线性代数（五）
1、零空间不会因可逆因子而改变，也就是说有：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-901-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="N(CD)=N(D)" role="presentation">N(CD)=N(D)N(CD)=N(D) 其中，C是可逆矩阵
2、零空间与行空间正交，列空间与左零空间正交
3、如何求一个不可解的方程的最优解呢？可以利用这个方程：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-902-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="ATAx=ATb" role="presentation">ATAx=ATbATAx=ATb，需要了解的是，转置乘以自身，是对称的，但并非总是可逆的。
4、一些重要的结论：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-903-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="N(ATA)=N(A),rank(ATA)=rank(A)" role="presentation">N(ATA)=N(A),rank(ATA)=rank(A)N(ATA)=N(A),rank(ATA)=rank(A)，<span class="MathJax" id="MathJax-Element-904-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="ATA" role="presentation">ATAATA 可逆的条件是A的各列线性无关。
5、如何推出投影矩阵：假设b在a上的投影为p，显然，a与p成比例，有p=x*a，由正交关系，我们可以得到如下方程：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-905-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="aT(b&#x2212;xa)=0" role="presentation">aT(b-xa)=0aT(b-xa)=0 ，由此，显然可以得到：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-906-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="aTb=xaTa" role="presentation">aTb=xaTaaTb=xaTa ，得：<span class="MathJax" id="MathJax-Element-907-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="p=aaTbaTa" role="presentation">p=aaTbaTap=aaTbaTa ，可以很清楚的看出投影矩阵的形式。
6、两条重要性质：投影矩阵的转置是其自身，投影两次仍是其自身，用公式表示即为，<span class="MathJax" id="MathJax-Element-908-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="PT=P,P2=P" role="presentation">PT=P,P2=PPT=P,P2=P
7、将投影矩阵扩展到高维情况，求Ax=b的最优解。可以得到如下的公式：
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-909-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="x&#x005E;=(ATA)&#x2212;1AT" role="presentation">x^=(ATA)-1ATx^=(ATA)-1AT
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-910-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="p=Ax&#x005E;=A(ATA)&#x2212;1AT" role="presentation">p=Ax^=A(ATA)-1ATp=Ax^=A(ATA)-1AT
二、格莱特-施密特正交化
格莱特的思想是将原有的向量组转化为相互正交的向量组，其实质可以看做如下问题，已知一个向量与其投影方向的向量，则误差向量就是所求的正交向量，所以要做的就是用原向量减去投影向量，即可得到结果，施密特的贡献是将得到的正交向量组单位化
三、研究正交矩阵的目的是QR分解？
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|个人分类:|系统分类:|关键词:子空间,同态,直和,基本定理|
把线性空间分解成为对其运算封闭的子空间，了解子空间的直和，正交子空间，以及由算子生成的零空间和像空间，这对分析算子，简化计算以及了解结构都是一把犀利的解剖刀。5.1 子空间线性空间是对线性运算封闭的集合。线性空间中的一个子集，如果也对线性运算封闭，即它里面任何几个向量经过线性组合后仍在这子集中，则称为线性子空间，在没有歧义的情况简称为子空间。很明显，线性空间本身以及单个零向量都是平凡的子空间。一切子空间都包含着零向量。不要把子空间想象成空间中一个有边缘的几何体，子空间中任何向量的数乘，即任意的延伸都在这子空间里。高于一维的线性空间有无数不同的子空间。在三维空间中，一维的子空间是过原点的一条直线，二维子空间是过原点的一个平面，你以此来推想高维的子空间。一组向量的线性组合构成了一个子空间，称为这组向量张成的子空间。这子空间的维数，等于这组向量中线性无关向量的个数。一组线性无关的向量，意味着其中任何一个向量都不能在其它几个张成的子空间里，这就像平行六面体的三条棱边不在任何两边确定的平面里。子空间的交集仍是一个子空间，它们的并集一般则不是，但可用里面向量的线性组合扩充成一个子空间。任取一组向量，它们所有线性组合的集合是个子空间，称为这组向量张成的线性子空间。显然任何一个向量都可以张成一维子空间，k个线性无关的向量张成k维子空间，线性空间中的基张成了整个线性空间。线性空间中的几个子空间，如果它们相互间除了零向量外没有交集，它们张成的空间，称为这些子空间的直和。直和空间中的向量，都可以用这几个子空间中各有一个向量之和组成，这种分解是唯一的。直和空间里向量运算，等于它分别在子空间里的运算之和。例如： $ a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\; b\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}, \;\; \forall
a,b \in \mathbb{R} $ 分别都是
$ \mathbb{R}^2 $ 的一维子空间， $ \mathbb{R}^2 $ 是它们的直和。分别来自两个子空间中的向量，如果它们的内积都为零，则称这两个子空间是正交的。它们张成的空间是它们的直和。不是全空间或单个零向量的子空间称为真子空间。与真子空间正交的向量构成与它正交的子空间，它们的直和是全空间。矩阵 & $ A=\begin{pmatrix} 1&1&0 \\1&0 &1\end{pmatrix} $
&的两个行向量张成 $ \mathbb{R}^3 $ 的二维子空间。方程 Ax=0 的所有的解 & $ x= a\begin{pmatrix}1&-1&-1 \end{pmatrix}^T,a\in \mathbb{R} $
构成 $ \mathbb{R}^3$ 的一维子空间。不难验证A的行向量张成的空间和这方程的解空间是正交的，它们的直和是 $ \mathbb{R}^3$ 。假设线性空间X是子空间W和V的直和，因为向量对子空间直和的分解是唯一的， X中每个向量都对应着子空间W中的一个向量，这个映射称为X对W子空间的投影。空间X中的向量线性运算与它们在W子空间中的投影也保持这种对应，这个性质称为线性空间X与它的子空间W是同态的。同态是在两个代数结构中保持运算不变的映射，对子空间的投影映射是一个同态映射。以前介绍的“同构”，则要求这种映射还是一一满映射。同态映射定义了一种等价关系，它把等价的元素映成同一个像元素，而令其等价的称为同态映射的核。子空间V是X投影到W映射的核，它的投影是零向量，如果X中任何两个向量之差在V中，它们对投影映射则是等价的，投影到W中同一个向量。由此可以进一步学习泛代数的概念，定义在等价关系下的商空间，以及商空间与映射像同构关系的基本定理。5.2算子的零空间和像空间线性算子保持两个空间的线性运算不变，所以它是一个同态映射。线性算子 f : X → Y 它的核 Ker(f) 和像 Im(f) &定义如下：Ker ( f ) = { x ∈ X | f( x )= 0 } ，Im ( f ) = { f ( x ) | x ∈X } &Ker(f) 是 X 中被f映射为0的向量构成的子空间，也称为算子的零空间。X中两个向量之差如果在零空间中，它可以被线性算子看成是等价的，它们被映到Y中的同一个向量。而Im(f) 是 X中所有向量被f映射到Y的像构成的子空间，也称为算子的值域。对这些子空间的维数有秩-零度定理: &dim ( Ker ( f ) ) + dim ( Im ( f ) ) = dim (X)，它是线性代数的一个基本定理。 & &维数 dim(Im(f)) 叫做线性算子f的秩，记为 rank f，dim(Ker(f))叫做线性算子f的零度，记为nullity f。满映射的线性算子称为是满秩的，满秩的线性算子的零度为0. 这个定理似乎很抽象，下面我们从矩阵和方程的角度来看它。线性算子f将X中的向量x映成Y中的向量，如果存在着Y上的一个线性算子f*，它将Y中的向量y映成X中的向量，使得内积〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉，算子f*称为f的共轭算子。不难证明，在实数域算子的矩阵表示中，A的共轭算子是它的转置矩阵AT（在复数域上是A的共轭转置矩阵A*，为直观起见，我们只介绍实数域的情况，读者自行修正复数域上表示。）将线性算子f表示为矩阵A，A的列向量张成的子空间称为A的列空间，它是算子A的像空间。Ax=0解构成的子空间称为A的右零空间，它是算子A的零空间。A的行向量张成的子空间称为A的行空间，它是共轭算子的列空间。共轭算子AT的零空间称为A的左零空间。齐次线性方程Ax=0的解构成A的零空间，这方程式说明矩阵的行向量与方程解列向量的内积为零。所以，矩阵的行空间与右零空间总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子定义域的线性空间。将矩阵转置，对AT也有相同的结论，即矩阵A的列空间与左零空间也总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子值域所在的线性空间。矩阵把它的定义域空间X分解为正交的右零空间和行空间的直和，把值域空间分解为正交的左零空间和列空间的直和。试着用内积式子〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉= 0做出上述的解释。通过矩阵的行和列的操作，可以证明：矩阵的行秩等于列秩。这是线性代数另一个基本定理。我们不再区分矩阵列空间和行空间的维数，统称为矩阵的秩，或算子的秩。5.3线性算子的核与像空间的分解联系着算子和共轭算子的子空间分解对理解它们的结构十分重要，这里从矩阵的角度来总结。表示线性算子的矩阵A，它的核Ker(A)是所有映射成零的向量集合，构成了X中的一个子空间；它的像Im(A)是所有映射得到向量的集合，构成了Y中的一个子空间。算子或矩阵的秩k，是像空间的维数 dim(Im(A)) = k。秩-零度定理说： dim(Im(A))+dim(Ker(A)) = dim(X) = n. 这矩阵的转置AT表示从Y到X，是与原来对偶的线性算子。同样依秩-零度定理有：dim(Im(AT)) + dim(Ker(AT)) = dim(Y) = m. 线性代数的另一个基本定理说：矩阵的行秩等于列秩，即dim(Im(A)) = dim(Im(AT)) = k，算子与它的对偶算子有相同的秩，所以算子与它的对偶算子的零度分别是：dim(Ker(A)) = n-k， dim(Ker(AT)) = m-k. 算子A将核空间Ker(A)中的向量映射为零向量，即矩阵中的行向量与它正交，而矩阵中的行向量张成转置矩阵的像空间Im(AT)。所以线性空间X可以分解成正交的k维子空间Im(AT)与n-k维子空间Ker(A)的直和，Y可以分解成正交的k维子空间Im(A)与m-k维子空间Ker(AT)的直和。这意味着X的Im(AT)子空间中，线性无关向量在A映射下的像也是线性无关的。对Y也有相应的结论。 & & $ Im(A^T)\oplus Ker(A)=X
Im(A)\oplus Ker(A^T)=Y $ 5.4 线性空间和算子的不变量线性空间的特征是维数，它是空间中线性无关向量的最大个数，无论空间中的元素是什么具体的数学实体，同一维数的线性空间都对线性运算同构，都可以用相同维数坐标的列向量来表示。算子的秩是象空间的维数。n维到m维线性空间上的线性算子，在给定基的坐标下表示为一个m*n矩阵。算子的象空间对应着矩阵列向量所张成的线性子空间，所以矩阵的秩等于它列向量中最大线性无关的个数。改变映射两边线性空间的基，表示线性算子的矩阵也随之改变。它们是同一个线性算子的不同表示，所以这些矩阵的秩都是一样的，秩是在基的变动中，矩阵表示保持不变的固有性质。空间中不同基之间对应着一个线性变换满映射，将一组基映射成另一组基，它可以表示为一个满秩的方阵。反之，满秩的方阵对应着两组基坐标间的变换。相同秩的m*n矩阵，总是可以通过左右两边各乘以一个满秩的方阵变成一样。所以它们是同一个线性算子在不同基坐标下的矩阵表示。秩是m*n矩阵在坐标变换中的不变量，它们对应着同一个线性算子。5.5 无穷维线性空间可以找到任意多个线性无关向量的线性空间，称为无穷维线性空间，例如多项式空间，解析函数空间等等。我们知道所有解析函数都可以展开成泰勒级数，即等于无穷多个基向量的线性组合，是不是所有无穷维线性空间都能如此？大致是如此，但无穷多个基不一定都是可数的，也可能是连续谱的，其线性组合不限于无穷级数形式的和，还可能是积分形式的和。无穷多项的线性组合的含义，涉及到收敛和完备性的概念，这依赖于空间中的拓扑结构。代数只关心集合中元素运算的性质，而不涉及集合中元素的“相邻”和“远近”，这后者是拓扑关系，需在集合中另行定义。所以通常线性代数的课程只介绍有限维空间的向量和算子，这不需要了解空间拓扑的性质。但它的内容同样适用于无穷维的空间，只是涉及到向量“无穷和”时，需要收敛的概念。无穷维线性空间的内容多在泛函分析中介绍。我们脑中对向量想象的图像，通常是三维的几何空间，这是在实数域上以向量的内积赋予长度的概念，从而有可以度量远近的欧几里德空间。抽象的线性空间未必如此，所以我们以直观的图像想象抽象世界时，必须清醒地认识这些不同，头脑中“看到”的结果必须从定义出发用严谨的逻辑推理来验证它。在加法和数乘下封闭的一族函数集合是个线性空间，可以定义不同的“距离”，就有不同的收敛，例如点点收敛，一致收敛，几乎处处收敛等等。收敛性保证这无穷线性组合的分解有意义，完备性是说任何这类无穷线性组合的向量仍在这线性空间中。对此有兴趣可以看我“重修微积分”系列的博文。在无穷维线性空间中应用最多的是用内积定义距离完备的线性空间，称为希尔伯特空间。函数表示为傅立叶级数，贝塞尔函数级数等特殊函数都是在线性空间基上的分解。因为微分算子是线性的，在物理中许多微分方程都可以看成一个线性系统，而线性系统可以用叠加原理，当方程的解可以表示为一个函数族基向量的线性组合，微分算子作用在这些函数上仍然是它们的线性组合，微分方程以此化为代数方程组。这是在计算机时代前，历史上为微分方程的解法，发展出物理图像解释的数学根据。 （待续）
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第五章 习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a) 3a 1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a 3a 1+2a2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3a 1+2a2+(-5)a3 = 6an 维向量空间11[3a1+2a2+(-5)a3] = ?6a 66115a 1+a 2+(-)a 3 = a236 将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =115a 1+a 2+(-)a 3 中可得： 236a=(1,2,3,4)T . 3． (1) V 1是向量空间. 由(0,0,…,0) ∈V 1知V 1非空. 设a=(x1,x 2, …,x n ) ∈V 1,b=(y1,y 2, …,y n ) ∈V 1,则有x 1+x2+…+xn =0，y 1+y2+…+yn =0.因为(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn +yn )= (x1+x2+…+xn )+( y1+y2+…+yn )=0所以a+b=( x1+y1,x 2+y2, …,x n +yn ) ∈V 1. 对于k ∈R ，有 kx 1+kx2+…+kxn =k(x1+x2+…+xn )=0所以ka=( kx1,kx 2, …,kx n ) ∈V 1. 因此V 1是向量空间.(2) V2不是向量空间. 因为取a=(1, x2, …,x n ) ∈V 2 ,b=(1, y2, …,y n ) ∈V 2, 但a+b=(2, x2+y2, …,x n +yn ) ?V 2. 因此V 2不是向量空间.习 题 二 1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k1a 1+k2a 2+k3a 3+k4a 4其中, k1,k 2,k 3,k 4为待定常数. 则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k1(1,1,1,1)T +k2(1,1,1,0)T +k3(1,1,0,0)T +k4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组：?k 1+k 2+k 3+k 4?k +k +k ?123??k 1+k 2??k 1=0=2=0=-1解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k3=2,k4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a2+2a3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：?k 1?k ?1 ??k 1??k 1+k 2+k 3+2k 4+2k 2+k 3+2k 4+k 2+3k 2+k 3=-3=1=2=1由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a2－9a 3+2a4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：(a 1a 2?111??11-1??11-1? ? ? ?a 3)= 126?→ 015?→ 015?133? 022? 00-4???????因为R (a 1a 2a 3)=3所以a 1,a 2,a 3线性无关. (3) 解：(a 1a 21??111??111??11? ? ?a 3)= 2-414?→ 0-612?→ 01-2?31 ? ?7????0-24??000?因为R (a 1a 2a 3)=2<3?1-11??1-11??1-11? ? ? ?a 3)= -103?→ 0-14?→ 0-14?1 ? ?1-2????02-3??005?所以a 1,a 2,a 3线性相关. (4) 解：(a 1a 2因为R (a 1a 2a 3)=3所以a 1,a 2,a 3线性无关. 3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3, 使 k 1b 1+k2b 2+k3b 3=0又由于b 1=a1,b 2=a1+a2,b 3=a1+a2+a3, 于是可得 k 1a 1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0 即(k1+k2+k3)a 1+ (k2+k3)a 2+k3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有?k 1+k 2+k 3=0?k 1=0 ??k k ?2+3=0 解得?k 2=0??k 3=0??k 3=0因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关. 4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k2b 2+k3b 3+k4b 4=0因为b 1=a1+a2,b 2= a2+a3,b 3=a3+a4,b 4= a4+a1 于是可得：k 1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0 整理得：(k1+k4)a 1+ (k2+k1)a 2+(k2+k3)a 3+(k3+k4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k4=0， k 2+k1=0，k 2+k3=0，k 3+k4=0可解得：k 2=- k1，k 4=- k1，k 3=k1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k2b 2+k3b 3+k4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。(2) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性相关时，k 1+k4，k 2+k1，k 2+k3，k 3+k4中至少存 在个不为0，因此易知k 1,k 2,k 3,k 4不全为0，于是可得b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。法二：因为a 1,a 2,a 3,a 4为任意向量，??k 1+k 4=0 所以当??k 1+k 2=0?k 2+k 3=0， ??k 3+k 4=0而该方程组的系数矩阵对应的行列式0110=0，所以有非零解 0011一 所以b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。5. 证明：假使向量组b 1,b 2, …,b m 线性相关. 即存在不全为0的常数k 1,k 2, …,k m , 使： k 1b 1+k2b 2+…+km b m =0 由题意不妨设 a 1=(a11,a 12, …,a 1r ), a 2=(a21,a 22, …,a 2r ), …………………, a m =(am1,a m2, …,a mr )则相应地， b 1=(a11,a 12, …,a 1r ,a 1r+1, … a1n ), b 2=(a21,a 22, …,a 2r ,a 2r+1, … a2n ), …………………,b m =(am1,a m2, …,a mr ,a mr+1, … amn )由k 1b 1+k2b 2+…+km b m =0可得：k 1a 11+k2a 21+…+km a m1=0 k 1a 12+k2a 22+…+km a m2=0 …………………, k 1a 1r +k2a 2r +…+km a mr =0k 1a 1r+1+k2a 2r+1+…+km a mr+1 =0 …………………, k 1a 1n +k2a 2n +…+km a mn =0 去前面r 个分量可得：k 1(a11,a 12, …,a 1r )+k2(a21,a 22, …,a 2r )+…+km (am1,a m2, …,a mr )=0 即k 1a 1+k2a 2+…+km a m =0由假设知k 1,k 2, …,k m 不全为0，因此a 1,a 2, …,a m 线性相关，此与a 1,a 2, …,a m 线性 无关相矛盾，结论得证.习 题 三 1．(1) 解：对矩阵进行初等行变换为?25?75 ??75??25 43?????53132??→??→?? ??53134??????0????该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组. (2) 解：对矩阵进行初等行变换为?1?0 ??0??1002??1?011-1??→??0001???1-10??00101010-12??1?0-1??→??01???-2??0002?11-1?? 001??0-2-1?该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.2．(1) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A ：?1?2A=??1??34-1-5-61??1?0-3??→??0-4???-7??04-9-9-181??14?0-9-5??→??00-5???-10??001?-5?? 0??0?该矩阵的秩为2, 它的一个极大无关组为a 1,a 2?100???(3) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A=120 ????003??该矩阵为下三角矩阵，其A ≠0，因此该矩阵的秩为3, 它的一个极大无关组为向量组本身. (4) 解：以a 1,a 2,a 3,a 4,a 5为列作矩阵A,?1 0A =2 1??1 0→0 0?21025425003-10-221??11221??1? ? -1? →→3? 0-2-1-51? 0? ? ? -1??00-22-2???01??-1?-2??0??11??215-1?0000??0-22-2??22 矩阵A 的秩为3, 矩阵A 的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，3. 证明： （法 一）设A :a 1, a 2, , a s ；B :b 1, b 2, , b t ，且R (A ) =R (B ) =r C :a 1, a 2, , a s , b 1, b 2, , b t向量组C 能被A 表示，而A 也能被C 表示 所以R (C ) =R (A ) =r =R (B )取向量组B 的极大无关组为：b i 1, b i 2, , b i r ，它也是向量组C 的极大无关组所以向量组C 能由向量组b i 1, b i 2, , b i r 线性表示，所以向量组C 能由向量组B 线性表示，所以向量组A 能由向量组B 线性表示，加上题设条件，所以向量组A 与向量组B 等价。 （法 二）设向量组B 和A 的秩均为r, 且设它们的一个极大无关组分别为 (b1,b 2, …,b r ), (a1,a 2, …,a r ). 则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示. 因此要证明向量组A 与B 等价，只证明a 1,a 2, …,a r 可由b 1,b 2, …,b r 线性表示即可.因为B 可由A 线性表示，不妨设 b 1=c11a 1+c12a 2+…+c1r a r b 2=c21a 1+c22a 2+…+c2r a r … … … … … … b r = cr1a 1+cr2a 2+…+crr a r 不妨设存在常数k 1,k 2, …,k r 使 k 1b 1+k2b 2+…+kr b r =0 于是可得：(k1c 11+k2c 21+…+kr c r1)a 1+(k1c 12+k2c 22+…+kr b r2)a 2+…+(k1c 1r +k2c 2r +…+kr b rr )a r =0 由a 1,a 2, …,a r 线性无关可得：k 1c 11+k2c 21+…+kr c r1=0 k 1c 12+k2c 22+…+kr b r2=0… … … … … … k 1c 1r +k2c 2r +…+kr b rr =0把k 1,k 2, …,k r 当作未知数，当k 1,k 2, …,k r 只有0解时，b 1,b 2, …,b r 线性无关. 要k 1,k 2, …,k r只有0解，当且仅当c ij ≠0 (i=1,…,r,j=1,2,…,r), 即?c 11?c 21C=?? ??c r 1 c 1r ?c 22 c 2r ?? ??c r 2 c rr ?'r ? c 1'r ? c 2???'2 c rr '?c r 'c 12'c 22c 12'?c 11?c '-1-1?21即矩阵C 的秩为r, 存在逆矩阵C . 设C =? ?'1?c r?b 1??a 1??b ??a ?22又因为??=C??, 则? ?? ??????b r ??a r ??b 1??a 1??b ??a ?-1?2?-1?2? C = CC ? ?? ?????b ?r ??a r ?即?a 1??b 1??a ??b ?22-1??= C??? ?? ?????a ?r ??b r ?因此有：'b 1+c 12'b 2+…+c 1'r b r a 1=c 11'b 1+c 22'b 2+…+c 2'r b r a 2=c 21… … … … … …'1b 1+c r '2b 2+…+c rr 'b r a r =c r也即说明，a 1,a 2, …,a r 可由b 1,b 2, …,b r 线性表示，因此结论成立. 4. 证明：(1) 必要性. 若a 是任一n 维向量，由于n+1个n 维向量a 1,a 2, …,a n ,a 必线性相关，而a 1,a 2, …,a n 线性无关，故a 必可由a 1,a 2, …,a n 线性表示. (2) 充分性.因为任一n 维向量都能由a 1,a 2, …,a n 线性表示，则特别地n 维单位坐标向量e 1,e 2,…,e n 都能由a 1,a 2, …,a n 线性表示, 因此，a 1,a 2, …,a n 与e 1,e 2, …,e n 是等价的向量组，故 a 1,a 2, …,a n 的秩为n, 即它们线性无关.5. 证明：因为R 3=L(e1,e 2,e 3), e 1,e 2,e 3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e1,e 2,e 3)=L(a1,a 2,a 3). 即证e 1,e 2,e 3与a 1,a 2,a 3等价. 显然，a 1,a 2,a 3可由e 1,e 2,e 3线性表示，因而只须证明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示即可.?011?011?? 因为(a 1, a 2, a 3)＝(e 1, e 2, e 3)101且101＝２ ????110??110?1-?2?011??1?? 因此矩阵101为可逆矩阵，其逆矩阵为????2??110???1??2121-2121?2?1?? 2?1-?2???1?-2?1即(e 1, e 2, e 3)＝(a 1, a 2, a 3)??2?1??2121-2121?2?1?? 2?1-?2??这说明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示，因此L(a1,a 2,a 3) = R3. 6. 证明： （法 一）T ?a 1????? T ?= ?→ 0-111??→ 0-111??→ 01-1-1?? a ? 1011?????????2???b 1T ??2-133???T ?= ?→ 01-1-1??→ 01-1-1?? b ? 01-1-1???????2???a 1T因为 a T?2??b 1T ?与 T ? b ??2??有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的??T T T T新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组a 1与向量b 1等价，即, a 2, b 2向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价。（法 二）(1) (`b1,b 2) 能由(a1,a 2) 线性表示.?k 1设(`b1,b 2)= (a1,a 2) ??k 2k 3?即 k 4???k 1?k ?2k 3?k 4???2?-1??3??3可解得：?0??1?11??=?-1??0??-1??01?0??1??1??k 1?k 2k 3??-11?=? ??k 4??3-1?这说明(`b1,b 2) 能由(a1,a 2) 线性表示.(2) (a1,a 2) 能(`b1,b 2) 由线性表示.?-11?由(1)可知：(b1,b 2)= (a1,a 2) ??3-1??-11=-2≠03-1?1?2?-11?也即是矩阵?有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为?3?3-1????2?11???因此有(a1,a 2)= (`b1,b 2) ?22?31???22?也即(a1,a 2) 能(`b1,b 2) 由线性表示. 由(1),(2)可知:L(a1,a 2)=L(`b1,b 2) 7. 解：设存在常数k 1,k 2, k3使 k 1a 1+k2a 2+k3a 3=0 即1?2? 1??2??k 1+2k 2+3k 3??-k 1+k 2+k 3?3k +2k23?=0=0=0可解得：k 1=k2=k3=0因此a 1,a 2,a 3线性无关, 即a 1,a 2,a 3为R 3的一个基.设向量b 1=l1a 1+l2a 2+l3a 3, b 2=l4a 1+l5a 2+l6a 3. 即(l1,l 2,l 3) ，(l4,l 5,l 6) 分别为b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标. 也即是：?l 1+2l 2+3l 3??-l 1+l 2+l 3?3l +2l23??l 1?可分别解得：?l 2?l ?3=2=5?l 4+2l 5+3l 6?=0 和 ?-l 4+l 5+l 6?3l +2l =756?==3-3==-9-8=-13?l 4?=3 和 ?l 5?l =-1?6=-2因而b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2). 8. 解：V 的维数为n-1维，取V 中n-1个向量e 2=(0,1,0,…,0), e3=(0, 0,1 ,…,0), …,e n = (0,0,0,…,1). 易证e 2,e 3, …,e n 线性无关. 对任意x=(0,x2,x 3, …,x n ) 有 x=x2e 2+x3e 3+…+xn e n ,因此，e 2,e 3, …,e n 为V 的一个基.习 题 四 1．(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下2-1??112-1??11?112-1??102-4??0-1-31??211-1??? →→→????????????-34??00??2212???003-4???003-4??于是可得：??4=3x 4 ?x 1?x =-3x ?24 ?x 3=4?3x 4 取x 4＝1，可得线性方程组的一个基础解系为：? 4? ? ξ=-33? 4?? 3??1??因此可得线性方程组的通解为：η=kξ, k ∈R. (2) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下?121-1??121-1? ??36-1-3???120-1?00-40??0010???→?00-40?→?5101-5??????????0000??于是可得： ??x 1=x 4-2x 2?x 3=0取? x 2??1?x ?4??=???, ? 0 ?0???1??，可得线性方程组的一个基础解系为： ?? -2??? 1?ξ 0??1= 1 ? ?, ξ2= 0???0????1??因此可得线性方程组的通解为：η=k1ξ1+k2ξ2, k 1,k 2∈R. (3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下??23-15??1-24-7??1-24?312-7??07-??41-36??→??09-1934??→??00-43?1-24-7????07-919????7?001-7?14??16?5??? -7??1-24?07-1014???→?0015? ?327?000?7???因此该齐次线性方程组只有0解.2. (1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下14?4?23?1-2?1-24-5??07-7??→??38-213??014-14???4-19-6-7???07于是可得： ?-5??102-1??01-12?14??→?? ?00028?0????14?0000???x 1=-2x 3-1 x 3+2?x 3=?-2??-3?? ?其导出组的一个基础解系为：ξ= 1?，非齐次线性方程组的一个特解为η0= 3?1? 1?????因此非齐次线性方程组的通解为：η=η0+kξ,k ∈R. (2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下-1-12?1-21?-21??2?1?11?-12??-12??03?-1-1-1-1-30→→??????→ ???1-21?-1-12?0??1??2??0-33??10-11??01-10? ???0??000??x 1因此有：??x 2==x 3+1x 3 ?2? ?可得非齐次线性方程组的一个特解为：η0= 1?. 其导出组的一个基础解系为：1????1? ?ξ= 1?. 于是可得非齐次线性方程组的通解为：η=η0+kξ,k ∈R.1??? 113. 解：因齐次线性方程组的一个基础解系有两个解向量，所以它的系数矩阵的秩为4-2=2,说明系数矩阵通过行变换，有两行可化为0向量. 因此只求其前两行，后两行由前两行通过行变换得到. 设系数矩阵前两行的元素为a 11,a 12,a 13,a 14和a 21,a 22,a 23,a 24. 由ξ1, ξ2是齐次线性方程组的解向量可得：?a 12+2a 13+3a 14??3a 11+2a 12+a 13可解得：?=0(1) =0?3a 11?3a 14=-(2a 12+a 13) =-(a 12+2a 13)取 a 12=3,a13=0可有 a 11=-2,a14=-1, 取 a 12=0,a13=3可有 a 11=-1,a14=-2.由于a 21,a 22,a 23,a 24为未知数所建立的方程组与(1)一致，因此我们将上面的解向量一组作为a 11,a 12,a 13,a 14的解，另一组作为a 21,a 22,a 23,a 24的解. 于是可得一个齐次线性方程组的?-23?-10系数矩阵为：??1-3??3-60-1?3-2??. 3-1??30?=0=0. =0=0因此，该齐次线性方程组为：?-2x 1+3x 2-x 4?-x +3x -2x ?134??x 1-3x 2+3x 3-x 4??3x 1-6x 2+3x 3 4. 解：因非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则它的导出组的自由未知量个数为1，其基础解系只有一个解向量，不妨设为ξ. 又设非齐次线性方程组的一个特解为γ0，则它的通解为：γ=γ0+kξ,k ∈R. 因η1, η2是它的两个解向量, 为方便之, 不妨取k=1和k=－1则可得： ??η1?η2=γ0+ξ=γ0-ξ ?3???1?5?1因此可解得γ0=，ξ=2?7?2???9? ?1??3??1??5?1??. 于是可得通解为：γ=??+k?1?2?7?2????1???9??1??1???,k ∈R. ?1????1?125. 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下?-21?1-21??1-21λ?1-2?λ??????-21λ?→?0-33-2+2λ?→?0-33-2+2λ? ?12?22?1?03??001-2-30λλ-λλ+λ-2???????要方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 因此有λ+λ-2=0,可解得λ=-2或2λ=1.?10-12??x 1??(1) 当λ=-2时，其增广矩阵为01-12，因此???x 2??0??000??x 1出组的解为??x 2==x 3x 3==x 3+2x 3+2，相应地其导，它的一个基础解系为ξ=(1,1,1)T . 非齐次线性方程组的一个特解为γ0=(3,3,1)T . 则非齐次线性方程组的通解为γ=γ0+kξ,k ∈R. (2) 当λ=1时，同(1)类似可解得非齐次线性方程组的通解为γ=γ0+kξ,k ∈R.其中γ0=(2,1,1)T , ξ=(1,1,1)T . 6. 证明：设B=(b1,b 2, …,b n ), 由AB=0知Ab j =0(j=1,2,…,n), 即向量组b 1,b 2, …,b n 是方程组AX=0的解向量，从而它们可由Ax=0的基础解系线性表示. 故b 1,b 2, …,b n 的秩不大于n-R(A) (基础解系所含解向量个数), 也就是R(B)≤ n-R(A)，或R(B) +R(A)≤ n.13本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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