该定理可以根据实数的完整性来證明：

我们将证明第一种情况f(a)<u<f(b)，第二种情况类似

让S是[a，b]中的所有x的集合让f(x)<u。S是非空的因为a是S的元素并且b是S的边界。 

因此通过完整性，存在上限c=supS

也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数我们称f(c)<u。存在 ε>0

介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证

介值定理是说，对于闭区间[ab]上的连续函数f（x），在最大值M与最小值m之间的任意實数ζ，总可以在该函数定义域内找到一个点c使得f（c）=ζ。

若M=m，命题显然成立；

若m＜M由于闭区间上的连续函数f（x）比有最大（小）值，洇此设f（x（1））=mf（x（2））=M，并且a≤x（1）＜x（2）≤b

若f（x（1））=ζ或者f（x（2））=ζ，则取c=x（1）或者x（2）即可,若m＜ζ＜M，
作函数g（x）=f（x）-ζ，从而g（x（1））=f（x（1））-ζ＜0,g（x（2））=f（x（2））-ζ＞0这样在区间（x（1）,x（2））内存在一点c，使得g（c）=f（c）-ζ=0,即f（c）=ζ。

需要说明的就是仩述证明中用到如下的定理：若函数f（x）在区间[ab]上连续，并且f（a）f（b）＜0,则在区间（ab）内存在一点c，满足f（c）=0