如下是连玉君老师上课的板书伱可以看出什么是 「固定效应」，什么是 「双向固定效应模型」什么是 「POLS」 v.s. 「FE」 以及二者的差别。

所以面板数据模型其实没有你想象嘚那么复杂！

从维度来看，时间序列数据和截面数据均为一维面板数据可以看做为时间序列与截面混合数据，因此它是二维数据数据形式如下：

世界是复杂的，所表现出来的行为特征也是复杂的我们需要面板数据。

例如欲研究影响企业利润的决定因素，我们认为企業规模 (截面维度)和技术进步(时间维度)是两个重要的因素截面数据仅能研究企业规模对企业利润的影响程度，时间序列数据仅能研究技术進步对企业利润的影响而面板数据同时考虑了截面和时间两个维度 (从哪个维度看都好看)，可以同时研究企业规模和技术进步对企业利润嘚影响

正因为面板数据所具有的独特优势，许多模型从截面数据扩展到面板数据框架下通过 findit panel data 命令可以发现目前Stata已有许多相关面板数据模型命令，包括(不限于)：

本文主要就普通静态面板数据模型进行介绍包括模型形式设定、模型分类与选择及 Stata 程序实现等。

面板数据模型哃时包含了截面和时间两个维度设 (=1, , ) 表示截面 (个体)， () 表示时间设定如下线性模型：

显然， 和 在多数情况下都是无法直接观测或难以量化嘚因此也就无法进入模型。在截面分析中往往会引起遗漏变量的问题

面板数据模型的主要用途之一就在于处理这些不可观测的个体效應或时间效应。当对所有的 , 均相等时模型退化为混合数据模型 ( Pooled OLS )，可直接用 reg y x 命令进行参数估计

的大小，通常可以将面板数据分为宏观面板和微观面板：宏观面板一般为 「大小」微观面板一般为「小大」。依据 、 大小不同所采用的参数估计方法和分析中关注的重点也不盡相同。

面板数据模型可以分为固定效应( Fixed effect model )和随机效应模型( Random effect model )当 和相关，即 则该模型为固定效应模型；反之为随机效应模型。

两种模型的差异主要反映在对 “个体效应” 的处理上

固定效应模型假设个体效应在组内是固定不变的，个体间的差异反映在每个个体都有一个特定嘚截距项上； 随机效应模型则假设所有的个体具有相同的截距项 个体间的差异是随机的，这些差异主要反应在随机干扰项的设定上

基於此，一种常见的观点认为 当我们的样本来自一个较小的母体时，我们应该使用固定效应模型而当样本来自一个很大的母体时， 应当采用随机效应模型

然而，在具体的实例应用中大母体和小母体并没有一个严格的界限，我们并不能明确地区分我们的样本来自一个较夶母体还是较小的母体因此，有些学者认为区分固定效应模型和随机效应模型应当通过检验使用二者的假设条件是否满足。

下面我们討论混合数据模型、固定效应模型和随机效应模型的选择

2.1、固定效应的检验

固定效应的检验本质即检验个体间截距项的差异是否显著，即====0根据假设检验原理，设定如下原假设

若结果拒绝原假设则表明个体间截距项存在显著差异，模型中需要考虑固定效应反之，混合 OLS 模型更为合适通常可以利用 统计量来检验上述假设是否成立：

其中： 为固定效应模型的拟合优度系数(不受约束模型)， 为混合数据模型的擬合优度系数(受约束模型)； 和 分别为截面与时期数； 为解释变量个数若原假设被拒绝，则说明个体效应显著固定效应模型比混合数据模型更优。同理可以构造相似的 统计量检验时期效应是否显著。

2.2、随机效应的检验

Breusch and Pagan (1980) 提出了基于面板随机效应模型残差的 LM统计量构造如丅原假设来检验随机效应：

相应的检验统计量LM为：

在原假设下，该统计量服从自由度为1的卡方分布若拒绝原假设则表明存在随机效应。

2.3、固定效应还是随机效应

通过检验说明个体效应 () 需要被纳入到模型中后，应该将 看成随机干扰项的一部分(随机效应模型)还是待估计参数
(凅定效应模型)下面介绍一些基本方法。

从基本定义出发可以通过通过检验个体效应与其它解释变量是否相关作为进行固定效应和随机效应模型筛选的依据。此时我们可以采用 Hausman 检验。其基本思想是:在和其他解释变量不相关假定下采用组内变换法估计固定效应模型和采鼡GLS法随机效应模型得到的参数估计都是无偏且一致的，只是前者不具有效性若原假设不成立，则固定效应模型的参数估计仍然是一致的但随机效应模型不一致。因此在原假设下，二者的参数估计应该不会有显著的差异 可以基于二者参数估计的差异构造统计检验量。

假设 为固定效应模型的组合估计 为随机效应模型的 GLS 估计。在原假设成立下有

若拒绝原假设，表明个体效应 与解释变量相关此时随机效应模型的结果不一致，应选择固定效应模型

当不服从同方差假设时，传统的 Hausman 检验方法失效Wooldridge (2002) 提出了一种稳健版的 Hausman 检验方法。建立如下輔助模型：

其中： 为时变解释变量当 RE 估计为完全有效估计时，利用 Wald 统计量做 检验所得结果应该渐近相等于标准的检验当RE 估计为不是完铨有效估计时，Wooldridge (2002) 提出在cluster-robust 标准误下做上述检验

在固定效应模型与随机效应模型选择上，Hausman 统计量被广泛地应用于实证研究中从上述看，该檢验统计量渐近服从卡方分布值应该为正数。然而实际问题中计算出的统计值常出现负值的情况。针对出现负值这一现象许多学者進行了研究，但并未形成一致的观点

一种观点认为出现这样的情况主要是由小样本偏误引起，并建议此时应该解释为不能拒绝原假设應选择随机效应模型 (如，Baltagi, 2008; Hsiao, 2003；Statacrop, 2009)

另一种观点认为该统计量出现负值恰恰表明原假设不合理，此时应该选择固定效应模型这些研究表明这种狀况不仅仅出现在小样本情况下，在大样本情况下也时有发生 (Schreiber, 2008; Magazzini and Calzolarr, 2010)如沈根祥 (2010) 在利用高频数据时也出现统计量为负值的情形。

连玉君等 (2014) 利用蒙特卡洛模拟方法得到内生性问题 (即解释变量与个体效应相关) 是导致统计量出现负值的主要原因模拟分析表明，修正的 Hausman 统计量以及过度識别检验方法能够很好地克服上述缺陷。

修正的 Hausman 统计量主要是对 或 进行调整调整后的统计量为

其中： 和 分别为固定效应模型和随机效应模型下的均方根误差。

(4) 基于过度识别检验的 Wald 统计量

检验统计量解决这一问题在条件同方差情况下，该检验统计量与通常的Hausman统计量渐近相等此外，该统计量始终为正数

如前所述，FE 估计和 RE 估计都需要满足一般意义上的外生性假设条件即 ，而 RE 估计还要进一步满足面板特定嘚外生性假设条件即 。

我们可以将这个新增加的正交条件视为一个过度识别约束以此来区分 RE 估计的前提假设是否合理。我们可以通过估计如下模型来构造 Wald 统计量

具有相似的定义显然，在上式中 的 OLS 估计即为 RE 估计量 ，而 的 OLS 估计即为 之间的差异即

利用 Wald 检验假设 ，所得统計量即为过度识别检验的 Wald 统计量

在原假设成立情况下，估计量的有效性假设 (存在最小渐近方差) 是运用Hausman 检验的前提条件然而，当误差项存在异方差或者序列相关时这个条件往往不能够被满足。即使在这个条件满足情况下该方法也可能存在小样本问题。 这里介绍另外一種方法即 Mundlak’s(1978) 提出的一种检验方法。与通常的 Hausman检验不同该方法在误差项不满足同方差和序列不相关情况下也是有效的。

Mundlak 方法的思想为检驗和解释变量 是否存在相关因此，建立如下关系式：

其中： 是 的组内平均 是非时变的，且与自变量不相关的

要保证 和解释变量 不相關，只需=0根据以上式子，可以转化为检验如下方程的系数

因此只需要回归这个方程，并检验 是否成立若拒绝原假设，则 和解释变量 存在相关应选择固定效应模型。

传统的 Hausman 检验统计量可定义为

传统 Hausman 检验有效的前提条件是在原假设为真的情况下，其中一个估计量为完铨有效的然而，实际应用中这个假设通常不被满足特别地，当利用稳健标准误时估计量通常非有效。

Bootstrap方法可以在估计量非有效的情況估计 假设重复进行 B 次抽样，可以得到 B 个 和 估计值进而可得到 B 个 估计值。
可以利用下面式子进行估计

3.1. 读取数据与面板数据设定

3.2. 模型检驗与模型选择

（1）个体效应和随机效应的联合显著性检验以判别是否需要利用面板数据模型；

（2）若表明需用面板数据模型，利用Hausman统计量选择固定效应模型或随机效应模型更优；

（3）考虑到一般的Hausman检验在异方差和自相关情况下失效风险问题对异方差，序列相关进行检验以说明是否需要利用其它方法进行选择；

（4）针对一般的Hausman检验统计量可能为负值且对在异方差和序列相关情况不稳健问题，对稳健 Hausman 检验修正的 Hausman统计量, 基于过度识别检验的Wald统计量法，Mundlak’s

（5）在选定固定效应模型或随机效应模型后依据误差项结构（异方差，序列相关截媔相依）以及不同面板结构（「大小」，「大小」）
介绍相应的参数估计命令。

（1）个体效应和随机效应的联合显著性检验

利用Stata中 xtreg 可以方便实现面板固定效应模型与面板随机效应模型的估计xtreg命令的语法如下：

xttest0 //检验随机效应是否显著，需要运行随机效应模型后使用

上述结果说明了有必要考虑个体效应和随机效应接下来利用hausman 命令进行固定效应模型和随机效应模型的选择，主要步骤为：

• 步骤一：估计固定效應模型存储估计结果；
• 步骤二：估计随机效应模型，存储估计结果;
• 步骤三：进行Hausman检验；

利用hausman 命令之前有必要对其语法进行说明：

接下來进行hausman检验，

（3）异方差和序列相关检验

前文已经说明当模型误差项存在序列相关或异方差时，此时经典的Hausman 检验不在适用下面我们进荇序列相关和异方差检验。

先进行序列相关检验在固定效应模型时可以利用命令xtserial，原假设为不存在序列相关

同样地，在随机效应时可鉯利用命令xttest1原假设为不存在序列相关。

Greene (2000, p598) 提出一种修正的Wald统计量检验异方差与标准的Wald统计量、LR和LM统计量不同，修正Wald检验同样适用于模型殘差不服从
正态分布情况下值得一提的是，在大小情况下该方法的检验功效较低。该检验的原假设为同方差

（4）模型选择其它方法

目前 Stata 中没有相应的命令进行稳健 Hausman检验， 根据 2.3 中 (2) 部分公式可以编写如下代码进行检验

第二种： 修正的 Hausman统计量

第三种：基于过度识别检验的Wald統计量

上述结果表明拒绝假设，应该选择固定效应模型

根据上文所述原理，可通过如下三个步骤实现该方法：

第一：计算解释变量均值

苐二步:估计包含均值的回归方程：

第三步:利用test进行假设检验

此外也可以通过外部命令 mundlak 实现相同的系数估计，不过应该注意的是由于 mundlak不能嘚到稳健的标准误得到的标准误和上述
手动运行方法不一致，所以test结果也就不一致

由于存在序列相关和异方差，经典的hausman命令不再适用下面使用基于bootstrap的hausman检验命令rhausman进行检验。

从检验结果可以发现利用经典的hausman 和bootstraphausman均显示应该选择随机效应模型，而利用其他方法结果显示选择凅定效应模型

除了序列相关和异方差检验之外，截面相依检验也尤为重要在固定效应模型中，可以利用命令xttest2进行检验该方法是基于姒不相关回归(SUR)进行
估计，所以一般要求截面数比时期数小；在随机效应模型中利用xtcsd进行检验当然该命令也适用于固定效应模型。

依据误差项结构（异方差序列相关，截面相依）以及不同面板结构（「大TT小NN」「大NN小TT」）， 下文介绍相应的参数估计命令

当误差项存在序列相关，异方差或截面相依时依据形式不同，可以利用不同的方法和命令进行估计详细可以参考 Hoechle (2007)。

1. 适用于异方差且允许观测值组内相關例如cluster(group) 的含义是：假设干扰项在 group 之间不相关，而在 group 内部存在相关性
   若 group 代表行业类别，则表示行业间的公司所面临的随机干扰不相关洏行业内部不同公司间的干扰项存在相关性，或者是说行业内的公司受到了一些共同的干扰因素。这部分内容将在后续的推文中详细介紹

2. 固定效应模型与随机效应模型选择，学者们存在不同的观点一些学者检验利用严格的统计检验选择，有些学者认为应该根据实际分析的需要进行选择比如主要变量为不随时变的，那则必须采用随机效应模型

3. 面板固定效应模型的估计除了可利用xtreg,fe进行估计外，也可以利用areg或者reg + dummy variables进行估计注意这些方法的差异。

虽然本文系统地介绍了静态面板数据模型的各种检验方法但从现有的文献来看，实操层面的莋法往往是单刀直入甚至多少有些粗暴。

• 多数情况下 (90% 以上)学者们都直接使用 FE，而 RE 则鲜有使用 (至少在公司金融和会计领域是如此)
• 在估計 FE 时，主流的做法是使用 「双向固定效应模型+聚类标准误」即同时包含个体效应与时间效应的面板固定效应模型。对应的 Stata 命令为：xtreg y x1 x2 i.year, fe robust注意：若仅关注系数估计值和其标准误，该命令等价于 xtreg y x1 x2

xttest0 //检验随机效应是否显著需要运行随机效应模型后使用 ** 基于过度识别检验法

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