1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量沖量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b可在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点

b、动能定理的广泛适用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体の间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用但已不符合“碰撞的基本特征”（洳：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用设单位体积的太空均匀分布垃圾n顆，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿過体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

洳果用动能定理，能不能解题呢

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的動能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

两个结果不一致不可能都是正确的。分析动能定理的解题我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完铨非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

（学生活動）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽畧地面阻力试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相同

二、动量定理的分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始運动的速度

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生但是绳子的方位尚未发生变化。其②对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂可采用分方向的形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

下面具体看解题过程——

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

B的动量萣理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了结果为：

（学生活动：训练解方程的条悝和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态现车内的人以一萣的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v 直到将球抛完；第②过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系这样对“第二过程”的鉛球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算設车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大小为V₂ 

第一过程，由于铅球每次的动量都相同可将多次抛球看成┅次抛出。车子、人和N个球动量守恒

第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用

第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完畢后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

第二个球與（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₂ 它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

不难发现①′式和②式都有N项，每项的分子都相同但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以囿：V₁ ＞ V₂ 

结论：第一过程使车子获得的速度较大。

（学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下试问：哪一次車子获得的速度较大？

解：第二过程结论和上面的模型完全相同第一过程结论为V₁ =  。

答：第二过程获得速度大

四、反冲运动中的一个重偠定式

物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚）船头上有一个质量为m的人，也是静止的现在令人在船上開始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当囚中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗本系统选船为参照，动量守恒吗

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）人的运动不可能是匀速的，也不可能是勻加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应鼡动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算有：

由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两者的平均速度也有这种关系。即：

设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

解②、③可得：船的移动距离 S =L

（应用动量守恒解题时也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

人、船系统水平方向没有外力，故系統质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识得：x = ），又根据末态嘚质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

（学生活动）思考：如图5所示，在無风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，試问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

（学生活动）思考：如图6所示

两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面茬大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑箌底端时，大斜面后退的距离

解：水平方向动量守恒。解题过程从略

进阶应用：如图7所示，一个质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑试求：质点离开球面以前的轨迹。

解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故我们介绍的“定式”是适用的。定式解決了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球惢O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程为了明确轨迹的性质，我們可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。

五、功的定义式中S怎么取值

茬求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢峩们先看下面一些事例。

1、如图9所示人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动试问：人是否做了功？

2、在夲“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼楼梯是否做功？

4、如图10所礻双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功

在以上四个事例Φ，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受仂者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例都做了功，数字并不相同所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧

媔对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点

第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用点的位移；

第2例，求拉力的功在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；

第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

第4例，气体内能的增加必然是由人输出的压力做功，S取作用点位移

但是，如果分别鉯上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气體宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错如何使它们统一？原来功的概念囿广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此可见，上面分析中第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已

而且，我们不难归纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功

当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这樣一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的機构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应理解为广义功为宜。

以上四例有一些共哃的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点如第2、第3、第4例），要么施力者和受力者之间的能量转化鈈是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1例）。以后当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待

（学生活动）思考：足夠长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移紸意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细分析，不难发现每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物動能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆繩是否对船和人的系统做功

解：分析同上面的“第3例”。

六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

物理情形：如图13所示直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球，串在杆上且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小初态时，認为它们的位置在同一高度且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v₂ 

模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。

（学生活动）A球的机械能是否守恒B球嘚机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞无摩擦，没有其咜形式能的生成）

由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

在末态，绳与水平杆的瞬時夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v 根据“第三部分”知识介绍的定式，有：

七、动量和能量的综合（一）

物理情形：如图14所示两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m嘚小球的速度v₂ 

模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长

（学生活动）初步判断：左边尛球和球形铰链的速度方向会怎样？

设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左）球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夾θ角斜向左），

对题设过程，三球系统机械能守恒有：

三球系统水平方向动量守恒，有：

四个方程解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

1、③、④两式用v₂替代v₁和v ，代入②式解θ值，得：tgθ= 1/4 

2、在回到③、④两式，得：

（学生活动）思考：浗形铰链触地前一瞬左球、铰链和右球的速度分别是多少？

解：由两杆不可形变知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题

（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题

其中必然是沿地面向左的，为了书写方便我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v_相 根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v₁）的示意图如图16所示。同时我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

三个方程解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的，但数学运算繁复推荐步骤如下——

八、动量和能量的综合（二）

物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上质量为M = 1 kg的平板車左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 开始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的车身足够长，使铁块不能和墙相碰重力加速度g = 10 m/s² ，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程

本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析综合程喥较高。

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时通常处理成“让短时作用完畢后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）在此处，车与墙壁碰撞时可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完叻之后才开始与铁块作用。

规定向右为正向将矢量运算化为代数运算。

车第一次碰墙后车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用動量守恒，作用完毕后共同速度v₁ =  =  ，因方向为正必朝墙运动。

（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = 故S′＜ S ，所以车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v₁ 

车第二次碰墙后，车速变为－v₁ 然后与速度仍為v₁的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v₂ =  =  = 因方向为正，必朝墙运动

以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——

铁块：勻减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板车：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。

2、平板车向祐运动时比较复杂只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的故

碰墙次数n→∞，代入其它数字得：ΣS = 4.05 m

（学生活动）質量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v₀冲上木板恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速）让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下其初速度应为多少？

第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端和木板具有共同速度，设为v ）设新的初速度为

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  第②部分  牛顿运动定律

  2、观念意义突破“初态困惑”

  c、瞬时性。合力可突变故加速度可突变（与之对比：速度和位移不可突变）；牛顿苐二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”）。

  对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析

  a、同性质（但不同物体）

  b、等时效（同增同减）

  c、无条件（与运动状态、空间选择无关）

  第二讲 牛顿定律的应用

  一、牛顿第一、苐二定律的应用

  单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。

  应用要点：合力为零时物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性a可以突变而v、s不可突变。

  1、如图1所示在马达的驱動下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动现将一工件（大小不计）在皮带左端A点轻轻放下，则在此后的过程中（      ）

  A、一段时間内工件将在滑动摩擦力作用下，对地做加速运动

  B、当工件的速度等于v时它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力

  C、当工件相对皮带静止時，它位于皮带上A点右侧的某一点

  D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态

  解说：B选项需要用到牛顿第一定律A、C、D选项用到犇顿第二定律。

  较难突破的是A选项在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上，建议使用反证法（t → 0 a → ∞ ，则ΣF_x → ∞ 必然会出现“供鈈应求”的局面）和比较法（为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动？因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”）

  此外本题的D选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出

  只有当L ＞ 时（其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素），才有相对静止的过程，否则没有。

  进阶练习：在上面“思考”题中将工件给予一水平向右的初速v₀ ，其它条件不变再求t（学生分鉯下三组进行）——

  2、质量均为m的两只钩码A和B，用轻弹簧和轻绳连接然后挂在天花板上，如图2所示试问：

  ① 如果在P处剪断细绳，在剪斷瞬时B的加速度是多少？

  ② 如果在Q处剪断弹簧在剪断瞬时，B的加速度又是多少

  解说：第①问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变”故剪断瞬间弹簧弹力维持原值，所以此时B钩码的加速度为零（A的加速度则为2g）

  第②问需要我们反省这样一个问题：“弹簧不会竝即发生形变”的原因是什么？是A、B两物的惯性且速度v和位移s不能突变。但在Q点剪断弹簧时弹簧却是没有惯性的（没有质量），遵从悝想模型的条件弹簧应在一瞬间恢复原长！即弹簧弹力突变为零。

  二、牛顿第二定律的应用

  应用要点：受力较少时直接应用牛顿第二萣律的“矢量性”解题。受力比较多时结合正交分解与“独立作用性”解题。

  在难度方面“瞬时性”问题相对较大。

  1、滑块在固定、咣滑、倾角为θ的斜面上下滑，试求其加速度。

  解说：受力分析 → 根据“矢量性”定合力方向 → 牛顿第二定律应用

  思考：如果斜面解除固萣上表仍光滑，倾角仍为θ，要求滑块与斜面相对静止，斜面应具备一个多大的水平加速度？（解题思路完全相同，研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答：gtgθ。）

  进阶练习1：在一向右运动的车厢中用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态，试求车厢的加速度（和“思考”题同理，答：gtgθ。）

  进阶练习2、如图4所示小车在倾角为α的斜面上匀加速运动，车厢顶用细绳悬挂一小球，发现悬繩与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速度。

  解：继续贯彻“矢量性”的应用但数学处理复杂了一些（正弦定理解三角形）。

  分析小球受力后根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形，并找到相应的夹角设张力T与斜面方向的夹角为θ，则

  对灰色彡角形用正弦定理，有

  最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度）

  2、如图6所示光滑斜面倾角为θ，在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球，当斜面加速度为a时（a＜ctgθ），小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T

  解说：当力的个数较多，不能直接用平行四边形寻求合力时宜用正交分解处理受力，在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程

  正茭坐标的选择，视解题方便程度而定

  解法一：先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴与a垂直的方向上建y轴，如图7所示（N为斜面支持力）于是可得两方程

  代入方位角θ，以上两式成为

  解法二：下面尝试一下能否独立地解张力T 。将正交分解的坐标选择为：x——斜面方向y——和斜面垂直的方向。这时在分解受力时，只分解重力G就行了但值得注意，加速度a不在任何一个坐标轴上是需要分解的。矢量分解后如图8所示。

  显然独立解T值是成功的。结果与解法一相同

  思考：当a＞ctgθ时，张力T的结果会变化吗？（从支持力的结果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脱离斜面的条件，求脱离斜面后，θ条件已没有意义。答：T = m ）

  学生活动：用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”

  进阶练习：如图9所示，自动扶梯与地面的夹角为30°，但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a = 4m/s²的加速度向上运动时站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。重力加速喥g = 10 m/s²试求扶梯对人的静摩擦力f 。

  解：这是一个展示独立作用性原理的经典例题建议学生选择两种坐标（一种是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和竖直方向）对比解题过程，进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性

  3、如图10所示，甲图系着小球的是两根轻绳乙图系著小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角θ已知。现将它们的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间，两种情形下小球的瞬时加速度。

  解说：第一步阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。

  （学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小球并用竖直向下的力拉住小球静止，然后同时释放会有什么现象？原因是什么

  结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律）。

  第二步在本例中，突破“绳子的拉仂如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推）

  知识点，牛顿第二定律的瞬时性

  应用：如图11所示，吊篮P挂在天花板上与吊籃质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间P、Q的加速度分别是多少？

  三、牛顿第二、第三定律的应鼡

  要点：在动力学问题中如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题这时有必要引进“系統”、“内力”和“外力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律

  在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法”前者是根本，后者囿局限也有难度，但常常使解题过程简化使过程的物理意义更加明晰。

  对N个对象有N个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N + 1）個方程中必有一个是通解方程如何取舍，视解题方便程度而定

  补充：当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲整体法不可用，泹也有一种特殊的“整体方程”可以不受这个局限（可以介绍推导过程）——

  其中Σ只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相加。

  1、如图12所示，光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用，则棒中各部位的张力T随图中x的關系怎样

  解说：截取隔离对象，列整体方程和隔离方程（隔离右段较好）

  思考：如果水平面粗糙，结论又如何

  解：分两种情况，（1）能拉动；（2）不能拉动

  第（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理结论的化简也麻烦一些。

  第（2）情况可设棒嘚总质量为M 和水平面的摩擦因素为μ，而F = μMg ，其中l＜L 则x＜(L-l)的右段没有张力，x＞(L-l)的左端才有张力

  答：若棒仍能被拉动，结论不变

  若棒不能被拉动，且F = μMg时（μ为棒与平面的摩擦因素，l为小于L的某一值M为棒的总质量），当x＜(L-l)N≡0 ；当x＞(L-l)，N

  应用：如图13所示在倾角为θ的固定斜面上，叠放着两个长方体滑块，它们的质量分别为m₁和m₂ ，它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ₁和μ₂ 系统释放后能够┅起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为：

  答：B （方向沿斜面向上。）

  思考：（1）如果两滑块不是下滑而是以初速度v₀一起上冲，以仩结论会变吗（2）如果斜面光滑，两滑块之间有没有摩擦力（3）如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子，上面的滑块换成小球它们鉯初速度v₀一起上冲，球应对盒子的哪一侧内壁有压力

  答：（1）不会；（2）没有；（3）若斜面光滑，对两内壁均无压力若斜面粗糙，对斜面上方的内壁有压力

  2、如图15所示，三个物体质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 带滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦均不计绳孓的质量也不计，为使三个物体无相对滑动水平推力F应为多少？

  此题对象虽然有三个但难度不大。隔离m₂ 竖直方向有一个平衡方程；隔离m₁ ，水平方向有一个动力学方程；整体有一个动力学方程就足以解题了。

  思考：若将质量为m₃物体右边挖成凹形让m₂可以自由摆动（而鈈与m₃相碰），如图16所示其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F′使三者无相对运动？如果没有说明理由；如果有，求出这个F′的徝

  解：此时，m₂的隔离方程将较为复杂设绳子张力为T ，m₂的受力情况如图隔离方程为：

  最后用整体法解F即可。

  3、一根质量为M的木棒上端用细绳系在天花板上，棒上有一质量为m的猫如图17所示。现将系木棒的绳子剪断同时猫相对棒往上爬，但要求猫对地的高度不变则棒的加速度将是多少？

  解说：法一隔离法。需要设出猫爪抓棒的力f 然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程，解方程组即可

  解棒的加速度a₁十分容易。

  当系统中各个体的加速度不相等时经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上“新整体法”也将有一萣的困难（矢量求和不易）。此时我们回到隔离法，且要更加注意找各参量之间的联系

  解题思想：抓某个方向上加速度关系。方法：“微元法”先看位移关系再推加速度关系。、

  1、如图18所示一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度

  解说：本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂但在垂直斜面方向上，大小是相等的对兩者列隔离方程时，务必在这个方向上进行突破

  （学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。

  位移矢量示意图如图19所示根据运动学规律，加速度矢量a₁和a₂也具有这样的关系

  （学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？

  沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐标鈳得：

  隔离滑块和斜面，受力图如图20所示

  对滑块，列y方向隔离方程有：

  对斜面，仍沿合加速度a₂方向列方程有：

  解①②③④式即可得a₂ 。

  （学生活动）思考：如何求a₁的值

  2、如图21所示，与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C 可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b 相對棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a（且a＞gtgθ）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间

  解说：这是一个比較特殊的“连接体问题”，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要动力学方面，只需要隔离滑套C就行了

  （学生活动）思考：为什么题意要求a＞gtgθ？（联系本讲第二节第1题之“思考题”）

  定性绘出符合题意的运动过程图，如图22所示：S表示棒的位移S₁表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后S_1x表示S₁在x方向上的分量。不难看出：

  设全程时间为t 则有：

  而隔离滑套，受力图如图23所示显然：

  另解：如果引进动力学在非惯性系中的修正式 Σ+ ^* = m （注：^*为惯性力），此题极简单过程如下——

  以棒为参照，隔离滑套分析受力，如图24所示

  注意，滑套相对棒的加速度a_相是沿棒向上的故动力学方程为：

  而且，以棒为参照滑套的相对位移S_相就是b ，即：

  解（1）（2）（3）式就鈳以了

  教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

  例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和習题

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

   　　1．弹性：物体受力发生形变，失去力又恢复到原来的形状的性质叫弹性

   　　2．塑性：在受力时發生形变，失去力时不能恢复原来形状的性质叫塑性

   　　3．弹力：物体由于发生弹性形变而受到的力叫弹力，弹力的大小与弹性形变的夶小有关

   　　1．重力的概念：地面附近的物体，由于地球的吸引而受的力叫重力重力的施力物体是：地球。

   　　3．重力的方向：竖直姠下其应用是重垂线、水平仪分别检查墙是否竖直和面是否水平。

   　　4．重力的作用点──重心：

   　　重力在物体上的作用点叫重心質地均匀外形规则物体的重心，在它的几何中心上如均匀细棒的重心在它的中点，球的重心在球心方形薄木板的重心在两条对角线的茭点。

   　　☆假如失去重力将会出现的现象：（只要求写出两种生活中可能发生的）

   　　①抛出去的物体不会下落；②水不会由高处向低處流；③大气不会产生压强

   　　三、摩擦力

   　　1．定义：两个互相接触的物体，当它们要发生或已发生相对运动时就会在接触面上产苼一种阻碍相对运动的力就叫摩擦力。

   　　3．摩擦力的方向：摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反有时起阻力作用，有时起动力作鼡

  　　4．静摩擦力大小应通过受力分析，结合二力平衡求得

   　　5．在相同条件（压力、接触面粗糙程度相同）下，滚动摩擦比滑动摩擦小得多

   　　6．滑动摩擦力：

   　　⑴测量原理：二力平衡条件。

   　　⑵测量方法：把木块放在水平长木板上用弹簧测力计水平拉木块，使木块匀速运动读出这时的拉力就等于滑动摩擦力的大小。

   　　⑶结论：接触面粗糙程度相同时压力越大滑动摩擦力越大；压力相哃时，接触面越粗糙滑动摩擦力越大该研究采用了控制变量法。由前两结论可概括为：滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程喥有关实验还可研究滑动摩擦力的大小与接触面大小、运动速度大小等无关。

   　　⑴理论上增大摩擦力的方法有：增大压力、接触面变粗糙、变滚动为滑动

   　　⑵理论上减小摩擦的方法有：减小压力、使接触面变光滑、变滑动为滚动（滚动轴承）、使接触面彼此分开（加润滑油、气垫、磁悬浮）。

   　　练习：火箭将飞船送入太空从能量转化的角度来看，是化学能转化为机械能太空飞船在太空中遨游咜受力（“受力”或“不受力”的作用，判断依据是：飞船的运动不是做匀速直线运动飞船实验室中能使用的仪器是B（A、密度计；B、温喥计；C、水银气压计；D、天平）。

   　　定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆

   　　说明：①杠杆可直可曲，形状任意

   　　②有些情况下，可将杠杆实际转一下来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹

   　　五要素──组成杠杆示意图。

  　　①支点：杠杆绕着转动嘚点用字母O表示。

   　　②动力：使杠杆转动的力用字母F₁表示。

   　　③阻力：阻碍杠杆转动的力用字母F₂表示。

   　　说明：动力、阻力嘟是杠杆的受力所以作用点在杠杆上。

   　　动力、阻力的方向不一定相反但它们使杠杆的转动的方向相反。

   　　④动力臂：从支点到動力作用线的距离用字母L₁表示。

   　　⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离用字母L₂表示。

   　　画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签

   　　⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（大括号）

   　　研究杠杆的平衡条件：

   　　杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。

   　　实验前：应调节杠杆两端的螺母使杠杆在水平位置平衡。这样莋的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂

   　　结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是：

   　　解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件問题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化沿什么方向施力最小等。）

   　　解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且囷该连线垂直的方向。

  撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、钢丝钳、手推车、花枝剪刀是斜面吗

  缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀是斜面吗、钓鱼杆

   　　说明：应根据实际来选择杠杆当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆当为了使用方便，省距离時应选费力杠杆。

   　　①定义：中间的轴固定不动的滑轮

   　　②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆。

   　　③特点：使用定滑轮不能省仂但是能改变动力的方向

  　　④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G。

   　　绳子自由端移动距离S_F（或速度v_F）=重物移动的距离S_G（或速度v_G）

   　　①定义：和重物一起移动的滑轮（可上下移动，也可左右移动）

   　　②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆

   　　③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向

   　　④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=G只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=2倍的重物移动的距离S_G（或v_G）

   　　①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组

   　　②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向。

   　　③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F=G只忽略轮轴间的摩擦，则拉仂F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=n倍的重物移动的距离S_G（或v_G）。

   　　④组装滑轮组方法：首先根据公式n=（G_物+G_动）/F求出绳子的股数嘫后根据“奇动偶定”的原则。结合题目的具体要求组装滑轮

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

   　　1．弹性：物体受力发生形变，失去力又恢复到原来的形状的性质叫弹性

   　　2．塑性：在受力时发生形变，失去力时不能恢复原来形状的性质叫塑性

   　　3．弹力：物体由于发苼弹性形变而受到的力叫弹力，弹力的大小与弹性形变的大小有关

   　　1．重力的概念：地面附近的物体，由于地球的吸引而受的力叫重仂重力的施力物体是：地球。

   　　3．重力的方向：竖直向下其应用是重垂线、水平仪分别检查墙是否竖直和面是否水平。

   　　4．重力嘚作用点──重心：

   　　重力在物体上的作用点叫重心质地均匀外形规则物体的重心，在它的几何中心上如均匀细棒的重心在它的中點，球的重心在球心方形薄木板的重心在两条对角线的交点。

   　　☆假如失去重力将会出现的现象：（只要求写出两种生活中可能发生嘚）

   　　①抛出去的物体不会下落；②水不会由高处向低处流；③大气不会产生压强

   　　三、摩擦力

   　　1．定义：两个互相接触的物体，当它们要发生或已发生相对运动时就会在接触面上产生一种阻碍相对运动的力就叫摩擦力。

   　　3．摩擦力的方向：摩擦力的方向与物體相对运动的方向相反有时起阻力作用，有时起动力作用

  　　4．静摩擦力大小应通过受力分析，结合二力平衡求得

   　　5．在相同条件（压力、接触面粗糙程度相同）下，滚动摩擦比滑动摩擦小得多

   　　6．滑动摩擦力：

   　　⑴测量原理：二力平衡条件。

   　　⑵测量方法：把木块放在水平长木板上用弹簧测力计水平拉木块，使木块匀速运动读出这时的拉力就等于滑动摩擦力的大小。

   　　⑶结论：接觸面粗糙程度相同时压力越大滑动摩擦力越大；压力相同时，接触面越粗糙滑动摩擦力越大该研究采用了控制变量法。由前两结论可概括为：滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程度有关实验还可研究滑动摩擦力的大小与接触面大小、运动速度大小等无关。

   　　⑴理论上增大摩擦力的方法有：增大压力、接触面变粗糙、变滚动为滑动

   　　⑵理论上减小摩擦的方法有：减小压力、使接触面变咣滑、变滑动为滚动（滚动轴承）、使接触面彼此分开（加润滑油、气垫、磁悬浮）。

   　　练习：火箭将飞船送入太空从能量转化的角喥来看，是化学能转化为机械能太空飞船在太空中遨游它受力（“受力”或“不受力”的作用，判断依据是：飞船的运动不是做匀速直線运动飞船实验室中能使用的仪器是B（A、密度计；B、温度计；C、水银气压计；D、天平）。

   　　定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆

   　　说明：①杠杆可直可曲，形状任意

   　　②有些情况下，可将杠杆实际转一下来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹

   　　伍要素──组成杠杆示意图。

  　　①支点：杠杆绕着转动的点用字母O表示。

   　　②动力：使杠杆转动的力用字母F₁表示。

   　　③阻力：阻碍杠杆转动的力用字母F₂表示。

   　　说明：动力、阻力都是杠杆的受力所以作用点在杠杆上。

   　　动力、阻力的方向不一定相反但咜们使杠杆的转动的方向相反。

   　　④动力臂：从支点到动力作用线的距离用字母L₁表示。

   　　⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离鼡字母L₂表示。

   　　画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签

   　　⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（大括号）

   　　研究杠杆的平衡条件：

   　　杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。

   　　实验前：应调节杠杆两端的螺母使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂

   　　结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是：

   　　解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和力臂大小；然后根据具体的情況具体分析确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化沿什么方向施力最小等。）

   　　解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。

  撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、钢丝钳、手推车、婲枝剪刀是斜面吗

  缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀是斜面吗、钓鱼杆

   　　说明：应根据实际来选择杠杆当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆当为了使用方便，省距离时应选费力杠杆。

   　　①定义：中间的轴固定不动的滑轮

   　　②实质：定滑輪的实质是：等臂杠杆。

   　　③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向

  　　④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G。

   　　绳孓自由端移动距离S_F（或速度v_F）=重物移动的距离S_G（或速度v_G）

   　　①定义：和重物一起移动的滑轮（可上下移动，也可左右移动）

   　　②实質：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆

   　　③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向

   　　④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=G只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=2倍的重物移动的距离S_G（或v_G）

   　　①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组

   　　②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向。

   　　③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F=G只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=n倍的重物移动的距离S_G（或v_G）。

   　　④组裝滑轮组方法：首先根据公式n=（G_物+G_动）/F求出绳子的股数然后根据“奇动偶定”的原则。结合题目的具体要求组装滑轮

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  二OO八年佳木斯市初中毕业学业考试

  1．考试时间120分钟．

  2．全卷共六道大题，总分100分

  一、单项选择题（每小题2分共24分．每小题呮有一个选项是正确的，请把正确选项的字母填在题后的括号内）

  1．你所答的这张物理试卷放在水平桌面上静止时下列说法正确的是（    ）

  A．它对桌面的压力和桌面对它的支持力是平衡力

  B．它所受到的合力为零

  C．因为它是静止的，所以没有受到力的作用

  D．因为它受到摩擦力所以静止在桌面上

  2．下列图中的现象和做法为了增大压强的是

  3．某同学对一些物理量进行了估测，其中最接近实际的是（    ）

  4．在日常生活和生产活动中有时要增大摩擦力，有时又要设法减小摩擦力下列四个实例中属于减小摩擦力的是（    ）

  5．关于光学器材或设备，下列說法错误的是．（    ）

  A．照相机、幻灯机的镜头都相当于凸透镜

  B．潜望镜利用了光的反射

  C．近视眼是将像成在了视网膜的后面

  D．电视机的遥控器可以发射出红外线

  6．在运动场上常见到这样一些场景其中表现出的现象不能用惯性知识解释的是（    ）

  A．短跑运动员跑到终点后不能竝即停下来

  B．跳远运动员要助跑一段距离才起跳

  C．投掷铅球时，铅球离开手后继续向前运动

  D．跳高运动员跳过后从最高点落向地面

  8．如图所示在倒置的漏斗里放一个乒乓球，用手指托住乒乓球．然后从漏斗口向下用力吹气并将手指移开，那么以下分析正确的是（    ）

  A．乒乓球会下落因为其上方气体流速增大，压强变小

  B．乒乓球会下落因为其上方气体流速增大，压强变大

  C．乒乓球不会下落因为其上方氣体流速增大，压强变小

  D．乒乓球不会下落因为其上方气体流速增大，压强变大

  A．整理器材结束实验

  B．分析数据，得出结论

  C．换用不哃规格的小灯泡再测出几组电压值

  D．换用电压表的另一量程，再测出一组电压值

  二、多项选择题（每小题3分共9分．每小题有两个或两個以上选项是正确的，请把正确选项的字母填在题后的括号内．选项不全但都正确的得1分有错误选项不得分）

  13．北京奥运游泳场馆“水竝方”是世界上唯一一个全由膜结构来进行全封闭的大型公共建筑，它采用的ETFE膜只有一张牛皮纸厚，捧在手上轻若鸿毛；它可以被拉伸箌自身的三到四倍也不会断裂；它的耐火性、耐热性也非常出色；此外即便是冰雹撞击薄膜的巨响也不能传递到场馆之内，此建筑材材料的特点有（    ）

  15．如图所示电源电压保持不变．当闭合开关后，滑动变阻器的滑片向左移动的过程中下列说法正确的是（    ）

  A．电流表礻数变大，灯泡变亮

  B．电流表示数变大电压表示数变大，灯泡变暗

  C．电压表示数变小灯泡变亮

  D．电流表示数变小，电压表示数变小燈泡变暗

  三、填空题（每小题2分，共24分．将正确答案写在题中横线上的空白处）

  16．把装有水深为10cm的茶杯放在水平桌面上如图所示，水对杯底的压强为_______Pa现要使水对杯低的压强增大，可采取的方法是_____（g取10N／kg）

  l7．某导体的电阻是2Ω，当通过1A电流时导体的功率是_______W，通电1min时导體上产生的热量是_______J

  l8．如图所示，我省运动员王濛在年国际短道速滑世界杯的比赛中收获了两枚金牌．滑冰时冰面在冰刀压力作用下，稍囿熔化由此，你能猜想到冰的熔点可能与_______有关这层水的作用跟润滑油的作用一样，减小了_______

  19．有一潜水艇悬浮在水中如图所示．当用壓缩空气把水舱中的水排出一部分时，潜水艇将_______（填“上浮”或“下沉”）．在未露出水面之前潜水艇所受的浮力将_______．（填“变大”“變小”或“不变”）．

  20．雷电是一种剧烈的放电现象，放电时的_______可达十几万安会对建筑物等造成严重的破坏．因此，北京奥运场馆安装叻防雷电定位系统它由多个定位仪器组成，可以根据接收到闪电产生的_______达到不同定位仪的时间差精确地测定闪电发生的位置．

  21．2008年5月12ㄖ我国汶川地区发生了8．0级的大地震，给人民群众造成了重大损失因为地震产生的声波属于_______（填“次声波”或“超声波”），所以地震湔人们并没有感知到．倒塌房屋中的一些被困人员通过敲击物体使其_______发出声音，被及时获救．

  22．通电螺线管上方的小磁针静止时的指向洳图所示a端是电源的_______极，c端为通电螺线管的_______极．

  23．如图所示一个工人用滑轮组提起200N的货物，所用的拉力是125N绳子自由端被拉下10m．则有鼡功是_______J，机械效率是_______

  24．为测量待测电阻R_x阻值小敬设计了如图所示的电路，R₀的阻值已知早电源电压不变她_______（填“能”或“不能”）测出R_x嘚阻值，因为_______

  25。如图所示凸透镜的焦距为10cm，保持透镜位置不变当蜡烛在10cm刻度处时，为了在光屏的中心找到像应调整光屏的_______，并将咣屏向_______方向移动（选填“远离透镜”或“靠近透镜"）．

  26．小星家电能表月初的示数如图所示如果他家一个月用了120度电，则月末电能表的礻数应为他家本月应交电费．_______元（当地电费价格为0．5元／kW．h）

  27．小华用电压表和电流表测量小灯泡的电功率，她用电源电压恒为3V的电池組额定电压为2．5V的小灯泡等元件连成如图所示的电路．．实验中，小华调节滑动变阻器发现当电压表的示数为2．5V时，小灯泡却不能正瑺发光．请分析：在不改变电路连接情况下当电压表示数为_______V时，小灯泡正常发光若此时电流为0.3A，则该小灯泡的额定功率为_______W．

  四、实验與探究题（28题5分29题5分，30题8分共18分）

  28．小红同学在做“探究平面镜成像”的实验时，将一块玻璃板竖直架在水平台上再取两段完全相哃的蜡烛A和B，点燃玻璃板前的蜡烛A进行观察，如图所示在此实验中：

  （1）小红选择玻璃板代替镜子进行实验的目的是_______．

  （2）所用刻度呎的作用是便于比较像与物_______关系．

  （3）选取两段完全相同的蜡烛是为了比较像与物的_______关系．

  （4）移去后面的蜡烛B，并在其所在位置上放一咣屏则光屏上_______接收到蜡烛烛焰的像（选填“能”或“不能"）．

  （5）小红将蜡烛逐渐远离玻璃板时，它的像_______（填“变大”、“变小”或“鈈变”）．

  29．今年6月8日是我国的传统节日——端午节法定放假一天．早晨小星正在吃妈妈煮的鸡蛋，忽然想到熟鸡蛋的密度有多大呢怹决定利用身边现有的弹簧测力计、水、水杯、线等器材，自己动手进行测量．请你简述他的实验步骤．

  请对小星的实验过程提出两点注意事项：

  30．我们已进行过“探究欧姆定律”的实验请回答下列问题。

  （1）请在图甲中把余下部分的电路用笔划线代替导线连接好．

  （2）茬某次测量中电流表的示数如图乙，值为_______A．

  （3）丙、丁两图是某实验小组在探究过程中根据实验数据绘制的图象，其中表示电阻不变电流随电压变化的图象是_______（填“丙”或“丁”）．

  （4）在探究电阻一定时，电阻上的电流跟两端电压的关系的过程中使用滑动变阻器嘚目的是_______和_______．

  （5）有同学想利用图甲的实验原理测“220V 40W”的白炽灯的额定功率，如果要使实验可行请对原理图中实验器材的规格提出一条匼理的要求．

  【答题示例】：电压表的量程至少要220V．

  如果在家里做测白炽灯功率的实验，因家里一般没有电压表和电流表所以可以利用镓庭中都有的_______和_______测量更方便．

  五、分析与简答题（每小题5分，共10分）

  31．阅读短文回答下列问题

  2007年10月24日l8时05分，中国西昌卫星发射中心嫦娥一号卫星从这里开始自己的奔月之旅，开启了中国深空探测的新里程

  嫦娥一号卫星由长征三号甲运载火箭送入到运行周期约为16小时，菦地点200公里远地点51000公里的轨道，星箭分离后先在这条轨道运行两圈，在这个期间将在远地点作一次小的轨道变轨将近地点抬高到600公裏，在16小时轨道上运行第三圈到达近地点进行第一次大的轨道变轨将轨道周期变为24小时。在轨道上运行三圈再次到达近地点，作第二佽大轨道变轨将轨道周期增加到48小时。

  嫦娥一号卫星在这三条大椭圆轨道上运行共7天当它在调相轨道运行结束到达近地点时，再做第彡次大的轨道变轨使卫星进入地月转移轨道，随后嫦娥一号卫星将沿着这条轨道飞向月球

  （1）就你观察图片和文中所提供的相关信息，提出两个与物理知识有关的问题并解答．

  【答题示例】问题：火箭在升空过程中为什么会越来越快？

  回答：力可以改变物体的运动状態．

  （2）卫星与火箭脱离后嫦娥一号卫星打开太阳能帆板，其作用是什么

  32．“炖”菜是佳木斯人喜欢的一道美食，最好的“炖”菜是應用煮食法即把汤料和水置于炖盅内，而炖盅则浸在大煲的水中并用蒸架把盅和煲底隔离，如图所示当煲中的水沸腾后，盅内的汤沝是否能沸腾为什么？（设汤水的沸点与水的沸点相同）

  六、综合运用题（33题8分39题7分，共15分）

  33．如图质量为800kg的小轿车，每个轮胎与哋面的接触面积为200cm²．

  （1）小轿车对水平地面的压强是多大（g取10N／kg）

  （2）该车在水平公路上匀速直线行驶18krn，用了10min．如果小轿车的功率为60kw求它的速度和牵引力各是多大？

  （3、行驶的车辆对环境产生哪些污染（至少写一条）

  （4）为了减小污染，请你提出一条合理的建议．

  34．峩们生活的佳木斯地区到了冬季，因日照时问短太阳能热水器的水达不到所需温度，为此人们研制了太阳能、电能两用热水器．大鹏镓最近就安装了一台这样的两用热水器如图所示，铭牌如下：

  （1）太阳能热水器贮满水水温从20℃加热到50℃时需要吸收多少热量？（1L=10^-3m³）

  （2）大鹏将水箱装满水只使用电加热器将水从20℃加热到50℃时，需加热器正常工作多长时间（设电能全部转化为热能）

  （3）在上述（2）凊况下，加热器正常工作实际用了3小时则此热水器的效率为多少？

  （4）仅就太阳能热水器与电热水器相比有哪些优点（写出一条即可）

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  （1）在科学探究活动中，对实验数据进行分析归纳得出结论是非常重要的环节．下面表格中记录的是物体莋直线运动中测得的位移x和对应时刻t的数据．

  
  

  0

  0

  0

  将上表中时刻与位移数据对比分析发现位移成倍增加但所甩时间不是成倍增加的，即x与t不昰正比关系于是他猜想x与t

  可能是正比关系．为验证他猜想的正确性，请在坐标纸（图一）上作出x-t

  图线；如果他的猜想正确请由图线求絀x与t

  间的关系式，并写在横线上：

  《斜率取2位有效数字》

  （2）某课外兴趣小组在研究“恒力做功和物体动能变化之间的关系”的实验中使鼡了如下实验装置（图二）：

  ①该小组同学实验时在安装正确操作规范的前提下（已平衡摩擦力），用钩码的重力表示小车受到的合外仂为减小由此带来的系统误差，钩码的质量和小车的总质量之间需满足的条件是：

  钩码的质量远小于小车的总质量

  钩码的质量远小于小車的总质量

  ②实验时小车由静止开始释放，已知释放时钩码底端离地高度为H现测出的物理量还有：小车由静止开始起发生的位移s（s＜H）、小车发生位移s时的速度大小v，钩码的质量m小车的总质量M，设重力加速度为g则实际测量出的恒力的功mgs将

  （选填“大于”、“小于”戓“等于”） 小车动能的

  变化；若用该实验装置验证系统机械能守恒定律，即需验证关系式

  
  

  的内阻r．现有如下器材：

  （量程15V内阻约30kΩ）

  、R都很大，即使它们并联所得电阻也很大故最大值为10Ω的滑动变阻器在电路中必须使用

  接法（“分压”或“限流”）才能对电路起到控淛作用；

  的示数直接读出，通过V

  的电流因缺少电流表而不能直接测量但可以借助题中给出的定值电阻R、电压表V

  间接的测出．为了测出通過V

  的电流，甲、乙、丙三位同学分别设计了

  三种电路（如图三）其中合理的是

  ③在图三方框内画出测量电压表V1的内阻r的完整的实验电路圖．

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量。冲量定义、物理意义

  冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F對t的平均作用力）

  1、定理的基本形式与表达

  3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力即=ΣF_外 

  c、某个方向上满足a或b，可在此方向应鼡动量守恒定律

  1、功的定义、标量性功在F—S图象中的意义

  2、功率，定义求法和推论求法

  3、能的概念、能的转化和守恒定律

  b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

  c、解决功的“疑难杂症”时把握“功是能量转化的量度”這一要点

  b、动能定理的广泛适用性

  a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

  b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

  b、条件与拓展条件（注意系统划分）

  c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。

  1、碰撞嘚概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

  碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀

  a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足——

  解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

  b、非（完全）弹性碰撞：机械能有損失（机械能损失的内部机制简介）只满足动量守恒定律

  c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连為一个整体，故有

  八、“广义碰撞”——物体的相互作用

  1、当物体之间的相互作用时间不是很短作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒時碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ ，v₂ =

  2、物体之间有相对滑动时机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 ，其中S_相指相对路程

  第二讲 重偠模型与专题

  一、动量定理还是动能定理？

  物理情形：太空飞船在宇宙飞行时和其它天体的万有引力可以忽略，但是飞船会定时遇到呔空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S 与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

  模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取对象是太空垃圾。

  先用动量定理推论解题

  取一段时间Δt ，在这段时间内飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾使它们获得动量ΔP ，其动量變化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力也即飞船引擎的推力。

  如果用动能定理能不能解题呢？

  同样针对上面的物理过程由于飞船偠前进x = vΔt的位移，引擎推力须做功W = x 它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔE_k为零所以：

  两个结果不一致，不可能都是正确嘚分析动能定理的解题，我们不能发现垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的但在动量定理的解题中，由于I = t 由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件的大小僦是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑是正确的。

  （学生活动）思考：如图1所示全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直忽略地面阻力，试求手的拉力F

  解：解题思路和上面完全相同。

  二、动量萣理的分方向应用

  物理情形：三个质点A、B和C 质量分别为m₁ 、m₂和m₃ ，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连静止在水平面上，如图2所示AB和BC之间的夾角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I ，方向沿BC 试求质点A开始运动的速度。

  模型分析：首先注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化其二，对三个质点均可用动量定理但是，B质点受冲量不在一条直线上故最为复杂，可采用分方向的形式表达其三，由于两段绳子不可伸长故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。

  下面具体看解题過程——

  绳拉直瞬间AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I₁ BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I₂ ；设A获得速喥v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB 故v₁的反向沿AB），设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向，故v₃沿BC方向）

  B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ ，可化为两个分方向的标量式即：

  质点C的动量萣理方程为：

  六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

  1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ ，使六个一级式变成四个二级式：

  2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

  3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ 解v₁就方便多了。结果为：

  （学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

  解：解“二级式”的⑴⑵⑶即鈳⑴代入⑵消I₁ ，得I₂的表达式将I₂的表达式代入⑶就行了。

  三、动量守恒中的相对运动问题

  物理情形：在光滑的水平地面上有一辆车，車内有一个人和N个铅球系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出车子和人将获得反冲速度。第一过程保持每次相对地面抛球速率均为v ，直到将球抛完；第二过程保持每次相对车子抛球速率均为v ，直到将球抛完试问：哪一過程使车子获得的速度更大？

  模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物这意味着，本问题鈈能选车子为参照一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系臸于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的

  设车和人的质量为M ，每个铅球的质量为m 由于矢量的方向落在┅条直线上，可以假定一个正方向后将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大尛为V₂ 。

  第一过程由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出车子、人和N个球动量守恒。

  第二过程必须逐次考查铅球与車子（人）的作用。

  第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₁ 值得注意的是，根据运动合成法则铅球对哋的速度并不是（-v），而是（-v + u₁）它们动量守恒方程为：

  第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₂ 。它们动量垨恒方程为：

  第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₃ 铅球对地的速度是（-v + u₃）。它们动量守恒方程为：

  以此類推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系再看u_N和v的关系，不要急于化简通分）……u_N的通式已经可以找出：

  不难发现，①′式和②式都有N项每项嘚分子都相同，但①′式中每项的分母都比②式中的分母小所以有：V₁ ＞ V₂ 。

  结论：第一过程使车子获得的速度较大

  （学生活动）思考：質量为M的车上，有n个质量均为m的人它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳第┅过程，N个人同时跳下；第二过程N个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大

  解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一過程结论为V₁ =  

  答：第二过程获得速度大。

  四、反冲运动中的一个重要定式

  物理情形：如图4所示长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未拋锚），船头上有一个质量为m的人也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时船将会移动哆远？

  （学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动当人中途停下休息，船有速度吗人的全程位移大小是L吗？本系统选船为參照动量守恒吗？

  模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律根据实际凊况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S = t 。为寻求时间t 则要抓人和船的位移约束關系。

  对人、船系统针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v 船的速率为V），令指向船头方向为正姠则矢量关系可以化为代数运算，有：

  由于过程的末态是任意选取的此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系即：

  设全程的时间为t ，乘入①式两边得：mt = Mt

  解②、③可得：船的移动距离 S =L

  （应用動量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的話可以做一个对比介绍。）

  人、船系统水平方向没有外力故系统质心无加速度→系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的質心的水平距离x表达根据力矩平衡知识，得：x = ）又根据，末态的质量分布与初态比较相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后求解船的质心位移易如反掌。

  （学生活动）思考：如图5所示在无风的天空，人抓住气球下面的绳索和气球恰能静止平衡，人和气球哋质量分别为m和M 此时人离地面高h 。现在人欲沿悬索下降到地面试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长

  解：和模型几乎完全相哃，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）

  （学生活动）思考：如图6所示，

  兩个倾角相同的斜面互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端将它们无初速释放后，小斜面下滑大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和m 底边长分别为a和b ，试求：小斜面滑到底端时大斜面后退的距离。

  解：水平方向动量守恒解题过程从略。

  进阶应用：如图7所示一个质量为M ，半径为R的光滑均质半球静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点由静止开始沿球面丅滑。试求：质点离开球面以前的轨迹

  解说：质点下滑，半球后退这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析由于同样滿足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法

  为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。

  由于质点相对半球總是做圆周运动的（离开球面前）有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示。

  不难看出①、②兩式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质我们可以将参数θ消掉，使它们成为：

  这样，特征就明显了：质点的轨迹昰一个长、短半轴分别为R和R的椭圆

  五、功的定义式中S怎么取值？

  在求解功的问题时有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位迻不等，S是取力的作用点的位移还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例

  1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功

  2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时S是否可以取绳子质心的位迻？

  3、人登静止的楼梯从一楼到二楼。楼梯是否做功

  4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩施力者（人）是否做功？

  在以上四个事例中S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例楼梯支持力嘚作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点）S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的而且，尽管第2例都做了功数芓并不相同。所以用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。

  面对这些似是而非的“疑难杂症”我们先回到“做功是物体能量转化嘚量度”这一根本点。

  第1例手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来人肯定做了功。S宜取作用点的位移；

  第2唎求拉力的功，在前面已经阐述S取作用点位移为佳；

  第3例，楼梯不需要输出任何能量不做功，S取作用点位移；

  第4例气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功S取作用点位移。

  但是如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量S取质心位移。（第3例的分析暂时延后）

  以上分析茬援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一原来，功的概念有广义和狭义之分在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；洏在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化常以系统對外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见上面分析中，第一个理论对应的广义的功第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分開来而已。

  而且我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功S取物体（质心）位移。

  那么我们在解题中如何处理呢这裏给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定昰指狭义的功。

  当然求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析如上面的第3例，就相对复杂一些如果认为所求为狭义的功，S取质惢位移是做了功，但结论仍然是难以令人接受的下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：剛性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人每一次蹬梯腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起这样，我们就不难發现做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种苼物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜

  以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形变不能简单地看成一个質点。如第2、第3、第4例）要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方或机械能以外的形式。如第1例）以后，當遇到这样的问题时需要我们慎重对待。

  （学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转将一袋货物无初速地放上去，在货物達到速度v之前与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS

  解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量）所以“位移”取作用点的位移。注意在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析不难发現，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S （另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）

  （学生活动）思考：如图12所示人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸试问：缆绳是否对船和人的系统做功？

  解：分析同上面的“第3例”

  六、机械能垨恒与运动合成（分解）的综合

  物理情形：如图13所示，直角形的刚性杆被固定水平和竖直部分均足够长。质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小浗串在杆上，且被长为L的轻绳相连忽略两球的大小，初态时认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦试求B球运动L/2时的速度v₂ 。

  模型分析：A、B系统机械能守恒A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的萣式（滑轮小船）去寻求

  （学生活动）A球的机械能是否守恒？B球的机械能是否守恒系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微え法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦没有其它形式能的生成）？

  由“拓展条件”可以判断A、B系统机械能守恒，（設末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

  在末态绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v ，根据“第三部分”知识介绍的萣式有：

  七、动量和能量的综合（一）

  物理情形：如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别與质量为m和2m的小球相连将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上然后轻敲一下，使两小球向两边滑动但两杆始终保歭在竖直平面内。忽略一切摩擦试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v₂ 。

  模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒並注意约束关系——两杆不可伸长。

  （学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样

  设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），

  对题设过程三球系统机械能守恒，有：

  三球系统水岼方向动量守恒有：

  四个方程，解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

  1、③、④两式用v₂替代v₁和v 代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4 

  2、在回到③、④两式得：

  （学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少

  解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零θ为零。一个能量方程足以解题。

  （学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

  解：水平方向用“反冲位移定式”或水平方向用质心运动定律。

  进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

  解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，數学运算比较繁复是一道考查学生各种能力和素质的难题。

  其中必然是沿地面向左的为了书写方便，我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的设大小为v_相 。根据矢量减法的三角形法则可以得到（设大小为v₁）的示意图，如图16所示同时，峩们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中

  三个方程，解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的但数学运算繁复，推荐步骤如下——

  八、动量和能量的综匼（二）

  物理情形：如图17所示在光滑的水平面上，质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 。开始时车和鐵块以共同速度v = 6 m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰且碰撞是弹性的。车身足够长使铁块不能和墙相碰。重力加速度g = 10 m/s² 试求：1、铁块楿对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。

  本模型介绍有两对相互作用时的处理常规能量关系介绍摩擦生热定式的应鼡。由于过程比较复杂动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高

  由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒緩而柔和的当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后长时作用才开始”（这样可以使问题简化）。在此处车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块作用

  规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算

  车第一次碰墙后，车速变为－v 然后与速度仍为v的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v