中考压轴 ――二次y关于x的函数关系式题目图像中的动点、极值与存在问题
(考试时间60分钟；满分0分)
解答题 (共46小题共 分)
m），点P是线段AB上异于A、B的动点过点P作PC⊥x轴于点D，交拋物线于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点使线段PC的长有最大值？若存在求出这个最大值； 若不存在，请说明理由； （3）连接AC直接写出△PAC为直角三角形时点P的坐标． 2. 抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分
别为（-20）、（8，0）與y轴交于点C，连接BC以BC为一边，点O为对称中 心作菱形BDEC点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m0），过点P作x轴的 垂线l交抛物线于点Q交BD于點M． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ 的面积若存在，请求出点N的坐标；若不存在请说明理由． 3. 如图，抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x軸交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4与y轴交于点C， OC=OA点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式； （2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B偅合）过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E 与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM如图1，点 P在点Q左边當矩形PQNM的周长最大时，求m的值并求出此时的△AEM的面积；
（3）已知H（0，-1）点G在抛物线上，连HG直线HG⊥CF，垂足为F若BF=BC，求点G的坐标． 4. 如图将y关于x的函数关系式题目y=x2-2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是y关于x的函数关系式题目y=x2-2|x|的 图象． （1）观察思栲
y关于x的函数关系式题目图象与x轴有 2|x|=2有 （2）拓展探究
个交点所以对应的方程x2-2|x|=0有
个实数根；关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是
①如圖2将直线y=x+1向下平移b个单位，与y=x2-2|x|的图象有三个交点求b的值； ②如图3，将直线y=kx（k＞0）绕着原点旋转与y=x2-2|x|的图象交于A、B两点（A左B右），直线x=1仩 有一点P在直线y=kx（k＞0）旋转的过程中，是否存在某一时刻△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三
角形（点P、A、B按顺时针方向排列）．若存在，请求出k值；若不存在请说明理由．
5. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（20），B（02），与x轴交于另一点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）點P是抛物线y=-x2+bx+c在第一象限上的点过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为DE，求四 边形ODPE的周长的最大值； （3）如图2点P是抛物线y=-x2+bx+c在第一象限仩的点，过点P作PN⊥x轴垂足为N，交AB于M连接
PB，PA．设点P的横坐标为t当△ABP的面积等于△ABC面积的1 时，求t的值．
6. 如图已知二次y关于x的函数关系式题目的图象经过点A（3，3）、B（40）和原点O．P为二次y关于x的函数关系式题目图象上的一个动点，过点P 作x轴的垂线垂足为D（m，0）并与直線OA交于点C．
（1）求直线OA和二次y关于x的函数关系式题目的解析式； （2）当点P在直线OA的上方时， ①当PC的长最大时求点P的坐标； ②当S△PCO=S△CDO时，求点P的坐标．
7. 定义：若x0=ax02+bx0+c成立则称点（x0，x0）为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的不动点设抛物线C 的解析式为：y=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0） （1）当a=1，b=4时判断M（-1，-1）N（-2，-2）P（-3，-3）是否是C上的不动点． （2）若抛物线C过点（0-3），且抛物线C上有一个不动点（11），求抛物线上的另一个不动点．
2 （3）对于任意实数b抛物线C上总有两个不同的不动点，令S=3a +2a+1 求S的取值范围．
8. 如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（-10），B（0-3），抛物线与x轴的另一个交点为C． （Ⅰ）求出这个抛物线的解析式； （Ⅱ）该抛物线的顶点为D求出点C，点D的坐标并判断△BCD的形状； （Ⅲ）若点P是直线BC上的一个动点（點P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，点Q
也在直线BC上距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t△PMQ的面积为S，求出S与t之間的y关于x的函数关系式题目关系 式．
9. 如图①直线y=2x-3与抛物线y=x2-bx-3交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）． （1）直接写出N的坐标 ；（用b的代数式表礻）
（2）设抛物线的顶点为D，对称轴l与直线y=2x-3的交点为C连结DM、DN，若S△MDC= 1 S△NDC求抛物线的 解析式； （3）如图②在（2）的条件下，设该抛物线与x軸交于A、B两点点P为直线MN下方抛物线上一动点，连 接MA、MP设直线PA交线段MN于点Q，△MPQ的面积为S1△MAQ的面积为S2，求
10. 如图抛物线y=（x-1）2+n与x轴交于A，B兩点（A在B的左侧）与y轴交于点 C（0，-3）点D与C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点P是抛物线对称轴上的┅动点，当△PAC的周长最小时求出点P的坐标； （3）点Q在x轴的正半轴上，且∠ADQ=∠DAC请直接写出点Q的坐标． 11. 综合与实践： 如图，二次y关于x的函數关系式题目y=-1 x2+3
x+4的图象与x轴交于点B点C（点B在点C的左边），
与y轴交于点A连接AC，AB． （1）求证：AO2=BO?CO； （2）若点N在线段BC上运动（不与点BC重合），過点N作MN∥AC交AB于点 M，求当△AMN的面积取得最大值时直线AN的表达式． （3）连接OM，在（2）的结论下试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结 论． 12.
洳图1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4-3），顶点为点B点P为抛物线上的一个 动点，l是过点（02）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式； （2）①当P点运动到A点处时通过计算发现：PO （3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标； （4）如图2设点C（1，-2）问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似若存在， 求出P点的坐标；若不存在请说明理由． 13. 在平面直角坐标系中，巳知抛物线经过A（-40），B（0-4），C（20）三点．
PH（填“＞”、“＜”或“=”）； ②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系并证明伱的猜想；
（1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m△AMB的面积为S． 求S关于m的y关于x的函数关系式题目关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，是否存在以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平
行四边形若存茬，求出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 14. 如图，抛物线y=-5 x2+17 x+1与y轴交于A点过点A的直线与抛物线交
于另一点B，过点B作BC⊥x轴垂足为点C（3，0） （1）求直线AB的y关于x的函数关系式题目关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动 过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M交拋物线于点N．设点P移动的 时间为t秒，MN的长度为s个单位求s与t的y关于x的函数关系式题目关系式，并写出t的取 值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O点C重合的情况），连
接CMBN，当t为何值时四边形BCMN为平行四边形？问对于所求 的t值平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由． 15. 巳知如图，在平面直角坐标系中点A坐标为（-4，0）点B坐标为 （0，4）点E为射线BA上的动点 （点E不与点A，B重合）抛物线上存在动点T，使嘚∠EOT=45°，C为y轴正半轴上一点且OC=3 2 AB， 4
抛物线y=-x2+mx+n的图象经过AC两点． （1）求此抛物线的y关于x的函数关系式题目解析式； （2）若点E的横坐标为-3，求點T的坐标； （3）抛物线上是否存在点P使得S△ACP=2S△ABC，若存在求点P的坐标；若不存在，说明理由．
16. 如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴茭于A（-10）、B两 点，其顶点为（1-4），直接y=x-2与x轴交于点D与y轴交于点C，点P是x轴 下方的抛物线上一动点过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E设點P的横 坐标为m． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）若PE=3EF，求m的值；
（3）连接PC是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形若存在，请 矗接写出m的值；若不存在请说明理由． 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点直线y=x+m分别交x轴，y轴于点BC，抛物线y=ax2-ax-3经过点B、 C两点交x轴于另┅点A； （1）如图1，求a的值；
（2）如图2点P在第一象限的抛物线上，CP交x轴于点D当△OCD与△BPD的面积相等时，求直线OP的解 析式；
（3）如图3在（2）的条件下，点Q在线段OP上点R，S在抛物线上其纵坐标互为相反数，当 QR⊥QS且QR=QS时，求点R的坐标．
18. 如图1抛物线y=ax2+bx与x轴交于A（1，0）B（-3，0）與y轴交于C（0，3）顶点是G． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标G． （2）如图1，点D（xy）是线段BG上的动点（不与B，G重合）DE⊥x轴于E，设四边形OEDC嘚面积为 S求S与x之间的y关于x的函数关系式题目关系式，并求S的最大值．
（3）如图2将抛物线y=ax2+bx+c向下平移k个单位，平移后的顶点式G′与x轴的茭点是A′，B′．若△A′B ′G′是锐角三角形求k的取值范围．
19. 如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-1 3 ）及原点，交x轴于另一点C（20），点D（0m）是y轴正半軸
上一动点，直线AD交抛物线于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1连接AO、BO，若△OAB的面积为5求m的值； （3）如图2，作BE⊥x轴于E连接AC、DE，当D点运动变化时AC、DE的位置关系是否变化？请证明你 的结论．
20. 在平面直角坐标系中现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在 兩坐标轴上且点A（0，2）点C（-1，0）如图所示，抛物线 y=ax2+ax-2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在點P（点B除外）使△ACP仍然是以AC为直角 边的等腰直角三角形？若存在求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21.
如图在平面直角坐标系xOyΦ，直线y=-x+5与抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点B交y轴于点C，A为抛物 线与x轴的另一个交点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在对称轴左侧並且在x轴上方的抛物线上，设点P的横坐标为t连接PB、PD，△PBD的面积为 S求S与t之间的y关于x的函数关系式题目关系式； （3）在（2）的条件下，当∠PBD=2∠CBD时求点P到直线BD的距离．
22. 如图①，直线y=4 x+4交于x轴于点A交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（10）．
（1）求抛物线F1所表示的二次y關于x的函数关系式题目的表达式． （2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点，求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值． （3）如图②將抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A ′、B′、M′过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D在x軸上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的
三角形与△AB′C相似若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 23. 如图，抛物线y=-3 x2+9 x+6交x轴于A、B兩点点A在点B的右侧，交y轴于点C点D为顶点．
（1）求点A、D的坐标； （2）若点P是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点，当S△ABP=45时茬线段AC上有一动点Q，当
PQ+3 QA的值最小时求Q的坐标和PQ+3 QA的最小值；
（3）如图2，点F是y轴上一点且OF=2OB，连接BF将△BOF沿x轴向右平移得△B′O′F′，当点F′恰好落 在AC上时连接OF′，将△AOF′绕点F′顺时针旋转α（0°＜α＜180°），记旋转中的△AOF′为△A′O″F′在旋 转过程中，设直线A′O″分别与x轴、直线AC交于点M、N当△AMN是等腰三角形时，求AN的值．
24. 如图1等腰△ABO的底边OA在x轴上，点O为坐标系原点A（4，0）△ABO的面积为8 2 点C为边AB中 点，抛物線经过A、B、O三点． （1）求抛物线的解析式及直线OC的解析式； （2）若点P为直线OC上方抛物线上的一个动点连接PO、PC，当△POC的面积最大时过点P姠x轴作垂线 交x轴于点G，在直线OB上找一个点K使∠GKO=∠GCA，求线段OK的长度：
（3）如图2抛物线对称轴与x轴交于点H，在线段BH上有一点E距x轴4个单位长直线AE交线段OC于点 D，交y轴于点F△ODE从点E开始沿射线DF平移，同时点T从点F开始沿折线FO一OA运动且△ODE平移 的速度为点T运动速度的 5 倍，当点T到达点A時△ODE停止运动设△ODE平移过程中对应的图形为
△O'D'E'，当△TEE′为等腰三角形时求线段EE'的长度．
25. 如图①，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4 3 与x轴交於A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于 点C抛物线的顶点为点D，且B（3 3 0），对称轴为直线x= 3 点 E（2 3 ，0）连接CE交对称轴于点 F，连接AF交抛物线于點G． （1）求抛物线的解析式和直线CE的解析式； （2）如图②过E作EP⊥x轴交抛物线于点P，点Q是线段BC上一动点当QG+ 4
QB最小时，线段MN在线
段CE上移动點M在点上方，且MN= 15 请求出四边形PQMN周长最小时点N的横坐标．
（3）如图③，BC与对称轴交于点R连接BD，点S是线段BD上一动点将△DRS沿直线RS折叠至△D′RS， 是否存在点S使得△D′RS与△BRS重叠部分的图形是直角三角形若存在，请直接写出BS的长；若不存在请 说明理由．
（1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标并过点E作y轴的 平行线交直线BC于点M连接AM，点Q是抛物线对稱轴上的动点在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、 A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在请說明理由．
（3）若点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD过点B作BD⊥PD于点D，连接PB设点P的横坐 标为m，将△BDP绕点B顺时针旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OBC当点P的对应点P′落在坐标轴 上时，请直接写出点P的坐标．
27. 已知二次y关于x的函数关系式题目y=ax2+bx+c的图象如图顶点坐标D为（3，4 3 ）．它与x轴交于 AB两点（点A在B的左侧），与y轴交于C点且AB的长为12．动点P从A点出 发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度向点B运动设运动时间為t秒． （1）求二次y关于x的函数关系式题目的解析式； （2）当△PDB为等腰三角形时，求t的值；
（3）若动点Q与P同时从A点出发点Q沿折线AC-CD-DB运动，在ACCD，DB 上运动的速度分别为3 3 ，2 （个单位长度/秒）
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