指数函数和自然常数 e 的一个直观说明 - 文章 - 伯乐在线
& 指数函数和自然常数 e 的一个直观说明
e 一直困扰着我—不是作为字母，而是作为数学常数。它究竟代表什么呢？
数学书、甚至我所心爱的Wikipedia，都用这样呆板的行话来描述e：
e，作为数学常数，是自然对数的底数。
而当你查找自然对数时，你会得到：
自然对数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.。
漂亮的循环引用，就像词典用Byzantine定义labyrinthine一样（译注：Byzantine意为“错综复杂的”，源自“拜占庭”，与后者同义）：正确但无益。为啥不用“complicated”这样的日常用语呢？
我不是在挑剔Wikipedia—为了追求严谨，许多数学解释形式而枯燥。但是这样对于试图入手某个主题的新手毫无帮助（在某种意义上，我们都是新手）。
不罗嗦了！我这就对e是什么、为什么重要，分享下我的见解。省省吧，收起严谨的数学书，这有一个微视频，概述了我的见解：
e不仅仅是一个数字
把e描述为“一个近似于2.71828…的常数”就像把pi叫做“一个近似等于3.1415…的无理数”。尽管正确，但是完全遗漏了要点。
Pi是所有圆都共有的周长与直径的比率。它是所有圆固有的一个基本比率，因此在计算圆形、球体、柱体等周长、面积、体而且、表面积中都有影响。Pi很重要，它表明所有圆都是相关联的，更不要提由圆所导出的三角函数（sin，cos，tan）。
e是所有连续增长过程都共有的基本增长率。你可以用e表示一个简单的增长率（其中增长是发生在年末的一个瞬变），同时发现连续型复合增长的影响，其中每一纳秒（或者更快）的增长微乎其微。
只要当系统呈连续型指数级增长，e便会出现：种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状系统都能用e来近似。
就像每个数字都可以认为和1（基本单位）的呈某个比例，每个圆可以认为和单位圆（半径为1）的呈某个比例，同样每个增长率都可以认为和e（单位增长率）的呈某个比例。
因此e并不是一个模糊的、似乎随机的数字。e表示这样的思想，即所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系。
理解指数增长
首先来看一个基本系统，其在一段时间之后会翻倍。比如，
细菌每24小时分裂并翻倍
把面条对折，我们可以得到。
如果你（幸运！）得到100%的利润率，那么你的财富每年翻倍。
看起来就像这样：
分裂成两个或者翻倍是一个很普遍的级数。当然我们可以三倍或四倍地增加，但是双倍比较方便，所以这里就随我吧。
数学上，如果分裂x次，那么我们得到原始物品数量的({2^x})倍。一次分裂我们得到({2^{1}})或者2倍。四次分裂我们得到({2^{4}})或者16倍。通用公式：
另一种描述方式，双倍也就是100%的增长。我们可以重写公式如下：
虽然等式相同，但我们对2的分割具有真实意义，即原始值（1）加上100%。聪明吧？
当然，我们可以用任意数字（50%，25%，200%）代替100%，然后得到关于新比率的growth公式。因此x个周期的回报的通用公式是：
这只是意味着我们连续使用自定义的回报率，(1 + return)，“x”次。
上述公式假设增长是离散型的。细菌在等待，等待，然后爆发，它们在最后的最后数量加倍；利息收入在一年的刻度处魔幻般出现。基于上述公式的增长是离散的、瞬间发生的，即，绿点突然出现。
事实并非如此，如果我们放大来看，会发现细菌随时间分裂：
绿先生（Mr. Green）不只是突然出现：它缓慢增长，然后脱离蓝先生（Mr. Blue）。一个单位时间（本例中是24小时）之后，绿先生完成生长，然后成熟为蓝细胞，可以创造它自己的新绿细胞。
这个信息会改变我们的等式么？
不！在细菌实例中，半成品的绿细胞仍然做不了任何事情，除非它们完全长大并从蓝色父母中分离。因此，等式保持不变。
金钱改变一切
然而财富却不一样。每收入1便士的利息，这1便士就能开始收入它自己的微便士（micro-pennies）。我们不需要等到收入完整的1美元利息—新的财富不需要成熟。
基于我们旧的公式，利息增长看起来是这样的：
但是这样并不正确：所有的利息出现在最后一天。让我们把一年放大并分为两块。即每年收入100%的利息，或者每6个月收入50%。那么前六个月收入50美分，后六个月收入另外50美分：
但这依然不正确！当然，原始的财富（Mr. Blue）在一年之内收入1美元。但是6个月后收入了其中的50美分，明白了吧，我们之前忽略了这一部分！这50美分本来也有它自己的收入：
因为比率是每半年50%，那50美分本可以收入25美分（50美分的50%）。年末我们可以得到：
原始财富（Mr. Blue）
蓝先生创造的财富（Mr. Green）
绿先生创造的25美分（Mr. Red）
总共得到$2.25，即从初始的财富中收益$1.25，比翻倍要好！
让我们把回报写成公式。两个50%的半周期的growth是：
复合增长研究
是时候提升一个等级了。这次不再把增长为为两个50%的增长周期，而把它分为三段33%的增长周期。谁说我们必须等待6个月才能开始收入利息？毫厘必争！
3个复合周期的增长得到下面有趣的图表：
想象每种颜色将收益向上传送给另一种颜色（它的孩子），每个周期增长33%：
0月：初始蓝先生为$1。
4月：蓝先生已经收入它自己的1/3美元，同时创造出的绿先生拥有33美分。
8月：蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有66美分。绿先生在它之前的值上收益33%，创造11美分（33% * 33），这11美分变成红先生。
12月：情况变得略疯狂了。蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有完整的1美元。绿先生在它8月份的值（66美分）上收入33%的回报，即22美分，这22美分加到红先生上，红先生现在总共33美分。而且红先生开始有11美分，并以此收入4美分（33% * 11），创造出紫先生。
哊！12个月后的最终值是：1 + 1 + .33 + .04即2.37。
花点时间真正来搞懂这种增长的原委：
每种颜色从其自身上收入利息，并交给另一种颜色。新创造的财富可以收入它自己的财富，依次循环。
我喜欢把原始量（蓝先生）看做是不变的。蓝先生收益财富来创造绿先生，由于蓝先生不会变化，所以这是稳定的每4个月33美分的收益。图中，蓝先生有一个蓝色箭头显示出他如何喂养绿先生的。
绿先生恰好创造并喂养红先生（绿色箭头），但是蓝先生没有意识到。
绿先生随时间增长（不断被蓝先生喂养），它对红先生贡献越来越多。4-8月间，绿先生给了红先生11美分。8-12月间，因为绿先生在8月份有66美分，所以给了红先生22美分。如果我们扩展下图表，绿先生将给红先生33美分，因为绿先生在12月份达到了完整的1美元。
明白不？开始很费解—我在整合图表时，甚至自己都凌乱了。但看到每一笔财富都能创造收益，收益反过来又创造出收益……
通过在growth等式中使用3个周期，得到这样的公式：
我们挣了$1.37，比上次得到的$1.25更好！
我们可以得到无尽的财富么？
为什么不采用更短的时间周期呢？每月、每天、每小时，甚至每纳秒会怎么样？回报会猛涨么？
回报确实会变得更好，但也只是在某种意义上。尝试在我们魔幻般的公式中，来看下总的回报：
n (1 + 1/n)^n
——————
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
数字越来越大，最终收敛到2.718附近。喂…等等…这看起来像e呢！！
真棒！在令人厌恶的数学术语中，如果在越来越小的时间周期上，连续复合100%的回报，e则被定义为其增长率：
这个极限似乎是收敛的，而且存在相应的证明。但是如你所见，当我们采用更小的时间周期时，总的回报稳定在2.718附近。
但这意味着什么呢？
当在一个时间周期内复合100%的增长时，数字e（2.718…）是最大的可能结果。当然，开始时你期望从1增长到2（一个100%的增长，对吧？）。但是每向前一小步，你所创造的微薄利润本身也在收益。当所有过程指明并结束，你在一个时间周期末最终得到e（2.718…），而不是2。e是最大的，当我们尽可能多地复合100%时，又发生了什么呢？
那么，如果我们以$1.00为开始，以100%的回报连续复合，我们得到1e。如果我们以$2.00为开始，我们得到2e。如果我们以$11.79为开始，我们得到11.79e。
e像是一个速度极限（类似光速c），指明在使用一个连续过程时，可能增长多快。你可能不总是达到速度极限，但它是一个参考点：你可以用这个通用常量的表示每个增长率。
（注：注意将增量和最终结果分离。1变成e（2.718…）是一个171.8%的增量（增长率）.e本身是在所有增量考虑进去之后（原始值+增量），你所观测到的最终结果。
如果使用不同的比率呢？
好问题。如果我们以每年50%增长，而不是100%呢？我们依然可以使用e么？
来看看，50%的复合增长应该是这样的：
嗯…，这里该肿么办？回想下，50%是总的回报，n是将增长分成复合增长的周期数。如果我们取n=50，我们可以将增长分成50块，每块1%的利息：
当然，这不是无穷的，但是已经相当小了。现在想象我们也将常规的100%分割成1%的块：
Ah，殊途同归。在我们的常规案例中，有100个1%的累积变化。在50%的场景中，有50个1%的累积变化。
这两个数字间的差异是什么呢？好吧，只是差了一半的变化数目而已：
相当有趣的是，50 / 100 = .5，正是e的指数。这是普遍适用的：如果有300%的增长率，我们可以将它分成300个1%的增长块。这将是标准量的三倍，最终比率为({e^{3}})。
尽管增长可能看起来像加法（+1%），我们需要铭记其实它是乘法（x 1.01）。这正是我们为什么使用指数（重复乘）和平方根（({e^{1/2}})表示变化量的一半，比如，乘数的一半）。
这里取了1%，但我们本可以选择任意小的增长单位（.1%，.0001%，甚至一个无穷小量！）。重点是对于所选取的任意比率，它只是e上的一个新指数而已：
如果使用不同的周期呢？
假设我们以300%增长两年，我们要将一年的增长（({e^{3}})）乘以其自身：
因于指数的魔力，我们可以避免使用两个乘幂，而仅仅在一个指数中将比率和时间相乘。
大秘密：e整合了比率和时间
这也太粗暴了！({e^{3}})可以表示两个东西：
X是时间乘以增长率：以100%增长三年是e3
X是增长率本身：以300%增长一年是e3
这个重叠不会引起混淆么？公式会不会不成立呢，又是世界末日？
一切正常，当我们写为：
变量x是比率和时间的组合。
我来解释下。当处理连续型复合增长时，10年3%的增长和1年30%的增长是等效的（然后再无增长）。
10年的3%的增长意味着30个1%的变化，这些变化在10年内发生，所以你是以每年3%连续增长。
1个周期的30%的增长意味着30个1%的变化，但是在一年内发生，所以一年增长30%，然后停止。
每个案例中有同样的“30个1%的变化”发生。速率（30%）越快，达到同样的效果所用时间越少（1年）。速率越慢（3%），需要增长的时间越长（10年）。
但是在两个案例中，最后的增长是 e.30 = 1.35。我们更加急切地希望大而快的增长，而不是慢而长的增长，但是e显示出它们的最终效果是一样的。
所以我们的通用公式变为：
如果我们有t个周期r增长的回报，我们最终的复合增长是 ert。顺便，这甚至对于负的、
小数型回报也适用。
实例时间！
实例使所有事情更有趣。一条速记：我们习惯了像 2x 这样的公式以及常规的复合利息，以至于很容易混淆（包括我自己）。更多阅读—
这些实例着重于平稳的连续型增长，而不是在年度区间上的跳跃式增长。有很多方法可以在二者之间转换，但我们将把它留给另一篇文章。
实例1：生长的水晶
假设我有 300kg 魔力水晶。它们富有魔力是因为它们每天都会生长：我观察到一颗水晶，其在24小时之内，以自身的重量脱落生成水晶（子水晶以同样的比率立即开始生长，但是我追踪不到，因为我在观察原始的脱落量）。10天之后我将拥有多少？
好的，因为水晶立即开始生长，所以我们希望连续型的增长。我们的比率是每24小时100%，那么10天之后我们得到：300*e1*10 = 6.6Mkg 魔力宝石。
这可能不易理解：注意输入速率和输出速率间的差异。“输入”是一颗水晶的改变量：24小时内100%。最终的输出速率是e（2.718x），因为子水晶自己也在生长。
本例中我们有输入速率（一颗水晶的生长速率），想要复合后（由于子水晶的加入，整个水晶群的生长速率）的全部结果。如果我们有总的生长速率，想要单颗水晶的生长速率，我们可以使用逆向运算。
实例2：最大利率
假设我有账户上有$120，利率5%。银行很慷慨，给了我最大可能的复合。10年后我将得到多少呢？
我们的比率是5%，而且很幸运得以连续复合。10年之后，我们得到($120*e.05*10 = $197.85)。当然，大多数银行并不是友好地给你最优的比率。你的确切回报和这个连续型模型之间的差异是它们不喜欢你的程度。
实例3：放射性衰变
我有10kg的放射性材料，似乎以每年100%的速率连续衰变。3年后我将有多少呢？
一丁点？0？一无所有？再想想。
每年100%的连续衰减是我们的起始条件。是的，我们确实开始时有10kg，并且预期在年末“失去所有”，因为我们以每年10kg的速率衰变。
过了几个月，我们到达5kg，还剩半年？不！现在我们以每年5kg的衰变，所以此刻开始又是完整的一年！
再等几个月，我们到达2kg。同样，现在我们以每年2kg的速率衰变，所以我们有完整的一年（从此刻开始）。我们到达1kg时，有完整一年，到达.5kg时，有完整一年—看出道道没？
随着时间推移，我们失去了材料，但是衰变速率也在下降。这个不断改变的增长（growth）是连续增长和衰变的本质。
3年后，我们将有(10*e-1*3=.498kg)。我们对衰变使用负的指数—我们想要一个小数 1/ert 与一个增长乘子 ert 做对比。[衰变常常称为“半衰期”—我们将在以后的文章中谈论这些比率的转换。
如果你想要更有趣的实例，试试（注意指数衰变中e的取值）或者（放射性衰变）。目的是看看公式中的 ert，然后理解它存在的原因：它模拟了一种增长或衰变。
那么现在你知道为什么是“e”，而不是pi或者其他什么数字：e的“r*t”次幂告诉你速率r和时间t对增长的影响。
更多学习内容：
我的目标是：
解释e为何重要：它是类似于pi的一个基本常量，出现在增长率中。
给出一个直观解释：e让你看到任意增长率的影响。每个新的“成员”（绿先生，红先生，等等）对总的增长有贡献。
展示他的使用方式：ex让你预测任意增长率和时间周期的影响。
让你渴望学习更多：在即将出炉的文章中，我将研究e的其他属性。
本文只是一个开始—把所有东西塞进一篇文章会使你我一样劳累。放空自己，休息一下，继续学习e的邪恶孪兄—
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1.This post: An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
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怎么求一个数的对数呢？
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怎么求一个数的对数呢？1、如我想求10的对数为1&&&&& 100的对数为2（这是以10为底的）2、我想求以任意数为底的对数又怎么求呢？怎样在EXCEL中使用公式呢，请高手指点！！！！谢谢！！！！
[此贴子已经被作者于 21:11:03编辑过]
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EXCEL里不是有LOG函数吗?用它就可以了
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LN(number)返回以常数项e为底的自然对数LOG(number,base)返回按所指定的底数的数的对数.LOG10(number)返回以10为底的对数.
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谢谢楼上的两位朋友，小的又学到一招！！！！[em01][em01][em01][em01]
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08-10-24 &
(1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).
(4)logaN=logcN/logca 证明：(1)设logaM=b，logaN=c
则ab=M，ac=N，得a（b+c）=MN，也就是loga(MN)=b+c，即loga(MN)=logaM+logaN
(2)设logaM=b，logaN=c
则ab=M，ac=N，得a（b-c）=M/N，也就是loga(M/N)=b-c，即loga(M/N)=logaM-logaN
(3)设logaM=b
则ab=M，可得a（bn）=Mn，也就是loga(Mn)=bn，即logaMn=nlogaM
()设logaN=b
则ab=N，可得blogca=logcN，也就是logaNlogca=logcN，即logaN=logcN/logca
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不写出来，怎么推导
请登录后再发表评论!对数函数运算公式是什么? _数学_天涯问答
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对数函数运算公式是什么? _数学_天涯问答
对数的概念　　英语名词：logarithms　　如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。　　log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b&0，零和负数没有对数；a的定义域是a&0且a≠1。　　对数的历史　　约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。　　Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。　　年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。　　他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（'Mirifici logarithmorum canonis descriptio'）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由 Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。　　纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（'纳皮尔圆部法则'）和解球面非直角三角形的两个公式——'纳皮尔比拟式'，以及做乘除法用的'纳皮尔算筹'。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。[编辑本段]对数的性质及推导　　定义：　　若a^n=b(a&0且a≠1)　　则n=log(a)(b)　　基本性质：　　1、a^(log(a)(b))=b　　2、log(a)(a^b)=b　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)　　推导　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。　　2、因为a^b=a^b　　令t=a^b　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)　　3、MN=M×N　　由基本性质1(换掉M和N)　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)　　由指数的性质　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)　　4、与（3）类似处理　　MN=M÷N　　由基本性质1(换掉M和N)　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]　　由指数的性质　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)　　5、与（3）类似处理　　M^n=M^n　　由基本性质1(换掉M)　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n　　由指数的性质　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}　　又因为指数函数是单调函数，所以　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)　　基本性质4推广　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]　　推导如下：　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　换底公式的推导：　　设e^x=b^m,e^y=a^n　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)　　由基本性质4可得　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}　　再由换底公式　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）[编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.　　2.对于y=log(a)(n)函数,　　①,当0&a&1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.　　②当a&1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.[编辑本段]其他性质　　性质一：换底公式　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)　　推导如下：　　N = a^[log(a)(N)]　　a = b^[log(b)(a)]　　综合两式可得　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}　　又因为N=b^[log(b)(N)]　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)　　证明如下：　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。　　100以内的对数表　　log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 86 12 34 037411 92 07 19 075512 64 69 72 110613 06 03 99 143014 23 14 03 173215 18 03 87 201416 95 75 53 227917 55 30 04 252918 01 72 42 276519 33 00 67 298920 54 18 81 320121 63 24 85 340422 64 22 79 359823 55 11 66 378424 38 92 45 396225 14 65 16 413326 83 32 81 429827 46 93 40 445628 02 48 94 460929 54 98 42 475730 00 43 86 490031 42 83 24 503832 79 19 59 517233 11 50 89 530234 40 78 16 542835 65 02 39 555136 87 23 58 567037 05 40 75 578638 21 55 88 589939 33 66 99 601040 42 75 07 611741 49 80 12 622242 53 84 14 632543 55 85 15 642544 54 84 13 652245 51 80 09 661846 46 75 02 671247 39 67 94 680348 30 57 84 689349 20 46 72 698150 07 33 59 706751 93 18 43 715252 77 02 26 723553 59 84 08 731654 40 64 88 739655 19 43 66 747456 97 20 43 755157 74 97 19 762758 49 72 94 770159 23 45 67 777460 96 18 39 784661 68 89 10 791762 38 59 80 798763 07 28 48 805564 75 96 16 812265 42 62 82 818966 09 28 48 825467 74 93 12 831968 38 57 76 838269 01 20 39 844570 63 82 00 850671 25 43 61 856772 85 03 21 862773 45 63 81 868674 04 22 39 874575 62 79 97 880276 20 37 54 885977 76 93 10 891578 32 49 65 897179 87 04 20 902580 42 58 74 907981 96 12 28 913382 49 65 80 918683 01 17 32 923884 53 69 84 928985 04 20 35 934086 55 70 85 939087 05 20 35 944088 55 69 84 948989 04 18 33 953890 52 66 81 958691 00 14 28 963392 47 61 75 968093 94 08 22 972794 41 54 68 977395 86 00 14 981896 32 45 59 986397 77 90 03 990898 21 34 48 995299 65 78 91 9996[编辑本段]历史　　对数方法是苏格兰的 Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，(Joost Bürgi 独立的发现了对数；但直到 Napier 之后四年才发表)。这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。
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