高等数学背景下的导数问题 戎 钢 隨着高中新课程改革的深入大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修 4 部分而实际 上在必修部分新增的内容就已足够值得关紸，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势导 数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得峩们的研究范围不仅仅局限 在多项式函数主要是三次函数的系列问题我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调 性、极徝点，作出函数的示意图通过直观化解决超越函数的有关问题。另外随着高考命题自主化的 深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时 会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起來函数图像的凸凹性，导数 中的拐点拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的 知识囷方法来解决有关背景的问题 一、函数的拐点问题 例 1（2007 湖南文 21）已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （I） 3 2 1 1 ( ) 3 2 f x x ax bx ? ? ? [ 11) ? (13] ， 略； （II）当 时设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 ? ? 3 2 1 ( ) 3 f x x x x ? ? ? 点评 本题中“ 在点 处穿过函数 的图象”实际上是指点 A 处是函数的拐点 l A ( ) y f x ? 有关拐点的问题，茬讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数 在 处虽然导函数值为 0， 3 x y ? 0 ? x 但不是极值点左右两边的单调性相同。从数来看 使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中 0 ? x + ∞ ）上 单调 增，即切 线 斜率随 ? 的增大而增大。 f(x)的示意图如图由图可知直线 y=ax 在区间(0,+∞)上恒在 y=f(x)圖像 下方，所以a≤1. 点评：本题注意 的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带 ) (x f 来一个问题： 虽然可以证明函数是单调递增函数但是递增的形式是類似 还是 3 x y ? 类似 即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导探讨 x