等价无穷小的等价代换代换时能不能只替换分子，如图，但是又出现了矛盾

点击联系发帖人 时间：2018-09-28 07:54

无穷小的等价代换

我觉得应该是以下原因不能用泰勒公式。

你觉得可以用等价无穷小替换是因为当x趋近于0的时候x^2sin(1/x)趋近于0。

但是请你注意一下同济课本里面Weierstrass给出的极限定义的ε-δ语言里面的第三句：0<|x-x0|<δ。这一句明确解释了“趋近”这个概念。其中|x-x0|>0说的就是在趋近过程中x不能等于x0。

但实际上，在x趋近于0的过程中，当x=1/Pi的时候x^2sin(1/x)就可以等于0啦。更一般的，当x=1/(N*Pi)，N为正整数，的时候该式都等于0。这就违反了极限的定义了。

所以我觉得不能用等价无穷小。至于该怎么做我还没想到。洛必达不行，泰勒也不行，是不是得夹逼准则？

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所谓用B(x)代替A(x)，是因为
若limA(x)/B(x)存在且非0，根据极限四则运算法则，则上式左端极限存在与limP(x)*B(x)存在为充要条件
也就是原式能写成P(x)*非零极限因子，可以直接计算该因子；
原式能写成P(x)*无穷小因子，可以使用等价无穷小代换。

要原始式子的整体能写成想替换的部分乘以剩余的式子才可以用等价无穷小

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那么自然会想到如果与同号相加之后不就可以不改变原来无穷小量的阶数了,所以我们如下结论.定理2: 设是同一极限过程中的无穷小量,,,则....

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