第四章 一元函数微分学的应用 第一节 柯西()中值定理与洛必达()法则 思考题 ： 用洛必达法则求极限时应注意什么？ 答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足. 2. 把柯西中值定理中的“与在闭间区上连续”换成“与在开区间内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明. 答：不成立. 图像如下： 习作题： 用洛必达法则求下列极限： （1）， （2）， （3）， 1.将拉格朗日中值定理中条件“在闭区间上连续”换为“在开区间内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明. 答：不成立. 如下图： 2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题. 罗尔中值定理：若满足如下3条： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即，则在开区间内至少存在一点，使得. 需回答的问题： （1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？ 答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广. （2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明. 答：不成立. 如下图： （3）不求 的导数，说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间. 答：方程有3个实根, 分别在区间（, 2）, 3）、（3, 4）内. 原因：, 据罗尔定理即可得出结果. 3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）. 答：如下图所示. 习作题： 讨论函数的单调性. 解：函数的定义域为, , 令, 得, 用把 分成两部分, 当时, 当时, 因此在上单调递增, 在上单调递减. 第三节 函数的极值与最值 思考题： 1. 画图说明闭区间上连续函数的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下 由图可知, 函数的极值与最值的关系为：的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得. 2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：, 令, 得, , , , ∴的极大值为4，极小值为. ∵, . ∴ 比较的大小可知： 最大值为200， 最小值为. 2. 求函数在上的最大值. 解：, 令, 得. ∵, , , 比较可知 在上最大值为. 第四节 曲率 思考题： 1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等. 因为：曲率半径. 2. 是否存在负曲率，为什么？ 答：不存在. 因为曲率定义为：，故可知曲率为非负的值. 习作题： 求立方抛物线上各点处的曲率, 并求处的曲率半径. 解：, , 于是曲率 =, 当 时曲率 , 故曲率半径. 2. 曲线上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：, , 故曲率 , 对关于求导, 得 , 令且 得. 时, ; 时, , 曲线上，处曲率最大 , 最大曲率为. 第五节 函数图形的描绘 思考题： 若为连续曲线弧的拐点，问： （1）有无可能是的极值，为什么？ 答：可能. 如： 为的拐点且为的极值. （2）是否一定存在？为什么？画图说明. 答：不一定. 如 图像如右： 点为曲线的拐点，但不存在. 2. 根据下列条件，画曲线： (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正. 解：如下图. (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正. 解：如下图. (3) 画出一条曲线，使得它

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2.1 按照定义求一点处的导数

题型: 利用导数定义求导数, 求切线方程, 证明连续性

使用导数的定义, 灵活应变即可. 0 0

2.2 已知某处可导求极限或者已知极限求某处的导数

2.3 绝对值函数的导数

题型: 函数包含绝对值, 求其导数

主要注意如果有|f(a)| = f(a) = 0, 那么可以构造出一种式子, 这个式子用来求a处的导数很方便.

2.4 导数与微分, 增量的关系

题型: 比如比较y的增量与y的微分的关系

由34页的定理可知, y的增量是比y的微分要大一些的

2.5 求导数的计算题

题型: 求二重微分, 求n阶导数, 求导由参数式定义的函数, 求导由隐函数定义的函数, 变限积分求导, 幂指函数求导, 反函数求导

• 二重微分一步步拆开求就可以
• n阶导数可以拆项后分别求导. 可以拆项后展开成泰勒级数, 利用幂级数展开后系数的唯一性来确定n阶导数. 相乘项的n阶导数可以用高阶导数的莱布尼茨公式来求.
• 反函数就是正函数的导数的倒数
• 参数式定义的导数让y与x分别对参数微分即可
• 隐函数将y认为是关于x的函数y(x)即可
• 幂指函数求导, 先转化为e的g(x)幂次, 然后重点对e^g(x)求导即可

2.6 增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论

了解什么是增减性、极值、凹凸性、拐点, 可导点处极值的必要条件, 极值的第一, 第二充分条件, 二阶可导点处拐点的必要条件, 拐点的充分条件

题型: 求渐近线方程, 求渐近线条数

知道三种渐近线方程判定方式

题型: 与曲率与曲率圆计算的有关题目

了解曲率和曲率半径的计算方式, 了解其几何特性

2.9 最大值、最小值问题

2.10 函数的值域, 反函数及其定义域

了解定义, 小心计算即可

2.11 不等式的证明

题型: 证明一些不等式

1. 使用拉格朗日中值定理证明
2. 使用拉格朗日余项的泰勒公式证明

1. 证明f’(x)=0存在即证区间内最值存在且非a或者b
2. 构造积分式然后利用罗尔定理证明f(x)=0有解

题型: ψ(x)中包含多个x和f(x)的n次导函数

题型: ψ(x)中包含多个x和f(x)的n次导函数

1. 多次使用罗尔定理混合零点定理

2.15 “双中指”问题

题型: 证明一个区间内两个存在的点的等式或者不等式

选定中间一个特殊点然后将区间分成两个部分, 分别运用拉格朗日中值定理

2.16 零点的个数问题

2.17 证明存在某ξ满足某不等式

1. 如果出现f’(ξ)一般使用拉格朗日中值公式
2. 如果出现f”(ξ)一般使用泰勒公式

2.18 利用中值定理求极限, f(x)与f’(x)的一些极限性质的关系