数学常数e的这个连分数是常数吗怎么证明

点击联系发帖人 时间：2018-09-30 23:35

分数是常数吗

撰文 | 杨枭李林赵亚杰责编 | 陈晓雪● ● ●

奖牌丢了！8月1日上午，巴西，里约热内卢。Caucher Birkar教授早上获得菲尔兹奖，半小…

晚上开车和女儿一起回家，路上她突然问：“爸，开方里面可以是负数吗？”（插注：本文说的开方是指算术方根，为强调核心逻辑，我们保持这种粗糙的定义）“那要看开几次方了”“噢，我说错了，开平方的时候可以是负数吗？”“在实数的范围内不可以”“除了实…

「真诚赞赏，手留余香」

更新一点东西吧：除了对解的估计不足，很多朋友在暴力求解时往往还会忽略一个问题——精度。程序自带的Double类型精度是有限的，面对小数部分极长的数字（bigdecimal）时，往往会引入错误的解，或者漏掉正确的解。比如a=688,b=8600,c=1599，各位可以用计算…

为每个关注我的人藏一句话

他可以一节课领悟五子棋。首先大部分真正了解过五子棋的人会知道，和大众茶余饭后乃至课间撩妹下的五子棋不同。真正的现行五子棋规则是相当复杂的。为了限制先手（黑方）的巨大优势，五子棋蓬勃发展之地——日本先后推出禁手（禁止先手方的某些胜利方式）…

我不求深刻，但求简单。

我不是针对回答的各位…… 我要讲一个智商高到离奇的天才…… 我第一次读到他的故事时，心理活动是这样的：刚开始，这人果然是个天才！接着，这人是个天才中的天才啊！！！最后，这人特么有超能力吧！！！？？？接下来，我们来看看这个哥们的智商有多么…

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e与圆周率π的无穷乘积的关系式子很多。

在数学证明与科研中的边角料一大堆。

就这样没有悬赏的问答有些麻烦。

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圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数称作圆周率。1652年，英格兰数学家威廉·奥特雷德(Willianm Oughtred，)以π/δ表示圆周率，其中π取自希腊语单词“περιφ?ρεια”（圆周之意）的首字母，δ是“δι?μετρο?”（直径之意）的首字母，如果选用直径为1，即δ＝1，则π/δ＝π。

1706年，英国人威廉·琼斯（Willianm Jones，）在他的《最新数学导论》中用字母π来表示数值3.14159……，但是他并非在圆周率意义上使用这一术语。随后牛顿、哥德巴赫、欧拉等人也分别在微积分运算与一些级数求和表达式中使用了π这个符号。

由于通过级数计算可得到π的数值为3.1415926……，而该值又与圆周率相同，因而后来的数学家就逐渐将π这个记号当做圆周率的默认符号固定下来并沿习至今。

中国古代最早算书《周髀算经》(公元前2世纪)中记载“圆径一而周三”，指出圆的直径与圆的周长之比为1:3，这是古算学计算圆周率的近似比，今称其为“古率”。汉时王莽改制，命令刘歆(前50-23年)制定度量的新标准，根据今人推算，刘歆所用的圆周率是3.1547。

另外，根据《九章算术·少广章》记载张衡将（即3.1622）取为圆周率值。三国末期，数学家刘徽（约225-295年），在整理《九章算术》一书时提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体，而无所失矣”的割圆术方法（《九章算术·方天》），他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加至一百九十二边形求得周长与直径的比值，得到了被称为“徽率”的157/50，其近似值3.14。他还特别强调“圆率犹为微少也”，意思是该值只是π的一个不足近似值。

南北朝时期杰出的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算达到了前所未有的精确度，《隋书·律历志》记载他算出的圆周率值在3.1415926到3.1415927之间。在世界数学史上计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之可谓是第一人。祖冲之得到两个π的分数形式的近似值，其中“约率”是22/7，“密率”是335/113（1912年日本数学家三上义夫提议将“密率”称为“祖率”）。

值得一提的是，由于记载住祖冲之和祖暅父子的数学研究成果的著作《缀术》“学官莫能究其深奥，是故废而不理”（《隋书·律历志》），故在北宋之时就已亡佚。究竟祖冲之是如何计算圆周率精确到小数点后七位的？人们只能对此进行种种猜测。

一般认为他是根据刘徽割圆术方法通过圆内接正12288和外接24576边形，才能够得到精确小数点后七位这样的值。然则这种方法的计算量非常之大，仅开方就需要进行至少23次，且需要对16位有效数字进行开方，这在以算筹为计算工具的时代其困难是可想而知的，可能需要约需耗费几个月甚至几年的时间。

更令人困惑的是祖冲之如何获得密率呢？得到密率这一结果是很不简单的事情，它与π的近似程度很好，但形式上却极其简单优美，只用到了数字1、3、5，数学史家梁宗巨验证了分母小于16604的所有分数中没有比密率更接近π的分数。那么祖冲之究竟是用何方法将圆周率从近似小数化为分数呢？钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中认为祖冲之采用了南朝时天文学家何承天首创的“调日法”（又称“加权加成法”）。

他设想了祖冲之求密率的过程为：分别以徽率157／50和约率22／7为母近似值，然后计算加成权数为9，于是(157+22×9)/(50+7×9)=355/113，如此便一举得到密率，钱宗琮解释道：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。”

另一种推测是使用连分数法，科技史家李约瑟（Joseph Needham，）就赞同此看法，他说：“‘密率’的分数是一个连分数逼近数，因此是一个非凡的成就。”

由于东汉时成书的《九章算术》中已记载了求二自然数的最大公约数的“更相减损术”，所以有可能祖冲之在求得“盈数”3.1415927和“朒数”3.1415926之后，便利用这一方法将3.表示成连分数，依次得到几个渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650……，最后取精度高而分子分母都较小的355／113作为密率。

总的说来，中国古代圆周率计算曾经有着辉煌的成就，特别是刘徽和祖冲之的工作是很突出的。但是公元5世纪之后就长期停滞不前了，其重要原因在于中国古代数学的方法是以解决实际问题为主要目的，在精确度足够用时就停止了对它的更深入探索。另外，中国古代算学运用算筹和天干地支记数以及没有创造出微积分理论，也影响到对圆周率的计算技巧在方法上实现重大突破。

（1）西方古代关于π值的计算

通过保留至今的石匾、纸草书等可以发现，早在古埃及、古巴比伦和古印度时期人们就已经知道圆周率，并分别得到了关于圆周率的一些不同的数值。到了古希腊时期，阿基米德(Archimedes，前287-前212年)首次不再依赖直接测量，而是通过数学运算过程来求圆周率值。

在《圆的度量》一书中，他采用迭代算法和两侧数值逼近方法，利用圆内接和外切正多边形分别取得上、下界来确定π的近似值，即圆周长与圆直径之比小于3+(1/7)而大于3+(10/71)。公元150年左右，天文学家托勒密(Clandius Ptolemaeus，约90-168年)得到π值约为3.1416，取得了自阿基米德以来古希腊人的最大进步。

17世纪以前，各国对圆周率的研究工作仍限于类似阿基米德的“割圆术”法来进行。大约1150年，印度数学家婆什迦罗第二（Bhlskara，）计算出π=.1416。1427年伊朗天文学家、数学家阿尔·卡西(Al—Kashi，约年)写作《圆周论》，计算了3×228即边内接与外切正多边形的周长，计算到小数点后16位，终于打破了祖冲之保持近千年记录。

1596年荷兰数学家卢道夫（Ludolph，）将新的十进制与阿基米德方法结合起来，不从正六边形而从正方形开始边数翻番，一直推导出了有262条边的正多边形，把π值推到第35位。为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑刻上：3.这个数，此值也被称为“卢道夫数”。

而这块墓碑也标志着π研究的传统数学阶段的结束，因为古典方法已被数学家们运用到了极致，要想在π值精确性上做出更大推进，必须另辟途径，以求获得理论和方法上重大创新。

（2）西方近代π值的计算方法和成就

16世纪后陆续诞生了众多近代数学分支，这也为计算π值提供了新的强大数学工具，特别是三角级数论、微积分、概率论和计算机这些先进的数学理论、方法和手段的出现，使得许多初等数学时期束手无策的问题能够迎刃而解，π值计算也随之进入了历史新阶段。

1）利用级数表达式求值

韦达利用这个公式计算π值到第九位。

这一不寻常的公式是π的最早一个分析表达式，它摆脱“割圆术”求多边形周长的繁复性，而是利用无穷级数或无穷连乘积来计算π。更巧妙的是，它仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值，式子优美漂亮令人赞叹不已，而且通过该公式π值的精度问题已转化为2的开方值的精确程度。

1673年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz，）利用微积分反正切函数的马克劳林级数：arctanx=x+x3/3+x5/5+x7/7……，其中(-1≤x≤1)得到π/4=1-1/3+1/5-1/7+……，这样π值就转变为求级数和的问题。

以上例子所应用到的利用三角级数求π值的方法被越来越多的数学家所掌握，先后出现了各种形式的π的级数公式，其中也包括我国清代著名数学家项名达、李善兰。[7]印度英年早逝的天才数学家拉马努金（S.Ramanujan，）生前曾经写下了许多奇妙绝伦的π值相关公式，为后人惊叹不已。

显然，利用无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式来求π值的方法与鲁道夫耗费大半生时间才得到35位小数的传统方法有着天壤之别。1844年，达塞就利用公式π/4=arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8)算到200位小数。

1948年，英国的弗格森和美国的伦奇二人共同得到了808位小数的π值，创造了人工计算圆周率的最高记录。

1777年法国数学家蒲丰（C.Buffon，）出版了《或然性算术实验》，在书中他提出了一个与π值有关的实验。这个实验的操作方法如下：首先准备一枚（或多枚）粗细均匀、长度为L的细针，再在一张白纸上画出一组间距均为d的平行线（L＜d），然后将小针任意投掷于白纸上。

这样反复多次之后，数出针与任意平行线相交的次数，就可以得到一个近似π的数值。之所以结果如此巧妙，在于蒲丰通过证明得到了针与任意平行线相交的概率为p = 2L/πd，利用这一公式就可以通过具体实验的结果反过来求得π值，例如在某一次实验中，蒲丰选取L= d/2，然后共投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样代入公式得到π值为，约为3.142。

上面这个投针实验叫“蒲丰实验”，因其过程新颖奇特而令人叫绝，成为近世“统计试验法”的滥觞。该实验的重要意义倒不在于求得比级数方法更为精确的π值，而在于它开创了运用不确定的随机过程处理具体参数（或估计量）的方法，后来这一方法在20世纪40年代由“电子计算机之父”冯·诺伊曼（John von Neumann，）等人发展为“蒙特卡罗方法”（MonteCarlo method），如今已在原子能、物理、化学、生态学以及经济行为等领域中获得广泛应用。

3）利用几何计数法求值

Gauss，）的极大兴趣，高斯曾别出心裁地设计了一种利用平面正方形点格方法来求π值的方法。在平面直角坐标平面内，以原点为圆心作出半径为r的一个圆，记包含在圆内的纵坐标和横坐标都是整数坐标的点的数目为f（r），这样f（r）与圆面积之差不超过与圆周相交的正方形面积的总和A（r），即∣f（r）－πr2∣≤A（r）。

可以看出，当不等式两边同除以r2时，不等式右边趋于0，从而f（r）/r2=π，事实上经计算，当r＝200时，f（r）/r2＝3.140725 ，当r＝300时，f（r）/r2＝3.14107。这种方法巧妙之处在于，将π值的计算转化为数格点数，从而可以在经验上可以求π值，这样一来，就把一个理论问题转化为可以实际操作的计数问题。由于高斯所采用的方法独特构思和演算巧妙，因此数学史上常常将其作为与π值求取有关的一种经典方法。

4）利用计算机程序求值

上个世纪二战之后，世界第一台计算机ENIAC制造成功。电脑的出现导致了计算方面的根本革命，1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。当计算机及其软件发展不断更新换代，π值记录也一次次地被打破刷新，现摘取其中重要的几次成就列举如下：

1794年法国数学家勒让德还证明了π2也是无理数。1882年，德国数学家林德曼(F.Lindemann，)又证明了π是超越数，即π不是任何有理系数方程的根（若一个数为有理系数的多项式方程(如x2-2=0)的根，不管其为实数还是复数，则这个数为代数数，否则就是超越数），这也顺带解决了“化圆为方”问题不可能在欧几里德工具框架内求解。1933年，苏联数学家格尔丰德证明了eπ的超越性，但关于πe，πe、π＋e的无理性和超越性至今还尚未解决。

更重要的是，尽管今天人们习惯用字母π来代表圆周率，但是在18世纪之初，威廉·琼斯、欧拉、牛顿等人开始尝试使用符号π时并不是在圆周率的意义上使用这个术语，他们运用各种数学方法也不是单纯地为了求取圆周率值，事实上π的数学性质绝非圆周率这么简单。首先，令人奇怪的是，π为什么会与自然数数列有如此“暖昧巧合”的关系？例如，1-1/3+1/5-1/7+……=π/4，或者

在数论中，1904年R·查特获得一个令人惊奇地发现，两个随意写出的数中互素的概率为6/π2，一个任意整数平均可用π/4个方法写成两个完全数之和。不仅如此，π还出现在各种重要的数学、物理公式之中，1740年欧拉给出了一个微分方程中应用广泛的表达式：e^iπ＋1＝0，在这个被称为欧拉恒等式的公式中将数学中五个重要的数π、e、i、1、0令人惊奇地联系在一起，与欧拉同时代的数学家朗斯基(Wronski)也得到一个绝妙的式子：π＝(400/i)[(1+i)1/∞-(1-i) 1/∞]，其中π、i、∞一道构成简单漂亮的等式。

这些极为重要的公式中都有π这个不可或缺的身影，以至当代数学大师家陈省身教授不禁发出感慨：“π这个数渗透了整个数学！”显然π如此丰富多样的求取方法、表达形式和应用领域，其意义和内涵远远超越了圆周率这一层面。然而遗憾的是，至今人们对π的理解还只是知其然而不知其所以然，更多地停留在唯象层面。

至于π的数性中包含了多少意义，为什么如此多自然事物和社会现象与π密切相关，π是否与自然对数的底数e或者斐波纳契常数一样，其中蕴含着自然界和宇宙的重要秘密，这些困惑都还远未解决。

古往今来，π的计算经历了数千年的历史，从古代直接测量到割圆术再到近代的级数法和更现代的计算机迭代运算法，π值的精确度也从最初的几位到如今的数百亿位，它的每一次重大进步，都促进着数学理论、方法和算法的革新，如利用割圆术求π值中就包含极限思想和微积分萌芽。

π值的各种现代算法则与无穷级数数列或者拉马努金的模方程理论有着密切的联系，其中还涉及到解析数论、特殊函数论特别是椭圆函数理论等较深奥的数学分支。当π的计算历史进入电子计算机时期时，不仅是计算工具的重大改进，更是计算方法上的巨大飞跃，高精度π值的计算也必然会促进多方面的计算机算法发展。

与此同时，人们对π的性质和意义迄今为止还只是管窥一斑，π中所意蕴的数性、公式、理论和方法还会不断地驱使人们对无理数、连分数、超越数、常态数和宇宙常数的深入研究，以及更进一步推动自然和社会的相关问题的探索。毋庸置疑，π的计算和数性问题必将是极其重要而又充满挑战的数学和哲学研究课题。(文：wsj)

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