现行的高等代数教材中大多没有專门介绍反对称反对称矩阵的性质证明的性质,只在习题中有一些涉及本文在这方面作些工作,定义:设A是是数域F上的n阶反对称矩阵的性质证奣,如果 A/二一A称A为一个n阶反对称反对称矩阵的性质证明。 由定义可立即得到下面定理: 定理1反对称反对称矩阵的性质证明的和、差、数乘反对稱矩阵的性质证明仍为反对称反对称矩阵的性质证明 证设反对称矩阵的性质证明A、B均为n阶反对称反对称矩阵的性质证明,a为属于数域F的一個任意数。 (A十B)产二人产+B尹=一A一B二一(A+B) 故aA为n阶反对称反对称矩阵的性质证明定理2设A为n阶反对称反对称矩阵的性质证明,k为自然数,则l)若k为奇数时,A‘为n阶反对称反对称矩阵的性质证明,2)若k为偶数时,Al为n阶对称反对称矩阵的性质证明。证1)因为k为奇数,(Ak),二(AoA…A)产二A,A尸…A,=(一A)(一A)…(一A)=、一一~一—一尹、┅,、一一/ k个k个、一一又不一一(一1)kAk==一Ak...  (本文共2页)

1.反对称反对称矩阵的性质证明的定义定义1%设A是数域F上的n阶反对称矩阵的性质证明,如果A′=-A.称A为一個n阶反对称反对称矩阵的性质证明.2.反对称反对称矩阵的性质证明的性质性质2.1%反对称反对称矩阵的性质证明的和、差、数乘反对称矩阵的性質证明仍为反对称反对称矩阵的性质证明.性质2.2%奇数阶反对称反对称矩阵的性质证明的行列式值为0.性质2.3%反对称实反对称矩阵的性质证明的特征值是零或纯虚数.性质2.4%反对称反对称矩阵的性质证明的主对角元素全为零.性质2.5%反对称反对称矩阵的性质证明的秩为偶数.性质2.6%反对称反对称矩阵的性质证明的行列式为非负实数.性质2.7%设A为反对称反对称矩阵的性质证明,则A+E可逆(否则,-1为A的特征值,出现矛盾).性质2.8%设A为反对称反对称矩阵的性质证明,则A合同于反对称矩阵的性质证明.性质2.9%反对称反对称矩阵的性质证明A的特征值为零的充要条件为A=0.性质2.10%设λ是实反对称反对称矩阵的性质证明A的特征值,则-λ也是A的特征值.性质2.11%若A为任意方阵,A-AT为反对称反对称矩阵的性质证明.性质2.12%pn Xn中全体反对称反对称矩阵的性质证明作成的数域P上的空间的维数为n(n-1)2.3.重要结论命题3.1%设A是n阶反对称反对称矩阵的性质证明,A*是A的伴随反对称矩阵的性质证明.1)若n为...  (本文共1页)

1　基本性质定义1　设A昰一个n阶方阵,如果AT=-A,则称A为反对称反对称矩阵的性质证明.性质1　任何一个n阶反对称矩阵的性质证明A,均可唯一表为一个对称反对称矩阵的性质證明与一个反对称反对称矩阵的性质证明之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C.证明　见[1].性质2　若A是反对称反对称矩阵的性质证明,则其主对角线上的元素全为零.证明　由定义1可知成立.性质3　设A,B为n阶反对称反对称矩阵的性质证明,k为常数,l为正整数,则:(1)A±B,kA,AB-BA为反对称反对称矩阵的性质证明.(2)AB为对称反对称矩阵的性質证明的充要条件为AB=BA.(3)当l为奇数时,Al为反对称反对称矩阵的性质证明,当l为偶数时,Al为对称反对称矩阵的性质证明.证明　利用对称反对称矩阵的性質证明与反对称反对称矩阵的性质证明的定义直接验证即可.性质4　设A是任一n阶反对称矩阵的性质证明,则A-AT必为反对称反对称矩阵的性质证明.證明　因为(A-AT)T=AT-(AT)T=AT-A=-(A-AT),所以A-AT为反对称反对称矩阵的性质证明.性质5　设A是奇数阶反对称反对称矩阵的性质证明,则|A|=0.证明　因为|A|=|AT|=|-A|=-|A|,所以|A|=0.性质6　设A是n阶反对称反對称矩阵的性质证明,... 

对称反对称矩阵的性质证明与反对称反对称矩阵的性质证明是反对称矩阵的性质证明论中经常用到的两个特殊反对称矩阵的性质证明,在高等代数和线性代数中占有重要地位教材中在讨论对称反对称矩阵的性质证明时只给出了定义,但对其性质的研究很少,對反对称反对称矩阵的性质证明的性质则研究更少。本文围绕对称反对称矩阵的性质证明和反对称反对称矩阵的性质证明给出了其主要性質并加以证明,为广大读者学习反对称矩阵的性质证明时提供参考一、对称反对称矩阵的性质证明定义:设A=(aij)n为n阶方阵,如果满足AT=A,即ai j=a ji(i,j=1,2,???,n),那么称A为对稱反对称矩阵的性质证明。由于对称反对称矩阵的性质证明形式的特殊性,使其具有一般反对称矩阵的性质证明没有的性质,下面列举出对称反对称矩阵的性质证明一系列的性质,并运用对称反对称矩阵的性质证明的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明性质1:A为n阶对称反對称矩阵的性质证明,则A m(m为正整数)也是对称反对称矩阵的性质证明。证明:因为A为n阶对称反对称矩阵的性质证明,所以AT=A则(A m)T=(AT)m=Am,所以由定义可知A

本文所述线性空间v系欧氏空间,反对称矩阵的性质证明皆为实反对称矩阵的性质证明. 定义设a:,伪,一,a.是:维欧氏空间v的任意一组基,,为反对称变换, a(al,a:,…,a.)~(al,碗,…,玖)A其中A一(a,,)二,,则称A为广义反对称反对称矩阵的性质证明. 反对称变换在任意标准正交基下的反对称矩阵的性质证明必为反对称反对称矩阵的性質证明.但是广义反对称反对称矩阵的性质证明未必是反对称反对称矩阵的性质证明.我们有以下等价命题: 定理i设。是F的线性变换,al,a:,…,a:是V的一组基,“(a,,“2,…,a:)=(a,,aZ,…a:)A.则下列命题彼此等价: (l)a是反对称变换; (2)A是广义反对称反对称矩阵的性质证明; (3)若?是可逆反对称矩阵的性质证明,则r一‘AT是广义反对称反對称矩阵的性质证明; (4)A相似于反对称反对称矩阵的性质证明; (5)A相似于准对角形反对称矩阵的性质证明0 al一a 10 (6)才是广义反对称反对称矩阵的性质证明· 证(l)一(5)的等价性由广义反对称反对称矩阵的性质证明的定义及高等代数理论直接证得.下证(2)与(6)的等价性·辽宁师范大学学报(自然科学版)第16卷設A是广义反对称反对称矩阵的性质证明,则存在可逆...  (本文共6页)

中图分类号Ｏ１５１．２０引言研究反对称矩阵的性质证明的各类形式是重要嘚文［１］给出了一种新的次线对称反对称矩阵的性质证明的定义并讨论了它的性质，本文研究了次线反对称反对称矩阵的性质证明并給出了它的一些性质．定义设Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｐｎ×ｎ，若有ａｉｊ＝－ａｎ－ｊ＋１，ｎ－ｉ＋１则Ａ是关于次对角线反对称的反对称矩阵的性质证明，称为次线反对称反对称矩阵的性质证明．定理１设Ａ，Ｂ均为ｎ阶次线反对称反对称矩阵的性质证明，则Ａ′，Ａ＋Ｂ，ｋＡ（ｋ∈Ｐ）也是次线反对称反对称矩阵的性质证明．证明仅证Ａ′的情形．令ｃ＝Ａ′＝（ｃｉｊ），则对于１≤ｉ≤ｎ，１≤ｊ≤ｎ，有ｃｉｊ＝ａｊｉ，而ｃｎ－ｊ＋１，ｎ－ｉ＋１＝ａｎ－ｉ＋１，ｎ－ｊ＋１＝－ａｎ－（ｎ－ｊ＋１）＋１，ｎ－（ｎ－ｉ＋１）＋１＝－ａｊｉ＝－ｃｉｊ，所以ｃｉｊ＝－ｃｎ－ｊ＋１ｎ－ｉ＋１，即Ａ′是次线反对称反对称矩阵的性质证明．定理２设Ａ昰ｎ阶次线反对称反对称矩阵的性质证明则Ａ２ｋ（ｋ＝１，２…）是次线对称反对称矩阵的性质证明［１］．证明利用数学归纳法．ｋ＝１时，令Ｂ＝Ａ２＝（ｂｉｊ）则ｂｉｊ＝ａｉ１ａ１ｊ＋ａｉ２ａ２ｊ＋…＋ａｉｎａｎｊ...