在数学的学习过程中.我们经常用以下的探索过程解决相关问题．数学问题:三角形有3个顶点.如果在它的内部再画n个点.并以这(n+3)个点为顶点画三角形.那么可以剪得多少个这样的三角形?探索规律:为了解决这个问题.我们可以从n=1.n=2.n=3等具体的.简单的情形入手.探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律． 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三解形个数 1 3 题目和参考答案——精英家教网——
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& 题目详情
在数学的学习过程中，我们经常用以下的探索过程解决相关问题．数学问题：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这（n+3）个点为顶点画三角形，那么可以剪得多少个这样的三角形？探索规律：为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
三角形内点的个数
最多剪出的小三解形个数
…（1）填表：当三角形内有4个点时，把表格补充完整；（2）你发现的变化规律是：；（3）猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得个三角形；像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．问题解决：请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？
考点：规律型：图形的变化类
分析：（1）根据题意画出图形，进而得出答案；（2）利用表格中数据得出三角形个数的变化规律即可；（3）利用（2）中变化规律得出当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得三角形的个数，进而利用补项法求出答案．
解答：解：（1）当三角形内有4个点时，把表格补充完整如下：
三角形内点的个数
最多剪出的小三解形个数
…（2）∵当三角形内点的个数为1时，最多可以剪得3个三角形；当三角形内点的个数为2时，最多可以剪得5个三角形；当三角形内点的个数为3时，最多可以剪得7个三角形；当三角形内点的个数为4时，最多可以剪得9个三角形；∴变化规律是：剪出的三角形个数是连续的奇数；故答案为：剪出的三角形个数是连续的奇数；（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，∴当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得 2n+1个三角形；1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）=[1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]=（n+1）（1+2n+1）=（n+1）2=n2+2n+1．
点评：此题主要考查了图形变化类，根据题意得出图形中三角形个数变化规律是解题关键．
练习册系列答案
科目：初中数学
求出当2p4+p2+16为完全平方式时，p的所有素数值．
科目：初中数学
某市为了解全市九年级学生的数学学习情况，组织了部分学校的九年级学生参加4月份的调研测试，并把成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，将统计结果绘成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（A等：96分及以上；B等：72～95分；C等：30～71分；D等：30分以下，分数均取整数）（1）参加4月份调研测试的学生共有人；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数是；（4）今年本市初中应届毕业生约127500人，若初中毕业生学业考试试题与4月份调研测试试题难度相当，请利用上述统计数据初步预测今年本市初中毕业生学业考试为A等级的约有多少人．
科目：初中数学
如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别位于第四象限，且∠AOB=45°，OC⊥AB于C，把△AOC沿直线OA翻折后，OC边恰好落在y轴上，若AC=1，OC=3，求经过点A的双曲线和B点坐标．
科目：初中数学
用配方法解方程：2x2-x-2=0．
科目：初中数学
如图，在△ABC中，∠1+∠2=240°，AD平分∠BAC．求∠DAC的度数．
科目：初中数学
如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A，E两点，D是在第一象限内直线上运动的一个动点，以ED为边作正方形EDCB，连结CE，作EC⊥CF与过A，D，C三点的圆交于点F，连结DF．（1）求AE的长；（2）请你在图中添加一条线段（不再标注其他字母），从而构造一个三角形与△FDC相似，并说明理由；（3）点D在运动过程中，CF的长度是否改变？若不变，请求出CF的长；若变化，请说明理由．
科目：初中数学
如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
下列等式正确的是（　　）
A、a-（b+c）=a-b+cB、a-b+c=a-（b-c）C、a-2（b-c）=a-2b-cD、a-b+c=a-（-b）-（-c）
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当前小学数学教学亟待解决的三个问题
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问题一：过于强调学生的自主性学习，弱化了教师的主导作用
本次课程改革，坚持以人为本的指导思想，以发展人的主体性为宗旨，把实现学生充分的有个性的发展放到了突出的地位。关注每个学生的个性差异，这无论是从理论上还是从实践角度讲都是了不起的进步。但是，在实际的课堂教学中，确实存在着弱化教师主导作用、唯学生自主是尊的倾向：学生自学课本，按自己的意愿确定学习内容，用自己喜欢的方式去学习本节内容。“你想学哪一段就学哪一段”，“你想看哪个例题就看哪个例题”，“你喜欢哪道习题就做哪道习题”。一位教师在教学认识长方形、正方形时，教师让学生自备材料（长方形、正方形纸若干张），自主探索长方形和正方形的特征。因为学生不知道如何探索，一会儿多半同学就折起了飞机，很快教室里飞满了“飞机”，叫好声也一阵高过一阵。一节课下来，学生对长方形的对边相等、四个角都是直角，正方形四条边都是相等、四个角都是直角等基本特征都没学会。回顾本节课时不少同学还说这节课学得开心极了。
反思：合作学习是新课标所倡导的学习方式。合作学习是学生的一种需要，一种发自内心的合作欲望，是确实有合作必要的选择，而不是教师认为什么时候合作就什么时候合作。在听课过程中，我们发现几乎每一节观摩课上都有小组合作这一环节，少则一两次，多则三、四次。一至六年级都在用。有的教师一提出问题，马上组织学生合作讨论，有的学生还不知道干什么，因此看似“热热闹闹”，但结果却是“蜻蜓点水”；有的课合作次数过多，反而削弱了师生间信息的交流与反馈，使教学目标无法在40分钟内完成；有的合作学习，教师为急于完成
预设的活动，在学生意犹未尽时就终止合作，使合作成了"中看不中用"的花架子。&&&
&问题二：过于注重课堂教学中师生间、生生间生成的教学资源，背离了文本的主体内容
新的教师观认为，教师不再是课本知识的解释者、课程忠实的执行者。教师要注意课堂生成的资源，充分地挖掘和利用各种课程资源，鼓励学生对教材质疑和超越，提倡在师生互动、生生互动形成的教学资源中学习，最大限度发挥学生的主动性。但是由于教师缺乏对生成资源的甄别经验，在教学过程中出现了背离文本内容的现象。例如某位老师在教学五年级分数的意义时，为了联系学生已有的知识经验和生活实际，提出了这样的问题：“同学们，关于分数，我们已经初步认识过，今天还要继续研究分数。有关分数的知识你已经知道了什么？你还想了解什么？我们要根据你个人需要进行研究。”根据学生的回答，出现下面几种情况：
1、我想知道为什么要学习分数？
2、我想知道分数能否化成小数？怎样化成小数？
3、我想知道分数有什么性质？
4、我想知道分数乘除法是怎么算的？
5、我想知道约分和通分是怎么回事？
本来这节课是学习分数的意义的，但由于教师事前说过要依据学生的意愿研究分数的有关内容，于是教师不得不调整教学思路。首先介绍分数的基本情况，它与整数小数的区别联系，让学生明白学习分数的重要性。接着举几个简单例子说明分数可以化成小数，刚要介绍分数的性质时，教师为难了，由于学生对于分数的意义不理解，教学无法进行。教师不得不回到引导学生研究分数的意义上去。这时，一节课已过去大半，对于分数意义的教学也只得草草进行。
反思：课堂教学中的生成分为有效生成和无效生成，对于那些无效的生成，教师要注意取舍。选取哪些对本节内容有关的或相近的内容进行研究，决不能不顾文本内容，一味强调生成资源的重要性。
问题三：过于追求情境创设，致使情境与内容两张皮
创设情境、建立模型、巩固应用与拓展是新理念下数学课堂教学的基本模式。适当地设置情境，赋予知识鲜活的背景，使学生在把握知识的来龙去脉的过程中获得情感的体验，更能体现教育的人文价值。然而情境的创设应该自然地呈现，不能为情境化而设置情境。某教师在教学连加连减混合运算时，创设了游公园的情境。伴随优美的音乐，课件显示漂亮的公园大门，教师设问：“春天到了，同学们愿不愿意到公园游玩呀？可是想进入公园必须先闯过公园门口的迷宫”。教师充满激情地问：“同学们有信心没有？”学生群性激奋地回答：“有”。于是课件显示迷宫，把算式和正确结果连起来，连对了走出迷宫（只一道加减混运算，其余的为一步计算试题）。学生顺利过关后，老师高兴地表扬同学们“真是好样的”，追问：“这些题目哪道与其它的不同”？从而揭示课题：“连加连减混合运算”。这样的情境与教学内容没有任何联系，创设情境只不过为了热烈的气氛而已。
反思：创设情境的目的是为了帮助学生更有效地学习知识内容，若非出于教学活动的内在需要，就没有必要创设学习情境。情境的作用主要是为了让学生循着知识产生的脉络准确地把握学习内容，帮助学生顺利实现知识的迁移和应用，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中产生比较强烈的情感共鸣，增强他们的情感体验。同时创设情境时，还要注意情境的真实性，典型性，活动性和复杂性，不可为情境化而创设情境。
总之，在当前的课堂教学中，存在的问题还有很多很多，面对这些问题，我们一方面需要进一步加强思想认识、更新观念，切实把握好课程改革的实质；另一方面说明教师的业务素质有待进一步提高，加强业务培训，促进校本教研的正常开展，是解决问题的关键。
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秋至露水寒
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有90个苹果，今天吃了苹果总数的2/3，请问今天吃了多少个苹果？
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黄金分割对于“黄金分割”大家应该都不陌生吧!由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割. 公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论. 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著. 中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割. 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行.黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛.最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广.也许,0.618在科学艺术上的表现我们已了解了很多,但是,你有没有听说过,0.618还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、残酷的战场也有着不解之缘,在军事上也显示出它巨大而神秘的力量?一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到,他的命运会与0.618紧紧地联系在一起.1812年6月,正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季,在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后,拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科.这时的他可是踌躇满志、不可一世.他并未意识到,天才和运气此时也正从他身上一点点地消失,他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来.后来,法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科.三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰,从时间轴上看,法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时,脚下正好就踩着黄金分割线.古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑,它的高和宽的比是0.618.建筑师们发现,按这样的比例来设计殿堂,殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅,别墅将更加舒适、漂亮．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目．有趣的是,这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点,人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点.大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上,两张相邻叶柄的夹角是137度28',这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角.据研究发现,这种角度对植物通风和采光效果最佳.黄金分割与人的关系相当密切.地球表面的纬度范围是0——90°,对其进行黄金分割,则34.38°——55.62°正是地球的黄金地带.无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区.说来也巧,这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家.多去观察生活,你就会发现生活中奇妙的数学!数字中国有一个成语——“顾名思义”.很多事物都能顾名思义,但是也有例外.比如,阿拉伯数字.很多人一听到阿拉伯数字,就会认为是阿拉伯人发明的.但事实证明,不是. 阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9.0是国际上通用的数码.这种数字的创制并非阿拉伯人,但也不能抹掉阿拉伯人的功劳.其实,阿拉伯数字最初出自印度人之手,是他们的祖先在生产实践中逐步创造出来的. 公元前3000年,印度河流域居民的数字就已经比较进步,并采用了十进位制的计算法.到吠陀时代（公元前1400－公元前543年）,雅利安人已意识到数码在生产活动和日常生活中的作用,创造了一些简单的、不完全的数字.公元前3世纪,印度出现了整套的数字,但各地的写法不一,其中典型的是婆罗门式,它的独到之处就是从1～9每个数都有专用符号,现代数字就是从它们中脱胎而来的.当时,“0”还没有出现.到了笈多时代（300－500年）才有了“0”,叫“舜若”（shunya）,表示方式是一个黑点“●”,后来衍变成“0”.这样,一套完整的数字便产生了.这就是古代印度人民对世界文化的巨大贡献. 印度数字首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等国.7－8世纪,随着地跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国的崛起,阿拉伯人如饥似渴地吸取古希腊、罗马、印度等国的先进文化,大量翻译其科学著作.771年,印度天文学家、旅行家毛卡访问阿拉伯帝国阿拨斯王朝（750－1258年）的首都巴格达,将随身携带的一部印度天文学著作《西德罕塔》献给了当时的哈里发曼苏尔（757－775）,曼苏尔令翻译成阿拉伯文,取名为《信德欣德》.此书中有大量的数字,因此称“印度数字”,原意即为“从印度来的”. 阿拉伯数学家花拉子密（约780－850）和海伯什等首先接受了印度数字,并在天文表中运用.他们放弃了自己的28个字母,在实践中加以修改完善,并毫无保留地把它介绍给西方.9世纪初,花拉子密发表《印度计数算法》,阐述了印度数字及应用方法. 印度数字取代了冗长笨拙的罗马数字,在欧洲传播,遭到一些基督教徒的反对,但实践证明优于罗马数字.1202年意大利雷俄那多所发行的《计算之书》,标志着欧洲使用印度数字的开始.该书共15章,开章说：“印度九个数字是：‘9、8、7、6、5、4、3、2、1’,用这九个数字及阿拉伯人称作sifr（零）的记号‘0’,任何数都可以表示出来.” 14世纪时中国的印刷术传到欧洲,更加速了印度数字在欧洲的推广应用,逐渐为欧洲人所采用. 西方人接受了经阿拉伯人传来的印度数字,但忘却了其创始祖,称之为阿拉伯数字.数学很有用学数学就是为了能在实际生活中应用,数学是人们用来解决实际问题的,其实数学问题就产生在生活中.比如说,上街买东西自然要用到加减法,修房造屋总要画图纸.类似这样的问题数不胜数,这些知识就从生活中产生,最后被人们归纳成数学知识,解决了更多的实际问题. 我曾看见过这样的一个报道：一个教授问一群外国学生：“12点到1点之间,分针和时针会重合几次?”那些学生都从手腕上拿下手表,开始拨表针；而这位教授在给中国学生讲到同样一个问题时,学生们就会套用数学公式来计算.评论说,由此可见,中国学生的数学知识都是从书本上搬到脑子中,不能灵活运用,很少想到在实际生活中学习、掌握数学知识. 从这以后,我开始有意识的把数学和日常生活联系起来.有一次,妈妈烙饼,锅里能放两张饼.我就想,这不是一个数学问题吗?烙一张饼用两分钟,烙正、反面各用一分钟,锅里最多同时放两张饼,那么烙三张饼最多用几分钟呢?我想了想,得出结论：要用3分钟：先把第一、第二张饼同时放进锅内,1分钟后,取出第二张饼,放入第三张饼,把第一张饼翻面；再烙1分钟,这样第一张饼就好了,取出来.然后放第二张饼的反面,同时把第三张饼翻过来,这样3分钟就全部搞定. 我把这个想法告诉了妈妈,她说,实际上不会这么巧,总得有一些误差,不过算法是正确的.看来,我们必须学以致用,才能更好的让数学服务于我们的生活. 数学就应该在生活中学习.有人说,现在书本上的知识都和实际联系不大.这说明他们的知识迁移能力还没有得到充分的锻炼.正因为学了不能够很好的理解、运用于日常生活中,才使得很多人对数学不重视.希望同学们到生活中学数学,在生活中用数学,数学与生活密不可分,学深了,学透了,自然会发现,其实数学很有用处.各门科学的数学化 数学究竟是什么呢?我们说,数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛,是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具． 同其他科学一样,数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去,就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速,近30多年来,数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后,大致领略一下数学的现在和未来,是很有好处的． 现代数学发展的一个明显趋势,就是各门科学都在经历着数学化的过程． 例如物理学,人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里,数学系的学生要学普通物理,物理系的学生要学高等数学,这也是尽人皆知的事实了． 又如化学,要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量,用方程表示它们的变化规律,通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学,而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学． 再如生物学方面,要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来,通过寻求方程组的“周期解”,研究这种解的出现和保持,来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究,也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就． 谈到人口学,只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长,常说每年出生率多少,死亡率多少,那么是否从出生率减去死亡率,就是每年的人口增长率呢?不是的．事实上,人是不断地出生的,出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的,它不能只用简单的加减乘除来处理,而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题,离不开方程、数据、函数曲线、计算机等,最后才能说清楚每家只生一个孩子如何,只生两个孩子又如何等等． 还有水利方面,要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等,也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机,求出它们的解来,然后与实际观察的结果对比验证,进而为实际服务．这里要用到很高深的数学． 谈到考试,同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学,就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量． 至于文艺、体育,也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到,给一位演员计分时,往往先“去掉一个最高分”,再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分,作为这位演员的得分．从统计学来说,“最高分”、“最低分”的可信度最低,因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理． 我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种,我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题,这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论,其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域,这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的,正是第三种发明创造．“这里繁花似锦,美不胜收,把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．” 正如华罗庚先生在1959年5月所说的,近100年来,数学发展突飞猛进,我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面,无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见,科学越进步,应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门,却绝对找不到原则上不能应用数学的领域．关于“0”0,可以说是人类最早接触的数了.我们祖先开始只认识没有和有,其中的没有便是0了,那么0是不是没有呢?记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0,0就表示没有数量.”这样说显然是不正确的.我们都知道,温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度）,其中的0便是水的固态和液态的区分点.而且在汉字里,0作为零表示的意思就更多了,如：1）零碎；小数目的.2）不够一定单位的数量……至此,我们知道了“没有数量是0,但0不仅仅表示没有数量,还表示固态和液态水的区分点等等.” “任何数除以0即为没有意义.”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”,当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份,求每份有多少.一个整体无法分成0份,即“没有意义”.后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数）,应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）.从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量,叫做无穷小”. “105、203房间、2003年”中,虽都有0的出现,粗“看”差不多；彼此意思却不同.105、2003年中的0指数的空位,不可删去.203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房）,可删去.0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的,宏观上看来,我始终认为是荒唐的.”我想研究一切“存在”的数字,不如先了解0这个“不存在”的数,不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人.作为一个中学生,我的能力毕竟是有限的,对0的认识还不够透彻,今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”. 已解决问题收藏 转载到QQ空间 有关数学文化方面的论文,3000字左右200[ 标签：文化 论文,数学,论文 ] 语言性论文,可以是数学的历史,发展,以及数学与其他领域方面的关系和影响 匿名 回答:3 人气:11 解决时间: 19:53 满意答案数学的文化价值 一、数学是哲学思考的重要基础
数学在科学、文化中的地位,也使得它成为哲学思考的重要基础.历史上哲学领域内许多重要论争,常常牵涉到有关对数学的一些根本问题的认识.我们思考这些问题,有助于正确认识数学,正确理解哲学中有关的争论.
(一)数学——-根源于实践
数学的外在表现,或多或少人的智力活动相联系.因此在数学和实践的关系上,历来有人主张数学是“人的精神的自由创造”,否定数学来源于实践其实,数学的一切发展都不同程度地归结为实际的需要.从我国殷代的甲骨文中,就可以看到那时我们的祖先已经会使用十进制计数方法他们为适应农业的需要,将“十干”和“十二支”配成六十甲子,用以记年、月、日,几千年的历史说明这种日历的计算方法是有效的.同样,由于商业和债务的计算,古代的巴比伦人己经有了乘法表、倒数表,并积累了许多属于初等代数范畴的资料.在埃及,由于尼罗河泛滥后重新测量土地的需要,积累了大量计算面积的几何知识.后来随着社会生产的发展,特别是为适应农业耕种与航海需要而产生的天文测量,逐渐形成了初等数学,包括当今我们在中学里学习到的大部分数学知识.再后来由于蒸汽机等机械的发明而引起的工业革命,需要对运动特别是变速运动作更精细的研究,以及大量力学问题出现,促使微积分在长期的酝酿后应运而生.20世纪以来近代科学技术的飞速发展,使数学进入一个空前繁荣时期.在这个时期数学出现了许多新的分支：计算数学,信息论,控制论,分形几何等等.总之,实践的需要是数学发展的最根本的推动力.
数学的抽象性往往被人所误解.有些人认为数学的公理、公设、定理仅仅是数学家头脑思维的产物.数学家靠一张纸、一支笔工作,和实际没有什么联系.
其实,即使就最早以公理化体系面世的欧的几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发展的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的各式,却仍然包含着数学理论的核心.当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他伯头脑中也一定联系到几何作图和直观现象.一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引.可以这么说,脱离了实践,数学就会成为无源之水,无本之木.
其实,即使就最早以公理化体系面世的欧几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发现的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的程式,却仍然包含着数学理论的核心.当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他的头脑中也一定联系到几何作图和直观现象.一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受过严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引.可以这么说,脱离了实践,数学就会变成无源之水,无本之木.
但是,数学理性思维的特点,使它不会满足于仅研究现实的数量关系和空间形式,它还努力探索一切可能的数量关系和空间形式.在古希腊时期,数学家就超越了在现实有限尺度精度内度量线段的方法,觉察到了无公度量线段的存在,即无理数的存在.这其实是数学中最困难的概念之一—连续性、无限性的问题.直到两千年以后,同样的问题导致极限理论的深入研究,大大地推动了数学的发展.试想今天如果还没有实数的概念,我们将面临怎样的处境.这时人们无法度量正方形对角线的长度,也不会解一元二次方程：至于极限理论与微积分学更不可能建立即使人们可以像牛顿那样应用微积分,但是在判断结论的真实性时会感到无所适从.在这种状况下,科学技术还能走多远呢?又如在欧几里德几何产生时,人们就对其中一个公设的独立性产生怀疑.到19世纪上半叶,数学家改变这个公设,得到了另一种可能的几何一一非欧几里德几何.这种几何的创立者表现了极大的勇气,因为这种几何得出的结论从“常理”来说是非常“荒唐”的.例如“三角形的面积不会超过某一个正数”.现实世界似乎没有这种几何的容身之地.但是过了近一百年,在物理学家爱因斯坦发现的相对论中,非欧几里德几何却是最合适的几何.再如,20世纪30年代哥德尔得到了数学结论不可判别性的结果,其中的某些概念非常抽象,近几十年却在算法语言的分析中找到了应用.实际上,许多数学在一些领域或一些问题中的应用,一旦实践推动了数学,数学本身就会不可避免地获得了一种动力,使之有可能超出直接应用的界限.而数学的这种发展,最终也会回到实践中去.
总之,我们应该大力提倡研究和当前实际应用有直接联系的数学课题,特别是现实经济建设中的数学问题.但是我们也应该在纯粹科学和应用科学之间建立有机的联系,建立抽象的共性和丰富多彩的个性之间的平衡,以此来推动整个科学协调地发展.
(二)数学—充满了辩证法由于数学严密性的特点,很少有人怀疑数学结论的正确性.相反,数学的结论往往成为真理的一种典范.例如人们常常用“像一加一等于二那么确定”来表示结论不容置疑.在我们的中小学的教学中,数学更是只准模仿、演练、背诵.数学真的是万古不变的绝对真理吗?
事实上,数学结论的真理性是相对的即使像1+1=2这样简单的公式,也有它不成立的地方.例如在布尔代数中,1+1=0!而布尔代数在电子线路中有广泛的应用.欧几里德几何在我们的日常生活中总是正确的,但在研究天体某些问题或速度很快的粒子运动时非欧几何却是适宜的.数学其实是非常多样化的,它的研究范围也随着新问题的出现而不断扩大.如同一切科学一样,数学家们如果死守着前辈的思想、方法、结论不放,数学科学就不会进步.把数学的严密性和公理化体系看作一种“教条”是错误的,更不能像封建时代的文人对待孔夫子说的话：“真理”已经包含在圣人说过的话里,后人只能对其作诠释.数学发展的历史可以证明,正是数学家特别是年轻数学家的创新精神,敢于向守旧的思想挑战,数学的面貌才得以不断地更新,数学才成长为今天这样一门蓬勃发展、富有朝气的学科.
数学的公理化体系从来也不是不容怀疑、不容变化的“绝对真理”欧几里德的几何体系是最早出现的数学公理化体系,但从一开始就有人怀疑其中的第五公设不是独立的,即该公设可以从公理体系的其他部分推出.两千多年来人们一直在寻找答案,终于在19世纪由此发现了非欧几何.虽然人们长时期受到欧几里德几何的束缚,但是最终人们还是接受了不同的几何公理体系.如果历史上某些数学家多一点敢于向旧体系挑战的革新精神,非欧几何也许还可能早几百年出现 数学公理化体系反映了内部逻辑严密性的要求.在一个学科领域内,当有关的知识积累到一定程度后,理论就会要求把一堆看来散乱的结果以某种体系的形式表现出来.这就需要对己有的事实再认识、再审视、再思索,创造新概念、新方法,尽可能地使理论能包括最一般、最新发现的规律.这实在是一个艰苦的理论创新过程.数学公理化也一样,它表示数学理论已经发展到了一个成熟的阶段,但并不是认识一劳永逸的终结.现有的认识可能被今后更深刻的认识所代替,现有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事实的公理体系所代替.数学就在不断地更新过程中得到发展.
有种看法以为,应用数学就是把熟诵的数学结论套到实际问题上去,以为中小学的教学就是教给学生这些万古不变的教条.其实数学的应用极充满挑战性,一方面不但需要深切地认识实际问题本身,另一方面要求掌握相关数学知识的真谛,更重要的是要求能创造性地把两者结合起来.
就数学的内容来说,数学充满了辩证法.在初等数学发展时期,占统治地位的是形而上学.在该时期的数学家或其他科学家看来,世界由僵硬的、不变的东西组成.与此相适应,那时数学研究的对象是常量,即不变的量.笛卡尔的变数是数学中的转折点,他把初等数学中完全不同的两个领域一一几何和代数结合起来,建立了解析几何这个框架具备了表现运动和变化的特性,辩证法因此进入了数学.在此后不久产生的微积分抛弃了把初等数学的结论作为永恒真理的观点,常常做出相反的判断,提出一些在初等数学的代表人物看来完全不可理解的命题.数学走到了这样一个领域,在那里即使很简单的关系,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们不自觉又不自愿地转变为辩证数学家.在数学研究的对象中,充满了矛盾的对立面：曲线和直线,无限和有限,微分和积分,偶然和必然,无穷大和无穷小,多项式和无穷级数,正因为如此,马克思主义经典作家在有关辩证法的论述中经常提到数学.我们学一点数学,一定会对体会辩证法有所帮助.
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来自科学教育类芝麻团
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小张共有90元钱，花了其中的2/3，花了多少钱？
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街道居委会选举人大代表，规定至少获得2/3的选票才能获选，已知参与投票的有90人，问要一个人如果要当选的话，至少获得多少张选票？
小米有90元，用了2/3，请问还剩下多少元？
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