第一章静力学的基本概念受力图
2-1 解：由解析法，FRX ? ? X ? P2 cos ? ? P3 ? 80 NFRY ? ? Y ? P 1?P 2 sin ? ? 140 N故：FR ? FRX 2 ? FRY 2 ? 161.2 N? ? FRY ?( FR , P ? 29? 44? 1 ) ? arc cos FR2-2 解：即求此力系的合力，沿 OB 建立 x 坐标，由解析法，有? ? FRX ? ? X ? P 1 cos 45 ? P 2 ?P 3 cos 45 ? 3KN? ? FRY ? ? Y ? P 1 sin 45 ? P 3 sin 45 ? 0故：FR ? FRX 2 ? FRY 2 ? 3KN方向沿 OB。2-3 解：所有杆件均为二力杆件，受力沿直杆轴线。 （a） 由平衡方程有：?X ?0 ?Y ? 0FAC sin 30? ? FAB ? 0FAC cos 30? ? W ? 0FAB ? 0.577W（拉力） FAC ? 1.155W （压力）（b）由平衡方程有：?X ?0 ?Y ? 0FAB ? 1.064WFAC ? FAB cos 70? ? 0 FAB sin 70? ? W ? 0（拉力） FAC ? 0.364W （压力）（c）由平衡方程有：?X ?0 ?Y ? 0FAC cos 60? ? FAB cos 30? ? 0 FAB sin 30? ? FAC sin 60? ? W ? 0FAB ? 0.5W(拉力) FAC ? 0.866W （压力）（d）由平衡方程有：?X ?0 ?Y ? 0FAB sin 30? ? FAC sin 30? ? 0 FAB cos 30? ? FAC cos 30? ? W ? 0FAB ? 0.577W(拉力) FAC ? 0.577W(拉力)2-4解：（a）受力分析如图所示：由?x ?0FRA ?4 4 ?22 2? P cos 45? ? 0? FRA ? 15.8 KN2 4 ?22 2由?Y ? 0FRA ?? FRB ? P sin 45? ? 0? FRB ? 7.1KN(b)解：受力分析如图所示：由?x ?0FRA ?3 ? FRB cos 45? ? P cos 45? ? 0 10?Y ? 0联立上二式，得：FRA ?1 ? FRB sin 45? ? P sin 45? ? 0 10FRA ? 22.4 KN FRB ? 10 KN2-5 解：几何法：系统受力如图所示三力汇交于点 D，其封闭的力三角形如图示 所以：FRA ? 5 KN（压力）FRB ? 5 KN（与 X 轴正向夹 150 度）2-6 解：受力如图所示：已知， FR ? G1， FAC ? G2由?x ?0FAC cos ? ? Fr ? 0? cos ? ?G1 G2由?Y ?0FAC sin ? ? FN ? W ? 0? FN ? W ? G2 ? sin ? ? W ? G2 2 ? G122-7 解：受力分析如图所示，取左半部分为研究对象由?x ?0P ? FRA cos 45? ? FCB cos 45? ? 0 ? sin 45? ? FRA sin 45? ? 0 FCB?Y ? 0联立后，解得： FRA ? 0.707 PFRB ? 0.707 P? 由二力平衡定理 FRB ? FCB ? FCB ? 0.707 P2-8 解：杆 AB，AC 均为二力杆，取 A 点平衡由?x ?0FAC ? cos 60? ? FAB cos 30? ? W ? 0?Y ? 0FAB sin 30? ? FAC sin 60? ? W ? 0联立上二式，解得：FAB ? ?7.32 KN（受压） FAC ? 27.3KN （受压）2-9 解：各处全为柔索约束，故反力全为拉力，以 D，B 点分别列平衡方程（1）取 D 点，列平衡方程由?x ?0TDB sin ? ? W cos ? ? 0? TDB ? Wctg? ? 0（2）取 B 点列平衡方程：由?Y ? 0? cos ? ? 0 ? T ? TBD ? ctg? ? Wctg 2? ? 30 KN T sin ? ? TBD2-10 解：取 B 为研究对象：由?Y ? 0FBC sin ? ? P ? 0? FBC ? P sin ?取 C 为研究对象：由?x ?0Y ?0? cos ? ? FDC sin ? ? FCE sin ? ? 0 FBC ? FBC sin ? ? FDC cos ? ? FCE cos ? ? 0由?? 联立上二式，且有 FBC ? FBC解得：P ? cos ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ? sin ? cos ? ?FCE ?取 E 为研究对象： 由?Y ?0? cos ? ? 0 FNH ? FCE? ? FCE ? FCEP ? cos ? 1 ? 2 ? 2 ? sin ? cos ?故有：P ? ? cos ? ? 2sin 2 ? ?FNH ?2-11 解：取 A 点平衡：?x ?0FAB sin 75? ? FAD sin 75? ? 0?Y ? 0FAB cos 75? ? FAD cos 75? ? P ? 0联立后可得： 取 D 点平衡，取如图坐标系：FAD ? FAB ?P 2 cos 75??x ?0? cos 5? ? FND cos 80? ? 0 FADFNDcos 5? ? ? ? FAD cos80?由对称性及? ? FAD FAD? FN ? 2 FND ? 2cos 5? cos 5? P ? F 2 ? ? ? 166.2 KN AD ? ? cos80 cos80 2 cos 75?2-12 解：整体受力交于 O 点，列 O 点平衡由FRA cos ? ? FDC ? P cos 30? ? 0?x ?0?Y ? 0联立上二式得：FRA sin ? ? P sin 30? ? 0FRA ? 2.92 KN FDC ? 1.33KN（压力） 列 C 点平衡?x ?0FDC ? FAC ?4 ?0 5?Y ? 0联立上二式得：3 FBC ? FAC ? ? 0 5FAC ? 1.67 KN（拉力）FBC ? ?1.0 KN（压力）2-13 解：（1）取 DEH 部分，对 H 点列平衡?x ?0FRD ?2 ? ?0 ? FRE 5 1 ?Q ? 0 5?Y ? 0联立方程后解得：FRD ?FRD ? 5Q? ? 2Q FRE（2）取 ABCE 部分，对 C 点列平衡?x ?0FRE ? FRA cos 45? ? 0?Y ? 0FRB ? FRA sin 45? ? P ? 0且? FRE ? FRE联立上面各式得：FRA ? 2 2QFRB ? 2Q ? P（3）取 BCE 部分。根据平面汇交力系平衡的几何条件。FRC ? FRE 2 ? FRB 2 ?? 2 Q ? ? ? 2Q ? P ?22? 8Q 2 ? 4 PQ ? P 22-14 解：（1）对 A 球列平衡方程?x ?0（1）FAB cos ? ? FNA sin ? ? 0?Y ? 0（2）FNA cos ? ? FAB sin ? ? 2 P ? 0（2）对 B 球列平衡方程?x ?0（3）? cos ? ? 0 FNB cos ? ? FAB?Y ? 0（4） 且 有：? sin ? ? P ? 0 FNB sin ? ? FAB? FNB ? FNB（5） 把（5）代入（3），（4） 由（1），（2）tg? ? FAB cos ? FAB sin ? ? 2 P得： （6） 又（3），（4）tg? ?得： （7） 由（7） 得： （8）P ? FAB sin ? FAB cos ?FAB ?P tg? cos ? ? sin ?将（8）代入（6）后整理得：tg? ?P(1 ? 2tg 2? ) P(tg? ? 2tg? )3cos 2 ? ? 2 ? 3sin ? cos ?2-15 解： FNA ， FND 和 P 构成作用于 AB 的汇交力系，由几何关系：AD ? 2 AF ? 2 R cos ?? O?D ? AD ? tg? ? 2 R sin ?3R ? CD ? AD ? AC ? 2 R cos ? ? 2 又CD ? tg? ? ? O?D2 R cos ? ?3 3 2 cos ? ? 2? 2 2 R sin ? 2sin ?3 4 cos 2 ? ? cos ? ? 2 ? 0 2整理上式后有：取正根3 3 ? ( )2 ? 4 ? 4 ? 2 2 ? 0.92 cos ? ? 2 2? 4?? ? 23?12?第三章 力矩 平面力偶系3-1 试分别计算图示各种情况下力 P 对点 O 之矩。? (a) M O ( P) ? P ? l ? (b) M O ( P) ? P ? 0 ? 0 ? (c) M O ( P ) ? P sin ? ? l ? P cos ? ? 0 ? Pl sin ? ? (d ) M O ( P) ? ? P ? a ? (e) M O ( P) ? P ? (l ? r ) ? ( f ) M O ( P ) ? P ? sin ? ? a 2 ? b 2 ? P cos ? ? 0 ? P a 2 ? b 2 ? sin ?3-2 已知 P1=P2=P3=P5=60KN，P4=P6=40KN，图中长度单位为 mm，求图示平面力 偶系合成的结果。1, P 3; P 2, P 5; P 4, P 6 构成三个力偶 解： P3 M ? ?P ? P4 ? (0.2 ? 0.4) 1 ? (0.3 ? 0.1) ? P 2 ? (0.4 ? 0.1) ? 5 ? ?30 N ? m因为是负号，故转向为顺时针。 3-3 图示为卷扬机简图，重物 M 放在小台车 C 上，小台车上装有 A 轮和 B 轮，可 沿导轨 ED 上下运动。已知重物重量 G=2KN，图中长度单位为 mm，试求导轨对 A 轮和 B 轮的约束反力。 解：小台车受力如图，为一力偶系，故F ? G ， FNA ? FNB由?M ?0? FNA ? 0.8 ? G ? 0.3 ? 0? FNA ? FNB ? 0.75 KN ? 750 N3-4 锻锤工作时，如工件给它的反作用力有偏心，则会使锻锤 C 发生偏斜，这将 在导轨 AB 上产生很大的压力，从而加速导轨的磨损并影响锻件的精度，已知打 击力 P=1000KN，偏心距 e=20 mm，锻锤高度 h=200mm，试求锻锤给导轨两侧的压 力。 解： 锤头受力如图， 锤头给两侧导轨的侧压力 FN 1 和 FN 2 构成一力偶， 与 P ，P ? 构 成力偶平衡由?M ? 0? FN 1 ? FN 2 ? 100 KNP ? e ? FN 1 ? h ? 03-5 炼钢用的电炉上，有一电极提升装置，如图所示，设电极 HI 和支架共重 W， 重心在 C 上。支架上 A，B 和 E 三个导轮可沿固定立柱 JK 滚动，钢丝绳在 D 点。 求电极等速直线上升时的钢丝绳的拉力及 A，B，E 三处的约束反力。 解：电极受力如图，等速直线上升时 E 处支反力为零即： FRE ? 0 由?且有： S ? WM ?0FNA ? b ? W ? a ? 0FNA ? FNB ? Wa b3-6 已知 m1=3KNM，m2=1KNM，转向如图。Α=1m 试求图示刚架的 A 及 B 处的约束 反力。 解：A，B 处的约束反力构成一力偶由?M ?0M 2 ? M 1 ? FRB ? 2a ? 0? FRB ? FRA ? 1KN3-7 四连杆机构在图示位置时平衡，α=30，β=90。试求平衡时 m1/m2 的值。解： O1 A ， O2 B 受力如图，由?M ?0，分别有：O1 A杆：? m1 ? FAB ? 6a sin 30?（1）O2 B杆：m2 ? FBA ? 8a ? 0（2）且 有：FAB ? FBA（3）m1 3 ? m2 8将（3）代入（2）后由（1）（2）得：3-8 图示曲柄滑道机构中，杆 AE 上有一导槽，套在杆 BD 的销子 C 上，销子 C 可 在光滑导槽内滑动， 已知 m1=4KNM， 转向如图， AB=2m,在图示位置处于平衡， θ=30, 试求 m2 及铰链 A 和 B 的反力。 解：杆 ACE 和 BCD 受力入图所示，且有：? ? FRB FRA ? FRC ? FRCFRA ? 2 ? ctg 30? ? m1 ? 0对 ACE 杆：? FRA ? 1.155 KN ? FRB? FRB ? 2 ? ctg 30? ? m2 ? 0对 BCD 杆：? m2 ? 4 KN第四章 平面一般力系4-1 已知 F1=60N，F2=80N，F3=150N，m=100N.m，转向为逆时针，θ=30°图 中距离单位为 m。试求图中力系向 O 点简化结果及最终结果。解：FRx ??X ? F 2 ? F3 c o s 3 0 o ? ? 4 9 .9 NFRy ? ? Y ? F1 ? F3 sin 30o ? ?15 NF 'R ? FRx 2 ? FRy 2 ? 52.1NF 'Rtg? ? ? Y / ? X ? 0.342′∴α=196°?? L0 ? ? M0 (F ) ? F1 ? 5 ? F2 ? 2 ? F3 cos30o ? 4 ? m ? ?279.6N ? m（顺时针转向）故向 O 点简化的结果为：? ? ? ? FR? ? FRx i ? FRy j ? (?49.9i ? 15 j ) NL0 ? ?279.6 N ? m??? ??? F F 由于 F ′≠0，L ≠0，故力系最终简化结果为一合力 R ， R 大小和方向R 0与主矢 F 'R 相同，合力 FR 的作用线距 O 点的距离为 d。 FR=FR=52.1N d=L0/FR=5.37m 4-2 已知物体所受力系如图所示，F=10Kn，m=20kN.m，转向如图。 （a）若选择 x 轴上 B 点为简化中心，其主矩 LB=10kN.m，转向为顺时针，试 求 B 点的位置及主矢 R’。 （b）若选择 CD 线上 E 点为简化中心，其主矩 LE=30kN.m，转向为顺时针， α=45°，试求位于 CD 直线上的 E 点的位置及主矢 R’。 解：（a）设 B 点坐标为（b，0）?? LB=∑MB（ F ）=-m-Fb=-10kN.m∴b=（-m+10）/F=-1mn ?? ? F 'R ? ? Fi ? F i ?1∴B 点坐标为（-1，0）F 'R=∴FR′=10kN，方向与 y 轴正向一致（b）设 E 点坐标为（e，e）?? LE=∑ME（ F ）=-m-F?e=-30kN.m∴e=（-m+30）/F=1m FR′=10kN∴E 点坐标为（1，1） 方向与 y 轴正向一致4-3 试求下列各梁或刚架的支座反力。 解： （a） 受力如图由∑MA=0FRB?3a-Psin30°?2a-Q?a=0∴FRB=（P+Q）/3 由 ∑x=0 FAx-Pcos30°=03 ∴FAx= 2 P由∑Y=0FAy+FRB-Q-Psin30°=0∴FAy=（4Q+P）/6 （b）受力如图由∑MA=0 2FRB?cos30°-P?2a-Q?a=0∴FRB= 3 3 （Q+2P） 由 ∑x=0 1 ∴FAx= 3 3 （Q+2P） 由∑Y=0 FAy+FRB?cos30°-Q-P=0 FAx-FRB?sin30°=0∴FAy=（2Q+P）/3 （c）解：受力如图：由∑MA=0 FRB?3a+m-P?a=0 ∴FRB=（P-m/a）/3 由 ∑x=0 FAx=0 由∑Y=0 FAy+FRB-P=0 ∴FAy=（2P+m/a）/3（d）解：受力如图：由∑MA=0 FRB?2a+m-P?3a=0 ∴FRB=（3P-m/a）/2 由 ∑x=0 FAx=0 由∑Y=0 FAy+FRB-P=0 ∴FAy=（-P+m/a）/2（e）解：受力如图：由∑MA=0FRB?3-P?1.5-Q?5=0∴FRB=P/2+5Q/3 由 ∑x=0 ∴FAx=-Q 由∑Y=0 FAy+FRB-P=0 FAx+Q=0∴FAy=P/2-5Q/3（f）解：受力如图：由∑MA=0 ∴FRB=P-m/2 由 ∑x=0 ∴FAx=-P 由∑Y=0FRB?2+m-P?2=0FAx+P=0FAy+FRB =0∴FAy=-P+m/24-4 高炉上料的斜桥，其支承情况可简化为如图所示，设 A 和 B 为固定铰， D 为中间铰，料车对斜桥的总压力为 Q，斜桥（连同轨道）重为 W，立柱 BD 质量 不计，几何尺寸如图示，试求 A 和 B 的支座反力。 解：结构受力如图示，BD 为二力杆 由∑MA=0 -FRB?a+Q?b+W?l/2?cosα=0 ∴FRB=(2Qb+Wlcosα)/2a 由∑Fx=0 -FAx-Qsinα=0 ∴FAx=-Qsinα 由∑Fy=0 FRB+FAy-W-Qcosα=0 ∴FAy=Q(cosα-b/a)+W(1-lcosα/2a)4-5 齿轮减速箱重 W=500N，输入轴受一力偶作用，其力偶矩 m1=600N.m，输 出轴受另一力偶作用，其力偶矩 m2=900N.m，转向如图所示。试计算齿轮减速箱 A 和 B 两端螺栓和地面所受的力。解：齿轮减速箱受力如图示， 由∑MA=0 FRB×0.5-W×0.2-m1-m2=0 FRB=3.2kN 由∑Fy=0 FRA+FRB-W=0 FRA=-2.7kN4-6 试求下列各梁的支座反力。(a) (b) 解： (a)由∑Fx=0 FAx=0 由∑ Fy=0 Fy=0 FAy=0 FAy-qa-P=0 由∑ MA-m=0 MA=m 由∑ FAx=0 (b) 由∑Fx=0M=0∴FAy=qa+P由∑M=0 MA-q?a?a/2-Pa=0∴MA=qa /2+Pa2(c) (d) (c) 由∑Fx=0 FAx=0 FAx+P=0 (d) 由∑Fx=0∴ FAx=-P 3a/2=0 由∑Fy=0 l/2=0 FAy=ql/2 Fy=0 FAy+FRB-q?3a=0 由∑M=0 l/4-m-Pa=0 MA-q?l/2? FAy=2.1qa+(m1-m2)/5a ∴MA=ql2/8+m+Pa 4-7 各刚架的载荷和尺寸如图所示， 图 c 中 m2＞m1， 试求刚架的各支座反力。 FAy-q? ∴FRB=0.9qa+(m2-m1)/5a 由∑ 由∑MA=0 FRB?5a+m1-m2-q?3a?解：(a) (b) (a)∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 FRB?6a-q(6a)2/2-P?5a=0 FAx+P=0 ∴FRB=3qa+5P/6 ∴FAx =-P ∴FAy=3qa-5P/6 ∴MA=18qa2+2Pa ∴FAx =-6qa ∴FAy=PFAy+FRB-q?6a=0(b) ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0MA-q(6a)2/2-P?2a=0 FAx+q?6a=0 FAy-P=0(c) ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 (d) ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0MA+m1-m2-q?6a?2a-P?4a=0 FAx+P=0 FAy-q?6a=0 ∴FAx=-P ∴FAy=6qa∴MA=12qa2+4Pa+m2-m1MA+q(2a)2/2-q?2a?3a=0 FAx-q?2a=0 FAy-q?2a=0∴MA=4qa2 ∴FAx =2qa ∴FAy =2qa4-8 图示热风炉高 h=40m， 重 W=4000kN， 所受风压力可以简化为梯形分布力， 如图所示，q1=500kN/m，q2=2.5kN/m。可将地基抽象化为固顶端约束，试求地基 对热风炉的反力。 解：热风炉受力分析如图示， ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA=0 Fox+q1?h+(q2-q1)?h/2=0 FAy-W=0 M0-q?h?h/2-(q2-q1)?h?2h/3/2=0 ∴Fox=-60kN ∴FAy=4000kN ∴M0=1467.2kN?m4-9 起重机简图如图所示，已知 P、Q、a、b 及 c，求向心轴承 A 及向心推力 轴承 B 的反力。 解：起重机受力如图示， ∑MB=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 -FRA?c-P?a-Q?b=0 FRA+FBx=0 FBy-P-Q=0 ∴FRA=-(Pa+Qb)/c ∴FBx=(Pa+Qb)/c ∴FBy=P+Q4-10 构架几何尺寸如图所示，R=0.2m，P=1kN。E 为中间铰，求向心轴承 A 的反力、向心推力轴承 B 的反力及销钉 C 对杆 ECD 的反力。解：整体受力如图示 ∑MB=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 由∑ME=0 由∑MH=0 -FRA×5.5-P×4.2=0 FBx+FRA=0 FBy-P=0 FCy×2+P×0.2-P×4.2=0 ∴FRA=-764N ∴FBx=764N ∴FBy=1kN ∴FCy=2kNF’Cx×2-FCy×2-P×2.2+P×0.2=0 ∴FCx=F’Cx=3kN4-11 图示为连续铸锭装置中的钢坯矫直辊。钢坯对矫直辊的作用力为一沿 辊长分布的均布力 q，已知 q=1kN/mm，坯宽 1.25m。试求轴承 A 和 B 的反力。 解：辊轴受力如图示， 由∑MA=0 FRB×1600-q×1250×()=0 ∴FRB=625N 由∑Fy=0 FRA+FRB-q×1250=0 ∴FRA=625N4-12 立式压缩机曲轴的曲柄 EH 转到垂直向上的位置时， 连杆作用于曲柄上 的力 P 最大。现已知 P=40kN，飞轮重 W=4kN。求这时轴承 A 和 B 的反力。解：机构受力如图示， ∑MA=0 ∑Fy=0 -P×0.3+FRB×0.6-W×0.9=0 FRA+FRB-P-W=0 ∴FRB=26kN ∴FRA=18kN4-13 汽车式起重机中，车重 W1=26kN，起重臂ＣＤＥ重Ｇ＝４.５kN，起重 机旋转及固定部分重Ｗ2＝３１kN，作用线通过Ｂ点，几何尺寸如图所示。这时 起重臂在该起重机对称面内。求最大起重量Ｐmax。 解：当达到最大起重质量时，FNA=0 由∑MB=0 W1×α+W2×0-G×2.5-Pmax×5.5=0∴Pmax=7.41kN4-14 平炉的送料机由跑车 A 及走动的桥 B 所组成，跑车装有轮子，可沿桥 移动。跑车下部装有一倾覆操纵柱 D，其上装有料桶 C。料箱中的载荷 Q=15kN， 力 Q 与跑车轴线 OA 的距离为 5m，几何尺寸如图所示。如欲保证跑车不致翻倒， 试问小车连同操纵柱的重量 W 最小应为多少？ 解：受力如图示，不致翻倒的临界状态是 FNE=0 由∑MF=0 W×1m-Q×(5-1)=0 ∴W=60kN故小车不翻倒的条件为 W≥60kN4-15 两根位于垂直平面内的均质杆的底端彼此相靠地搁在光滑地板上，其 上端则靠在两垂直且光滑的墙上，质量分别为 P1 与 P2。求平衡时两杆的水平倾 角α1 与α2 的关系。 解：设左右杆长分别为 l1、l2，受力如图示 左杆：∑MO1=01P1(l1/2)cosα1-FAl1sinα1=0∴FA=ctgαP1/2 右杆：∑MO2=0 -P2(l2/2)cosα2+F'Al2sinα2=0 ∴F'A=ctgα2P2/2 由 FA=F'A ∴P1/P2=tgα1/tgα24-16 均质细杆 AB 重 P，两端与滑块相连，滑块Ａ和Ｂ可在光滑槽内滑动， 两滑块又通过滑轮Ｃ用绳索相互连接，物体系处于平衡。（ａ）用Ｐ和θ表示绳中张力Ｔ； （ｂ）当张力Ｔ＝２Ｐ时的θ值。解：设杆长为 l，系统受力如图 (a) ∑M0=0 T=P/2(1-tgθ) P ?l/2cosθ+T?l?sinθ-Tlcosθ=0 ∴3/4(b)当 T=2P 时， 2P= P/2(1-tgθ) 即θ≈36°52′∴tgθ4-17 已知ａ，ｑ和ｍ，不计梁重。试求图示各连续梁在Ａ、Ｂ和Ｃ处的约 束反力。解:(a) (a)取 BC 杆： ∑MB=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 FRC?2a=0 FBx=0 -FBy+FRC=0 ∴FBy=0 ∴FRC=0取整体： ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 -q?2a?a+FRC?4a+MA=0 FAx=0 FAy+FRC－ｑ?2a＝０ ∴FAy==2qa ∴MA=2qa2(b) (b)取 BC 杆： ∑MB=0 ∑Fx=0 FRC?2a-q?2a?a=0 FBx=0 ∴FRC=qa∑Fy=0 取整体： ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0FRC-q?2a-FBy=0∴FBy=-qaMA+FRC?4a-q?3a?2.5a=0 FAx=0 FAy+FRC－ｑ?3a＝０∴MA=3.5qa2∴FAy==2qa(c) (c)取 BC 杆： ∑MB=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 取整体： ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 MA+FRC?4a-m=0 FAx=0 FAy+FRC＝０ ∴FAy=0 ∴MA=m FRC?2a =0 FBx=0 FRC-FBy=0 ∴FBy=0 ∴FRC=0(d) (d)取 BC 杆： ∑MB=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 取整体： ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 MA+FRC?4a-m=0 FAx=0 FAy+FRC＝０ ∴FAy=-m/2a ∴MA=-m FRC?2a-m=0 FBx=0 FRC-FBy=0 ∴FBy=m/2a ∴FRC=m/2a4-18 各刚架的载荷和尺寸如图所示，不计刚架质量，试求刚架上各支座反 力。解：(a)取 BE 部分∑ME=0 FBx=2.7q 取 DEB 部分： ∑MD=0 取整体： ∑MA=0 FRC=6.87q ∑Fx=0 5.4=0 ∑Fy=0 +FAy+FBy=0 (b)取 CD 段， ∑MC=0FBx×5.4-q×5.4×5.4/2=0∴FBx×5.4+FBy×6-q×5.4×5.4/2=0∴FBy=0FBy×6+ q×5.4×5.4/2-FRC×cos45°×3=0∴FRC×cos45°+FAx+FBx-q× ∴FAx=-2.16q FRC×sin45° ∴FAy=-4.86qFRD×4-q2/2×42=0∴FRD=2q2取整体： ∑MA=0 ∑Fx=0 ∑Fy=0 FRB×8+FRD×12q2×4×10-q1×6×4-P×4=0 P+FAx=0 ∴FAx=-P ∴FAy=3q1-P/2FAy+FRB+FRD-q1×6-q2×4=04-19 起重机在连续梁上，已知 P=10kN，Q=50kN，不计梁质量，求支座 A、B 和 D 的反力。解：连续梁及起重机受力如图示：第五章摩擦5-1 重为 W=100N，与水平面间的摩擦因数 f=0.3，（a）问当水平力 P=10N 时，物体受多大的摩擦力，（b）当 P=30N 时，物体受多大的摩擦力？（c）当 P=50N 时，物体受多大的摩擦力？解：（a）Fsmax=fS?FN=100×0.3=30N 当 P=10N， P=10N& Fsmax 故保持静止 ∴F=P=10N P=30N= Fsmax F=P= Fsmax=30N P=50N& Fsmax F= Fsmax=30N（b）当 P=30N 时， 故物块处于临界状态 （c）当 P=50N 时， 故物块滑动5-2 判断下列图中两物体能否平衡?并问这两个物体所受的摩擦力的大小和 方向。已知： （a）物体重Ｗ=1000N，拉力 P=200N，f=0.3；（b）物体重Ｗ=200N，拉力 P=500N，f=0.3。 解：（a）Fsmax=FN?fS=W?fS=300N P=200N& Fsmax 故物块保持平衡 F=P=200N（b）Fsmax= FN?fS= P?fS=150N W=200N& Fsmax 故物块不平衡 F= Fsmax=150N5-3 重为Ｗ的物体放在倾角为α的斜面上，物体与斜面间的摩擦角为ρ，且 α＞ρ。如在物体上作用一力Ｑ，此力与斜面平行。试求能使物体保持平衡的力 Qde 最大值和最小值。 解：（1）有向下滑动趋势 ∑X=0 Fsmax1+Q-Wsinα=0 ∑Y=0 FN-Wcosα=0 补充方程： Fsmax1=FN?fS 联立上三式： Q=W（sinα-fScosα） （2）有向上滑动趋势 ∑X=0 Q- Fsmax2-Wsinα=0 ∑Y=0 FN-Wcosα=0 补充方程： Fsmax2=FN?fS 联立上三式： Q=W（sinα+fScosα） ∴Q 值范围为：W（sinα-fScosα）≤Q≤W（sinα+fScosα）其中 fS=tg ρ 5-4 在轴上作用一力偶，其力偶矩为 m=-1000N.m，有一半径为 r=25cm 的制 动轮装在轴上，制动轮与制动块间的摩擦因数 f=0.25。试问制动时，制动块对 制动轮的压力 N 至少应为多大？解：由∑M0=0 –m+F×25=0 F=FN?fS 联立上两式得：FN=m/2??r?fS=8000N ∴制动时 FN≥ 两物块Ａ和Ｂ重叠放在粗糙的水平面上， 在上面的物块Ａ的顶上作用一 斜向的力Ｐ。已知：Ａ重 1000N，B 重 2000N，A 与 B 之间的摩擦因数 f1=0.5，B 与地面之间的摩擦因数 f2=0.2。问当 P=600N 时，是物块 A 相对物块 B 运动呢？ 还是Ａ、Ｂ物块一起相对地面Ｃ运动？解：取物块 A：由∑Fy=0 ∑Fx=0FNA-wA-Psin30°=0 ∴FNA=1300N FSA-Pcos30°=0 ∴FSA=519.6N由库仑定律：FSAmax=fc1×FNA=650N ∵FSA＜FSAmax ∴A 块静止取物块 B： ∑Fy=0 FNB-F'NA-WB=0 ∴FNB=3300N ∑Fx=0 FSB-FSA=0 ∴FSB=519.6N由库仑定律：FSBmax=fS2×FNB=660N ∵FSB＜FSBmax ∴B 块静止5-6 一夹板锤重 500N，靠两滚轮与锤杆间的摩擦力提起。已知摩擦因数 f=0.4，试问当锤匀速上升时，每边应加正应力（或法向反力）为若干？解：由∑Fy=02FS-W=0 FS=N?f联立后求得：N=625N 5-7 尖劈顶重装置如图所示，重块与尖劈间的摩擦因数 f（其他有滚珠处表 示光滑）。求： （1）顶住重物所需Ｑ之值（Ｐ、α已知）； （２）使重物不向上滑动所需Ｑ。注：在地质上按板块理论，太平洋板块向亚洲大陆斜插下去，在计算太平洋 板块所需的力时，可取图示模型。解：取整体 ∑Fy=0 FNA-P=0 ∴FNA=P 当 F＜Q1 时 锲块 A 向右运动，图（b）力三角形如图（d） 当 F＞Q2 时 锲块 A 向左运动，图（c）力三角形如图（e） 解得：Q1=Ptg(α-φ)；Q2=Ptg(α+φ) 平衡力值应为：Q1≤Q≤Q2 注意到 tgφ=fSP s in ? ? f S c o s ? s in ? ? f S c o s ? ? Q ? c o s ? ? f S s in ? c o s ? ? f S s in ?5-8 图示为轧机的两个压辊，其直径均为 d=50cm，两棍间的间隙 a=0.5cm， 两轧辊转动方向相反，如图上箭头所示。已知烧红的钢板与轧辊之间的摩擦因数 为 f=0.1，轧制时靠摩擦力将钢板带入轧辊。试问能轧制钢板的最大厚度 b 是多 少?提示：作用在钢板 A、B 处的正压力和摩擦力的合力必须水平向右，才能使 钢板进入轧辊。 解：钢板受力如图示，临界状态时，发生自锁，有 FRA=FAmax+FNA 且 –FRA+FRB=0( d 2 d b ? a 2 ) ? ( ) ? AC 2 2 2 ? ? d b ? a O 1C ? 2 2 d 2 ?1 (d ? b ? a )FRB=FBmax+FNBtg ?m?由几何关系： 又∵tgφm=0.1 b=0.75cm代入上式后可得：∴当 b≤0.75cm 时，发生自锁，即钢板与轧辊接触点上无相对滑 动，钢板能被带入轧辊。 5-9 一凸轮机构，在凸轮上作用一力偶，其力偶矩为 m，推杆ＣＤ的Ｃ点作 用一力Ｑ，设推杆与固定滑道之间的摩擦因数ｆ及ａ和ｄ的尺寸均为已知，试求 在图示位置时，欲使推杆不被卡住，滑道长ｂ的尺寸应为若干？（设凸轮与推杆 之间是光滑的。） 解：取推杆：∑Fx=0 FNA-FNB=0 ∑Fy=0 F-Q-FA-FB=0 = 2 \* GB3 ②= 1 \* GB3 ①∑MO1 \* GB3 ③ 取凸轮：∑M0=0F'A?d/2-FB?d/2+FNB?b+F'?a=0= 3m-F?d=0 ∴F=m/d=F' = 4 \* GB3④ 极限状态下：FA=FNA?f FB=FNB?f GB3 ⑥ 将 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥代入到 = 3 \* GB3 ③后整理得2 fam ∴若推杆不被卡住 则 b＞ m ? d?b ? 2 fa m m ? d?= 5 \* GB3 ⑤ = 6 \*5-10 摇臂钻床的衬套能在位于离轴心 b=22.5cm 远的垂直力 P 的作用下， 沿 着垂直轴滑动,设滑动摩擦因数 f=0.1。试求能保证滑动的衬套高度 h。解：A、D 两点全反力与 F 必交于一点 C，且极限状态下与法向夹角为φm，则 有 h=(b+d/2)tgφm+(b-d/2)tgφm ∴h=2b tgφm =2bf=4.5cm 故保证滑动时应有 h＞4.5cm 5-11 一起重用的夹具由 ABC 和 DEF 两相同弯杆组成，并由杆ＢＥ连接，B 和Ｅ都是铰链，尺寸如图所示，单位为ｍｍ，此夹具依靠摩擦力提起重物。试问 要提起重物，摩擦因数ｆ应为多大？ 解：取整体：∑Fy=0 P-Q=0 P=Q取节点 O：FOA=FOD=P=Q 取重物，受力如图示，由平衡方程得 FS1=FS2=Q/2 取曲杆 ABC ∑MB=0 150FN1+200FS1-600FOA=0重物不下滑的条件：FS1≤fSFN1 解得：fS≥0.155-12 砖夹的宽度为 250mm，曲杆 AGB 和 GCED 在 G 点铰接，砖重为 Q，提砖 的合力 P 作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示，单位 mm。如砖夹与砖之 间的摩擦因数 f=0.5，试问 b 应为多大才能把砖夹起？（b 为 G 点到砖块上所受 压力合力的距离）解：由整体：∑Fy=0 取砖：得 P=Q ∴FSA=FSD ∑Fy=0 Q-FSA-FSD=0∑MB=0∑Fx=0FNA-FND=0解得：FSA=FSD=Q/2，FNA=FND 取 AGB: ∑MG=0 F×95+30F'SA-bF'NA=0 ∴b=220FSA/FNA 转不下滑的条件：FSA≤fFNA ∴b≤110mm 此题也可是研究二力构件 GCED，tgα=b/220，砖不下滑应有 tgv ≤tgφ=fS，由此求得 b。5-13 机床上为了迅速装卸工件，常采用如图所示的偏心夹具。已知偏心轮 直径为 D，偏心轮与台面间的摩擦因数为 f，今欲使偏心轮手柄上的外力去掉后， 偏心轮不会自动脱开，试问偏心距 e 应为多少？在临界状态时，O 点在水平线 AB 上。??? ? ??? ? F F RA RB 和全反力 在 AB 连线并沿 AB 线方向，极限状态时， 解：主动力合力与法向夹角为φm，由几何关系： tgφm=OA/OB=e/D/2 ∴e=Df/2 注意到 tgφm=f故偏心轮不会脱开条件为 e≤Df/25-14 辊式破碎机，轧辊直径Ｄ＝500mm，以同一角速度相对转动，如摩擦因 数 f=0.3，求能轧入的圆形物料的最大直径 d。解：取圆形物料，受力如图，临界状态时，列平衡方程 ∑Fx=0 GB3 ① ∑Fy=0 GB3 ② 又∵ FA=fNA FB=fNB = 3 \* GB3 ③ 注意到 tgα=f ∴α=arctg0.3=16.7° 512 / 2 512 ? (D ? d ) / 2 D ? d NAsinα-FAcosα+NBsinα-FBcosα=0 = 2 \* NAcosα+FAsinα-NBcosα-FBsinα=0 = 1 \*cos ? ? 由几何关系：∴d=34.5mm5-15 矿井罐笼的安全装置可简化为如图 b 所示。设 AC=BC=l,AB=L，闸块 A、 B 与罐道间的摩擦因数为 f=0.5。 问机构的尺寸比例 l/L 应为多少方能确保制动？??? F 解：为确保系统安全制动，滑块应自锁，临界状态下，主动力合力 R 与法向夹角应为φm，由几何关系有： l 2 ? (l / 2) 2 l/2tg?m ?注意到 tg? m =f=0.5整理后有 l/L=0.56 ,若自锁应有 l/L＜0.56 显然，还应有 L/2＜l 因此，为能安全制动，应有 0.5＜l/L＜0.56 5-16 有一绞车， 它的鼓动轮半径 r=15cm， 制动轮半径 R=25cm， 重物Ｑ=1000N， a=100cm，b=40cm，c=50cm，制动轮与制动块间的摩擦因数 f=0.6。试求当绞车 掉着重物时，要刹住车使重物不致落下，加在杆上的力 P 至少应为多大？解：取轮：∑MO1=0 取杆：∑M0=0Q?r-FS?R=0 -F'S?c-F'N?b+p?a=0= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3临界状态时： FS=FN?f ③联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③式可得： P=100N ∴要刹住车不使重物落下则， P≥100N 5-17 梯子 AB 重为 P=200N，靠在光滑墙上，梯子长为 l，已知梯子与地面间 的摩擦因数为 0.25，今有一重 650N 的人沿梯子向上爬，试问人达到最高点 A， 而梯子仍能保持平衡的最小角度α应为多少？解：梯子受力如图，设人重为 Q=650N，杆长为 l由∑Fy=0 ∑MA=0FNB-Q-P=0 FNB?lcosα-FS lsinα-P?cosα?l/2=0临界状态时： FS=FNB?fStg? ? Q?P/2 ? 3.53 (Q ? P ) f S联立上三式后可解得： 12′∴ α=74°故梯子若保持平衡的条件为：α≥74°12′ 5-18 圆柱滚子的直径为 60cm，重 3000N，由于力 P 的作用而沿水平面作等 速滚动。如滚动摩擦系数δ=0.5cm，而力 P 与水平面所成的角α=30°，求所需 的力 P 的大小。解：滚子受力如图所示： ∑Fy=0 ∑MA=0 Psinα+FN-W=0 Mf-Pcosα?D/2=0临界状态时：Mf=δ?FN 联立上三式得：P=57.8N 5-19 滚子与鼓轮一起重为 P， 滚子与地面间的滚动摩擦因数为δ， 在与滚子 固连半径为 r 的鼓轮上挂一重为Ｑ的物体，问 Q 等于多少时，滚子将开始滚动？解：受力如图所示： ∑Fy=0 ∑MA=0 FN-P-Q=0 Mf-Q?r=0临界状态时：Mf=δ?FN 联立上三式解得：Q=Pδ/(r-δ) 5-20 渗碳炉盖的升降支架由 A、B 两径向轴承所支撑，如图所示，设已知 d=8cm，b=47cm，a=105cm，轴承与轴之间的摩擦因数 f=0.12，炉盖重 G=2000N。 试求沿 AB 轴线需作用多大的力，才能将炉盖推起。解：支架受力如图所示： ∑ P-FSA-FSB-G=0Fy=0= 1 \* GB3 ①Fx=0 ②∑ FNA-FNB=0= 2 \* GB3∑MO=0FSA?d/2+FNB?b-FSB?d/2-G?a=0= 3 \* GB3 ③ =临界状态时： FSA=FNA?f 4 \* GB3 ④ FSB=FNB? = 5 \* GB3 ⑤f将 = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤代入 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②后再代入 = 3 \* GB3 ③可解得 P=-21 箱式炉的倾斜炉门与铅垂线成α=10°角，炉门自重 G=1000N，炉门与 炉门框板间的滑动摩擦因数 f=0.3。求将此炉门提起所需的力？提炉门的钢索与 炉门框板平行。解：∑Fx=0 ∑Fy=0-Gcosα-FS+FT=0 FN-Gsinα=0临界状态时：FS=FN?f 联立上三式解得：FT=G(sinα×0.3+cosα)=1037N5-22 电工攀登电线杆用的套钩如图所示。设电线杆直径 d=30cm，套钩尺寸 b=10cm，钩与电线杆之间的摩擦因数 f=0.3，钩的重量可以略去不计。问自踏脚 处到电线杆轴线间的间距离 a 为何值时方能保证工人安全操作？ 解：套钩受力如图，全反力 FRA，FRB 与 G 汇交于点 C 由几何关系得：b=(a+d/2)tgφm+(a-d/2)tgφm=2atgφm=2af 故为使套钩自锁应有：a≥b/2f=16.7cm第六章空间力系重心6-1 已知力 P 大小和方向如图所示，求里 P 对 z 轴的矩。（题 6-1 图 a 中的 P 位 于其过轮缘上作用点的切平面内，且与轮平面成 α=60 度角；图 b 中的力 P 位于 轮平面内与轮的法线成 β=60 度角）。? 1 M Z ( P ) ? P ? cos 60? ? R ? P ? R 2 解：（a）? 3 M Z ( P ) ? ? P ? sin ? ? R ? ? P ? sin 60? ? R ? ? PR 2 (b)6-2 作用于手柄端的力 F=600KN，试求计算力在 x,y,z 轴上的投影及对 x,y,z 轴 之矩。 解：FX ? FXY ? sin 45? ? F cos 60? ? sin 45? ? 212 N FY ? FXY ? cos 45? ? F cos 60? ? cos 45? ? 212 N FZ ? F sin 60? ? 520 N ? M X ( F ) ? FY ? 0.2 ? 42.4 N ? m ? M Y ( F ) ? ? FZ ? 0.5 ? FX ? 0.2 ? ?68.4 N ? m ? M Z ( F ) ? FY ? 0.05 ? 10.6 N ? m6-3 图示三脚架的三只角 AD，BD，CD 各与水平面成 60 度角，且 AB=BC=AC，绳索 绕过 D 处的滑轮由卷扬机 E 牵引将重物 G 吊起，卷扬机位于∠ACB 的等分线上， 且 DE 与水平线成 60 度角。当 G=30KN 时被等速地提升时，求各角所受的力。 解：受力如图所示，为空间汇交力系。?F ?F ?FYX?0? FAD cos 60? cos 30? ? FBD cos 60? cos 30? ? 0 FCD cos 60? ? FAD cos 60? sin 30? ? FBD cos 60? sin 30? ? G cos 60? ? 0 ( FAD ? FBD ? FCD ) sin 60? ? G ? G sin 60? ? 0?0 ?0Z解得：FAD ? 31.5 KN（压力）FBD ? 31.5 KN（压力）FCD ? 1.5 KN（压力）6-4 重物 Q=10KN，由撑杆 AD 及链条 BD 和 CD 所支持。杆的 A 端以铰链固定，又 A，B 和 C 三点在同一铅垂墙上。尺寸如图所示，求撑杆 AD 和链条 BD，CD 所受 的力（注：OD 垂直于墙面，OD=20cm）。 解：受力分析如图所示，为空间汇交力系，由几何关系可得：OB ? OC ? 200 2mm ； BD ? CD ? 200 3mm ； AD ? 200 5mm1 1 1 ? FBD ? ? FAD ? ?0 3 3 5?FX?0? FCD ?? FY ? 0 ?F解得：FCD ?2 1 ? ? FBD 3 22 1 2 ? ? FAD ? ?Q ? 0 3 2 5Z?0? FCD2 1 2 1 ? ? FBD ? ? ?0 3 2 3 2FAD ? ?7.45 KN（压力）FBD ? 2.89 KN FCD ? 2.89 KN（拉力）（拉力）6-5 固结在 AB 轴上的三个圆轮，半径各为 r1,r2,r3；水平和铅垂作用力大大小 F1=F1’,F2=F2’为已知，求平衡时 F3 和 F3’两力的大小。解：受力分析如图所示：F3? ? 和 F3 构成一力偶，且有 F3 ? F3?MZ?0F1 ? 2r1 ? F2 ? 2r2 ? F3 ? 2r3 ? 0? F3 ? F3? ?F1 ? r1 ? F2 ? r2 r36-6 平行力系由 5 个力组成，各力方向如图所示。已知：P1=150N，P2=100N， P3=200N，P4=150N，P5=100N。图中坐标的单位为 cm。求平行力系的合力。解：该平行力系的合力大小为：FR ? FRZ ? ? FZ ? P 1?P 2 ?P 3 ?P 4 ?P 5 ? 200 N (?)? FR该合力与平面的交点为（ X C , YC ），由合力矩定理有：? ? M X ( FR ) ? ? M X ( F ) ? P 1 ?1 ? P 2 ?3? P 3 ?5 ? P 5 ?2? P 4 ? 4 ? 650 N ? cm ? ? M Y ( FR ) ? ? M Y ( F ) ? ? P 1?4? P 2 ?3? P 3 ?2? P 5 ?1 ? ?1200 KNMY ?1200 ?? ? 6cm 200 FR? XC ? ?YC ?M X 650 ? ? 3.25cm FR 2006-7 有一齿轮传动轴如图所示，大齿轮的节圆直径 D=100mm，小齿轮的节圆直径 d=50mm。如两齿轮都是直齿，压力角均为 α=20 度，已知作用在大齿轮上的圆周 力 P1=1950N，试求转动轴作匀速转动时，小齿轮所受的圆周力 P2 的大小及两轴 承的反力。解：齿轮传动轴受力如图：?F ?FYX?0FAX ? R1 ? P2 ? FBX ? 0 FAY ? 0?0?FZ?0 ?0FAZ ? P 1 ? R2 ? FBZ ? 0 ?P 1 ? 100 ? R2 ? 150 ? FBZ ? 270 ? 0?M ?M ?M且有：XY?0?P 1?P d ? P2 ? ? 0 2 2z?0? R1 ?100 ? P2 ?150 ? FBX ? 270 ? 0R1 ? Ptg 20? 1 R2 ? P2tg 20?联立后解得：P 1 ? 1950 KN ; P 2 ? 3900 KN ; R1 ? 710 KN ; R2 ? 1420 KN ; FAX ? ?2180 N ; FAY ? 0; FAZ ? 1860 N ; FBX ? ?2430 N ; FBZ ? 1510 N6-8 一减速机构如图所示，动力由 I 轴输入，通过连轴节在 I 轴上作用一力偶， 其矩为 m=697NM，如齿轮节圆直径为 D1=160mm,D2=632mm,D3=204mm,齿轮压力角 为 20 度，试求Ⅱ轴两端轴承 A，B 的约束反力。图中单位为 mm。解：M 取轮 I： ?Y?0? m?P 1?D1 ?0 2? ?P 1 ? P 1 ? 8713 N? R1 ? Ptg 1 ? ? Ptg 1 20 ? 3172 N取 AB： ?FX ? 0FAX ? FBX ? R1 ? R2 ? 0 FAZ ? FBZ ? P 1?P 2 ?0 ? P2 ? 202 ? P 1 ? 437 ? FAZ ? 582 ? 0?F ?MXZ?0?0? MY ? 0 ?MZP2 ?D3 D2 ?P ?0 1? 2 2?0R2 ? 202 ? R1 ? 437 ? FAX ? 582 ? 0‘? 且有： R2 ? P2tg 20联立后解得：FAX ? 1.03KN ; FAZ ? 15.9 KN FBX ? 5.64 KN ; FBZ ? 19.8 KN6-9 传动轴如图所示，皮带轮直径 D=400mm,皮带拉力 S1=2000N，S2=1000N，皮 带拉力与水平线夹角为 15 度，圆柱直齿轮的节圆直径 d=200mm，齿轮压力 N 与 铅垂成 20 度角，试求轴承反力和齿轮压力 N。解： ?FX ? 0FAX ? N sin 20? ? FBX ? S1 cos15? ? S 2 cos15? ? 0?F ?FY?0 ?0 ?0FAY ? 0FAZ ? N cos 20? ? FBZ ? S1 sin15? ? S 2 sin15? ? 0Z?MXN cos 20? ? 250 ? FBZ ? 500 ? S1 sin15? ? 650 ? S 2 sin15? ? 650 ? 0 d D D ? S1 cos15? ? ? S 2 cos15? ? ? 0 2 2 2? MY ? 0? N cos 20? ??MZ?0N sin 20? ? 250 ? FBX ? 500 ? S1 cos15? ? 650 ? S 2 cos15? ? 650 ? 0联立后解得：N ? 2130 NFAX ? ?500 N ; FAY ? 0; FAZ ? ?919 NFBX ? 4130 N ; FBZ ? ?1340 N6-10 求图示截面重心的位置。（a）解：由对称性xc ? 0A ? 105mmyc ??y Aii?y1 A1 ? y2 A2 270 ? 50 ?165 ? 300 ? 30 ?15 ? 270 ? 50 ? 300 ? 30 A(b)解：由对称性 用负面积法求 xcyc ? 0A ? 17.5mmxc ??x Aii?210 ? 75 ? 37.5 ? 200 ? 70 ? 40 210 ? 75 ? 200 ? 706-11 某单柱冲床床身截面 m-m 如图所示，试求该截面形心的位置。解：由对称性 yc ? 0由减面积法求 xcA ? 220mmxc ??x Aii?500 ? 560 ? 280 ? 400 ? 420 ? 320 500 ? 560 ? 400 ? 4206-12 斜井提升中，使用的箕斗侧板的几何尺寸如图所示，试求其重心。A 解： ? 1179mmxc ?? xi Ai1 0 ? 500 ?
? ?1050 ? 500 ? ( 2 3 ?
? 1050 ? 500 ? 0.5A ? 506mmyc?yA ?ii1
?1050 ? 525 ? ? 1050 ? 500 ? 2 3 ?
? 1050 ? 500 ? 0.56-13 图示为一半径 R=10cm 的均质薄圆板。 在距圆心为 a=4cm 处有一半径为 r= 3cm 的小孔。试计算此薄圆板的重心位置。解：由对称性 yc ? 0由负面积法求 xcA ? 9.6cmxc ??x Aii?? R 2 ? R ? ? r 2 ? ( R ? a) ? R2 ? ? r 26-14 为了测汽车的重心位置，可将汽车驶到秤上，秤得汽车总重的大小为 W，再 将后轮驶到地秤上， 秤得后轮的压力 N， 即可求得重心的位置。 今已知 W=34.3KN， N=19.6KN，前后两轮之间的距离 L=3.1m，试求重心 C 到后轴的距离 b。解：受力分析如图所示?MA?0Nl ? 1.33m WN ? l ? W ? (l ? b ) ? 0?b ? l ?6-15 图为产量 150KN 的转炉剖面图，它由炉壳和炉衬所组成，已知炉壳重心坐 标 y 壳=0，z 壳=3.45m，炉壳重量 W 壳=303KN，炉衬各段重量及其重心坐标如下 表： 试计算该转炉的重心位置。解：由对称性， yc ? 0?C?Z A ?Ai ii?wke ? zke ? w1 ? z1 ? w2 z2 ? w3 z3 ? ... ? w9 z9 w303 ? 3.45 ? 95.6 ? 5.1 ? 78.6 ? 4.02 ? 42.5 ? 3.38 ? 85.5 ? 2.6 ? 32.5 ? 1.68 ? 36.6 ?1.43 ? 56 ?1.74 ? 95.5 ? 0.52 ? 0.19 ? 29 303 ? 95.6 ? 78.6 ? 42.5 ? 85.5 ? 32.5 ? 36.6 ? 56 ? 95.5 ? 29 ? 2.89m ?第二册 运动学和动力学第一章 点的运动1-1 某工厂使用自由落锤砸碎废铁。已知重锤被升高到 9.6 米，然后松开，让锤自由落下砸 碎废铁。求重锤刚落到废铁上时的速 度和下落所需的时间。解：设重锤距废铁高度为 h,刚落到废铁上的速度为 v,下落所需时间为 t,由公式v2 h? 2 g 得 v ? 2 gh = 2 ? 9.8 ? 9.6 =13.7（m/s）h?由公式2 ? 9.6 1 2 t ? 2h gt g = 9.8 =1.4（s） 2 得1-2 某汽车以 36 km/h 的速度行驶，突然刹车，经过 2 s 便停下来。求刹车时的加速度和滑 过的距离。解：设刹车的加速度为 a，滑过的距离为 s,a?由公式vt ? vo t ， vt ? 0, vo ? 36km / h ? 10m / s ，?a ?0 ? 10 ? ?5 2 2 (m/ s )2 0 ? 102 vt2 ? vo s ? ? 10 s? 2 ? ( ? 5) 2 a 由公式 得， (m)1-3 为测井深，在井口把一石块投入水中。石块出速度为零，在 5s 后听到石块落水时的声 音。试计算井口到水面的深度。（声 速为 340m/s）。解：设井楼到水面的深度为 h，设石块下落的时间为 1 ,设落水声音传播到井口的时间为tt2，t1 ? t2 ? 5h?1 2 gt1 ? v ? t 2 声 2?2h h ? ?5 g v声2? h h ? ?5 9.8 340 ，即 ，解得：h=102 (m)1-4 一气球用 2 m / s 的加速度铅直上升，5s 的时候，从气球上落下一物体。问要经过多少 时间这个物体才落到地面？2解:：设物体获得的初速度为v0，方向竖直向上h1 ?1 2 1 at1 ? ? 2 ? 52 ? 25 2 2 （m）v0 at1 ? 2 ? 5 ? 10 = （m/s）h2 ?2 v0 102 ? ? 5.1 2 g 2 ? 9.8 （m）t2 ?v0 10 ? g 9.8 =1.0（s）h ? h1 ? h2 ?1 2 gt 2t?2h 2 ? (25 ? 5.1) ? g 9.8 =2.5（s）总时间为t2 t + =1.0+2.5=3.5（s）1-5 有长 5m 的铁链， 悬其端点， 若从悬点放开铁链， 求全链经过悬点下 25m 所经历的时间。解：设上端点经过悬点下 25m 处所用时间为 1 ，下端点经过悬点下 25m 处所用时间为 全链经过悬点下 25m 处时间为 t ，tt2，?t ? 2h ? 2 ? 25 ? 2.26 9.8 g ?1 ? 1 2 ? h ? gt t2 ? 2 ? (25 ? 5) ? 2.02 9.8 ? 2 由公式： 得t t 则 t = 1 - 2 =2.26-2.02=0.24（s）1-6 间歇式铸工输送器的小车，长 1160mm（亦即运行距离），如图所示。其运行规律为匀 加速—匀速—匀减速。如匀速运动时速度为 v ? 40cm / s ,匀加速和匀减速时加速度数值相等，运行总时间为 4s；求加速度的数 值。答： a =363.3mm/ s21-7 电车沿直线轨道行驶时，位移与时间的立方成正比，在头半分钟内电车走过 90m。求在t ? 10s 时，电车的速度与加速度。解：电车的位移 x 与时间 t 的关系可写成为x ? Kt 3当 t ? 30 s 时， x ? 90 m，代入上式，得90 ? K 303所以K?1 300x?电车的运动方程为1 3 t 300其速度方程与加速度方程分别为v?1 2 t 100 1 a? t 50当 t ? 10 s 时，电车速度、加速度分别为v?1 ? 102 ? 1m / s 100 1 a ? ? 10 ? 0.2m / s 2 501-8 半圆形凸轮以等速v0 ? 1cm / s沿水平方向向左运动， 而使活塞杆 AB 沿铅锤方向运动，如图所示。当运动开始时，活塞杆 A端在土伦的最高点上。如凸轮的半径 R=8cm,求活塞 B 的运动方程和速度。解：活塞 B 在沿铅直方向作直线运动，其运动规律决定于凸轮的形状及移动速度v0。列运动微分方程。选凸轮起始位置时的中心 O 点为坐标原点，活塞 B 的直线轨迹为 y 轴， 铅直向上为正。在任意瞬时由几何关系知活塞 B 的坐标为y ? O?A ? l0 ? OC ? l0 ? R 2 ? AC 2 ? l0其中AC ? v0t ? tcm， R =8cm。代入上式，则活塞 B 的运动方程为y ? 64 ? t 2 ? l0 （cm）活塞 B 的速度方程为?? v? y?t 64 ? t 2 （cm/s）求从动杆 AB 1-9 偏心轮的半径为 r， 偏心转轴到轮心的偏心距 OC= a ,坐标轴 Ox 如图所示。 的运动规律。已知 ? ? ? t , ? 为常数。答： x ? a cos ? t ? r ? a sin2 22?t 。1-10 机车沿直线轨道以等 v＝20 m/s 行驶， 机车的 44 轮半径为 R＝1m， 车轮只滚动不滑动； 试求轮缘上一点 M 的直角坐标运动方 程与初瞬时该点之速度与加速度。取 M 点最初接地时的位置为坐标原点，轨道为 x 轴。解：轮缘上的 M 点作平面曲线运动。取 M 点最初接地时的位置 O 点为坐标原点，取 x、y 轴如图所示。在 t ? 0 时，轮心 A 点在A0为处。经过 t 秒后，轮心 A 的运动路程S ? A0 A ? OC ? v At又因车轮只滚动不滑动，故??v At ? 20t OC ? MC ? R ? R??所以v At ? 20t R因此在瞬时 t，M 的坐标为x ? OB ? OC ? BC ? vAt ? R sin ? y ? BM ? AC ? AD ? R ? R cos ?所以x ? 20t ? sin 20t y ? 1 ? cos 20tM 点的速度 的投影为v1在 x、y 轴上? ? 20 ? 20 cos 20t vx ? x ? ? 20sin 20t vy ? yM 点的加速度 上的投影为aM在 x、y 轴?x ? 400sin 20t ax ? v ? y ? 400 cos 20t ay ? v当 t ? 0 时，vx ? 0, v y ? 0故vM=0ax ? 0, a y ? 400 m / s 2故 M 点的加速度aM ? a y ? 400m / s 2，方向沿 y 轴向上。1 l 1-11 曲柄连杆机构 r＝ l ＝60 cm，MB＝ 3 ， ? ? 4t ( t 以 s)，如图所示。求连杆上 M 点的轨迹，并求当 t =0 时，该点的速度与加 速度。x2 y2 ? ?1 2 202 答： 100 ，vM ? v y ? 80cm / s, aM ? ax ? ?1600cm / s 21-12 飞轮转动时，其轮缘上一点按方程式 s ? 0.1t 运动，s 以 m 计，t 以 s 计。设飞轮的半s径为 2m，求当此点的速度 v ＝30 m/s时，其切向与法向加速度。答：a? ? 6m / s 2 , an ? 450m / s 21-13 飞轮的半径 R＝2m．以等加速由静止开始转动。经过 10 s 后，轮缘上各点获得线速度v ＝100 m／s。求当 t＝15s 时，轮缘上一点的速度以及切向和法向加速度。答：v ? 150m / s, a? ? 10m / s 2 , an ? 11250m / s 21-14 —挂在弹簧下端的重物，在平衡位置 O 点附近上下振动的运动方程式为 x ? 2sin ? t （cm），其中 t 的单位为 s。求重物振动的速度、加速度表达式。并求当 t＝0、 2 s、1s 时，物体所在的位置、速度、加速度。1解：重物在平衡位置 O 点上下作简谐运动，运动方程式 x ? 2sin ? t （cm）（a）为已知， 重物的速度、加速度分别为对坐标的一阶导数和二阶导数，故重物速度、加速度表达式为：? ? 2? cos ? t （cm/s） （b） v?xa ? ?? x ? ?2? 2 sin ? t（cm/ s ） （c）2当 t=0 时，由（a），（b），（c）式得x1 ? 0v1 ? 2?cm/sa1 ? 0此时重物在平衡位置 O 点，速度达最大值。t?当1 2 s 时，由（a），（b），（c）三式得x1 2 ? 2cmv1 2 ? 0a1 2 ? ?2? 2 cm / s 2 。此时重物离开平衡位置的距离最大， 此最大距离称为简谐运动的振幅。 此时重物加速度也达 到最大值，方向与 x 轴反向。当 t=1s 时，由（a），（b），（c）式得x?0v ? ?2? cm/sa?0此时重物又回到平衡位置 O 点，速度达到最大值，但方向与 x 州反向，即向上运动。1-15 如图所示之摇杆机构，当摇杆 OD 统固定轴 O 转动时，通过滑块 A 上的销订，带动滑 块在滑槽 BC 内运动。试写出以 ? 角作d? ?3 为参数来表示的滑块运动方程。若当 ? ? 30 时，摇杆的角速度 dt rad/s,求此时滑块 A?的速度vA。已知 O 点到 BC 的距离为30cm。答：x ? 30tg? , v? ?30? ? 120cm / s1-16 细杆Q1 A绕轴O1以 ? ? ? t 的规律运动（ ? =常数），杆上套有小环 M 同时又套在半径为 R 的固定圆圈上。求小环 M 的速度与加速度。（a）? x ? 3t 2 ? ? 2 ? ? y ? 4t? x ? 3sin t ? y ? 3cos t （b） ?2 答：（a） 4 x ? 3 y ? 0 ， s ? 5t（b） x ? y ? 9 ， s ? 3t2 2第二章 刚体的基本运动2-1 在输送散粒的摆动式运输机中， O1 A ?O2 B ? AM ? r ? 0.2 m ,o1o2 ? AB, 如曲柄绕O1轴按? ? 15? t rad 的规律转动。求当t ? 0.5s 时， AB 槽上 M 点的速度和加速度。解： 根据题的已知条件：O1 A ? O2 B ? r , O1O2 ? AB, O1 ABO为四边形， 故斜槽 AB 作平动。其上各点的轨迹、速度、加速度都相同，斜槽上的 M 点的运动情况可用 A 点的运动情况来表示。 A 点作等速圆周运动，当t ? 0.5s 时。曲柄 O1 A 的转角 ? 为'? ? 15? t ? 15? ? 0.5 ? 23.5rad ? 327 8 32? '.&，即曲柄在' & O1 A' 位置，与铅直线夹角 ? ? 32?5128 。M 点的速度、加速度分别为vM ? v A' ? r ? ? rd? ? 0.2 ? 15? ? 9.42m / s dt? M ? ? A ? r? 2 ? r ('d? 2 ) ? 0.2 ? (15? ) 2 ? 444.15m / s dt 。M 点的速度vM、加速度? M 的方向如图所示。2-2 图示为一搅拌机构，已知O1 A ? O2 B ? R，O1O2 ? AB，O1 A转速 n 为常量；试分析BAM 上一点 M 的轨迹及其速度和加速度。解：vM ? v A ? R?n30? M ? ? A ? R(?n30)22-3 为 了 稳 定 轧 辊 在 轧 钢 时 的 转 速 ， 通 常 装 有 飞 轮 。 已 知 飞 轮 制 动 时 的 角 速 度2 ? ? ?5 rad s ，飞轮的转速为n0 ? 1200 rmin 。（a）求此飞轮在制动开始后转完第 100 转时的转速。（b）从开始到完全停止的制动过程中所需要的时间及转过的转数。解： （a ） 飞轮在制动过程中作等减速转动， 角速度的变化规律可由公式? 2 ? ? 0 2 ? 2?? （a）?n ?0 ? 0 ; ? 30 表示。式中： 0 ——飞轮的初角速度，? ——飞轮的角速度， ? ? ?85rad / s 2 ；? ——飞轮的转角， ? ? 2? ? 100rad 。将n0 , ? , ?的 值 带 入 （ a ） 式 则 得 飞 轮 转 完100转 的 角 速 度 为? ? ?0 2 ? 2?? ? (? ?120030)2 ? 2 ? 5 ? 2? ?100 ? 97.52rad / sn?其转速为30???30 ? 97.52 ? 932rpm 3.14（b） 由 （a） 式先求飞轮制动完了时飞轮转过的转角? 0 。此时 ? ? 0 。将已知条件代入（a）0?(式得? n030)2 ? 2 ? 5 ? ??? ? (? n030) 2 /10 ? 1579.2radN?飞轮制动结束时飞轮转过的转数为? 1579.2 ? ? 251.4r 2? 2 ? 3.14由公式? ? ? 0 ? ? t 求飞轮完全停止转动所需的时间 t,将已知条件代入式中，得0?? n030? 5t ? t ?? n030 ? 5?3.14 ? 1200 ? 25.12 s 30 ? 52-4 某 车 床 上 可 加 工 的 最 大 工 件 的 直 径 为 d ? 1000 mm ， 主 轴 正 转 时 的 最 小 转 速n ? 3.15 rmin 。求此时加工外圆的切削速度。解： v ? 165mm / s2-5 轧辊辊径 D ? 760 mm，正常运转的转速为n ? 39 rmin ，求轧制速度。解： v ? 1.55m / s2-6 砂轮的直径 d ? 200 mm，转速 n ? 900rmin ；求砂轮轮缘上任一点的速度和加速度。解：v ? 9.4m / s, ? n ? 888m / s 22-7 从静止开始作匀变速转动的飞轮，直径 D ? 1.2 m,角加速度 ? ? 3 rad s ；求此飞轮边2缘上一点 M，在第 10 s 末的速度、法向加速度和切向加速度。解： 飞轮从静止开始作匀变速转动， 由匀变速转动公式 为 ? ? ? t ? 3 ? 10 ? 30rad / s ，? ? ?0 ? ? t 求得第 10 秒末的角速度v ? r? ?飞轮轮缘上的一点 M 的速度为D 1.2 ?? ? 30 ? 18m / s 2 2飞轮轮缘上的一点 M 的切向速度和法向加速度为?? ? r? ?1.2 ? 3 ? 1.8m / s 2 2? n ? r? 2 ?1.2 ? 30 2 ? 540m / s 2 22-8 图示为搅拌器传动机构简图。已知蜗轮齿数 数Z 2 ? 45，蜗杆螺纹头数Z1 ? 2，锥齿轮齿Z 3 ? 16，Z 4 ? 40。如果搅拌器所n 需的转速为 n ? 25 r min 试确定蜗杆转速 1 。i?注：蜗轮蜗杆传动比计蒜公式为 蜗杆转速，n1 Z 2 ? n2 Z1 ， Z 2 为蜗轮齿数， Z1 为蜗杆螺纹头数。n1 为n2为蜗轮转速。解：解：各轮轴都作定轴转动，它是定轴轮系传动问题。先有 = 1 \* ROMAN I 轴和 = 2 \* ROMAN II 轴的传动比i12i12 ?，由公式n1 z2 45 ? ? n2 z1 2再求 = 2 \* ROMAN II 轴和 = 3 \* ROMAN III 轴的传动比i23i23 ?，即n2 z4 40 ? ? n3 z3 16从= 1 \* ROMAN I 轴 到= 3 \* ROMAN III 轴 的 总 传 动 比i13为i13 ?n1 n1 n2 z2 z4 45 40 ? ? ? i21 ? i23 ? ? ? 56.25 n3 n2 n3 z1 z3 2 16蜗杆的转速应该是n1 ? n3i13 ? 25 ? 56.25 ? 1406rpm2-9 抛丸器的传动系统如图所示，已知n ? 1450 rmin 。求抛丸轮边缘的速度 v 。解： v ? 59.1m / s2-10 圆盘给矿机如图所示。已知电动机转速 960 r／mm，减速器传动比为 32，固定在减速 器输出轴上的齿轮齿数为Z 1 ? 20,固定在圆盘上的齿轮齿数Z 2 ? 30；求给矿圆盘的转速。解： n ? 7.5rpm2-11图示为 ? 310×400 球磨机的传动机构简图， 巳知尺寸如图所示， 求球磨机圆筒的转速。解：球蘑机传动系统中有皮带传动和齿轮传动，系统总传动比为各级传动比 i 的乘积，即i?d 2 z2 280 84 ? ? ? ? 18.447 d1 z1 75 17圆筒的转速n1为n1 ?n 940 ? ? 51rpm i 18.447 。2-12 某铸造车间的辗轮式混砂机的传动简图如图所示。电动机带动锥持论 I,电动机转速n1 ? 1450r / min。锥齿轮 = 1 \*ROMAN I 与锥齿轮 = 2 \* ROMAN II 啮合，带动碾轮转动。今要求混砂辗轮转速为 20 r / min ，试计算此传动机构的传动n2＝比。解： i ? 72.5点的合成运动v13-1 车厢以速度沿水平直线轨道行驶。雨滴铅直落下，滴在车厢的玻璃上，留下与铅直线成 ? 角的雨痕。求雨滴的绝对速度。 答案: 略3-2 河岸互相平行，一般以匀速 u 由 A 点向对岸垂直行驶，经 10 分钟到达对岸。由于水流 的影响，这时船到达 A 点下游 120 处的 C 点。为使船从 A 点到达对岸的 B 点，船应逆流并与 AB 成某一角度的方向行驶。在此情况 下，船经过 12.5 分钟到达对岸。求河宽 l， 船对水的相对速度 u 及水流的速度 v。解：（1）选取动点和动参考系。由题意知，船与水流有相对运动。故选小船为动点，选流水为 动参考系，动参考系作平动。选河岸 为定参考系。（2）分析这三种运动和三种速度。绝对运动——为船相对于河岸的运动，绝对运动轨迹为 直线 AB，绝对速度va的大小未知，其方向沿绝对运动轨迹 AB，而指向 B 点。如图所示。相对运动——船相对于动参考系的运动，即船相对于水流的运动。相对运动轨迹为直线与 AB 成 a 角。相对速度沿相对运动轨迹 方向。牵连运动——动参考系随水流一起的运动，它是平动。船的牵连速度即为水流的速度。由题 的条件知，在 1 =10 分钟内小船被水 流冲下 s=120m 远处，故由ts ? vt1求得小船的牵连速度为v?s ? 120m / min t1其方向沿河流方向。（3）根据速度合成定理va ? v ? u求未知量。式中三个速度矢量中有三个要素，即和的大小，以及的方向不知。但由题的条件 及速度三角形是直角三角形的几何关系，可列出关系式ut1 ? l(a)va t2 ? u 2 ? v 2 ? t2 ? l(b)（a）、（b）二式联立求得ut1 ? u 2 ? v 2 ? t2解上式得u?vt22 t2 ? t12? 20m / min将=20 代入（）式得河宽为l ? ut1=20 ? 10=200m小船航向与河岸垂线 AB 的夹角为tga ?v v ? ? 0.75 va u 2 ? v2?a ? 36?52 '3-3摇杆 OC 绕 O 轴转动，经过固定在齿条 AB 上的销子 K 带动齿条上下平动，而齿条又带动 半径为 10cm 的齿轮 D 绕固定轴转动。如 l 等 于 40cm，摇杆的角速度 ? =0.5rad/s；求当 ? = 30 时齿轮的角速度。?解：（1）选取动点和动参考系。由题意知，齿条上的销子 K 与摇杆 OC 有相对运动，当摇杆转 动时，销子 K 在摇杆的滑槽中运动，并 带动齿条使其上下运动。（同时齿天又带动固定齿轮转动）。故选取销子 K 点为动点，选 摇杆为动参考系，地面为定参考系。（2）分析三种运动和三种速度。绝对运动——销子 K 是齿条上的一个点，齿条在铅直方向作平动，故销子 K 的绝对运动轨 迹为直线。绝对速度va的大小未知，其方向沿绝对运动轨迹方向。相对运动——动点销子 K 对于动参考系的运动，动点 K 在摇杆滑槽里做直线运动，相对运 动轨迹为直线，相对速度vr方向沿摇杆滑槽方向，其大小是未知的。 牵连运动——动参考系摇杆的转动。当 ? = 30 时，摇杆上与动点 K 重合的点的速度为动点?K 的牵连速度ve，其方向垂直摇杆轴线，而大小为：ve ? OK ? ? ?l ?? cos ?（3）根据速度合成定理va ? ve ? vr求未知量。式中三个速度矢量中只有两个要素，即与的大小是未知的，故可做速度平行四边 形，如图所示。由几何关系得动点 K的绝对速度va的大小为va ?vr l? ? ? 26.67cm / s cos ? cos 2 ?小齿轮的角速度可由下式va ? r? ?求得，即?? ?v0 ? 2.67 rad / s r 。3-4 瓦特离心调速器以匀角速度?1 =10rad/s 绕铅直轴转动，由于机器负荷的变化，调速器两个重球在图示平面内离开转动轴向外摆动。在图示位置时，两球柄的角速度 距离 2e=10cm，又球柄与调速器轴所? 2 =1.2rad/s。去球柄长 l=50cm，球柄悬挂轴之间的成交角 ? = 30 ；求调速器重球的绝对速度。?解：（1）选取动点和动参考系。由题意知，调速器绕 OO ' 轴转动时，重球 A（或 B）相对调速 器绕 H 点（或 E 点）转动。即重球相对 于调速器有相对运动，故选重球为动点，调速器为动参考系。（2）分析三种运动和三种速度。绝对运动——相对于定参考系的运动。绝对速度va的大小和方向都是未知的。相对运动——重球 A 相对于动参考系的运动。动点 A 以 l 为半径绕 H 点做圆周运动，相对 运动轨迹为圆。相对速度vr的方向沿轨迹上 A 点的切线方向，其大小为vr ? l ? ? ?牵连运动——动参考系随调速器一起绕 OO ' 轴的转动，牵连角速度 点 A 相重合的那一点的速度为动点 A?? 为，动参考系上的动的牵连速度ve。牵连速度的大小为ve ? AC ?1 ? (l sin a ? e)?1方向垂直于转动半径 AC，即垂直纸面向外。（3）根据速度合成定理va ? ve ? vr求未知量。 式中速度向量只有两个要素是未知的， 即的大小和方向。 故可作速度平行四边形， 如图所示。由几何关系知，与二速度向量垂直，故动点 A 的绝对速度的大小为va ? ve2 ? vr2当时，得va ? 502| ?1.22 ? (50 ? 0.5 ? 5) 2 ? 102 ? 306cm / s3-5 三角形块沿水平方向运动，其斜边与水平线成 ? 角。杆 AB 的 A 端靠在斜面上，另一端 的活塞 B 在筒内铅垂滑动。如三角形块以速度v?向右运动，求活塞 B 的速度。答：vB ? v0tga? 3-6 偏心凸轮偏心距 OC=e，轮半径 r= 3 e，以匀角速度 ? 绕 O 轴转动。图示位置时，OC ? CA；试求从动杆的速度。答：vA ?2 3 e? ? 33-7 图示为牛头刨床机构，其尺寸 OA=R=20cm，l=20 3 cm，L=40 3 cm。曲柄 OA 以角 速度 ? =2rad/s 转动；求在图示位置时（OA 为水平），DE 之移动速度，及滑块 C 沿摇杆O1B 之滑动速度。解：取滑块 A 点为动点，摇杆为动参考系，定参考系固结在床身上，则动点 A 的绝对运 动为圆周运动，牵连运动为转动，相对运动为滑块相对于摇杆的直线运动。故绝对速度 为：va方向垂直于曲柄 OA，而速度大小va ? v A ? R ? ? ? ??? ? ?40cm/s。相对速度的方向沿摇杆O1 B，大小未知，该瞬时动点 A 的牵连速度为摇杆上与动点 A 相重合的点的速度。显然方向垂直于O1 B，大小未知。根据速度合成定理求未知量。式中三个速度向量中只有两个要素是未知的，即的大小，作出 该瞬时动点 A 的速度平行四边形，如图所示，由几何关系可得ve ? va sin a ? 40 ?R ? 20 O1 A cm/s设摇杆在该瞬时的角速度为 ? ，则：ve ? O1 A ? ????ve 20 ? ? 0.5 O1 A 40 rad/s为求 DE 杆的速度， 取滑块 C 点为动点， 摇杆 动点 C 的绝对运动为直线运动，牵连O1 B为动参考系， 定参考系固结在床身上，运动为转动，相对运动为滑块 C 相对于摇杆 摇杆 DE 方向，大小是未知待求的量，O1 B的直线运动。故绝对速度vce的方向沿相对速度vcr的方向沿摇杆O1 B，大小未知，该瞬时 C 点的牵连速度为摇杆O1 B上与动点 C 想重合的点的速度，显然方向垂直与O1 B，大小为：vce ? O1C ? ? ?根据速度合成定理求未L L? ?? ? ? 40cm / s cos a O1O / O A知量，作瞬时动点 C 速度平行四边形，如图所示。由几何关系得：vca ?vce 80 ? cm / s cos a 3vcr ? vca .sin a ?40 cm / s 3? ? 3-8 在图机构中，设杆 AB 以匀速 u 向上运动，点 O 到 AB 的距离为 l。求当 = 4 时，摇杆 OC 的角速度。3-9 胶带运输机的胶带速度?v1=0.6m/s。为卸去矿石，装置了固定挡板，挡板与运输机纵轴交角 ? = 60 。矿石沿挡板的速度v2=0.14m/s。试求矿石相对于胶带的速度vr的大小和方向。解：任取一粒矿石 O 为动点，取胶带为动参考系，定参考系固结在基架上。动点 O 的绝对 运动为沿挡板的直线运动，动点 O 的绝对速度 v 的方向有沿挡板 DE，其大小为已知道，即 平动，故牵连速度为交代的速度，其v1 v2==0.14m/s;牵连运动为胶带的大小为 相对速度 的。ve=v1。其方向沿胶带纵轴线方向；动点 C 的相对运动的情况是未知的，即，vr的大小与方向都是未知根据速度合成定理求未知量。有已知的速度向量 示。由几何关系得相对速度 为va与ve作速度平行四边形，如图所vr的大小vr=2 v12 ? v2 ? 2v1v2 cos 60?= 0.6 ? 0.14 ? 2 ? 0.6 ? 0.14 ? 0.5220.544m/sv vr ? a ? sin ? 由正弦定理得： sin 60sin ? ?所以：va 0.14 ? sin 60? ? ? 0.866 ? 0.299 0.544 vr? ? 12?52'即： ? 相对速度向量 Vr 与胶带纵轴线间的夹角。3-10 图示的曲柄滑道机构中，曲柄长 OA =10cm，并以匀角速 过滑块 A 使杆 BCE（BC 水平，BC ? DE）? =20rad/s 绕 O 轴转动，通作往复运动。求当曲柄与水平交角分别为 ? = 0 、 30 、 90 时杆 BCE 的速度和加速度。? ? ?答： ? ? 0 , v ? 0, a=40m/s; ? ? ?? , v ? 100cm / s , a ? 34.6m / s? ?223-11 变速机构如图所示。O1轴以等角速度 ? =41.8rad/s 转动，在O1轴上固定有带径向滑槽的圆盘，滑块 A 在其中滑动。滑块 A带动曲柄 AB 绕 B 轴转动。已知：AB=r=130cm，轴与 B 轴相距 e=40cm。试求图示位置时， 曲柄 AB 的角速度。解：选取滑块 A 为动点，轴O1为动参考系，定参考系固结在地面上。（1）分析 A 的三种运动：动点 A 的绝对运动为绕 B 点的圆周运动；动点 A 的相对运动为滑块 A 相对于圆盘的运动，即滑块 A 在圆盘中的直线运动；牵连运动 为圆盘上与动点 A 相重合的点的运动，即该点绕O1轴的转动。（2）三种速度的分析：动点 A 的绝对速度va的方向垂直于曲柄 BA， 其大小是待求的未知量； 相对速度vr的方向沿圆盘的滑槽的中心线，大小未知；牵连速度ve的大小为：ve ? o1 A ? ? ? ? e 2 ? r 2 ? 2er cos 45?? 6721mm / s其方向垂直于O1A。（3）由速度合成定理，作速度平行四边形，如图所示。由几何关系得动点 A 的绝 对速度为va ?ve cos ?由余弦定理得关系式：O1 A ? AB 2 ? BO12 ? 2 AB ? BO1 ? cos(180? ? 45? )=160.8mm由余弦定理得：O1 A BO ? sin a sin(180? ? 45? )?sin a ?BO ? sin 45? ? 0.1768 OAa ? 10?11'而cos a ? 0.9811将 cos a 的值代入va的表达式，则va=6850mm/s设曲柄 BA 的角速度为?曲，则va =BA ? ?曲??曲 BA = =2.7rad/s。va3-12 在“正割”机构中，曲柄 OAB（弯成直角杆）绕 O 轴转动，并带动导杆 CD 在滑槽中 滑动。在 ? = 30 、 ? =1.5rad/s、OA=100?3 mm 这一瞬时，试求导杆 CD 的速度，并求导杆上 C 点相对曲柄的速度。3-13半径 R=40 3 mm 的圆盘绕 O 轴以匀角速度 它借助螺旋弹簧压在圆盘上。已知? =1.5rad/s 转动，并带动 AB 杆绕 O1 轴转动，O1B=40，求当 ? = 30 时，AB 杆上 B 点的速度及杆的角速度。?3-14 货轮以每小时 30 公里的速度向东南航行，此时货轮上的风标指向东。货轮的速度减半 为每小时 15 公里时，风标指向东北。求风的速度和方向。设风速不变（风标所指的方向表示风从此方向吹来）。3-15 棱柱体按规律 s(t)=20t（5-t）mm 沿着水平面作直线平动。长为 200mm 的直杆 OA 一端 绕 O 轴转动，另一端借助螺旋弹簧压在 棱柱的斜面上。已知 ? = 30 ，求当 t=1s、 ? = 60 时，直杆 OA 的角速度和角加速度。? ?3-16 平行机构 坐标为O1 O1AB A=O2 O2与一半圆环铰接于 A，B 两点如图所示，小圆环 M 相对半圆环的弧 B=200mm，sr。设5 3 2 s R=160mm， ? = 48 ? t rad， r = AM =10 ? t mm。试求当时间 t=2s 时小圆环 M 的速度和加速度。3-17 平行机构O1ABO2与一圆盘铰接于 A、 B 两点如图所示。 在圆盘上有一半径 R=50mm 的圆槽，在圆糟内有两个销钉 C 和 D，二 销钉 C 相对圆盘的速度是常量， 等于 100mm/s。 者之间用一长为 50 3 mm 的直杆 CD 铰接。 设O1A=O2B=100mm，且O1O2=AB，匀角速度 ? =2 rad/s，求当 ? = 60 时，销钉 D 的速度和加速度。?3-18 在铰接四连杆机构中，O1A=O2B=100mm，并且O1 O2=AB。杆O1A 按规律 ? = 3 sin??O （ 6 t）绕 1 轴转动。AB 杆上有一套筒? C，并与 CD 杆铰接，机构中的各杆件都在同一平面内。求当 ? = 60 时，CD 杆的速度和加速度。答：v=10cm/sa=34.6cm/s2第四章 刚体的平面运动4-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动，曲柄以匀角速度 ? =2rad/s 绕 O 轴转动。已知 OC=BC=AC=12cm；求当 ? = 45 时 A 点与 B 点的速?度。解：取 AB 杆为研究对象，AB 杆作平面运动其上 C 点的速度 v 的大小和方向均可求得，其大小 为：v0 ? OC ? ? 12 ? 2 ? 24cm / s方向垂直于曲柄 OC。（1）用合成法求 A 点与 B 点的速度。由于规尺 AB 上的 C 点的速度已知，所以选 C 点为基点。这样 B 点的运动，可以视为随 基点 C 的平动与绕基点 C 的转动的合成运 动。由速度合成法公式：vB ? vC ? vBC求未知量。在本题中，基点 C 的速度 动速度vC的大小和方向已经求得；B 点相对于基点 C 的转vBC方向垂直 AB，大小未知；B 点的绝对速度 v 沿水平方向。这样，即可作出速度平行四边形，如图所示。由几何关系得vB ?vC 24 ? ? 33.9cm / s 0 cos 45 0.707仍以 C 点为基点求 A 点的速度。A 点的运动，可以视为随基点 C 的平动与绕基点 C 的转 动的合成运动。由速度合成法公式：v A ? vC ? v AC求 A 点的速度，在上式中，基点 C 的速度 转动速度vC的大小和方向已求得；A 点相对于基点 C 的vAC的方向垂直 AB，A 点的绝对速度vA方向沿铅直方向。这样可作出速度平行四边形，如图所示，由几何关系得：vA ?vC 24 ? ? 33.9cm / s 0 cos 45 0.707（2）用速度投影法求 A 点和 B 点的速度。因为规尺 AB 上的 C 点速度vC大小和方向均已求得，而 A 点和 B 点速度方向已知，分别 沿铅直与水平滑槽方向。根据速度投影定理，则有：(v A ) AB ? (vB ) AB ? (vC ) AB即v A cos ? A ? vB cos ? B ? vC cos 00或v A cos 450 ? vB cos 450 ? v cos 00计算可得v A ? vB ?vC 24 ? ? 33.9cm / s 0 cos 45 0.707（3）用速度瞬心法求 A 点和 B 点的速度。规尺 AB 作平面运动， A 点和 B 点的速度 过 A、B 点分别作vA和vB的方向已知， 分别沿铅直与水平滑槽方向。vA、vB的垂线，其交点 P 就是规尺 AB 在图示位置瞬时的瞬心（见图 b）。因为 C 点是曲柄 AC 和规尺的联结点，C 点的速度vC应同时满足这两构件的运动情况，即：vC ? OC ? ? CP ? AB式中? AB 为 AB 杆在图示瞬时的角速度，因此? AB ? ?OC ?? CPA 点的速度是v A ? AP ? AB ?AC 12 2 ? 33.9cm / s ?? 0 cos 45 0.707B 点的速度是vB ? BP ? AB ?BC 12 2 ? 33.9cm / s ?? 0 cos 45 0.7074-2 履带拖拉机以速度v?沿直线道路行驶（不滑动），已知前后轮半径为 R。求履带上M1、M2、M3、M4四点的速度。解：（1）分析运动。前后链轮作平面运动，沿地面滚动而不滑动；链条的运动分为三种：BC 段在地面上静止不动，AD 段作平动，AM2B 段、CM4D 段随链轮一起作平面运动。（2）求各点速度M1点不动，故vM 1 ? 0；B 点为后链轮的瞬心，链轮轮心 O 点的速度等于拖拉机的速度 则有v0，设链轮的角速度为 ? ，v0 ? R ???v0 R所以M2点的速度是vM 2 ? BM 2 ? ? 2 Rv0 ? 2v0 R其方向垂直于 BM2，如图所示。M4点是前链轮上的一个点，因为前后链轮半径相同，均为 R，??故前链轮的角速度也为v0 R ，则 M 4 点的速度是vM 4 ? CM 4 ? ? 2 Rv0 ? 2v0 R其方向垂直于CM 4，如图所示。因为 AC 段链条作平动，故vM 3 ? v A，而vA ? 2R ? ? 2Rv0 ? 2v0 R4-3 偏置曲柄连杆机构， 曲柄以匀角速度 OC=20cm。求当曲柄在两水平和铅 直位置时滑块 B 的速度。? =0.5rad/s 绕 O 轴转动。 如 OA =40cm， AB=200cm，答：v水左 ? v水右 ? 6.03cm / sv垂上 ? v垂下 ? 60cm / s4-4 图示为曲柄连杆机构带动平台 DE 作往复直线运动的机构。曲柄作匀角速度转动，其角 速度 ? =2 ? rad/s。OA=10cm，AB=30cm，齿轮O1 O2,上下均与齿条啮合。求当 ? = 90 时平台 DE 的速度和加速度。?解：分析运动，选研究对象。机构中的曲柄 OA 作匀速定轴转动，连杆 AB 作平面运动，齿轮 与O1O2作平面运动，杆O1 O2作平动，平台 DE 作平动。为了求平台的速度与加速度，需要选取连杆 AB 为研究对象，其次选取齿 轮O1为研究对象。求连杆上 B 点速度。因为连杆上 B 点的速度方向与 A 的速度方向相同，如图 a 所示，故知 连杆 AB 作瞬时平动，得vB ? v A ? OA ? ? 102? ? 20? rad / s连杆O1 O2作平动，图示瞬时其上各点速度相同，故有：vO1 ? vO2 ? vB ? v A ? 20? rad / s选取齿轮O1为研究对象。它作平面运动，C 点瞬时速度中心，设其角速度 ? ? ，则有vO1 ? R ? ???? ?vO1 R?20? R齿轮O1与平台 DE 相啮合的 G 点的速度为：vG ? CG ? ? 2 R20? ? 40? cm / s ? 125.6cm / s R即为平台 DE 的速度，其方向垂直 CG，水平向右。求平台 DE 的加速度。取连杆 AB 为研究对象。因为 A 点的加速度是已知的，故以 A 点为 基点，则 B 点的运动，可以视为随基点 A 的 平动，与绕基点 A 的转动的合成运动。根据加速度合成公式，列 B 点加速度表达式：? B ? ? A? ? ? An ? ? BA? ? ? BAn式中各加速度向量要素的已知和未知情况列表如下：B 点加速度?B基点 A 的加速度B 点相对基点 A 的切向加速度B 点相对基点 A 的法向加速度?A曲柄作等速转动 A 点只有法向加速度? BA?? BAn? A ? ? An ? OA? 2大小 未 知? BA? ? AB ? ? AB未 知2 ? BAn ? AB ? AB? AB ? 0 ?0已 知? 10 ? (2? ) 2? 394.4cm / s方向沿直线轨 方向 迹2O1 O2指向方向沿曲柄 OA， 指向 O 点方向垂直 AB， 设 指向如图 B 所示沿 BA 方向如图 b 所示。式中十个要素已经知道八个，故可求解。把各加速度向量画在图上，如图（b）所示。利用 合向量投影定理，将各向量投影于 x 轴上，得? B cos ? ? ? A sin ? ? ? BAn?? B ? ? Atg? ?? BAn OA ??A ?0 cos ? OB? 394.410 30 ? 102 2? 139.5cm / s 2最后选齿轮O1为研究对象。因为连杆O1 O2作平动，所以齿轮轮心O1的加速度，即? O ? ? B ? 139.5cm / s 21其方向水平向右。选O1点为基点。根据加速度合成公式，列 G 点的加速度表达式：? G ? ? O ? ? GO ? ? ? GO n1 1 1式中各加速度向量要素的已知和未知情况列表如下：G 点相对于基 G 点加速度 基点O1的加速度?G点O1的切向加1G 点相对于基点 向加速度O1的法?O1速度? GO ?? GO n1已知： 大小 未知? GO ? ? R1?OR1? GO n1? vO1 ? ? 2 ? R? ? R? ? R ?2? O ? 139.5cm / s12? ? O1已知 已知， 方向垂直 CG ，设指向如 图（c）所示。?2 vO 1R方向未知已知，如图（c）所 示。已知，沿 GC 方向。由表中可知，式中八个要素已知六个，故可求解，把各加速度向量画在图（c）上，利用合 向量投影定理，将各向量投影于 x 轴 上? Gx ? ? O ? ? GO ? ? 2? O ? 2 ?139.5 ? 279cm / s 21 1 1? Gx 为齿轮 G 点加速度在水平方向的分量，也就是平台的加速度。4-5 腭式破碎机的简图如图所示。 OE， EC， CD， DO 是一四连杆机构， 曲柄 OE 绕 O 轴以 匀速转动，通过连杆 EC 带动 CD 杆绕 D??点摆动。DC、CB、BA、AD 又是一四连杆机构，CD 杆通过连杆 CB 带动腭板 AB 绕 A 点 来回摆动，把矿石压碎。已知? ? =10rad/s； ? AB 。各杆长度及其尺寸如图所示。长度单位为 m。求图示位置时腭板摆动的角速度答：? AB ? 1.77 rad / s4-6 人力打稻机的传动机构如图所示。踏板 齿轮又带动小齿轮转动，小齿轮与打稻O3C通过连杆 AB 带动大齿轮绕O2轴转动，大机滚筒安装在同一轴上。已知r1=4cm,r2=6cm,O3 B=20cm,O3C=30cm 。 若 滚 筒 转 速n1=120r/min；求图示位置（O3C ? AB,? O2 A ? O1 O2 O2 A O , 水平，A 在 3 同一直线上， ? = 30 ）踏板上的 C 点速度。解：在该机构中，O1轮与O2轮作定轴转动，踏板O3C 作转动，因此选 AB 连杆为研究对象。由于连杆 AB 上 A 点的速度可以预先求 出，故可以选 A 为基点，这样 B 点的运动，可以视为随基点 A 的平动和绕基点 A 的转动的 合成运动。根据速度合成法，列 B 点的速度表达式如下：vB ? v A ? vBA式中：vA为基点 A 的速度，其大小求法如下：O1轮的角速度是?1 ?2? n 2? ? 120 ? ? 12.56rad / s 60 60O2轮的角速度是?2 ?r1 4 ?1 ? 12.56 ? 4.15rad / s 12 r2A 点的速度大小是v A ? O2 A ?1 ? 6 ? 4.15 ? 24.9rad / s其方向垂直O2A，指向如图所示；vBA为 B 点相对基点 A 的转动速度，其方向垂直杆 AB，B 点的绝对速度vB垂直踏板O3C。作 B 点速度平行四边形，如图所示。由图的几何关系，得 B 点的速度大小为vB ? v A cos 300 ? 24.9 ? 0.866 ? 21.56cm / s设 C 点的速度大小为vC，则vC : vB ? O3C : O3 B?vC ?O3C 30 21.56 ? 32.6cm / s vB ? 20 O3 B4-7 曲柄 OA=30cm， 以角速度? ? =0.5rad/s 绕 O 轴转动。 R R 半径 2 =20cm 的齿轮在半径 1 =10cm的固定齿轮上滚动而不是滑动，并带动与其连接的连杆 BC，BC=20 26 cm。当半径 AB 垂直于曲柄 OA 时，求连杆的角速度 及 B 点与 C 点的速度。答：? BC ? 0.15rad / s vB ? 21.2cm / s vC ? 18cm / s4-8 求在如图所示的机构中，当曲柄 OA 与 知曲柄 OA 以等角速度O1 B为铅垂时，B 点与 C 点的速度与加速度。已? ? =5rad/ s 2 转 ? ? =10rad/s， OB OA=r=20cm， 1 =100cm， AB=l=120cm， BC=100cm。动， 并在此瞬时其角速度为解：在该机构中，曲柄 OA 与杆 OB 作定轴转动，连杆 AB 与 BC 作平面运动，因此我们先选取 连杆 AB 为研究对象。因为连杆 AB 上的 A 点的速度vA的大小和方向都是已知的，即v A ? r ? ? 20 ?10 ? 200cm / s其方向垂直于曲柄 OA，水平向右。B 点速度 AB 在此瞬时作瞬时平动，所以有vB的方向与 A 点速度vA的方向相同，故连杆vB ? v A ? 200cm / s同理，连杆 BC 在此瞬时也作瞬时平动，故vC ? vB ? v A ? 200cm / s设O1B 杆的角速度为?O B1，则有vB ? O1 B ? O1B??O B ?1vB 200 ? ? 2rad / s O1 B 100其次求 B 点的加速度。连杆 AB 上 A 点的加速度? A 的大小和方向都是已知的。A 点法向加速度 ? An 的大小为? An ? r? 02 ? 20 ? 10 2 ? 2000cm / s 2其方向沿曲柄 OA 方向；A 点切向加速度? A? 的大小为? A? ? r? 0 ? 20 ? 5 ? 100cm / s 2其方向垂直于曲柄 OA。选 A 为基点，根据加速度合成法，列 B 点的加速度表达式如下：? Bn ? ? B? ? ? An ? ? A? ? ? BAn ? ? BA?式中：? Bn ——B 点绝对法向加速度，其大小2 2 2 ? Bn ? O1 B ?O B ? 100 ? 2 ? 400cm / s1其方向沿杆BO1；? B? ——B 点绝对切向加速度，其大小未知道，方向垂直于杆 BO1 ；? BAn ——B 点绕基点 A 转动的法向加速度，因为连杆 AB 作瞬时平动，其角速度 ? AB ? 0 ，故? BAn ? 0 ；? BA? ——B 点绕基点 A 转动的切向加速度，其大小未知，方向垂直于杆 AB。将各加速度向量画在 B 点上，如图（a）所示。用分析法求解，利用合向量投影定理，将 B 点加速度表达式中各向量投影于 AB 轴 上，得? Bn sin ? ? ? B? cos ? ? ? An sin ? ? ? A? cos ?? B? ? ? Antg? ? ? Bntg? ? ? A?? ?? An ? ? Bn ? tg? ? ? A? ? ? 2000 ? 400 ? ?
? 202 2OA AB 2 ? OA2? 100? 100 ? 370.5cm / s 2即：? Bn ? 400cm / s 2 ，? B? ? 370.5cm / s 2最后求 C 点加速度?CBC 杆作瞬时平动，虽然杆上各点速度相同，但各点加速度不相同。在连杆 BC 上的加速度表达式如下：? C ? ? Bn ? ? B? ? ? CBn ? ? CB?式中：? C ——C 点的绝对加速度，其大小是待求的未知量，方向沿滑槽水平方向；? Bn 与 ? B? ——分别为基点 B 的法向加速度与切向加速度，其大小与方向如前所述；? CBn ——C 点绕 B 点转动的法向加速度，因为杆作瞬时平动，其角速度 ? BC ? 0 ，所以 ? CBn ? 0 ；? CB? ——是 C 点绕 B 点转动的切向加速度，方向垂直于杆 BC，指向如图（b）所示，其大小未知。将 C 点加速度表达式中的各加速度向量画在 C 点上，如图（b）所示。用分析法求解，将 C 点各加速度向量投影于 BC 轴上，由合向 量投影定理得。? C ? ? B? ? 370.5cm / s 2 。4-9 由曲柄连杆机构 OAB 带动滑道作变角速度转动。 OA=r=5， AB=BD=l=13cm， ? =10rad/s。 当曲柄在铅直位置时，滑道与水平??成 60 的夹角。求此瞬时摆杆O1 D的角速度及滑块 D 的速度。解：在研究的机构中，曲柄 OA 作定轴转动，连杆 ABD 作平面运动，滑道 MN 作定轴转动，滑 块 B 作平动。选取连杆 ABD 为研究对象。因为滑块 B 的速度vB，即连杆 ABD 上的 B 点的速度，其方向与 A 点速度vA的方向相同，故知连杆 ABD 在图示瞬时作瞬时平动，则得vD ? vB ? v A ? r ? 0 ? 5 ? 10 ? 50cm / s。其方向水平向左。因 D 点的绝对速度vD已知，滑块 D 在摆杆 MN 的滑槽中滑动，它与摆杆 MN 有相对运动，故取滑块 D 为动点，摆杆 MN 为动参考系。相对速度vr方向沿摆杆 MN 滑槽，其大小是待求的未知量；牵连速度ve为动参考系上D 点相对定参考系的速度，其方向垂直 MN，大小是未知的。由速度合成定理，作 D 点速度平行四边形，如图所示。由图的几何关系得：ve ? v sin 600 ? 50 ? 0.866 ? 43.3cm / ssin ? ?r 5 ? ? 0.3846 l 13?? ? 22?37?,在三角形O1 BD中，由余弦定理得O1 D l ? sin ? sin120? ，?O1 D ? lsin ? 5 1 ? 13 ? ? 5.773cm ? sin120 13 cos 30?设摆杆角速度为? MN ，则ve ? O1 D ? MN?? MN ?ve 43.3 ? ? 7.5rad / s O1 D 5.7734-10 冲床的曲柄四连杆机构如图所示，当曲柄 OA 作等角速度 使杆 B? ? 绕 O 轴转动时，连杆 ABO1绕O1轴摆动，又通过连杆 BC 带动滑块 C 上下运动。已知 OA=r，AB=L，BO1=BC=l，试求图示位置时滑块 C 的速度。答：v ? r? 04-11 已知小型锻压机的尺寸，OA= 绕 O、O1B =10cm，EB=BD=AD=40cm。曲柄 OA、O1B 分别O1定轴转动，EBD 是一根直的连杆。在图示位置时，OA ? AD，O1 ? O B ED， 1 D 和 OD 分别为水平和铅直。当曲柄 OA 的转速 n=120r/min 时，求重锤 F 的速度。解：在此机构中，两曲柄 OA 与O1 B作转动，两连杆 AD 与 DE 作平面运动，杆 EF 作直线平动。分别选取连杆 AD 和 DE 为研究对 象。应用瞬心法求未知量。 因为杆 EF 作直线平动， 故 E 点速度 作转动，故 B 点速度vE的方向沿铅垂向下， 曲柄O1 BvB的方向垂直O1 B。所以连杆 DE 的瞬心可以求出。过 E 点与 B 点分别作速度向量vE与vB的垂线 EP 与BP，其交点 P 为连杆 DE 的瞬心，如图所 示。其次，找连杆 AD 的瞬心。因为连杆 AD 上的 D 点速度 垂直曲柄 OA，所以，过 A 点与 D 点分别作vD方向已知，A 点的速度vA的方向速度向量vA与vD的垂线 AC 与 DC，其交点 C 则为连杆 AD 的瞬心。如图所示。由图的几何关系，则得 A、D、E 各点速度之间的关系式如下：vD : v A ? DC : AC（a）vE : vD ? EP : DP（b）由（a） ? （b）得vE ? v A ?DC EP ? AC DP（c）在（c）式中：v A ? OA2? n 2? ? 120 ? 10 ? ? 125.6 cm s 60 60102 ? 402 DC OD OA2 ? AD 2 ? ? ? ? 1.03 AC AD 40 40EP ?1 DP ，将所得各值代入（c）式，则得vE ? 125.6 ? 1.03 ? 129.4 cms因为杆 EF 作平动，所以锤头 F 的速度vF的大小是vF ? vE ? 129.4 cms4-12 在四连杆机构中，曲柄 OA=r，以匀角速度 杆? ? 转动，连杆 AB =4r。求在图示位置时摇O1B 的角速度与角加速度，并求连杆中点 M 的加速度。解：在四连杆机构中，曲柄 OA 作定轴转动， 们选取杆 AB 为研究对象。O1 B杆也作定轴转动，杆 AB 作平面运动。我由于连杆上 A 点的速度及加速度已知，所以选 A 点为基点，则 B 点的运动视为随基点 A 的 平动与绕基点 A 的转动的合成运动。根据速度合成法，列 B 点速度表达式vB ? v A ? vBA求未知量。在题中，已知vA的大小：v A ? r? 0，方向垂直 OA。B 点相对 A 点的转动速度vBA垂直 AB，指向和大小未知。B 点的绝对速度vB垂直O1 B。作 B 点的速度平行四边形，由图可知，vB ? 0，即 B 点为杆 AB 在图示瞬时的瞬心；并且，vBA ? v A ? r? 0，设 AB 杆的角速度为? AB ，则v A ? AB ?? AB?? AB ?vBA r? 0 1 ? ? ?0 4 AB 4r因为vB ? 0，所以O1 B杆的角速度?O B ? 01。根据加速度合成法，列 B 点加速度表达式，aB ? a A ? aBA因为 A、B 点的绝对运动为圆周运动，B 点相对于 A 点的运动也是圆周运动，故 B 点表达 式可写成aB? ? aBn ? a A? ? a An ? aBA? ? aBAn式中：aB? ? O1 B ? ? O1B，?O B1为待求的O1 B杆的角加速度，其方向垂直O1 B；2 aBn ? O1 B ? ? O ?0 B1，因为O1 B杆角速度?O B ? 01，a A? ? 0，因为曲柄 OA 作匀速转动；2 2 a An ? OA ?? 0 ? r? 0 ，方向沿 AO；aBA? ? AB ? ? AB，? AB 为 AB 杆角加速度， aBA? 的大小是未知的，而其方向垂直 AB；2 aBAn ? AB ? ? AB ? 4r ? (?04)?1 2 r? 0 4 ，方向沿 BA。将（a）式中各加速度向量画在图（b）中的 B 点上。由合向量投影定理，将（a）式中各加 速度向量投影于预先选定的 x、y 轴 上，得aB? cos 600 ? a An ? aBAn（b）aB? cos 300 ? ? aBA?（c）由（b）式：1 2 5 2 2 ) ? r? 0 aB? ? 2( a An ? aBAn ) ? 2( r? 0 ? r? 0 4 2? aB? ? O1 B ? ? O1B? ? O1B5 2 aB? 2 r? 0 3 2 ? ? ? ?0 r 2.5 O1 B 2 cos 300由（c）式：5 2 3 5 3 2 aBA? ? ? aB? ? cos 300 ? ? r? 0 ? ?? r? 0 2 2 4? aBA? ? AB? AB? ? AB ?aBA? ?4 5 3 2 ?5 2 3? 0 ? ? r? 0 ? 16 AB 4r 4? AB 为负值，说明 AB 杆的角加速度实际方向与图示方向相反。求 M 点加速度。以 A 为基点，根据加速度合成法，列 M 点的加速度表达式：? M ? ? A ? ? MA? ? ? MAn（d）式中：2 aa ? a An ? r? 0 ，方向沿 AO；? MA? ? AM ? ? AB 2r ? 3? 02 ?5 2 3r? 0 8 ，其实际方向垂直 AB，如图（b）所示；? 1 2 2 ? MAn ? AM ?? AB ? 2r ( 0 ) 2 ? r? 04 8的 M 点上，可得 M 点的加速度 小为，方向沿 MA；将（d）式各加速度向量画在图（b）? M 的大?M ??? MAn ? ? A ? ? ?? MA? ?22?1 2 ?5 2? 2? 3r? 0 ? ? r? 0 ? r? 0 ? ?? ? ?8 ? ?8 ?22?1 2 2 39r? 0 ? 1.56r? 0 44-13 长为 0.2m 的曲柄 OA 以匀角速度 的圆盘绕? ? =2rad/s 转动，连杆 AB 长 l=0.4m，半径 r=0.1mO1轴转动，在题 4-13 图所示位置时，求 B 点的速度和加速度。4-14 曲柄 OA 以匀角速度 ? =2rad/s 绕 O 轴转动，借助杆 AB 使半径为 r 的轮子运动，轮子 沿半径 R 的圆槽作无滑动的滚动。已知： OA=AB=R=2r=1m，求图示位置时 B 点和 C 点的速度和加速度。4-15 杆 AB 的两端铰接有滑块 A 与 B，其中滑块 A 沿水平方向向右以匀速度 动，滑块 B 沿半径 R=0.2m 的圆弧滑动。已知vA=0.4m/s 滑AB=0.4m，试求在图示位置时，B 点的速度和加速度及杆 AB 的角速度和角加速度。4-16 平板 A 沿斜面按规律sA=0.1 t +0.4t m 运动， 半径 R=0.2m 的圆盘沿平板无滑动的滚动。2长 0.4m 的 OD 杆与滚子在 D 点铰接，并 绕 O 轴转动。当 t=1s 时，机构在图示位置，试求此时圆盘的角速度和角加速度以及 B、C、 D 点的速度与加速度。4-17 鼓轮 O 的半径分别为 r=0.1m，R=0.2m，按规律 ? = t -3t rad 绕 O 轴转动。不可伸长的3绳子绕在鼓轮 O 及滑轮 C 上。假定绳子与 鼓轮和滑轮无相对滑动，试求在 t=1s 时滑轮 C 的角速度和角加速度及滑轮 C 上 A、B、C 三点的速度和加速度。4-18 平行四边形铰接机构中两个曲柄 OA 与 通过杆 BC 与曲柄 OA 铰接。已知O1D 用杆 AD 相连，滑块 C 沿着 AD 滑动，它OB=BA=0.1m。在图示位置时，曲柄角速度 ? =2 rad/s，角加速度 ? =1 rad/s，试求滑块 C 的 速度和加速度。第五章 质点的运动微分方程5-1 罐笼质量 480kg，上升时的速度图如图所示。求在下列三个时间间隔内，悬挂罐笼 的钢绳的拉力s1、s2、s3。（a）由 t=0 到 t=2s；x Sv/(m/s)（b）由 t=2s 到 t=8s；P5（c）由 t=8s 到 t=10s；02810t/s图中速度单位为 m/s,时间单位为 s。解：视罐笼为质点，选坐标轴，考虑任意瞬时作用于其上的力有重力 P 和绳的拉力 S，如图 所示。列出运动微分方程P ax ? S ? P gS ? P(1 ?ax ) g(1) 第一阶段 v ? at ，则加速度ax (1) ?dv (1) ? a ? 2.5m / s 2 dta 2.5 S1 ? P(1 ? ) ? 480 ? 9.8(1 ? ) ? 5904 N g 9.8 由此求出(2) S ? P ? 480 ? 9.8 ? 4704 N a (2) ? 0 第二阶段 v ? 常数 ，则加速度 x ，因此 2(3) (2) a 第三阶段 v ? v -bt ，则加速度 x(3)? ?b ? ?2.5m / s 2，b 2.5 S3 ? P (1 ? ) ? 480 ? 9.8(1 ? ) ? 3504 N g 9.8 因此5-2 列车(不连机车)质量为 200t，由静止状态开始，以等加速度沿水平轨道行驶，经过 60s 后达到 54km／h 的速度。设车轮与钢轨之间的摩擦因数为 0.005，求机车给列车所施加的拉力。解：受力分析如图所示F摩擦 PF拉根据牛顿第二定律F拉 -F摩擦＝maa?dv 54000 ? dt 60 ? 60 ? 60F摩擦 ? 0.005 ? 200 ? 1000 ? 9.8 NF拉 ? 0.005 ? 200 ? 1000 ? 9.8 N ? 200 ? 1000 ?54000 ＝59800 N 60 ? 60 ? 605-3 载货小车的质量 700kg，以 v=1.6m/s 之速度沿缆车轨道下降，如图所示。轨道的倾o 角 ? ? 15 ，运动之总阻力系数f=0.015。求小车等速下降时，拉小车缆绳的拉力。又设小车制动的时间为 t=4s，求此时缆绳的拉力。设制动时小车作等减速运动。解：以小车为研究对象，在图上作出受力图，并标上直角坐标系，即ya ? v/t ?1.6 m / s 2 ? 0.4m / s 2 4Fvx yF1 v F1 xFFN FN由?Fx? mafmg cos ? ? mg sin ? ? FT ? maFT ? ma ? fmg cos ? ? mg sin ? ? [700(0.4 ? 0.015 ? 9.8 cos15? ? 9.8sin15? ) N ] ? 1956 N5-4 矿车的本身连同载重的质 量 m1=10 t , 车架与车轮的质量 m2 = 1 t . 如车身在弹簧上按 x = 2sin( 10t ) 厘米的规律作铅垂简谐运动；求矿车对水平直线轨道的最大与最小 压力。解（1）以矿车车厢为研究对象，画受力图d 2x 2 f = p1 – m1 g = m1 dt= -200sin( 10t )p1 = 98000 – 20000sin ( 10t )
则 p1 的反作用力 p2 = | p1|.以 有：车底为研究对象则其在 x 方向上 a 为零。f98000=p2+m2g=9800-20000sin(10t)+由其表达式得：fmax=00=N127800fmin=000= 87800 N5-5 筛矿筛的振动筛面与水平面成 20 度角，设沿与筛面垂直的方向以 x = A sin wt 厘 米做简谐振动。已经知道筛面振动的圆频率 w = 14 rad/s; 试求筛面的振幅 A 至少等于多少时，方能抛起矿砂，使 沙与筛面分离？假设沙与筛面的静止角 ? &2解：以沙砾为研究对象，受力分析，当沙砾未与筛面分开时。做 x = A sin( wt ) .则其运动微分方程为：m ax = N – P * cos ?（1）ax = - A sin ( wt ) cm. 代入（1）得：N = m*( - A ? sin(wt)/100) + mg cos ?2当沙砾离开筛面时，必须有 N &= 0,则有：- m A ? sin (wt) + m g cos ?2&= 0则有 ：A &= 100 * 9.8 * cos20/14*14 = 4.7cm5-6 为研究交变拉，压力对金属杆的影响，将试件上端接在曲柄连杆机构的滑块 B 上， 而在其下端挂一质量为 m 的重 锤。设曲杆长为 R,连杆长 L; 求曲柄以匀速 ? 转动时，金属试件所受拉力。解：选重锤为研究对象，作受力图得：重 有：锤作直线运动，则x=b+l(1-? 2 /4)+R(coswt+? cos (2wt)/4 )( 1)其中 ? = R / L .列重锤运动微分方程：m Sd 2}