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高等数学-第11章_曲线积分与曲面积分
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章节 第十一章
曲线积分和曲面积分
§1 对弧长的曲线积分 课时 2
的 理解对弧长的曲线积分的概念、性质与计算；掌握对弧长的曲线积分的计算方法。
方法 对弧长的曲线积分的计算。
方法 对弧长的曲线积分的计算。曲线积分与定积分的定义虽然不同，但都是和的极限，且曲线积分可化为定积分计算，且两者的性质相似。曲线积分的定义可以类似地推广到积分曲线为空间曲线弧的情形。
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P578-P584
程 教学思路、主要环节、主要内容
第一类曲线积分
应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:
2.函数f(x,y,z)在L上有定义，且连续。
公式变形：若L为平面曲线，L方程为y=y(x),x∈[a,b]，则公式可以写成为：
对弧长曲线积分的性质：1.
3. ， （L=L1 +L2 ）L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．
２．对于平面曲线，可以用公式的变形．
３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．
4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．
公式推导及证明的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．
分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，α=t0<t1<t2<…<tn=β,（t∈[α, β]）；
记d＝max（ti-ti-1），Δsi为［ti ,ti-1］上的弧长，ξi为［ti ,ti-1］上任意一点．
求和：利用积分定义，
由弧长公式：
由中值定理：
其中ξi*是由中值定理确定的［ti ,ti-1］上的一点，Δti= ti -ti-1；于是：
利用f(x,y,z),x/(t), y/(t), z/(t)的连续性，有：
取极限得公式：
第一型曲线积分与定积分和重积分不同的是，曲线积分的积分区域是曲线段。第一型曲线积
分弧长无方向性，定义中的Δsi〉0。
章节 第十一章 曲线积分与曲面积分
§2 对坐标的曲线积分 课时 2
的 理解对坐标的曲线积分的定义、性质、物理意义及计算。掌握对坐标的曲线积分的计算方法。了解其对积分路径的可加性和有方向性质。两类曲线积分的联系。
方法 对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。
方法 对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P579-P584
程 教学思路、主要环节、主要内容
11.2 第二类曲线积分
以上这两个积分称为第二类曲线积分。
第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。
第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j作用，在xoy平面内从点Ａ沿光滑曲线L移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即
,其中ds=dxi+dyj 。
类似地可以推广到空间情形。
第二类曲线积分的性质：
2. ， （L=L1 +L2 ）
第二类曲线积分的计算方法：
（1） 把积分曲线的参数方程代入曲线积分中，使其化为定积分再计算
①??? 曲线L由方程x=x(t),y=y(t),给出，则
注意：下限α对应曲线L的起点，上限β对应曲线L的终点。
②??? 曲线L由方程y=f(x),()给出，则
③??? 曲线L由方程x=g(y),()给出，则
两类曲线积分的关系：
其中{cosα,cosβ}为有向曲线L在点(x,y)处的单位切向量（空间曲线类似）。
章节 第十一章
曲线积分和曲面积分
§3 格林公式及其应用 课时 2
的 掌握格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分和利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。
方法 格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。
方法 利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。
资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编
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求解高数题,对坐标的曲面积分∫∫(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy,∑为锥面z=√x&#178;
求解高数题,对坐标的曲面积分∫∫(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy,∑为锥面z=√x&#178;+y&#178;被平面z=1所截下部分的下侧.
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曲线积分与曲面积分
前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度
从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个
区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不
均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过
某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要
对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲
面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中
心内容，此外还要介绍 Green
公式、Gauss公
式 和 Stokes
公式，这些公式揭示了存在于各
种积分之间的某种联系。
第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法
Green公式、Gauss
曲线积分与路径无关的条件
第二型曲面积分的计算
①正确理解曲线积分和曲面积分概念
②熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
③掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、
性质、计算方法上的异同
④掌握第二型曲线积分与路径无关的条件
⑤牢固掌握Green公式及其成立条件
⑥牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件
对弧长的曲线积分及其计算
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量
取 ξ η ∈Δs (
Δ,M) ≈ρ.ξ η ?Δ s
求和( M, ρ≈)ξ η.
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