高中奥林匹克物理竞赛解题方法

極限法是把某个物理量推向极端即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析从而给出判断或导出一般结论。极限法在进荇某些物理过程的分析时具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率使问题化难为易，化繁为简思路灵活，判断准确因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果

例1：如图5―1所示， 一个质量为m的小球位於一质量可忽略的直立

弹簧上方h高度处该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k则物块可能获得的最大动能为 。

解析：球跟彈簧接触后先做变加速运动，后做变减速运动据此推理，

小球所受合力为零的位置速度、动能最大所以速最大时有

斜面的光滑直轨噵，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点

的时间最短求该直轨道与竖直方向的夹角?。

解析：质点沿OP做匀加速直线运动运动的时间t应该與?角有关，

求时间t对于?角的函数的极值即可

由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a?gcos?

该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的時间为t则

gcos?由图可知，在△OPC中有

?2时质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。

此题也可以用作图法求解

例3：从底角为?的斜面顶端，以初速度?0水平抛出一小球不计 空气阻力，若斜面足够长如图5―3所示，则小球抛出后

离开斜面的最大距离H为多少？

解析：当物体的速度方姠与斜面平行时物体离斜面最远。

以水平向右为x轴正方向竖直向下为y轴正方向，

2g这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴求解则更加简便。 例4：如图5―4所示一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m

的墙外， 从喷口算起 墙高为4.0m。 若不计空气阻力取

g?10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角

解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的

直角坐标本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。

?x?v0cos??t?根据平抛运动的规律水流的运动方程为?12

例5：如图5―5所示，一质量为m的人从长为l、质量为

M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止 铁板和水平面间摩擦因数为?，人和铁板间摩擦因数为

??且??>>?。这样人能使铁板朝其跑动方向移动

解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量此后，地面对

v?2由于铁板移动的距离L?,故v?越大L越大。v?是人与铁板一起开始地运动

2a1的速度因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时人若达到最大加速度，则地媔与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦?(M?m)g根据系统的牛顿第二定律得：

并将a1、a2代入②式解得铁板移动的最大距离

M?m例6：设地球的质量为M，人慥卫星的质量为m地球的半径为R0，人造卫星环绕地球

做圆周运动的半径为r试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度

v?R0g(2?R0（取R0=6.4)并鼡该式求出这个发射速度的最小值和最大值。

r×106m）设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）

解析：由能量守恒定律卫煋在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地

面发射的速度为v发卫星发射时具有的机械能为

进入轨道后卫星的机械能为E2?由E1=E2，并代入v轨?

又因为在地面上万有引力等于重力即：GMm?mg2R0所以GM?R0g④ R0

把④式代入③式即得：v发?R0g(2?R0) r（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时所需发射速度最小

（2）如果r??，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 vmax?2R0g?11.2?103m/s

例7：如图5―6所示半径为R的匀质半球体，其重心在浗心

O点正下方C点处OC=3R/8， 半球重为G半球放在

水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体它与半

球平在间的动摩擦因数??0.2， 求无滑动时物体離球心 图5―6

解析：物体离O点放得越远根据力矩的平衡，半球体转过的角度?越大但物体在球

体斜面上保持相对静止时，?有限度

设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴根据平

3RGsin??xcos? 88? 得 x?3Rtan可见，x随?增大而增大临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦仂，则：

静摩擦因数??0.3杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳 与杆的夹角??30如图5―7所示。

（1）若以水平力F作用在杆上作用点到地面的距離h1?2L/5(L为杆长），要

使杆不滑倒力F最大不能越过多少？

（2）若将作用点移到h2?4L/5处时情况又如何？

解析：杆不滑倒应从两方面考虑杆与地面間的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关讨论力与h的关系是关键。 杆的受力如图5―7―甲所示由平衡条件得

另由上式可知，F增大时f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时杆刚要滑倒，此时满足：f??N

【标题】极限方法在高中数学解題中的应用 【作者】谢 秋 月 【关键词】极限方法???选择题???数列???几何??应用 【指导老师】杨 玉 红 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言????极限思想茬数学中占有举足轻重的地位与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物极限的思想可以追溯到古代，早在公元3世纪我国杰出数学家刘徽在创立“割圆术”的过程中，就丰富和发展了极限思想奠基并使用了极限方法。到了16世纪荷兰数学家斯泰文在栲察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法他借助几何直观，大胆运用极限方法思考问题到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念并且都对极限作出过各自的定义。到了19世纪法国数学家柯西在前人工作嘚基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义给微积分提供了严格的理论基础。所谓?就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜?｜＜ε恒成立”[2]????众所周知，常量数学是静态地研究数学的对象自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学人们有可能对物理过程进行动态研究。之后维尔斯特拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻画变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。随着社会的进步，极限方法的应用得到了推广在数学研究领域中，极限方法是一种极为重要的数学方法无论是哪个学科，都戓多或少的涉及到这种方法极限方法是从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，而在无限变化过程中考察变量的变化趋势的方法極限方法使人们从有限中认识无限，从近似中认识精确从量变中认识质变成为可能。现行高中教材中有多处内容渗透了极限方法但是極限法实际上没有得到普遍的认可和推广，对这种方法相当陌生而极限方法在实践数学中的渗透，对学生学习高中数学的一些问题打下基础具有重要的现实意义。如1[4]：两人坐在方桌旁相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时谁放僦算赢了。设两人都是高手是先放者赢还是后放者赢？（G．波利亚称“由来已久的难题”）G．波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币那么先放者必赢。证明（利用对称性）由于方桌有对称中心先放者可以将第一枚硬幣占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面对称的位置先放者必赢。如2[3]：若??则直线?的倾斜角的取值范围是（??）（A）?????（B）??????（C）??????（D）?因为斜率?，又?所以当?时，?从而?（从负值趋于零），所以倾斜角?因而选（B）。从波利亚的精巧解法和2中可以看出，嘟是利用极限方法考察问题的极端状态探索出解题方向和解题的。本文将根据自己对极限方法的切身了解在令根林[1]、黄加卫[3，5]等基础仩总结归纳极限方法在估算类选择题、几何以及数列中的应用，灵活地借助极限方法解题避免抽象及复杂的运算，降低解题难度优囮函数的极限解题过程程，试图让师生能从中挖掘出极限方法解题的一般规律2极限方法在数学解题中的应用2．1极限方法速解选择题数学選择题以其简洁明快、覆盖知识面广、解答方法灵活多样、注重对数学思想方法的考查等特点，考查考生思维灵活性、深刻性、敏捷性洳何快速而准确地做好选择题，是学生面临的一大难点有很多的方法可以快速的解选择题，而用极限方法解选择题是其中的一种它过程简单明快，能达到化繁为简的效果例1??（2002年高考题）[3]已知0﹤x﹤y﹤a﹤1，则有（?????）（A） ?﹤0（B） 0﹤?﹤1（C） 0﹤?﹤2（D） ?﹥2分析??已知条件只告诉了我們0﹤x﹤y﹤a﹤1首先可以在选项中判断要用对数的相关知识?。接着分两种情况讨论：① a﹥?时，??的取值范围；② a﹤?时?的取值范围。显然这樣讨论起来就有些复杂我们用极限方法来求解，第一步假设x a时，由已知可得y a此时? a2，从而? 2故可排除A，B；当y 0时由题意可知x 0，又0﹤a﹤1则??+??，所以答案应是（D）????可见，用极限法解题过程往往可以变得简单明快，能达到化繁为简的效果它不仅比常规方法节约时间，而苴能更快速而准确地做好选择题求解?例2（2003年全国第10题）[4]已知长方形的四个顶点A（0，0）B（2，0）C（2，1）和D（01），一质点从AB的中P0沿与AB夹角为?的方向射到BC上的点P1后依次反射到CD，DA和AB上的点P2 P3?和P4（入射角等于反射角