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设二维随机变量（X，Y)的联合概率密度为，求边缘概率密度fX（x)与fY（y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立．
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提问人：匿名网友
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设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为，求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立．
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我想请教一个问题，知道随机变量联合概率密度，求协方差
我想知道积分上下限（0.x)积出Dy是不是把他当常数提出来，高数很久没学了，忘的差不多了
题目错的，不是密度函数，积分不是1
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保存至快速回贴概率论与数理统计笔记 第三章 二元随机变量及其分布
概率论与数理统计笔记（计算机专业） 作者： 新浪微博：@catpub
课程：中国大学MOOC浙江大学概率论与数理统计
部分平台可能无法显示公式，若公式显示不正常可以前往或作业部落进行查看
第16讲 二元随机变量，离散型随机变量分布律
二元随机变量
同一个样本空间的两个随机变量构成的向量
离散型随机变量的分布律
$$P(X=x_i,Y=y_i)=p_y&i,j=1,2,...$$
实例：$P(X=0,Y=1)=P(Y=1|X=0)\cdot P(X=0)$
第17讲 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律
边际分布律
$$P(X+x_i)=P(X=x_i,\bigcup_{j=1}^\infty(Y=y_i))=\sum_{j=1}^\infty p_{ij}=p_{i\cdot}$$
$$P(Y+y_i)=P_{\cdot y}$$
$p_{1\cdot}$
$p_{2\cdot}$
$p_{i\cdot}$
$P(Y=y_j)$
$p_{\cdot 1}$
$p_{\cdot 2}$
$p_{\cdot j}$
已知条件分布律一定能求出边际分布律，但已知编辑分布律不一定能求出条件分布律
条件分布律
$$P(X=x_i)|Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}&i=1,2,...$$
条件分布律不唯一
第18讲 二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
联合分布函数
$$F(x,y)=P{(X\leq x)\cap(Y\leq y)}=P(X\leq x,Y\leq y)$$
边际分布函数
$$F_x(x)=F(x,+\infty)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)$$
条件分布函数
若 $P(Y=y)&0$
$$F_{X|Y}(x|y)=P(X\leq x|Y=y)=\frac{P(X\leq x,Y=y)}{P(Y=y)}$$
对于连续型随机变量也可以用如上记法，但注意此时的 $y\leq Y\leq \epsilon$
第19讲 二元连续型随机变量的联合概率密度
二元随机变量的联合概率密度
$$F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv$$
其中 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的概率密度
$$P((x,y)\in D)=\iint_{D}f(x,y)dxdy$$
$$\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$$
此处应具有求二重积分的能力
第20讲 二元连续型随机变量的边际概率密度
二元连续型随机变量的边际概率密度
$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$$
二元连续型随机变量的边际概率函数
$$F_x(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)dy]du$$
第21讲 二元连续型随机变量的条件概率密度
二元连续型随机变量的条件概率密度
$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
$$f(x,y)=f_{X|Y}(x|y)\cdot f_Y(y)$$
汇总：二元离散型与连续型随机变量分布比较
联合分布律
边际分布律
条件分布律
联合概率密度
边际概率密度
条件概率密度
第22讲 二元均匀分布，二元正态分布
二元均匀分布
$$f(x,y)=1/A,(x,y)\in D$$
二元正态分布
$$\begin{align}&f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\times\ &exp{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}\end{align}$$
$\sigma_1,\sigma_2&0$ ，$-1&\rho&1$
记为 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$
二元正态分布的边际概率密度
$$X\sim N(\mu_1,\sigma_2^2)$$
即边际概率分布服从正态分布
二元正态分布的条件概率密度
$$Y|X\sim N(\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),(1-\rho^2)\sigma_2^2)$$
即条件概率分布服从正态分布
第23讲 随机变量的独立性
随机变量的独立性
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
离散型随机变量的独立性
$$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$$
连续型随机变量的独立性
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$
$n$ 元随机变量的分布
概率密度函数
向量的独立性
$$F(x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n)=F_1(x_1,x_2,...,x_m)F_2(y_1,y_2,...y_n)$$
若两向量独立
$X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立
若 $g(x_1,x_2,...,x_m)$ 与 $h(y_1,y_2,...y_n)$ 是连续函数，则 $g(X_1,X_2,...,X_m)$ 与 $h(Y_1,Y_2,...Y_n)$ 相互独立
性质1表明，若 $X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立，则 $X_1$ 与 $Y_1$ 相互独立，$X_1$ 与 $X_2$ 相互独立
性质2表明，若 $X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立，则 $X_1+X_2$ 与 $Y_1\times Y_2$ 相互独立
第24讲 二元随机变量函数的分布
二元随机变量函数的分布（如 $Z=X&Y$ 的分布）
用分布律，分析各种情况
先求 $F(x)$，再求导得到
第25讲 $Z=X+Y$的分布
$$F_z(z)=P(Z\leq z)=\iint_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy$$
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$$
当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$$
关于正态分布的结论
若 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则
$$(Z=X+Y)\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$$
更一般的，若 $X_i$ 服从线性分布，则其线性组合
$c_0+c_1 X_1+c_2 X_2+...+c_n X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$
$$\mu=c_0+c_1\mu_1+...+c_n\mu_n,&\sigma^2=c_1^2\sigma_1^2+c_2^2\sigma_2^2+...+c_n^2\sigma_n^2$$
$\Gamma$ 分布 Gamma Distribution （非重点，可略过）
若 $X_1,X_2,...,X_n$ 独立且服从 $B(1,p)$ 则
$$X_1+X_2+...+X_n\sim B(n,p)$$
若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X\sim B(n_1,p),Y\sim B(n_2,p)$ 则
$$X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$$
若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X\sim \pi(\lambda_1),Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$ 则
$$X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$$
第26讲 $max (X,Y)$和$min (X,Y)$的分布
若 $X$ 与 $Y$ 相互独立
$$\begin{split}F_{max}(z)&=P(M\leq z)\ &=P(X\leq z,Y\leq z)\ &=P(X\leq z)P(Y\leq z)\end{split}$$
$$f_{max}(z)=f_X(z)f_Y(z)$$
$$f_{min}(z)=1-(1-f_X(z))(1-f_Y(z))$$
$n$ 个相互独立的随机变量同理
若 $X_n$ 相互独立且分布相同
$$f_{max}(z)=n[F(z)]^{n-1}f(z)$$
$$f_{min}(z)=n[1-F(z)]^{n-1}f(z)$$
提示：该小节在第七章第二节“估计量的评价，无偏差性”中有重要应用
本章最后修订时间： 如有错误欢迎前往指正
阅读(...) 评论()根据二维随机变量联合概率密度求联合分布函数？_百度知道
根据二维随机变量联合概率密度求联合分布函数？
考研数学中09年李永乐复习全书的P465页例3.20以及P468页例3.23。如何根据图形确定积分上下限？涉及数学符号我不知道如何能把原题发上去，所以只写了页码和第几例题。是根据二维随机变...
考研数学中09年李永乐复习全书的P465页例3.20以及P468页例3.23。如何根据图形确定积分上下限？涉及数学符号我不知道如何能把原题发上去，所以只写了页码和第几例题。是根据二维随机变量联合概率密度求联合分布函数的题。我看了很久还是不明白,请高手指点。万分谢谢！
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二维连续型随机变量函数的概率密度--《北京航空航天大学学报》1990年02期 本文献来源中国知网 　　本文利用分布函数与概率密度之间的关系,以曲线积分为工具,导出随机变量Z=g(X,Y)的概率密度的一般公式。然后对概率统计中的一些重要分布给予比较简单的证明。【作者单位】：北京航空航天大学应用数理系【关键词】：二维连续型随机变量;函数;概率密度;分布函数;曲线积分【DOI】：cnki:ISSN:.【正文快照】：　　0前言 设(X,Y)是连续型随机变量,它的概率密度为f(:,犷)。z=g(x,Y)是随机变量x,Y的函数。如何计算随机变量z的概率密度,这是概率统计中常常会遇到和需要解决的问题。解决问题的基本思想方法是:先求随机变量z的分布函数 F·(·)一,(z、·}井,(一;)d川; 口(x.甲)叹孟 然后对分布函数F,(:)求导数得到z的概率密度 f:(z)=凡(名) 如果适当地引进X,Y的一个新的函数Z’=9.(X,Y),那么还可以利用上述基本思想方法,先求出Z与z‘的联合概率密度抓z,t),然后再根据边沿概率密度与联合概率密度之间的关系,求得z=夕(x,Y)的概率密度 ,·(·)一丁士二,(…　The purpose of this paper is to derive the general formula for the probability density of the random variable Z which is equal to g(X,Y) by using the relation between distribution function and probability density and by means of the curvilinear integral.Then some important distributions in probability and statistics are proved briefly.
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设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=｛①1/8(x+y),0
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我想那个（x+y）应该在分子上的,如果在分母上可是巨麻烦的
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