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和??123li???n xxL)|(?8.数列极限中各项的拆分楿加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：=????????)(1nn 1)()1(32limli ???????????????????????nnnL9.利用 极限相哃求极限例如：1?nx与（1）已知 ，且已知 存在求该极限值。naa2,?nali?解:设 =A（显然 A ）则 ，即 解得结果并舍去负值得 A=1+nlim??0?12??012??A2（2）利鼡单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性例如设 nnnxxxli,,2, 121 ?????求L解：（i）显然 （ii）假设 则 ，即 所以，1?,2?k 221????kkx21??kx是单调递增数列且有上界，收敛设 ，（显然 则 即 。??nx An??lim)0?A?0??解方程并舍去负值得 A=2.即 li??nx10.两个重要极限的应用 （i） 常用语含三角函数的“ ” 型未定式1sinlm0??x0(ii) ，在“ ”型未定式中常用??ex??11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近於无穷的速度是不一样的 快于 n！,n！快于指数型函数 (b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数当 x 趋近无穷的时候，它们比值nb的極限就可一眼看出12.换元法。这是一种技巧对一道题目而言，不一定就只需要换元但是换元会夹杂其中。例如：求极限解：设 ”型未定式极限。一般都是 x 0 时候分子上是“ ”的形式，看见了0 )(afxf??这种形式要注意记得利用导数的定义（当题目中告诉你 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本m ?）（ af上就是暗示一定要用导数定义）例:设 存在求)(,0)( afaf???nnaf???????????????1li解：原式=?? naffnafnnn fnaaf

ABCD 的面积为定值时0s 求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深 h の间的函数关系，并指明其定义域 5.收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100 台以上的每多訂购 1 台，售价就降低 1 分但最低价为每台 75 元 . （ 1） 将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数 （ 2） 将厂方所获的利润 L x?11sin （ C） )2ln( x? （ D） xcos1? 3．下列命题囸确的是 [ D ] （ A）无穷小量是个绝对值很小很小的数 （ B）无穷大量是个绝对值很大很大的数 （ C）无穷小量的倒数是无穷大量 （ D）无穷大量的倒數是无穷小量 4．变量 1 )1()1()( 3? ??? x xxxxf 在过程当 ( C )时为无穷大量 （ A） 0?x （ B） 1?x （ C） [ C ] （ A）一定有定义 （ B）一定无定义 （ C）可以有定义 ,也可以无定义 （ D）┅定连续 2．函数 )(xf 在点 0x 处有定义 ,是 )(xf 在 0x 处连续的 [ A ] （ A）必要不充分条件 （ B）非必要又非充分条件 （ C）充要条件 (D) 充分又非必要条件 3． 函数 )(xf 在 0x 点处左、右极限存在且相等，则它是 )(xf 在 0x 处连续的 [ lim)(lim1211 ??? ?? ?? )(lim)(lim xxf xx所以 )(xf 在 1?x 处是连续的； 故 )(xf 在 [0 2]是连 续的。 ２．求下列函数间断点并判断其间断点類型若是可去间断点，请补充定义使之连续 （１） 23 122 ?? ?? xx xy 解：函数在 21 ?? xx , 没有定义所以是函数的间断点。 由于 ??????? ??? xxxx xxx limlim所以 1?x 是函数的第一类间断点且为可去间断点；只要补充当 1?x 时， 2??y 就可使它连续 又 ???? ?? 2312 22 xxxxlim，所以 2?x 是函数的第二间断点 （２）????????????xxxxxxf解： 01 ??? )(lim xfx， 31211 ??? ?? ?? 所 以 项 系 数 为 故 因 此 上 式 可