性质1：原函数的定义域、值域分別是反函数的值域、定义域

在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助

唎1.函数的反函数是(

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解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解由函数解析式可知当时，;时由性质1，可知原函数的反函数在时，则根式前面要有负号故可排除A、B两项，再比较C、D易得答案为C。

例2.若函数为函数的反函数则的值域为________。

解析：常规方法是先求出的反函数再求得的值域为。如利用性质1的值域即的定义域，可得的值域为

性質2：若是函数的反函数，则有

从整个函数图象来考虑，是指与其反函数的图象关于直线对称;从图象上的点来说是指若原函数过点，则其反函数必过点反函数中的这条性质，别看貌不惊人在解题中却有着广泛的应用。

例3.函数的反函数的图象与y轴交于点P(02)，如下图所示则方程在[1，4]上的根是(

解析：利用互为反函数的图象关于直线对称的图象与y轴交于点P(0，2)可得原函数的图象与x轴交于点(2，0)即，所以的根为应选C。

例4.设函数的图象关于点(12)对称，且存在反函数=0，则=_________

的图象过点(4，0)而点(4，0)关于点(12)的对称点为(-2，4)由题意知点(-2，4)也在函數

性质3：单调函数一定存在反函数且反函数与原函数的单调性一致。

在定义域上的单调函数一定存在反函数但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数如函数有反函数，但其在定义域上不是单调函数

例5.函数在区间上存在反函数的充要条件是(

解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数而已知函数在区间上存在反函數，所以或者即或，应选C

例6.已知是定义在R上的单调递增函数，且有试证明。

证明：(反证法)假设存在使得。

∵是定义在R上的单调递增函数

∴由性质3知，也是R上的单调递增函数

若，则即，矛盾同理，当时也可推出矛盾，故假设不成立则。

性质4：若是的反函數则的反函数为，的反函数为

证明：假设的反函数为，若则，即得。

例7.设，函数的图象与的图象关于直线对称求的值。

解析：∵函数的图象与的图象关于直线对称

根据性质4，的反函数为

例8.设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和的图象关于直线对称若，求的值

解析：由已知条件可知与互为反函数，根據性质4的反函数为，可得