高二数学期末复习题精选
一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）
(A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在y轴上的椭圆
(C)焦点在x轴上的双曲线 (D)焦点在y轴上的双曲线
2、过点(，0)的直线与直线x-y-1=0的交点在圆x2＋y2=1上，则这条直线的斜率为( )
3、焦点为（1，1），准线为x =3的抛物线方程为 ( )
(C)二条相交直线 (D)二条平行线
6、椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离的比为2∶3，则离心率为 ( )
7、如果A是B的必要条件，B是C的充要条件,D是C的充分条件，则D是A的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)不充分也不必要条件
10、以方程x2-96x+1=0的二根分别为离心率的曲线可为 ( )
(A)两个椭圆 (B)一椭圆的一双曲线
(C)一椭圆和一抛物线 (D)一双曲线和一抛物线
15、过点(，5)与双曲线有且只有一个公共点的直线有 ( )
(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件翰林汇18、椭圆上一点P,它到左准线的距离为2.5,那么点P到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 ( )
(1)当动点P满足条件：时所得的轨迹曲线为C1
(2)当动点P满足条件：PA⊥PB时所得的轨迹曲线为C2
(3)当动点P到线段A、B的中点的距离等于2时所得的轨迹为曲线C3
(4)当动点P和A、B组成以AB为斜边的直角三角形ABC时，动点P的轨迹为曲线C4
1、已知椭圆的两个焦点是F1(0，?1)和F2(0，3)，且点(2，1)在椭圆上，则这个椭圆方程是 。
4、双曲线离心率为2，则渐近线夹角为________。
6、离心率，焦点为F1（1，2）、F2（5，2）的椭圆方程是________
7、正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长等于＿＿＿＿。翰林汇8、双曲线的离心率为e，它的共轭双曲线的离心率为＿＿＿。
9、已知动点P满足，A(0，-5)，B(0，5)，则点P的轨迹方程为______。
10、方程ax2＋bx＋c=0无实根，则双曲线的离心率的范围是_______。
11、经过点(1，2)的直线与双曲线y=相交于A、B两点，线段AB中点的纵坐标为，则a的取值范围是__________。
12、双曲线的一条准线的与渐进线的交点为A、B，相应焦点为F，如果△ABF是正三角形，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿＿。
13、若等腰三角形底边的两个端点是A(4,2)和B(-2,0), 则顶点C的轨迹方程是＿＿＿＿＿。
14、双曲线的渐近线方程为y，则此双曲线的离心率等于＿＿＿＿＿。
15、双曲线的离心率 则m的取值范围是＿＿＿＿。
18、已知P是双曲线上一点，F1，F2是双曲线两个焦点，且F1PF2的面积为，则?F1PF2的大小是 。
19、一椭圆是由底面直径为12的圆柱被与底面成30°角的平面所截而得，则此椭圆的离成心率为＿＿＿。
20、(1)已知x2＋4y2=4x，点P(x0，y0)在这个方程的曲线上，当取得最大值时，点P的坐标是 。
(2)如果圆锥曲线=1的离心率等于2，那么m的值是 。
(3)已知椭圆上一点P到左右两焦点距离之比为1∶4.则点P到它的左右两条准线的距离分别为 。
1、已知抛物线y2=32x的焦点是F，若以F和另一定点F'(8，8)为焦点作与抛物线相交的椭圆，求长轴最短的椭圆的方程。翰林汇2、如果抛物线y2=ax(a为参数)与圆(x－2)2＋y2=3相交，连接在x轴同侧的两个交点的线段，求线段中点的轨迹。翰林汇3、已知抛物线x2=4y与圆x2＋y2=32相交于A、B两点，圆与y轴正向交于点C，是过ACB弧上的点且与圆相切，与抛物线相交于M、N两点的直线，d是M、N两点到抛物线焦点的距离之和。求：(1)A、B、C三点的坐标；(2)当d取最大值时C的方程。翰林汇4、AB是过双曲线3x2-y2+24x+2y+44=0右焦点的弦,且等于双曲线的焦距,试求直线AB的方程.翰林汇5、已知双曲线的两渐近线方程为3x-4y=2和3x+4y=10,一条准线方程为5y+4=0,求此双曲线的方程.
 

重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．

难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．

平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：

（1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．

当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．

由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.

（4）化简方程 （其中c2＝a2+b2）

3、两种双曲线性质的比较

焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线

条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）

对称性 x轴，y轴，原点

坐标 （±a，0） （0，±a）

虚轴 x轴，实轴长2a

y轴，虚轴长2b y轴，实轴长2a

坐标 （±c，0）c＝

（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．

（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．

（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ ＝ ．

（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．

（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是 ± ＝0，则可把双曲线方程表示为 － ＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．

例1. 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2 ）；

（2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）.

（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3， ）Q（ ，5）．

剖析：设双曲线方程为 － ＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

解法一：（1）设双曲线的方程为 － ＝1，

所以双曲线的方程为 － ＝1．

（2）设双曲线方程为 － ＝1.

又双曲线过点（3 ，2），

故所求双曲线的方程为 － ＝1．

解法二：（1）设所求双曲线方程为 － ＝λ（λ≠0），

将点（－3，2 ）代入得λ＝ ，

所以双曲线方程为 － ＝ ．

（2）设双曲线方程为 － ＝1，

将点（3 ，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为 － ＝1．

评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．与 － ＝1同焦点的可设为 － ＝1

（3）设双曲线方程为 （mn>0）

将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.

说明：若设 － ＝1或 － ＝1两种情况求解，比较繁琐．

例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝ sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．

解：根据正弦定理得c－b＝ a＝1

即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线

故双曲线方程为 （x> ）

例3. （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．

剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.

∴0<|m|<1．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．

解得0<|m|< ，即m的取值范围为（－ ，0）∪（0， ）．

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．

例4. （2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’： － ＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

解：类似的性质为若MN是双曲线 － ＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中 － ＝1．

又设点P的坐标为（x，y），

评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．

【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

4.（2004年天津，4）设P是双曲线 － ＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于

D. 既不充分又不必要条件

9. 已知双曲线方程为 ，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有  （    ）

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线 － ＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．

12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－ ＝1有且只有一个公共点．

15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|?|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

16. （本题满分14分）、已知双曲线x2－ ＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），…………4'

离心率e＝ ，…………6'

渐近线方程为y＝± x.…………8'

  16. （1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2＝k（x－1），…………2'

则有x1+x2＝－ ，…………6'

∴ ＝2。解得k＝1。 …………8'

又k＝1时，Δ＝16＞0，从而直线AB方程为x－y+1＝0. …………10'

（2）证明：按同样方法求得k＝2，…………12'

而当k＝2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. …………14'

17. 解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）…………4'

设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|＝340×4＝1360…………6'

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 上，

答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心 处. …………12'