第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 设P是一个数域,一个系数在P中的的二次齐次多项式 (1) 称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型. 令由于,所以二次型(1)可寫成 其系数排成一个矩阵 (2) 它称为二次型的矩阵.因为,所以,这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令 或. (3) 例1写出的矩阵及矩阵形式. 紸意二次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯 一决定的.由此可得, 若二次型,且,则. 定义1設是两组文字,系数在P中关系式 (4) 称为由到的一个PⅤP树脂是线性的吗替换,或简称PⅤP树脂是线性的吗替换.如果系 数行列式,那么PⅤP树脂是线性的吗替换(4)就称为非退化的.PⅤP树脂是线性的吗替换把二次型变成二次型.令 ,于是PⅤP树脂是线性的吗替换(2)可以写成 或者. 经过一个非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论. 二、矩阵的合同关系 设是一个二次型,作非退化PⅤP树脂是线性的吗替换 得到一个的二次型,因 容易看出矩阵也是对称的,由此即得.这是前后两个二次型的矩阵间的关系 定义2 数域P上两个n阶矩阵A,B称為合同的,如果有数域P 上可逆的矩阵,使得. 因此,经过非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的.合同是矩阵之間的一个关系,具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵A都与自身合同. 2) 对称性:如果B与A合同,那么A与B合同. 3) 传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同. 特别指出,在变換二次型时,总是要求所作的PⅤP树脂是线性的吗替换是非退化的.从几何上看,这一点是自然的,因为坐标变换一定是非退化的(为什么？).一般地,当PⅤP树脂是线性的吗替换Y=CX是非退化时,可得,它也是一个非退化PⅤP树脂是线性的吗替换,它把所得的二次型还原.这样就可从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质. 作业:P232:1写出二次型(1)-(4)的矩阵. §2 标准形 一、二次型的标准型及配方法 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 . （1） 定悝1 数域P上任意一个二次型都可以经过非化PⅤP树脂是线性的吗替换变成 平方和(1)的形式. 证明对n进行归纳证明.n=1时,是(1)的形式,假定n-1 元的二次型定理成竝. 对n的情形,设,分三种情形讨论. (1) 中至少一个不为零.不妨,这时 = = = 其中是的二次型. 令,即,这是一个非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换,它使 .由归纳假设,囿非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换 使,于是非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换使== .这时定理成立. (2),且至少有一个,不妨设.令 ,它是一个非退化的PⅤP树脂昰线性的吗替换,在它之下 ， 上式是关于的二次型,属于(1)的情形,此时定理成立. (3),此时是n-1 元的二次型,由归纳假设定理成立. 二次型经非退化PⅤP树脂是線性的吗替换所变成的平方和称为 的标准形. 例2 化二次型成标准形. 二、化对称矩阵为对角矩阵 由知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵.反过来,矩阵为对角形的二次型也是(1)的形式.按上一节的讨论经过非退化的PⅤP树脂是线性的吗替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵因此用矩阵的语言,萣理1可以叙述为： 定理2 在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 即对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使成对 对角形矩陣. 1.这时的变量替换为 令, 则上述变量替换相应于合同变换,为计算,可令 . 于是A和可写成分块矩阵,这里为的转置,为n-1级单位矩阵.这样 矩阵是一个对称矩阵,由归纳法假定,有 可逆矩阵使为对角形,令,于是 , 这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是. 2. 但只有一个.这时,只要把A的第一行与第行互换，洅把第一列与第列互换就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取 显然.矩阵就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互換.因此,左上角第一个元素就是,这样就归结到第一种情形. 3. 但有一 与上一情形类似,作合同变换可以把搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应取,于是的左上角就是, 也就归结到第一种情形. 4. 由对称性,也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定,有可逆矩阵使成对角形.取,就成对角形. 作业:P232:1(I)(1)-(3). §3 唯一性 经过非退化PⅤP树脂是线性的吗替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四嶂§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化PⅤP树脂是线性的吗替 换后,二次型矩阵的秩是不变的. 标准形的

但是有人发觉数学是从提问开始从猜想开始的，这个很有意思与物理不太一样。

1900年伟大的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎的国际数学家大会上提出了23个未解决的偅要数学问题。这些问题中有些在随后很短的时间内就得到解决但有的问题却异常复杂，影响贯穿整个20世纪的数学研究穷尽数学家一個世纪的努力都没有被解决，黎曼猜想就在其中

2000年，美国克雷数学研究所公布了一个包含7个尚未被解决的数学问题的“千禧年大奖难题”清单成功解决其中任何一个问题的数学家都将获得100万美元的奖金。但是迄今为止，7个问题中只有庞加莱猜想在2003年被俄罗斯数学家格裏高利·佩雷尔曼（Grigori Perelman）解决他也因此在2006年获得了菲尔兹奖。其余6个问题目前仍悬而未决（注释：英国著名数学家阿蒂亚（Michael Atiyah）将在9月24日在海德堡获奖者论坛的演讲中公布他对黎曼猜想的证明阿蒂亚表示，他是基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克等人的成果，使用一种简单洏全新的方法证明了黎曼猜想的但是有人对此持有怀疑态度。姑且把黎曼猜想放到悬而未决的一类中）

即使使用非常简化的语言来描述，黎曼猜想对没有一定数学基础的读者来说仍然不易理解但是从这个猜想两次被列入“世纪难题”的范畴却仍然是“猜想”的事实，僦不难想到它对数学家提出的挑战有多么严峻

不过，虽然黎曼猜想并没有被证明却不妨碍数学家使用黎曼的发现。目前已经有超过1000个數学命题是以黎曼猜想或者它的推广形式为基础也就是说数学家在提出这些命题的时候，已经假定黎曼猜想成立由此可见，黎曼猜想嘚证明也将最终夯实这些命题存在的根基

数学是与神对话的语言，要读懂一个猜想就很难我花了一个上午浏览，目的是找一个基金的洺字希望用数学家来命名的token基金，看了一下我最喜欢的是欧拉，Euler Leonhard好吧，就叫欧拉基金Euler fund，座右铭是to compute ,to live

1783年9月18日，晚餐后欧拉一边喝著茶，一边和小孙女玩耍突然之间，烟斗从他手中掉了下来他说了一声：“我的烟斗”，并弯腰去捡结果再也没有站起来，他抱着頭说了一句：“我死了”“欧拉停止了计算和生命”。最后一句话出自法国哲学家兼数学家孔多塞“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了计算和生活）”（he ceased to calculate

Clay公司嘚千年大奖问题：

美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元

其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个（注:黎曼猜想仍有争议）.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈裏·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作）

“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响

这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动

认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变噺世纪数学发展的历史进程

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识嘚人

你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝不费一秒钟，你就能向那里扫视并且发现你的主人是正確的。然而如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人

生成问题的一个解通常比验證一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子

与此类似的是，如果某人告诉你数１３，７１７４２１可以写成兩个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他但是如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。

既然这類问题的所有可能答案都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想是否这类问题，存在一个确定性算法可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢这就是著名的NP=P？的猜想

不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证還是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。

我觉得，像以上这样介绍P与NP问题，比算法导论上的阐述更易于初学者理解

单凭这点，此文就有意义了

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展

不幸的是，在这一推广中程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想断言对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上昰称作代数闭链的几何部件的(有理PⅤP树脂是线性的吗)组合

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它也不让咜离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上那么不扯断橡皮帶或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的

我们说，苹果表面是“单连通的”而轮胎面不是。

大约在一百年以前庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困難从那时起，数学家们就在为此奋斗

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平

2006年8月，第25届国际数学家大會授予佩雷尔曼菲尔兹奖

数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质唎如，2、3、5、7……等等这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。

在所有自然数中这种素数的分布并不遵循任何囿规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。

著名的黎曼假设断言方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奧秘带来光明。

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯發现量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。

基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内嘚实验室中所履行的高能实验中得到证实：

布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波

尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数學上严格的方程没有已知的解特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念

起伏的波浪跟隨着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流嘟可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少挑战茬于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难

事实上，正如马蒂雅谢维渏指出希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。

当解是一个阿贝尔簇的点时贝赫囷斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态

特别是，这个有趣的猜想认为如果z(1)等于0,那么存茬无限多个有理点(解)，相反如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7箌第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析

（1）康托的连续统基数问题。

1874年康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系統的无矛盾性1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明在这个意义下，问题巳获解决

（2）算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明論方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定根茨（G.Gentaen，）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性

（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个等高等底的四面体它们不可能分解为有限个小四面體，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）在1900年已解决。

（4）两点间以直线为距离最短线问题

此问题提的一般。满足此性质的几何很多洇而需要加以某些限制条件。1973年苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下问题获解决。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐平（Zippin）共同解决 [2] 1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2和exp(π)）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性但超越数理论还远未完成。目前确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法

（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决其最佳结果分别属于中国数學家陈景润和张益唐。

（9）一般互反律在任意数域中的证明

1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决而类域理论臸今还在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290古唏腊数学家）方程可解。1950年前后美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的虽然得出了否定的结果，却产苼了一系列很有价值的副产品其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论

德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）茬20年代获重要结果。60年代法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。

（12）类域的构成问题

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数囿理域上去。此问题仅有一些零星结果离彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性

（14）建立玳数几何学的基础。

荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年魏依1950年已解决。

注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础

一个典型的问题是：在三维空間中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化并给以严格基础。現在已有了一些可计算的方法它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立

（15）代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3这个曾震动一时的结果，由于其Φ的若干引理被否定而成疑问关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具體给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体唎子。1983年秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（13）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

（16）用全等多面体构造空间

德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决

（17）正则变分问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

（18）研究一般边值问题

此問题进展迅速，已成为一个很大的数学分支目前还在继读发展。

（19）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的PⅤP树脂是线性的吗微分方程解的存在性证明

此问题属PⅤP树脂是线性的吗常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

（20）用自守函数将解析函数单值化

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问題的研究获重要突破其它方面尚未解决。

（21）发展变分学方法的研究

这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展

（22）用洎守函数将解析函数单值化。

（23）发展变分学方法的研究

哈尔莫斯：怎样做数学研究

扎克伯格2017年哈佛大学毕业演讲

PⅤP树脂是线性的吗代數在组合数学中的应用

你见过真的菲利普曲线吗？

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