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&&&三行一位数相加的求和方法探析
三行一位数相加的求和方法探析
在进行珠算一目三行同位数连加法的教学过程中,引导学生熟练掌握三行一位数之和是个关键.指导教师应因材施教,有针时性地分别采用心算法、口诀算法和交换律法等方法,并分步进行组织练习,使学生能够科学的运用三行一位数相加的求和方法及其规律性,尽快掌握三行一位数之和.
摘要： 在进行珠算一目三行同位数连加法的教学过程中,引导学生熟练掌握三行一位数之和是个关键.指导教师应因材施教,有针时性地分别采用心算法、口诀算法和交换律法等方法,并分步进行组织练习,使学生能够科学的运用三行一位数相加的求和方法及其规律性,尽快掌握三行一位数之和.&&
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&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=3%5Ctext%7BMeV%7D& alt=&3\text{MeV}& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=5%5Ctext%7BMeV%7D& alt=&5\text{MeV}& eeimg=&1&& ，但是由两个u夸克和一个d夸克构成的质子却有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=1000%5Ctext%7BMeV%7D& alt=&1000\text{MeV}& eeimg=&1&& 左右。另外，通过分析介子谱可以发现， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&&介子的质量远远小于其它介子。对这个现象做出的合理解释就是QCD中的手征对称性自发破缺，其结果就是夸克获得了一个额外的动力学质量， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim+330%5Ctext%7BMeV%7D& alt=&\sim 330\text{MeV}& eeimg=&1&& ，再根据Goldstone定理，每一种连续对称性的破缺都会产生零质量的玻色子，此处即为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 介子（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi& alt=&\pi& eeimg=&1&& 介子实际具有一个小的质量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim+130%5Ctext%7BMeV%7D& alt=&\sim 130\text{MeV}& eeimg=&1&&，这是因为夸克的质量并不严格为零。计算表明，如果夸克的质量严格为零，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&介子的质量也会严格为零 ）。&/li&&/ul&&p&以上是QCD在低能下非常重要的两个性质，但是格点QCD和相关模型计算显示，当提高系统温度或者增加密度，QCD物质会发生两种相变：手征相变和退禁闭相变。前者对应着手征对称性恢复，即动力学质量变为零，夸克又变为接近零质量的粒子；后者对应着夸克禁闭消失，也就是夸克（在一定程度上）可以自由运动，而不仅仅被限制在核子内部运动。综合这两种相变，人们相信，在高温高密的区域QCD物质会处于一种以夸克-胶子为基本自由度的状态，我们把这种状态叫做&b&夸克胶子等离子体&/b&。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b27af3681bec8e60cf39021d_b.jpg& data-rawwidth=&543& data-rawheight=&334& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b27af3681bec8e60cf39021d_r.jpg&&&figcaption&QCD物质相图。横坐标是重子数化学式，对应于净重子数（正重子数-反重子数），纵坐标是温度。&/figcaption&&/figure&&p&通过QCD相图可以看到，在低温低密时，强子气是QCD物质存在的主要形式。当提高温度时，会形成夸克胶子等离子体。另外，在低温高密时（QCD相图右下方棕色区域），QCD物质还会形成色超导态（类比于电超导）。当然，由于在我们感兴趣的区域到目前为止还无法通过QCD直接计算，实际上相图中的大部分区域都是通过模型计算以及与QED的类比和合理猜想得到的，因此QCD物质是否真的能形成这样的状态还得通过实验进行验证。&/p&&h2&&b&2、相对论性重离子对撞&/b&&/h2&&p&相对于核子（质子和中子）的能量和密度，我们生活中物质（即QED物质）所具有的温度和密度是非常低的，为了研究上一节中QCD相图是否合理，就需要在高温或者高密的物质中进行实验。那么自然界中存在着高温或者高密或者高温高密的QCD物质吗？答案是有！&/p&&ul&&li&宇宙大爆炸初期。通过对宇宙大爆炸模型和粒子物理标准模型的研究，大家相信，在宇宙大爆炸初期，物质就是处在高温高密的环境中。当然在初期正反物质数量应该是相等的，因此对应着QCD相图中零化学式高温的区域（即纵轴）。参考下图。&/li&&li&中子星。中子星内部压力密度非常高，普通的物质无法稳定存在，通过与QCD相图对比，此处很有可能处于QCD色超导态。&/li&&/ul&&p&对于宇宙大爆炸初期的状态现在只能通过各种遗留信号分析，比如微波背景辐射，&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d857cba69a7ab6f75a40e9ad304ea483_b.jpg& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&783& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d857cba69a7ab6f75a40e9ad304ea483_r.jpg&&&figcaption&宇宙演化历史。图中中部偏左部的红色区域即为夸克胶子等离子态&/figcaption&&/figure&&p&而对中子星内部的状态的研究同样非常困难，虽然可以通过中子星合并等事件分析内部状态，但是这种事件并不常有。那么有没有一种办法可以能自由控制系统状态呢？答案也是有的，那就是重离子对撞实验！&/p&&p&重离子对撞最早是由李政道先生在1970年提出的，通过加速重原子核——比如金核——到接近光速进行对撞，此时的原子核的运动是相对论性的，能量非常高，以此从真空中激发出大量的粒子。通过控制对撞的能量可以调节形成的QCD物质的温度和密度。李政道先生还特地邀请了画家李可染先生于1986年画了一幅画作：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3a2ca5c63e5beeeccda14d_b.jpg& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&300& data-size=&normal& class=&content_image& width=&404&&&figcaption&核子重如牛，对撞生新态&/figcaption&&/figure&&p&这幅画后来被做成雕像，目前就坐落在清华科技园&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f658d2d4cb94a_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&800& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f658d2d4cb94a_r.jpg&&&figcaption&“核子重如牛，对撞生新态”雕像（来源见水印）&/figcaption&&/figure&&h2&&b&3、重离子对撞运行试验&/b&&/h2&&p&目前，世界各地有不同的重离子对撞实验组同时运行试验：&/p&&ul&&li&欧洲核子中心（CERN）的LHC。很多人都知道LHC发现 Higgs粒子，但是却很少有人知道LHC上也同时运行着重离子对撞实验。LHC上一共有四个对撞点，其中有两个是做重离子对撞相关的探测和研究&/li&&li&美国布鲁克海文
国家实验室RHIC(相对论性重离子对撞，Relativity Heavy Ion Collidor)实验，其中的STAR和PHENIX两个实验组均做与重离子对撞相关的研究&/li&&li&德国亥姆霍兹重离子研究中心&/li&&li&俄罗斯杜布纳联合核子中心&/li&&li&中国科学院近代物理研究所，位于兰州&/li&&li&......&/li&&/ul&&p&在重离子对撞中，核子碰撞后系统的演化如下图所示：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a82222b_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&232& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4a82222b_r.jpg&&&figcaption&重离子对撞后系统的演化示意图&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&原子核形状近似为球体，原子核被加速到接近光速时，其在运动方向由于洛伦兹收缩变的非常窄，对撞时系统的形状为椭球状。由于对撞，系统上升到非常高的温度，有可能形成夸克胶子等离子体，系统内部的压强非常大，因此迅速膨胀冷却。由于温度降低，系统中的夸克胶子又重新结合形成强子，最终到达探测器。通过对最后强子的分析，就有可能分析出中间的状态。关于RHIC中的实验下面有一段视频：&/p&&p&&br&&/p&&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/6514304& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-88f1aee2dc8d701eb19c4_b.jpg& data-lens-id=&6514304&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-88f1aee2dc8d701eb19c4_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/6514304&/span&
&h2&&b&4、总结与展望&/b&&/h2&&p&通过上述的分析，看似我们对QCD相图有比较清晰的认识，但是实际上，除了格点QCD能直接计算的零化学式区域外，其它区域的状态我们并没有直接完整的认识。但是，越是对QCD相图确定的区域少，我们能做的研究工作就越多,QCD物质的相结构比QED物质相结构更加丰富，物理内涵也更加多样。未来的研究也更令人着迷。&/p&&p&最后，用李政道先生在1996RHIC暑期学校中做的一首诗作为结尾：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-eb2d66f6b4e3fa95d079076_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&506& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-eb2d66f6b4e3fa95d079076_r.jpg&&&figcaption&To know the smallest, we need also the largest!&/figcaption&&/figure&&hr&&p&科学小屋&/p&&p&不定期发布带公式的科普文章&/p&&p&欢迎关注，欢迎投稿 &/p&
0、前言物理中对于物质的研究，总体上可以分为两类：物质的结构和物质的状态。前者是研究物质结构和组成，比如原子是由原子核和电子组成，原子核由质子和中子组成，研究对象主要是单粒子体系；后者是研究大量粒子聚集所形成的物质的状态，比如宏观中水的液…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d6385aceeb555faee54e28_b.jpg& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&646& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d6385aceeb555faee54e28_r.jpg&&&/figure&&p&以下我个人的收藏夹 &a href=&https://www.zhihu.com/collection/& class=&internal&&Mathematical Analysis&/a& 的索引：&/p&&blockquote&暂时只整理了这些（大概才1/5，实在太多了），再慢慢补充&/blockquote&&p&&b&1.网站工具：&/b&&/p&&p&Math Stack Exchange/Math Overflow&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&拜伦勋爵的诗歌：有什么学习数学的好网站？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Daniel Xiang：有什么学习数学的好网站？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&孙文亮：有什么学习数学的好网站？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：如何在1小时内快速入手LaTeX？&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&安利一款数学公式编辑器，AxMath&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&THU特奖四杰（偏科研类型）演讲视频&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&视频 | 陶哲轩-地上聪明数学家访谈&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.技术性科普：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&PENG Bo：数学中的朗兰兹纲领和几何朗兰兹指的是什么？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&张辰LMY：为什么Langlands纲领的地位如此之高？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&张辰LMY：何为分析方法，代数方法和几何方法？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&酱紫君：如何定义什么是 1？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&酱紫君：不定积分理论不够完美怎么办？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&酱紫君：如何积 1/ln(x)？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：Bernstein 多项式是怎么想出来的？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&MrRoach：数学的符号系统有没有缺陷？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&余翔：在没有选择公理的情况下，如何证明不连续函数比连续函数多？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：怎样从不同角度理解卷积，特别是几何直观的角度和它在不同学科中的应用？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：选择公理在什么情况下使用？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&DTSIo Shao：有没有证明某函数不存在初等表示的一般思路？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&匿名用户：√π 和 π 哪个更无理？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：拉马努金圆周率公式的原理是什么？&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&积分变换和 Riemann zeta 函数的函数方程&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&从调和级数到 Riemann Zeta 函数&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&Riemann Zeta 函数（二）&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&为什么全体自然数的和是负十二分之一？&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&几何之球面探奇（Milnor阿贝尔奖科普报告）&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&小说《遇见番外篇06》之Q赛数学讨论班（上）&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&小说《遇见番外篇07》之Q赛数学讨论班（下）&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&THU数学学堂班小论文题材清单&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&p-可除群的一些基本性质(I):起源&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&p-可除群的基本性质(II):有限平坦群概形&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&p-可除群的基本性质(III): Dieudonne理论&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&一些和数学分析有些关系的杂记&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&椭圆曲线的一些基础性质&/a& &/p&&p&（此处强烈推荐
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Liu：申请美国数学PhD时，本科学校背景到底有多重要？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：你认为有哪些大学专业填报时千万要谨慎？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：宾大数学系Master of Arts in AMCS 申请难度如何？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：中国较好的985高校（清北+华东五校），本科生源质量是否已经远超美国常青藤、斯坦福、MIT等名校了？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：应数phd vs 金融工程硕士（MFE）该选哪个？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&拓扑：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：有没有比较浅显的拓扑学在数学分支中应用的例子？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&匿名用户：有没有比较浅显的拓扑学在数学分支中应用的例子？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：什么样的拓扑群存在不连续的自同态？&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&分析：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&DTSIo Shao：学习复变函数与积分变换有什么用途？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：能不能把泛函简单地理解为函数？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：泛函是函数的函数？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：为什么测度论要建立在σ-代数上？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：为什么没有定义流形上的Lebesgue测度，比如半球面的二维Lebesgue测度？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：调和分析与傅立叶分析的关系与区别？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：在有界数列空间l^∞上能否定义一个有界线性泛函φ，使得φ(x)是有界数列x的聚点？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&王筝：在有界数列空间l^∞上能否定义一个有界线性泛函φ，使得φ(x)是有界数列x的聚点？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&罗旻杰：二元级数的收敛区域是怎样的？如何确定收敛边界？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&李归农：为什么说 Nevanlinna 的值分布理论是复变函数的巅峰？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：Borel 集的作用？意义？它为什么重要？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&养肥了再杀吧：如何理解矩阵对矩阵求导？&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&微积分：微分形式&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&代数：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&白如冰：矩阵奇异值与矩阵范数之间有什么联系？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：如何理解矩阵转置和求逆的可交换性？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：高等代数研究线性空间的意义是什么呢？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：范数的大小比较有什么意义？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：范数的大小比较有什么意义？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&赵甡：请问σ-代数（sigma-algebra）的含义是什么，能否举例说明？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&组合：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&罗旻杰：生成函数的思想怎样应用于组合恒等式？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&好地方bug：n 阶完全图有多少 n 个顶点的连通子图？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&几何：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：复几何需要什么基础?&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&概率论与数理统计：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：什么叫做泛函空间的大数定律？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&郭小贤：为什么说Dirichlet分布是分布的分布？&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&数学与物理：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：奇异值的物理意义是什么？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&数学人很幽默：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&猪一期：有哪些只有数学专业领域的人才懂的笑话？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&曲华迪：有哪些只有数学专业领域的人才懂的笑话？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：现在市面上哪些教材更适合民科自学数学？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&书籍推荐：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&野猫君：你知道哪些冷门但内容十分好的数学书？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&张辰LMY：数学系有哪些较好的习题书可以推荐？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&张辰LMY：有什么被低估的数学书？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&yx3x：学习实分析什么教材比较好用，各有什么优劣？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&野猫君：读 Evans 的 PDE 前需要哪些预备知识？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：读 Evans 的 PDE 前需要哪些预备知识？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：卓里奇《数学分析》和菲赫金哥尔茨《数学分析原理》各有什么特点？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：《陶哲轩实分析》 里的内容是属于数学分析还是实分析？为什么有人推荐用这本书来入门数分？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&唐珑珂：自学抽象代数有哪些相关资料值得推荐？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&王小龙：应该按照怎样的顺序来自学英文版本科及研究生数学书籍?&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：应该按照怎样的顺序来自学英文版本科及研究生数学书籍?&/a&
&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Mosbic：有哪些你用过之后觉得非常重要的数学分析参考书？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&覃含章：有没有一本系统介绍不等式的书？准数学系本科水平。?&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&李归农：高等代数学完后该看的高级代数入门参考书？&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&陈天权《数学分析讲义》与A. Browder的Mathematical Analysis 一个章节的比对&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&科普小说《遇见喜欢数学的女孩》三部曲下载地址&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&写给数学本科生：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：孤独是学数学的人的常态吗？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Caesar.Imperator：孤独是学数学的人的常态吗？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：数学给你带来了哪些乐趣？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：数学给你带来了哪些乐趣？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：数学生开始读博前的暑假可以/应该做什么？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：本科或研究生阶段上数学课听老师讲课和自学有不同吗？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：如何理解丘成桐先生所说的「学习过程，本来就痛苦」？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：科学爱好者跟真正的科研工作者之间差距究竟有多大？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Xiang Sun：在你所在的专业，有哪些核心期刊？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&贱贱：读 PhD 是选择大牛老板还是选择活跃的新人好？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：是什么让你在数学的道路上（差点就）坚持不下去？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：大二数学本科生想准备一篇好的论文作为毕业论文，应该做些什么啦？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&李归农：大二数学本科生想准备一篇好的论文作为毕业论文，应该做些什么啦？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&李归农：作为一个年轻的数学工作者，你们是如何独立于导师选定问题的？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：我该怎样劝说孩子学会均衡发展？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&魏临风：我该怎样劝说孩子学会均衡发展？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：我该怎样劝说孩子学会均衡发展？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：如何克服不想写论文的情绪？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：如何判断一个人适不适合学数学？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：为什么我们的代数和几何，方面的课很少，而分析方面的却很多，代数学了近世代数之后应该如何学习？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Yuhang Liu：为什么我们的代数和几何，方面的课很少，而分析方面的却很多，代数学了近世代数之后应该如何学习？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&戴伦：数学专业学生，认真听讲、推导书上公式，但不做题，会出现什么问题？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&徐凯：北大、国科大、清华，基础数学哪家强？&/a& &/p&&p&&br&&/p&&p&&b&习题作业：&/b&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&池也：零测集的任何子集一定是零测集吗？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&罗旻杰：将Basel问题里面的1，2，3，…改为x+1，x+2，x+3，…,得到的级数值的函数表达式是什么？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&罗旻杰：数列k^(n+1)*A_(n+1)+a*A_(n+1)+b*k^n*A_n+c*An=0的通项？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&王筝：一个看似很简单但又不会解的问题…？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：如何证明R^n中任何开集V都可以写成可数个半径有限的开球的并，且这些开球的闭包属于这个开集?&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：在任意一个不完备的度量空间中，是否都可以构造一个没有公共点的闭集套？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：如何正面证明［0，1］上无理数的测度等于1？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：符合介值性定理的函数一定连续吗？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：关于凸函数的定义问题？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：中值定理无穷导数?&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&知乎用户：关于凸函数的定义问题？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&灵剑：极坐标是什么代数结构?&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&Colescu：R^Z的维数是多少？&/a& &/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&好个盖碗茶：斐波那契数列两倍项关系公式f(2n)=f(n-1)f(n)+f(n+1)f(n)怎么推导的？&/a& &/p&&p&&/p&&p&&/p&
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的索引：暂时只整理了这些（大概才1/5，实在太多了），再慢慢补充1.网站工具：Math Stack Exchange/Math Overflow
&p&Note：原答案针对的是他最早的那份量子场论（QFT）讲义。再大概评论一下其他讲义，并且做一些补充。&/p&&p&背景：这些讲义大部分都是一个完整的课程，Part IA/IB/II 对应前三个年级（学士），Part III是四年级（硕士）。每学期8周，有的课一周3次，有的一周两次，也就是整个课程对应16/24节课时（每节不到1小时）。这么短课时肯定讲不了详细，只涉及到最重要topics的概况；目的都是为引入后续更高阶课程，或者引导你读教科书。但总的来说David Tong作为arguably剑桥物理教学最棒的教授，notes写的确实非常好的，对于没有其它免费资源的人来说还是比较推荐的。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&Part I/II低年级课程中经典、电动、热统三块都是相对比较完整的简介；量子力学应用那个是一个second course，其量子力学基础可以看下面David Skinner写的讲义。&/li&&li&Part III/graduate讲义（QFT、Stat Field Theory、string、kinetic theory）都是那种入门级的研究生课程，需要后续大量补充的。&/li&&li&至于Soliton和霍尔效应都是非常specialized topics，也是他在类似于TASI这种暑期学校给的讲座（通常目的是引导阅读专著/paper），按需阅读。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&——————原答案——————&/p&&p&QFT讲义是剑桥数学系四年级（初等研究生级别）第一学期的lecture内容，显然是非常introductory的QFT课程。&/p&&p&&br&&/p&&p&和这个课程（教于2007年）比较连贯的是Hugh Osborn （共形场论大佬，偏formal theory） 2013年教的第二学期课程（Advanced quantum field theory）。&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/ho/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-a4e31b83d2e9e458f734_ipico.jpg& data-image-width=&256& data-image-height=&256& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Professor Hugh Osborn&/a&&p&2015年之后这门课是David Skinner （他比较偏数学物理，做了很多amplituhedron、string的工作）教的，内容相对更偏向formal和数学物理的人一些。&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/dbs26/teaching.html& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&David Skinner -- Lecture Notes -- University of Cambridge&/a&&p&【原答案补充】&/p&&p&还有他String Theory讲义的话相当于删减版的Polchinski卷1（我想他的讲义应该相当于更详细版本的Joe's little book（我只是浏览过Joe的讲义）&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.kitp.ucsb.edu/sites/default/files/users/joep/JLBS.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&kitp.ucsb.edu/sites/def&/span&&span class=&invisible&&ault/files/users/joep/JLBS.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&），建议结合阅读。&/p&&p&&br&&/p&&p&另外，在线QFT讲义最经典的还是Sidney Coleman的讲义&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Notes from Sidney Coleman's Physics 253a&/a&，培养了很多这一代的理论大师，据说现在常用的那些教科书（除了Weinberg）多少都有Coleman的影响。（该讲义马上要出版为书了&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.worldscientific.com/worldscibooks/10.& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Lectures of Sidney Coleman on Quantum Field Theory&/a&。）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&——————额外补充——————&/p&&p&考虑到越高等的课程越难得有比较好的课程，因此在这顺便推荐一下剑桥其他教授写得比较好的Part III讲义（个人认为）。&/p&&ul&&li&量子场论相关&/li&&/ul&&p&&i&Symmetries, Fields, and Particles&/i&（对称性与场和粒子），对粒子物理中李代数应用的介绍，Nick Dorey（他曾经是David Tong的PhD advisor）。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/jjvk2/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Josh Kirklin&/a&（由这个学生写成了latex pdf讲义，他也给其他教授的课程写了pdf讲义，如Malcholm Perry（S.W. Hawking的学生），的QFT；不过就远不如Tong的课讲得好。）&/p&&p&&i&Standard Model&/i&（标准模型），非常标准的standard model phenomenology入门简介。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/cet34/teaching/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dr Christopher Thomas - Teaching&/a&&/p&&p&&i&Supersymmetry and Extra dimensions&/i& (超对称和额外维度)，Fernando Quevedo (一个string phenomenologist)。他虽然是Steven Weinberg的学生，不过超对称用的还是非常标准的Wess & Bagger的notation。这门课还是超对称和Kaluza-Klein额外维度为主，基础部分还是算得上不错的简介了，但是超引力和额外维度的一些模型都非常简略，只能作为big picture看看吧。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/fq201/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fernando Quevedo&/a&&/p&&ul&&li&引力和宇宙学&/li&&/ul&&p&&i&General Relativity&/i&和&i&Black Holes&/i&的讲义，Harvey Reall（S.W. Hawking的学生）。这两门课大概就是Robert Wald的GR和弯曲时空场论两本书的核心内容，属于比较高阶一点的内容了；所以需要一些基础的相对论和量子场论背景知识。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/hsr1000/teaching.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Harvey Reall -- Teaching&/a&&/p&&p&&i&Cosmology&/i&，是现在已经在U Amsterdam的Daniel Baumann教的，他原先主攻的是Inflation，所以应该可以作为这方面的first course，然后接下去他还有Inflation的讲义。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/user/db275/Cosmology/Lectures.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&damtp.cam.ac.uk/user/db&/span&&span class=&invisible&&275/Cosmology/Lectures.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&**另外还有Gary Gibbons （S.W. Hawking从Dennis Sciama接手过来的第一个学生）也有很多引力方面的讲义，不过我没有读过，不敢过多评价，在此只做搬运&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.damtp.cam.ac.uk/people/g.w.gibbons/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Professor Gary W. Gibbons, FRS, PhD&/a&。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&凝聚态场论和相变&/li&&/ul&&p&以上都是剑桥数学系的课程；另外物理系Cavendish Lab的Ben Simons的凝聚态理论课程。&/p&&p&其一是&i&Quantum Condensed Matter Field Theory&/i&，没错，他和Alex Altland那本书的前半就是基于这些讲义，亮点是在lecture版本他还给出了详细的一些推导过程。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.tcm.phy.cam.ac.uk/%7Ebds10/tp3.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Ben Simons home page&/a&&/p&&p&其二是&i&Phase Transitions&/i&其实这门课和David Tong的Stat. Field Theory有些重叠，不过比较侧重物理理解一些。&/p&&p&&b&链接：&/b&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.tcm.phy.cam.ac.uk/%7Eachc2/res_group.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dr Anson cheung&/a& （这是后来一个教授改版的讲义。）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&希望对初学者能有所帮助~~&/p&&p&&br&&/p&&p&————补充2————&/p&&p&评论中题主追问：“如何看待讲义和教科书的不同，如何使用讲义与教科书。”&/p&&p&对于这个问题，我认为学习者之间、讲义之间、教科书之间都有很大差异。说一些比较共通的；例子的话，我觉得上面提到Polchinski的讲义和书最恰当（顺便缅怀一下Polchinski大师）。以下来自于Joe's little book开头：&/p&&blockquote&When I wrote the Big Book of String, I had many goals. One was to make it very&br&readable, so you would pick it up, be unable to put it down, and after staying up all night reading you would know string theory. But in spite of much effort, this didn't happen. The desire to be general and systematic pulled in the opposite direction. So these notes are intended to be the book I might have written, and I can leave many details to the Big Book.&/blockquote&&ul&&li&直接划重点，讲义的话一个是&b&readable&/b&；再一个他说“after staying up all night reading you would know string theory”这句话让我概括就是&b&Broad-brush&/b&，就是说一个很好的概览，帮助直觉上更好地理解——因此如同很多其他答案所说，适合作为入门。（这里仅限面向研究生的讲义；特例如Ed Witten经常动不动发个Notes on XXX，那些一般都是对于最尖端的领域，还没有人出版过教材。）&/li&&li&另一方面，教科书比较追求&b&general&/b&和&b&systematic&/b&，相对应地就是帮助更技术层面上的理解，尽可能包含足够的技术细节（the &many details& of the Big Book），引导读者去找原文献——所以是更适合去深入学习notes中没弄明白的技术细节，作为补充。（当然也有类似Tony Zee的书更偏向于给你一些直觉的理解，什么事都有例外嘛。）&/li&&li&更极致的书可能追求的甚至是&b&exhaustive&/b&，就是说尽可能全面地总结这个领域，这种例子就比如说Misener Thorne Wheeler之Gravitation于广义相对论方面，或者Weinberg之Quantum Theory of Fields 1, 2于量子场论——这些的话就更适合作为科研时的参考了。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&另外，还有一点从书写的角度说，可能毕竟尤其是大学课程那种，讲义都是有些不正式的，所以书写严谨程度不一定达到课本的高度；例如很多讲义都不会有引用文献什么的，有些书写表述方式也比较随意。不过如果你是做高能的话，这点上TASI的讲义普遍质量比较高，感觉很多能接近review article的程度。&/p&
Note：原答案针对的是他最早的那份量子场论（QFT）讲义。再大概评论一下其他讲义，并且做一些补充。背景：这些讲义大部分都是一个完整的课程，Part IA/IB/II 对应前三个年级（学士），Part III是四年级（硕士）。每学期8周，有的课一周3次，有的一周两次，…
&p&多图预警。&/p&&p&&b&其实最高票答主说得很好，先学会自己找书&/b&，美国亚马逊下面的评论就是很好的参考。&/p&&p&不过既然知乎问到了，看了一眼知乎上也很少有比较general的针对物理的书单，我斗胆写一点，有什么想法就更新下。本人只写自己看过的书，没看过的就不评论了。&/p&&p&&b&先来张图。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/0f789b03fff42c5e0250e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&438& data-rawheight=&192& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&438& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/0f789b03fff42c5e0250e_r.jpg&&&/figure&&p&国内高校大部分都是这个顺序，可能有微小差别。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&一、数学分析。&/b&&br&
参考书：陈纪修《数学分析》、菲赫金哥尔茨《数学分析原理》。习题可以用陈纪修，也可以用吉米多维奇。更深的有Rudin的Principles of mathematical analysis和Zorich的Mathematical Analysis。&/p&&p&&b&二、线性代数。&/b&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-916aab85d6e6699afdcbcd11469afd14_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&646& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-916aab85d6e6699afdcbcd11469afd14_r.jpg&&&figcaption&Linear Algebra by Gilbert Strang&/figcaption&&/figure&&p&入门拿这个就行了，写的比较简单。想专门学深的可以去找数学系的抽代之类的课。反正我没学。&/p&&p&&b&三、普物。&/b&&br&
最近的经验是，普物别学了，跳过吧。。。。。实在想学，看看费恩曼讲义，刷刷赵凯华就行了。赵凯华的书很多topic没必要看，可以选择性跳过。&/p&&p&&b&四、经典力学（理论力学）&/b&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-5e3a0a3eced32ffdc51dc23_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&632& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-5e3a0a3eced32ffdc51dc23_r.jpg&&&figcaption&Classical Mechanics by Goldstein&/figcaption&&/figure&&p&这本书写的挺难的，但绝对经典。如果能全吃下去那经典力学从此不用再学了。里面对经典场论也有涉及。初学建议挑简单的topic。&/p&&p&&b&五、实分析和复分析。&/b&&/p&&p&没看过专门的书。实分析听说都推荐陶哲轩。Rudin有一本实分析复分析一起写的。&/p&&p&&b&六、数学物理方法。&/b&&/p&&p&这门课内容就没个明确定义。国内外完全不一样。国内基本是实变函数+特殊函数+数理方程。汪德新胡嗣柱吴崇试的随便挑一本刷完就行了。&/p&&p&要是国外的，可以选下面几个。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-b3316b851_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&660& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-b3316b851_r.jpg&&&figcaption&Mathematical Methods for Physicists by Afken&Weber&/figcaption&&/figure&&p&这本足够厚，写的提纲挈领，很经典。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-37c887f9ffc0e7dc9438994_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&732& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-37c887f9ffc0e7dc9438994_r.jpg&&&figcaption&同名书，by Riley&/figcaption&&/figure&&p&这本似乎更全？配有习题解答。&/p&&p&&b&七、热统。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c05fa195d7c08bac6cf196_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&656& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c05fa195d7c08bac6cf196_r.jpg&&&figcaption&An introduction to Thermal physics by schroeder&/figcaption&&/figure&&p&入门级教材，非常简单易懂，重点篇幅在热力学。显然深度不够，只能拿来入门。其实不看也可。如果你觉得下面几本书太难了，那还是回来看这本吧。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fc4d39eecdad_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&658& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fc4d39eecdad_r.jpg&&&figcaption&Thermodynamics and Statistical Mechanics by Greiner&/figcaption&&/figure&&p&Greiner的经典教材，难度适中，讲解十分详细，章节安排全面，十分推荐。按照Greiner的风格，数学步骤详细到了极点。每章的Exercise都给出了详细解答。纸质也非常舒服。整本书的架构安排也很让人满意：先讲热力学，在讲解中穿插强调”热力学的本质需要从统计力学中寻找“，再讲系综理论，最后讲应用和topic。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f8bc3b16bf_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&634& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f8bc3b16bf_r.jpg&&&figcaption&Statistical Mechanics by Pathria&/figcaption&&/figure&&p&普遍使用的经典教材。没有热力学，直接讲统计物理，讲的非常深入，属于高级教材。逻辑顺序很满意，主题也很齐全，叙述到位（虽然没Greiner那么强迫症），必读。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&八、电动力学。&/b&&/p&&p&这门课的意义我也觉得存疑。按我的理解，高能方向把真空电磁场和真空下相对论电动力学学完就行了，更激进的觉得只要把麦克斯韦方程组看下就ok。凝聚态方向可能需要的多一点？欢迎做凝聚态的补充。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-80069a73eea72db0c59aa_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-80069a73eea72db0c59aa_r.jpg&&&figcaption&Introduction to Electrodynamics by Griffiths&/figcaption&&/figure&&p&经典入门教材，基本每个美帝学校本科生课程都是这一本。不需要解释了，必读。习题非常经典。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b9f4e9fc4_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&672& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b9f4e9fc4_r.jpg&&&figcaption&Modern Electrodynamics by Zangwill&/figcaption&&/figure&&p&去年发现的神书。比Griffiths深入，大部分情况下可以满足grad课程的需求，又没Jackson那么多私货，读起来非常舒服。难度和深度略低于Jackson，但对大多数人够用了。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-077dd554ae2d32fc339e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&738& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-077dd554ae2d32fc339e_r.jpg&&&figcaption&Classical Electrodynamics by Jackson&/figcaption&&/figure&&p&多少年的经典教材了。但现在越来越多的人开始质疑读Jackson的必要性。书写的很深也很细，写了大量的topic。如果想对Electrodynamics有个全面深入的认识则此书必读。但这种操作的必要性存疑。习题还是不错的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&九、量子力学。&/b&&/p&&p&本来这里打算推荐一大堆书，后来删了一堆，写几个比较重要的吧。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ef59ee08a96fd982d889f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&734& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ef59ee08a96fd982d889f_r.jpg&&&figcaption&Introduction to Quantum Mechanics by Griffiths&/figcaption&&/figure&&p&Griffiths的又一本神书。和电动一样，入门必读。只不过我知道包括我在内部分人对本书有点意见：他很容易让学生误会成“量子力学就是解薛定谔方程”。这本书对量子力学的本质诠释不够，对产生背景也没什么介绍。建议配合狄拉克来读。整本书也是针对本科级别，深度和难度都不够。习题必做，很经典。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4eb1eef51bd8e4deab16da_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&684& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4eb1eef51bd8e4deab16da_r.jpg&&&figcaption&Principle of Quantum Mechanics, Dirac&/figcaption&&/figure&&p&狄拉克圣经级别的作品，做理论的同学必读，尤其是前五章。也可以直接拿前五章入门，然后再去看Griffiths。对量子力学的本质和产生背景诠释深刻，用非常物理也非常formal的方法逐步介绍和导出了量子力学的各种数学表述。缺点是符号比较难懂，后半部分也不好懂，毕竟这本书写作目的不是pedagogical view。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c8364e9cea05b8f6dc97d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&778& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c8364e9cea05b8f6dc97d_r.jpg&&&figcaption&Principles of Quantum Mechanics, Shankar&/figcaption&&/figure&&p&难度适中的书，对量子力学的产生背景、基本假设、最基础的topic和高级的topic都有非常全面和详细的介绍。习题不如Griffiths有启发性，但很适合练手。读起来非常舒服的书，也是很多美国高校研究生课的指定教材。对自己够自信的话可以跳过griffiths直接看这本。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-18e3fb520b0cc_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&522& data-rawheight=&638& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&522& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-18e3fb520b0cc_r.jpg&&&figcaption&Modern Quantum Mechanics by Sakurai&/figcaption&&/figure&&p&Sakurai的经典之作，同样是必读书。前两章写的非常完美，完美的介绍了QM的formal theory。第三章写角动量是我见过的写的最好的关于角动量的章节，也是我心中所有物理教材中排名前三的章节。第四章对称性也写的很好。后面几章代写的人写的太烂。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&十、群论&/b&&/p&&p&这门课定位有点模糊。很难界定群论到底要学哪些东西。原本我写了一堆书，现在觉得可以撤了。根据自己状况问问身边人的具体建议吧。微分几何等数学课程同理。下面就不再列数学的书了。&/p&&p&&b&十一、量子场论。&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9cbaad60d8c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&818& data-rawheight=&1246& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&818& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9cbaad60d8c_r.jpg&&&figcaption&Introduction to Quantum Field Theory by Peskin&Schroeder&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&风行了无数年的场论教材。写的非常细，运算量巨大，用粒子物理的符号体系，讲了不少唯象的东西（可能部分有些过时）。个人看完之后的感受是：Part-I精彩，Part-III平庸，Part-II令人作呕。这本书第二部分的逻辑顺序很有问题，毫无章法可言，你完全不知道他想干什么。而且他的写作习惯是先写个错的，然后再纠正，很容易把人带坑里去。个人觉得Matthew Schwartz那本出版之后Peskin的正文部分已经没有存在价值了。&/p&&p&不过这本书的习题是很经典的，至今无出其右者，每个题都是一个小的project，很有启发性。习题和final project必刷。只不过，peskin有时候会把一些挺重要的东西放在习题而不是正文里让你自己去琢磨，比如旋量场的一些技巧和左右手粒子的知识，然后官方又不给答案，可以说是非常豹笑了。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4f956a933cbcf_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&512& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4f956a933cbcf_r.jpg&&&figcaption&Quantum Field Theory by Mandl&Shaw&/figcaption&&/figure&&p&非常适合入门、浅显易懂的场论教科书。运算量不大，很多advanced topic都没有讲。难度偏低，讲的不是很深，但非常适合入门时快速阅读，提供一个完整的框架。全书也在用粒子物理通用的符号。唯象的东西讲的比peskin更多更明白。重整化部分的讲解方式很独特，个人觉得还不错，不累赘，也还算清晰，比Peskin强。初版没有QCD，后来加上了，个人觉得那些部分写的一般化，没有别的地方舒服，尤其是chapter 12. 也可以用作粒子物理的教科书。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-827ac9c8cf99b0a2c0bb_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&682& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-827ac9c8cf99b0a2c0bb_r.jpg&&&figcaption&Quantum Field Theory and the Standard Model by Matthew Schwartz&/figcaption&&/figure&&p&新出的书，惊艳无比，也是针对粒子物理的，写了非常多的唯象学内容。写作顺序比较新颖。此书逻辑非常清晰，重点明确，毫不拖泥带水，看的时候绝对不会有眩晕的感觉，几乎没有可以挑剔的地方。正文完爆Peskin。习题待议。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ab7c46e330f68d00ea877bb_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&738& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ab7c46e330f68d00ea877bb_r.jpg&&&figcaption&Quantum Field Theory by Srednicki&/figcaption&&/figure&&p&Srednicki（帅的离奇！）的经典教材。写作顺序很有启发性，把标量、矢量、旋量分开写。很注重场论的framework。个人觉得这种顺序还是有好处的。书里会讲很多高级的东西，比如旋量场的各种技巧，以及如何从群表示论和左右手来建立一个更加general的旋量场拉式量。书里用的是散射振幅的符号，这本书基本没讲唯象的东西，适合做formal theory的人。度规是广相常用的那一套，和大多数场论书反着，因此如果和其他场论书一起看会比较危险。&/p&
多图预警。其实最高票答主说得很好，先学会自己找书，美国亚马逊下面的评论就是很好的参考。不过既然知乎问到了，看了一眼知乎上也很少有比较general的针对物理的书单，我斗胆写一点，有什么想法就更新下。本人只写自己看过的书，没看过的就不评论了。先来…
&p&炒个冷饭吧，这里补充的是 Schwartz, M. D. 在 &i&Quantum field theory and the standard model&/i&. 一书中的讲法，说明了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B3%2B%5Cdots%3D-1%2F12& alt=&1+2+3+\dots=-1/12& eeimg=&1&& 这个式子在多大的任意性上成立。&/p&&p&本文假定读者已经大致理解本问题以及类似问题下的主要高票回答。&/p&&p&我们知道，这个式子最早出现在物理问题中，是在考虑（一维标量场的）卡西米尔效应时。考虑如下三块平行板子&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-768494cdfb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&888& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&888& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-768494cdfb_r.jpg&&&/figure&&p&板子的存在使得标量场在此处只能取固定边界条件，从而对容许的能态进行了约束，这样系统的基态能量便和参数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 相关，从而存在一个作用在中间板上的作用力 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 。如果将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 取成无穷大，我们得到的便是两块平行板之间的相互作用力。写下体系的哈密顿量&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H+%3D+%5Csum_n%5Cleft%5Ba%5E%5Cdag_n%28a%29a_n%28a%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D%5Comega_n%28a%29%2B%5Csum_n%5Cleft%5Ba%5E%5Cdag_n%28L-a%29a_n%28L-a%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%5D%5Comega_n%28L-a%29& alt=&H = \sum_n\left[a^\dag_n(a)a_n(a)+\frac{1}{2}\right]\omega_n(a)+\sum_n\left[a^\dag_n(L-a)a_n(L-a)+\frac{1}{2}\right]\omega_n(L-a)& eeimg=&1&&&/p&&p&其中和板间距相关的频率为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_n%28r%29%3D%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7Br%7D& alt=&\omega_n(r)=\frac{n\pi}{r}& eeimg=&1&&&/p&&p&我们考虑系统的基态能量&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+E%3D%26%5Clangle0%7CH%7C0%5Crangle%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Csum_n%5Comega_n%28a%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_n%5Comega_n%28L-a%29%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2a%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+n%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%28L-a%29%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+n+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} E=&\langle0|H|0\rangle\\ =&\frac{1}{2} \sum_n\omega_n(a)+\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(L-a)\\ =&\frac{\pi}{2a}\sum_{n=0}^\infty n+\frac{\pi}{2(L-a)}\sum_{n=0}^\infty n \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&然后我们就看到了全部正整数之和了。如果不去理会这个和，而先对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 求偏导来试图得到作用力&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+a%7D& alt=&F=-\frac{\partial E}{\partial a}& eeimg=&1&&&/p&&p&显然，此时发散的无穷求和依旧留在式子中，我们得到了一个发散的作用力。&/p&&hr&&p&那么问题出在哪儿呢？出在了边界条件上。我们的这几块板子并不是无穷牛逼的，不管是多高能量的场都能让它在边界上等于零。换句话说，足够高能量的场应该能够直接从板子穿过去，完全不被其影响，从而也不贡献作用力。从这个思路来考虑，上面系统基态能量的求和式应该写成&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+E%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Csum_n%5Comega_n%28a%29f%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Comega_n%28a%29%7D%7B%5Cpi%5CLambda%7D%5Cright%5D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_n%5Comega_n%28L-a%29f%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Comega_n%28L-a%29%7D%7B%5Cpi%5CLambda%7D%5Cright%5D+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} E=&\frac{1}{2} \sum_n\omega_n(a)f\left[\frac{\omega_n(a)}{\pi\Lambda}\right]+\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(L-a)f\left[\frac{\omega_n(L-a)}{\pi\Lambda}\right] \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda& alt=&\Lambda& eeimg=&1&& 是用来表示足够高的能量到底有多高，而函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 具体长什么样应当依赖于板子在高能端的具体性质，但我们起码能确定以下两点：&/p&&ul&&li&当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 很小时 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&&/li&&li&当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 很大时 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&p&然后我们就可以来处理这个求和了。我们假定 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L%5Crightarrow%5Cinfty& alt=&L\rightarrow\infty& eeimg=&1&& ，先处理第二项&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_n%5Comega_n%28L-a%29%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Comega_n%28L-a%29%7D%7B%5Cpi%5CLambda%7D%5Cright%5D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%5Cpi%5CLambda%5E2%28L-a%29%7D%7B2%7D%5Csum_n+%5Cfrac%7B+n%7D%7B%5CLambda%28L-a%29%7Df%5Cleft%5B%5Cfrac%7B+n%7D%7B%5CLambda%28L-a%29%7D%5Cright%5D%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CLambda%28L-a%29%7D+%5C%5C+%5Capprox%26+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2%28L-a%29%5Cint+xf%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sum_n\omega_n(L-a)\left[\frac{\omega_n(L-a)}{\pi\Lambda}\right]\\ =&\frac{\pi\Lambda^2(L-a)}{2}\sum_n \frac{ n}{\Lambda(L-a)}f\left[\frac{ n}{\Lambda(L-a)}\right]\times \frac{1}{\Lambda(L-a)} \\ \approx& \frac{\pi}{2}\Lambda^2(L-a)\int xf(x)\,\mathrm dx \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&将无穷求和转化为一个积分。和第一项加在一起，得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2L%5Cint+xf%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx+%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2a%5Cleft%5B%5Csum_n%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5CLambda+a%7Df%5Cleft%28%5Cfrac%7Bn%7D%7B%5CLambda+a%7D%5Cright%29%5Ctimes+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CLambda+a%7D+-+%5Cint+xf%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx%5Cright%5D& alt=&E= \frac{\pi}{2}\Lambda^2L\int xf(x)\,\mathrm dx +\frac{\pi}{2}\Lambda^2a\left[\sum_n\frac{n}{\Lambda a}f\left(\frac{n}{\Lambda a}\right)\times \frac{1}{\Lambda a} - \int xf(x)\,\mathrm dx\right]& eeimg=&1&&&/p&&p&前一项是某一个很大的常数，而后一项括号里是一个离散的求和与将其连续化后的积分之差。我们可以使用&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%25AC%25A7%25E6%258B%%25BA%25A6%25E5%E5%258A%25B3%25E6%259E%%25B1%%E5%2585%25AC%25E5%25BC%258F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&欧拉-麦克劳林公式&/a&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENF%28n%29-%5Cint_0%5ENF%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx+%3D+%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bm%2B1%7DB_%7Bm%2B1%7D%7D%7B%28m%2B1%29%21%7D%5Cleft%5BF%5E%7B%28m%29%7D%28N%29-F%5E%7B%28m%29%7D%280%29%5Cright%5D+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \sum_{n=1}^NF(n)-\int_0^NF(x)\,\mathrm dx = \sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m+1}B_{m+1}}{(m+1)!}\left[F^{(m)}(N)-F^{(m)}(0)\right] \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B_m& alt=&B_m& eeimg=&1&& 是伯努利数。将这个公式代入得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+E%3D%26+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2L%5Cint+xf%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx+%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2a%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5C%5C+%26%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bxf%28x%29-0f%280%29%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bf%28x%29%2Bxf%27%28x%29-f%280%29-0f%27%280%29%7D%7B12%28%5CLambda+a%29%5E2%7D%2B%5Cdots%5Cright%5D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5CLambda%5E2L%5Cint+xf%28x%29%5C%2C%5Cmathrm+dx+%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2a%7D%5Ctimes%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%5Cright%29%2BO%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CLambda+a%7D%29+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} E=& \frac{\pi}{2}\Lambda^2L\int xf(x)\,\mathrm dx +\frac{\pi}{2}\Lambda^2a\lim_{x\rightarrow\infty}\\ &\left[\frac{xf(x)-0f(0)}{2}+\frac{f(x)+xf'(x)-f(0)-0f'(0)}{12(\Lambda a)^2}+\dots\right]\\ =&\frac{\pi}{2}\Lambda^2L\int xf(x)\,\mathrm dx +\frac{\pi}{2a}\times\left(-\frac{1}{12}\right)+O(\frac{1}{\Lambda a}) \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&我们很兴奋的发现，式子中出现了熟悉的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1%2F12& alt=&-1/12& eeimg=&1&& ，这回它却和伯努利数挂上了钩&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B3%2B%5Cdots%3D-%5Cfrac%7BB_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&1+2+3+\dots=-\frac{B_2}{2}=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&hr&&p&上面这些推导告诉我们，卡西米尔效应的物理结论与我们怎么去选取 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 没有任何关系，其他答主使用负指数或者幂函数的正规化因子得到的都应该是这个结果。&/p&&p&&b&事实上，在量子场论中，这叫做任何物理可观测量都不依赖于正规化的方式，即不管我们通过什么办法去消除发散，只要保证前后一致，得到的物理结果应该都是一样的。&/b&&/p&&p&当然，这件事并没有得到一般性的证明，感兴趣的读者可以自行尝试，诺贝尔奖在向你招手。&/p&
炒个冷饭吧，这里补充的是 Schwartz, M. D. 在 Quantum field theory and the standard model. 一书中的讲法，说明了 1+2+3+\dots=-1/12 这个式子在多大的任意性上成立。本文假定读者已经大致理解本问题以及类似问题下的主要高票回答。我们知道，这个式子最…
&p&博士毕业的时候做了个无聊的统计，在我读过的论文里，霍金所写的文章所占比例最高；而inspire上收录的他的166篇论文里，我只读过70篇左右。可以说是除了我的导师以外对我影响最大的人。&/p&&p&当下高能形式理论的大半江山都被AdS/CFT占据，而其根源全息原理则是根植于霍金关于黑洞热力学和信息问题的工作。不那么严格地说的话：奇点定理算是经典引力的集大成之作，黑洞辐射算是量子引力的开山之作，欧氏化的方法是在各种领域都被普遍使用的重要技术，时空的大尺度结构算是广义相对论教材中非常卓越的一部，时间简史则毋庸置疑是最著名的科普书。这些都是惊世骇俗的大工作，然而这都是霍金在那样一种身体条件下完成的。&/p&&p&反观自己，天资条件明显差了十万八千里，努力程度也远远比不上，以这种半吊子的水平在物理学界苟延残喘，实在是无比惭愧。一想到怹老人家，就羞愧得无地自容。&/p&&p&所以对怹只有难以言表的敬佩崇拜之情，实在是不敢做什么评价……&/p&&p&&br&&/p&&p&彭罗斯作为跟他一起搞出奇点定理的合作者，同时也是关系密切的好朋友，今天在《卫报》上发表了一篇讣告：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.theguardian.com/science/2018/mar/14/stephen-hawking-obituary& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&'Mind over matter': Stephen Hawking – obituary by Roger Penrose&/a&&/p&&p&我看似乎目前还没人翻译，于是就翻译了过来贴在这里。我觉得里面各方面的评价都很到位，不需要我多说什么了……&/p&&hr&&p&斯蒂芬·霍金讣告——罗杰·彭罗斯&/p&&p&&br&&/p&&p&为我们理解宇宙的本质做出了革命性贡献的理论物理学家&/p&&p&——斯蒂芬·霍金于76岁逝世&/p&&p&&br&&/p&&p&斯蒂芬·霍金在76岁时去世，他在电动轮椅上的形象——头向一侧轻微扭曲同时双手交叉以进行控制——抓住了公众的想象力，成为精神战胜物质的真实象征。就像古希腊的德尔斐神谕那样，身体上的损伤似乎被近似超自然的天赋所补偿。这让他的思想能够自由地漫游宇宙，有时还会不可思议地揭示出一些凡人无法洞见的宇宙奥秘。&/p&&p&当然，这种浪漫化的形象只能陈述一部分事实。那些认识霍金的人将会清楚地看到，在他的表现中，占主导的还是真实人类的那一面——不仅对生活无比热情、非常的幽默、并且毅力惊人，还在更加明显的正面力量以外拥有像常人一样的弱点。。显然他对被大众普遍认为的“最有名的科学家”这一角色非常高兴；超多的听众会参加他的公开讲座，他们常常并不只是为了接受科学的熏陶。&/p&&p&科学界对他可能有着更加客观的评价。鉴于他许多令人印象极为深刻的、有时甚至是革命性的，对理解物理和宇宙几何的贡献，他受到了极高的评价。&/p&&p&霍金在21岁生日后不久就被诊断出患有未知的绝症，之后则被确诊为一种致命的神经退行性疾病，肌萎缩侧索硬化或者叫ALS。不久之后，他没有像其他人那样沮丧地屈服，而是开始把目光投向一些关于宇宙物理本质的最基本的问题。之后，他在对抗最严重的身体残疾上取得了非凡的成功——他无视确定的医疗意见，设法多活了55年。&/p&&p&他出生于“学术家庭”，尽管父母并不直接研究数学或者物理。他的父亲弗兰克是一位热带疾病方面的专家，而他的母亲伊泽贝尔（旧姓沃克）是一位思想自由的激进分子，这对他有着巨大的影响。他出生在牛津，八岁时搬家到了赫特福德郡的圣奥尔本斯。他在圣奥尔本斯学校接受教育，并获得奖学金到牛津大学的大学学院（University College）学习物理。他的导师察}