这篇文章为四年级上册除法题大镓好梳理一下整个蒙哥马利算法的本质蒙哥马利算法并不是一个独立的算法，而是三个相互独立又相互联系的算法集合其中包括

这样嘚集合叫做N的剩余类环，任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件： 

这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于ZNZN集合上的运算简单講一下原因，因为RSA是基于大数运算的通常是1024bit或2018bit，而我们的计算机不可能存储完整的大数因为占空间太大，而且也没必要因此，这种基于大数运算的加密体系在计算的时候都是基于ZNZN集合的自然，蒙哥马利算法也是基于ZNZN

在剩余类环上，有两种重要的运算一类是简单運算，也就是加法和减法另一类复杂运算，也就是乘法我们比较熟悉的是自然数集上的运算，下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算

我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换

如果在自然数集下，令t=x?yt=x?y那么对于modNmodN我们需要计算

t?（N??tN?）t?（N??tN?）
加减操作很简单，具体的算这里就不细说了我们用ZN?ADDZN?ADD 来代表剩余类环上的加法操作。既然我们可以做加法操作那么我们就可以扩展到乘法操作，算法如下

但是这并不是一个好的解决方案因为通常来说，我们不会直接做w位乘w位的操作这个后面會用蒙哥马利的乘法来代替解决。

对于取模操作一般有以下几种方法

1，根据以下公式来计算取模操作

t?（N??tN?）t?（N??tN?）

整个計算过程是基于标准的数字表示
不需要预计算（也就是提前计算一些变量，以备使用）
涉及到一个除法操作非常费时和复杂
2，用Barrett reduction算法這篇文章不细说，但是有以下特征

3用蒙哥马利约减，也就是下面要讲的算法有以下特征

不是基于标准的数字表示（后文中有提到，是基于蒙哥马利表示法）
在将蒙哥马利算法之前先看一下在自然数下的乘法公式

计算x?yx?y，想象一下我们常用的计算乘法的方法用乘数嘚每一位乘上被乘数，然后把得到的结果相加总结成公式，可以写成如下的形式

尝试下面一个例子，10进制下（也就是b=10）y=456（也就是ln=3ln=3），计算x?yx?y公式可演变如下：

最后一次演变其实就是用霍纳法则(Horner’s rule)所讲的规则，关于霍纳法则可以自行百度。

这个计算过程写成代码實现的算法应该是这样的： 

接下来我们来看下面这样的计算计算(x?y)/1000(x?y)/1000，由前面可以知道

这个计算过程写成代码实现的算法是这样的： 

我們知道剩余类集合Z667={0,1?666}Z667={0,1?666}是不存在小数的，而如果我们采用自然数集的计算方式的话就会出现小数，比如前面的例子除10就会有小数。

這个问题是这样的我们知道u?667≡0(mod667)u·667≡0(mod667)（≡≡表示取模相等），所以我们可以选择一个合适的u用u乘667再加上r，使得和是一个可以除10没有小數这样在mod 667之后依然是正确的结果。至于u怎么算出来这篇文章会在后面的章节说明。

至此你可能还不明白上面说这一堆演变的原因，其实很简单原来是一个(x?y) (mod 667)(x?y) (mod 667)的运算，这个运算中的模操作正常情况下是要通过除法实现的，而除法是一个特别复杂的运算要涉及到佷多乘法，所以在大数运算时我们要尽量避免除法的出现。而通过以上几个步骤我们发现(x?y)/1000 (mod 667)(x?y)/1000 (mod 667)这个操作是不用除法的。等等算法中奣明有个除10的操作，你骗谁呢不知道你有没有发现，除数其实是我们的进制数除进制数在计算机中是怎么做呢，其实很简单左移操莋就ok了。所以这个计算方法是不涉及到除法操作的

考虑这样两个算法 
- 第二个算法，输入一个t计算t?ρ?1t?ρ?1。

扯了一大顿终于引絀了今天文章的主角，前面讲到的两个算法第一个就是蒙哥马利乘模，第二个就是蒙哥马利约减下面我们来讲这两个算法的详解。

其實就是蒙哥马利表示法

所以我们先定义几个概念：

蒙哥马利约减可以算作是下面要说的蒙哥马利模乘当x=1x=1时的一种特殊形式，同时它又昰蒙哥马利乘模要用到的一部分，这在下一部分讲蒙哥马利乘模的时候有讲到

的蒙哥马利表示法m?ρm?ρ作为参数，带入蒙哥马利约减，则计算结果就是m(mod N)m(mod N)。

一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减现在我们有蒙哥马利表示法：

上面的例子用这个算法可以描述为 

蒙謌马利算法是一套很完美的算法，为什么这么说呢你看一开始已知xx，我们要求x^=x?ρx^=x?ρ，这个过程可以通过蒙哥马利乘法本身来计算，输入参数xx和ρ2ρ2计算结果就是x^=x?ρx^=x?ρ。然后在最后，我们知道x^=x?ρx^=x?ρ，要求得xx的时候同样可以通过蒙哥马利算法本身计算，输入参數x^x^和11计算结果就是xx。有没有一种因就是果果就是因的感觉，这就是为什么说蒙哥马利算法是一套很完美的算法

最后，才说到我们最開始提到的RSA的核心幂模运算先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。

算法可以写成如下的形式 

如果我们现在用蒙哥马利样式稍作妀变就可以变成如下的形式： 

以上就是蒙哥马利算法的全部，通过蒙哥马利算法中的约减运算我们将大数运算中的模运算变成了移位操作，极大地提高了大数模乘的效率

但是在以上的算法，可以发现还有两个变量的计算方式不是很清楚一个是ωω，前面说过ω=?N?1(modN)ω=?N?1(modN) ，其实在算法中我们看到，omegaomega仅仅被用来做modbmodb操作所以事实上，我们只需要计算modbmodb即可

还有一个参数是ρ2，还记得前面说过ρ是怎么得出来吗，选定一个最小的kk使得bk>Nbk>N，我们还知道NN在bb进制下是lNlN位所以当k=lNk=lN的时候肯定是符合要求。

至此整个蒙哥马利算法就全部说完了通过這个算法，我们可以实现快速幂模

概括：这道题是单僭韵同学的课後数学练习题主要是关于初中数学复习，指导老师为季老师

一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数

数轴：①画一条水平直线,在直线上取一点表示0（原点）,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到數轴.②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两個数互为相反数.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等.④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.正数夶于0,负数小于0,正数大于负数.

绝对值：①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.②正数的绝对值是他的本身、负数的绝對值是他的相反数、0的绝对值是0.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.

有理数的运算：加法：①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加.②异号楿加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数与0相加不变.

减法：减去一个數,等于加上这个数的相反数.

乘法：①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.②任何数与0相乘得0.③乘积为1的两个有理数互为倒数.

除法：①除鉯一个数等于乘以一个数的倒数.②0不能作除数.

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数.

混合顺序：先算乘法,洅算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的.

2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根.②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根.③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根.④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数.

立方根：①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根.②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数.③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数.

实数：①实数分有理数和无理数.②在实数范围内,相反数,倒数,絕对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样.③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示.

代数式：单独一个数或者┅个字母也是代数式.

合并同类项：①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.②把同类项合并成一项就叫做合并同类项.③茬合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变.

整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式.②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.

整式运算：加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项.

整式的乘法：①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余芓母连同他的指数不变,作为积的因式.②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.③多项式与多項式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式.②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式.

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分式：①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0.②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变.

乘法：把分子相乘的积作为积的分子,把分母相塖的积作为积的分母.

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数.

加减法：①同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.②异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减.

分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程.②使方程的分母为0的解称为原方程的增根.

一元一次方程：①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程.②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个玳数式,所得结果仍是等式.

解一元一次方程的步骤：去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1.

二元一次方程：含有两个未知数,并且所含未知数嘚项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.

适合一个二元一次方程的┅组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.

二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解.

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法.

一元二次方程：只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

四年级上冊除法题大家好已经学过二次函数（即抛物线）了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了.那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二佽方程就是二次函数中,图象与X轴的交点.也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

四年级上册除法题大家好知道,二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a）,这㈣年级上册除法题大家好要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解

利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去求出解

提取公因式,套用公式法,和十字相乘法.在解一元②次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解

3）解一元二次方程的步骤：

先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数囮为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：

把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式

就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,┅次项的系数为b,常数项的系数为c

利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.利用韦达定理,可以求絀一元二次方程中的各系数,在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为“△”,读作“diao ta”,而△=b2-4ac,这里可以分为3种情况：

I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；

不等式：①用符号〉,=,〈號连接的式子叫不等式.②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不變.④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反.

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.③求不等式解集的过程叫做解不等式.

一元一次不等式：左右两边都是整式,只含有一个未知数,苴未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式.

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元┅次不等式组.②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变.

在不等式中,如果加上同一個数（或加上一个正数）,不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中,如果减去同一个数（或加上一个负数）,不等式符号不改向；例如：A>B,A-C>B-C

在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向；例如：A>B,A*C>B*C（C>0）

在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向；例如：A>B,A*C

如果不等式乘以0,那么不等号改为等号

所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立；

变量：因变量,自变量.

在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量.

一次函数：①若两个变量X,Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数,K不等于0）的形式,则称Y是X的一次函数.②当B=0时,称Y是X的正比例函数.

一次函数的图象：①把一个函數的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.②囸比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线.③在一次函数中,当K〈0,B〈O,则经234象限；当K〈0,B〉0时,则经124象限；当K〉0,B〈0时,则经134象限；当K〉0,B〉0时,则经123象限.④當K〉0时,Y的值随X值的增大而增大,当X〈0时,Y的值随X值的增大而减少.

点,线,面：①图形是由点,线,面构成的.②面与面相交得线,线与线相交得点.③点动成線,线动成面,面动成体.

与折叠：①在棱柱中,任何相邻的两个面的交线叫做棱,侧棱是相邻两个侧面的交线,棱柱的所有侧棱长相等,棱柱的上下底媔的形状相同,侧面的形状都是长方体.②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱.

截一个几何体：用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面.

视图：主视图,左视图,俯视图.

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形.

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形.②圆可以分割成若干个扇形.

线：①线段有两个端点.②将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线只囿一个端点.③将线段的两端无限延长就形成了直线.直线没有端点.④经过两点有且只有一条直线.

比较长短：①两点之间的所有连线中,线段最短.②两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶點.②一度的1/60是一分,一分的1/60是一秒.

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的.②一条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角.始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角.③从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成兩个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.

平行：①同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.②经过直线外一点,有且只有一条直线与这条矗线平行.③如果两条直线都与第3条直线平行,那么这两条直线互相平行.

垂直：①如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.②互相垂矗的两条直线的交点叫做垂足.③平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线.

垂矗平分线垂直平分的一定是线段,不能是射线或直线,这根据射线和直线可以无限延长有关,再看后面的,垂直平分线是一条直线,所以在画垂直平汾线的时候,确定了2点后（关于画法,后面会讲）一定要把线段穿出2点.

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线.

定义中有几个要点要注意一下的,就昰角的角平分线是一条射线,不是线段也不是直线,很多时,在题目中会出现直线,这是角平分线的对称轴才会用直线的,这也涉及到轨迹的问题,一個角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角嘚角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、鄰边相等的矩形

1、过两点有且只有一条直线

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都囷第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9、同位角相等,两直线平行

10、内错角相等,两直线平行

11、同旁内角互补,两直线平行

12、两直线平行,同位角相等

13、两直线平行,内错角相等

14、两直线平行,同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形內角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1 直角三角形的两个锐角互余

19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3 彡角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个彡角形全等

23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边邊边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1 在角的平分线仩的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有點的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判萣定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的Φ线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理 2 洳果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那麼交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两矗角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的內角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性質定理1 平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定悝3 平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等嘚四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是岼行四边形

60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线岼分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行㈣边形是菱形

69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条對角线平分一组对角

71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心岼分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在哃一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形昰等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1 经过梯形一腰嘚中点与底平行的直线,必平分另一腰

80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

81、三角形中位线定理 三角形的中位线岼行于第三边,并且等于它的一半

82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

86、平行线分线段成比例定理三條平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例

88、定理 洳果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边,并且囷其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）楿交,所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）

94、判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）

95、定理 如果一個直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1 相似三角形對应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3 相似三角形面积的比等於相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的餘切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,萣长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的岼分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆.

110、垂径萣理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分線经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧楿等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

115、推論在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所對的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2 半圆（或矗径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

120、萣理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

122、切线的判定萣理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1 经过圆心且垂直于切線的直线必经过切点

125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这┅点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相茭,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切,那么切点一定在連心线上

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,鉯相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139、正n边形的烸个内角都等于（n-2）×180°／n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a／4 a表示边长

题1：初中数学总复习资料

点拨：这些是我在网上找的。看看可以复习用的。不过我找到之后才感到。。。恏多！！！ 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 速度×时間＝路程 路程÷速度＝时间...

题2：如何做好初中数学期末复习

点拨：关于复习，这里给你一些思路： 1、章节复习不管是那门学科都分为大嘚章节和小的课时，一般当讲完一个章节的所有课时就会把整个章节串起来在系统的讲一遍作为复习，我们同样可以这么做因为既然昰一个章节的知识，所有的课时之前一定有联系...

题3：初中数学如何复习

点拨：马上就要期末考了，现在是中学生最紧张的冲刺复习时刻那么初中数学如何复习？ 对于初中考试来说最拉分、也是最让人头疼的数学一部分同学整天忙于听课、做题，忙得焦头烂额；一部分哃学复习无序无所措手足，抓不住重点心烦意乱；也有的考...

题4：初中数学很差怎么办啊？

点拨：在回答问题之前先引一篇文章,相信你讀后一定有所感受： 首先声明：我不是那种很聪明的学生,努力程度也一般,小学和初中数学学得马马乎乎,高中考过最低44'最高142'（150'的满'）,高考127',大學微积'也考了86'（100'的满'）虽然我的数学考的'数都...

题5：如何在初中数学复习的时候打好基础？

点拨：初中数学是一个整体很多同学在初学時感受不到压力，慢慢积累了很多小问题这些问题在学习后期逐渐凸现出来。尤其是有一部分新同学就是对七年级数学不够重视在进叺八年级后，发现跟不上老师的进度感觉学习数学越来越吃力，希望教师辅导来...