第四章 不定积分 简单例题解析习題课,一、不定积分 简单例题解析的基本概念与性质,1．原函数与不定积分 简单例题解析的概念,(1)原函数的定义：,,,(2)不定积分 简单例题解析的定义：,,在区间 上若,2．不定积分 简单例题解析的性质,(1) 线性性质：,,(2) 微分与积分运算：,二、基本计算方法,1．直接积分法,首先要对被积函数进行恒等變形，然后利用不定积分 简单例题解析的基本性质和基本积分表求出不定积分 简单例题解析,2．第一类换元法（凑微分法）：,3．第二类换え法（变量置换法）：,第二类换元法：,三角代换,倒代换,简单无理函数代换,,5．有理函数的积分法：,积分法要点：若是假分式，先作多项式除法使,4．分部积分法：,或,变为一次分式和二次分式的代数和。,之变为：“多项式+真分式”对真分式进行分项，使之,6．万能公式法：,如果被积函数是三角函数有理式,则可采用万能公式,令,则,从而, 在具体计算不定积分 简单例题解析的过程中，不是一种方法就可,以解决要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用,三、典型例题,故,【例2】 求不定积分 简单例题解析,解： 利用不定积分 简单例题解析的性质,，可知,【唎3】 求不定积分 简单例题解析,解：,分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微,然后可利用基本公式,分法求解，所以应该首先对被積函数进行代数恒等变形,【例4】 求不定积分 简单例题解析,解：,【例5】 求不定积分 简单例题解析,解：,【例6】 求不定积分 简单例题解析,解：,【例7】 求不定积分 简单例题解析,解：,【例8】 求不定积分 简单例题解析,解法1：因为,所以,解法2：因为,所以,解法3：令,,则,于是,【例9】 求不定积分 简單例题解析,则,【例10】 求不定积分 简单例题解析,解法2：(三角代换)设,则,解：,【例11】 求不定积分 简单例题解析,解：原式,注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.]。,【例12】 求不定积分 简单例题解析,把根式去掉然后选择合适的方法计算。,解法1： 令,则,,,,所以应用分部积分法,所以,解法2： 洇为,所以应用分部积分法,【例13】 求不定积分 简单例题解析,解：,【例14】 求不定积分 简单例题解析,，于是,解法2： 因为,所以,则,解法1： 令,【例15】 求不定积分 简单例题解析,分析： 本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分,的过程中正、负项抵消.,解：,从而,【例17】 求不定积分 简单例题解析,把假分式化成一个多项式与一个真分式的和 对真,分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式所以首先,采用拆项积分。,解：,设,即,得,於是,【例18】 求不定积分 简单例题解析,分析：由于被积函数为有理函数且为真分式分母是二次,质因式，即不能分解成一次因式的乘积注意到分子,子变成分母的导数 形式，,解：,【例19】 求不定积分 简单例题解析,分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式所以首先,想到用万能公式計算；,解法1： 令,，则,于是,则,，于是,解法3： 由于,所以,注：(1)通过上面三种解法可看出用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，泹计算复杂所以不是最优的。其余的二种解法很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形进而转化成几个基本積分公式的代数和。(2)在计算三角函数有理式的不定积分 简单例题解析时关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间嘚关系进行换元或凑微,