用1、3、5、0组成的四位数，是2的倍数的最大数是，是3的倍数的最大数是，有因数5的最小数是，同时是2、3、5的倍数的最大数是． - 跟谁学
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随时随地获取上课信息在线咨询&&&分类：用1、3、5、0组成的四位数，是2的倍数的最大数是，是3的倍数的最大数是，有因数5的最小数是，同时是2、3、5的倍数的最大数是．用1、3、5、0组成的四位数，是2的倍数的最大数是，是3的倍数的最大数是，有因数5的最小数是，同时是2、3、5的倍数的最大数是．科目:难易度:最佳答案解：用1、3、5、0组成的四位数，是2的倍数的最大数是5310，是3的倍数的最大数是5310，有因数5的最小数是1035，同时是2、3、5的倍数的最大数是5310．故答案为：，解析根据自然数的排列规律及数位知识可知，一个数的高位上的数越大，其值就越大；反之高位上的数越小，其值就越小，然后根据据能被2、3和5整除的数的特征，进行分析解答即可．知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
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这套书依内容可分为五大类：
数与计算——是介绍数的概念，比如奇数、偶数；个位数、十位数、百位数；众数、中位数、算术平均数；二进制数、五进制数；罗马数字等，还有数的加减乘除的计算原理，以及函数。
量与实测——是介绍长度、重量、体积、面积、容量、时间等大小多寡，以及如何测量这些数量。
几何与空间——是介绍平面与立体的概念，比如一维空间、二维空间、三维空间；直线、线段、多边形；圆、椭圆；对称以及螺线、拓扑等。
统计与概率——统计是处理大量资料时所使用的方法，比如要计算全国总人口，我们就不能用“数与计算”来一个个数，必须运用统计来做整体的计算。预测是数学的另一种功用，有时它是通过概率得以实现的，概率是讲或然率的问题，通过它可以计算中奖率大小、计算明天出大太阳的机会等。
集合与证明——集合是讲元素与集合的关系，是数学中*简单的逻辑要素。而证明则是确定从一个事实到另一个事实的途径，也是帮助孩子建立数学逻辑的一种途径。
这四十一个单本的内容，提供孩子一种不同于教科书的角度来看数学，给数学赋予新意，以及新的生命。而且，孩子还能透彻地了解数学概念，厘清思路，运算上想不通的结能立刻迎刃而解。就这样，孩子不再是数学答案的机器，也会自然而然地喜欢数学。
历经近十年的版权洽谈，终于落地中国大陆！
这是一套与众不同的儿童数学图画书。它以帮助孩子建构基本的数学理论、培养孩子逻辑思考能力为宗旨，补充了现行数学教育的许多不足，是已经开始数学学习的孩子不可或缺的数学课外书籍。这套书的内容具有相当多的特点，这些特点是众多数学教学和数学课外书籍所不具备的：
重视数学概念——这套图画书是以阐述概念和想法为主，不重繁琐的技术层面。虽然概念加上技术才等于解题，但是，技术只是枝微末节，随时都可以补足。这就好比说，概念是骨，技术是肉，只要骨架建构得好，肉随时可以加上。在升学领导教学的今天，重视概念遂成为这套书**的特点。通常，老师在教导学生数学时，往往着重在如何解题解得又快又巧，因而忽略了很多概念性的东西，使得孩子无法把各个概念衔接起来，而变成了数学答案机器。渐渐地，孩子会感觉数学遥不可及，进而产生畏惧之心。
如果孩子在课堂上无法得到的东西，能够在数学课外书籍中得到补充的话，学习数学的情况也许能改善。但是一般的数学课外书籍也常被写成技术性的题库，告诉孩子如何解题，如何找答案，概念上的阐述更是被忽略掉了。老师的这种教学方法、数学课外书籍的写法，或许对孩子的数学成绩、升学有直接的帮助，可是技术性的数学只是机械式的个人技巧训练活动，如果数学只停留在这一层面，那么，就显得没有人性、狭隘而无意义了。
真正的数学教育是传授孩子概念性的数学，让这些数学概念在孩子脑里培植、发育、成长，发展出一些自己的想法；即是让孩子以自我建构理念的方法，来达到认知的目的、培养出思考的能力。这样学习而来的数学才能根深蒂固，也才是有人性的。
内容生活化，图像趣味化——这一整套书的写法非常特殊，是以写故事的方式来贯穿，把冰冷的数学符号、抽象的数学概念，深入浅出地变成生活里好玩又有趣的事。通过这种手法，孩子会对这套书产生很强的亲和力，心甘情愿地拿起书本，像看故事书一样，有兴味地一字一句看下去。而且，由于这是数学故事书，孩子一遍看不懂，他会一看再看，无形中养成孩子自学的习惯。这一点是非常重要的，因为，一个人能否自学，往往是资优不资优，成功不成功的关键。
书中所搭配的图画也相当精彩，不但色彩鲜明、线条有童趣，而且插图极为幽默、合宜，辅助了文字的功能，使孩子能更容易接受、了解书中所要传达的旨意。
全套书是采用螺旋式的编辑方式——螺旋式的编辑方式是以一个主题作为中心，然后整本书绕着主题描述，把主题衍生出来的阐述和理念，一一呈现给读者。这种编辑方式除了能加强孩子对每个主题透彻认识以外，还能使孩子跟着书中的引导，训练逻辑能力和思考能力。
经朋友推荐，我在最近读了贵州人民出版社出版的一套“汉声数学图画书”(简称“汉声”)。这套书共41册，约1400页，通俗易懂且图文并茂，寓知识于日常生活常识，甚至游戏之中，读之趣味盎然，所以我一口气就读完了。
这套书是由18位美国数学家或数学教育工作者分头撰写的，并配有一些生动的图画。 汉声杂志将它翻译成中文时，作了一点小改动，例如将美元图象换成了人民币图象。这套书讲的概念，虽然有些已经涉及到中学乃至大学的数学内容，但小学生仍然是可以接受的，所以读者范围除小学生外，中学生与大学生，中小学老师，甚至专业数学家也可以看看，至少可以从中知道怎样将一个数学概念讲给小朋友及外行听听，这套书的内容包括介绍数学的重要概念;讲解一些数量常识和智力游戏:及数学的应用(统计)。重点应该是数学概念的讲解。现在，我对这三方面作一点简要介绍。
正整数或自然数是数学的基础，但人们是什么时候开始使用数字的呢?没有人知道。但它是经过很长的一段日子，才发展出来的!最早的阶段可能是配对。例如，一颗石子配一头牛，数石子即可知出门时有几头牛，回家时有没有丢失。第二个阶段可能是三个概念:“一一样多”， “比较少”，“比较多”。第三个阶段则是命名，这也可能是从配对来的。例如“二”对应于两个耳朵，两双眼睛，“五”对应于五个手指，“十”对应于两只手的手指，数字的第四阶段是排序，第五阶段为数数，这也是一种高级配对，即一组数字配一堆东西。
整数分成偶数与奇数。例如，鞋子是成对的，2，4， 6， *。都是偶数。1个蓝球队由5个队员组成，5是一个奇数，1，3，5，。都是奇数。日常生活中充满了偶数与奇数。
零是一个重要的数，它不只是没有，例如零是所有测量的起点。用磅称来称东西前，磅称的指针指向零，放上东西后就指向它的重量了。又如火箭发射，发射时，喊五，四，三，二，一，“发射”，发射就是“零”，如果再喊一，二，三，四，五就是继续计算发射后的时间。这里也带出了负数的概念，发射前减的五，四，三，二，一，其实就是-5，-4，-3，-2，-1。再如温度计，它的刻度有零度，零上的温度是正的，零下的温度是负的。这些正，负数与零可以用数轴表示出来，它们的加，减法也是非常直观与自然的。
我们在计数时必需用到零。例如102表示百位是1，十位是0，个位是2，在日常生活中，也处处都能感受到零与负数。
乘法是相同数的连加，这样就有了乘法表，就可以将计算化简了。除法是分出来的，例如十二个草果，分给三个人，问每个人分几个?略为估计一下，每人先分三个，于是还剩三个，每人再分一个就分完了。每人总共分得四个苹果， 即12+3=4。
什么是分数呢?分数也是分出来的。如半杯水，半张饼，这就是两份中的一份，也就是1/2。我们还可以在一张画有圆与矩形的纸上，将圆与矩形都分成相等的四份取其中的三份，这就是四分之三，即3/4，这些在日常生活中，都是常见的。
这些内容都含于小学算术课程内，易于了解。参见“汉声”第1，2，3，4，5，7，11，22册。
数学的另一基础是几何，直线是最常见的，例如书桌的边沿或一本书的一边的无限延长。平行线是两根直线，它们无论怎样延长都不相交，例如带有横条的笔记本，每一行的空间都是由两条平行线拼成的，又如一张长方形纸，将一对对边对折一下，再将折痕用笔画出来，它与长方形的两条对边一起，就是三条平行线。再来看看一张方桌的相邻两边，它们构成一个角，方桌共有四个角，它们彼此是相等的。这时，相邻的两边的一边就称为另一边的垂线，或它们彼此垂直。
其次，我们看到的直线，只是这根直线的一段而已，即一个线段。所谓线段就是直线上两点之间的部分。过一点的两条直线形成一个角，称为它们的夹角，如果这两条直线互相垂直，则称它们的夹角为直角。
在一张纸上画三个点，记为A，B，C，假定它们不在一条直线 上，将A和B，B和C，及C和A连接起来，构成一个三角形，记为△ABC，它有三条边AB，BC，CA;有三个顶点A，B，C，每个项点都有一个角。如果有一个角为直角，则称为直角三角形;有两边相等的三角形称为等腰三角形:三条边均相等的三角形称为等边三角形。
类似地，过平面上四个点，其中任何三点都不在一条直线上，将这四个点依次连接起来，可得一个有四条边，四个角的图形，我们称它为四边形。如果四边形有一-对对边平行，则称为梯形;四条边均相等，则称为菱形;如果四边形的四个角均为直角，则称为矩形;若矩形的四条边均相等，则称为正方形。当然正方形也是菱形。
我们还可以画出边数多于4的多边形。
将两条直线线段重叠在一起，并将各自的一个端点重合起来，就可以比出它们的长短，同样可以比出两个东西的高矮与宽窄。
另一个重要的图形就是圆，硬币，碗口，车轮子等都是日常生活中常见的圆。但怎样在纸上画出一个圆来呢?固定一个点，称为圆心。将圆规的一只脚钉在圆心上，另一只脚上装有铅笔，画一圈即得一个圆。由作图可知圆周上每一点与圆心的距离都相等，这段距离称为圆的半径，过圆心面一条直线，它与圆交于两点A，B，这两点之距离等于半径2倍，称为直径。直径与圆周上另外任意点C构成一个三角形OABC。量一下就可知角C恒为直角。若将圆规的针头放在圆周的任意点A上，以圆的半径再画一圆，它与圈周交于B，再以B为中心画一圆， 它与圆周交于C，如此等等。第六个交点就是开始的点A。将这六个点依次连接起来，就得到一个正六边形。
这些内容基本上都含于小学算术之中，易于了解。参见“汉声”第6，8，9， 14， 16， 24册。
将三角形的两边叠合对折起来，这条折线平分了这两条边的夹角，我们称这条折线为角平分线。用折纸法即可知三角形的三条角平分线总是交于一点的，而且这个点总在三角形之内。再拿一个圆规，将圆心钉在这个交点上，我们总可以画出一个正好套进三角形的圆。具体地说，这个圆在三角形内，且与三角形的三条边相切，所谓相切是说，四与三角形的每条边都只相交于一点，而不是两点。
在一张纸上，将一条线段的两个端点叠合对折起来得到的直线，与原来的线段垂直，称为线段的中垂线。用折纸法可知三角形的三条边的三条中垂线总是交于一点的。这一点可以在三角形之内，也可以在三角形之外。以这个交点为圆心，我们总可以画一个正好套住三角形的圆。具体地说，这个圈过三角形的三个顶点。
所谓三角形的一条中线是指从三角形的一个项点至它的对边之中点的连线。用折纸法可以得到三角形的三条中线。这三条中线也交于一点，称为三角形的“重心”，以一张硬纸板，剪下三角形，再用一个图钉在下面顶住重心，三角形应该是平衡的。
虽然上面这些知识需在中学的平面几何课或解析几何课中学到，但用折纸法，小学生也能了解这些现象。
参见“汉声”第15册。
什么是椭圆?在日常生活中，椭圈是常常见到的，例如，当正看一个玻璃杯口时;它是圆形的，如果将杯子慢慢倾斜，杯口就逐渐变扁，变成了另外一个形状——椭圆，又如从远处看桌子上的一个碟子，或从墙边看墙上的挂钟，都是椭圆形的，但从桌边去看碟子，或从正面去看挂钟，就都成为圆形了。圆是椭圆的特例。
如何在纸上画出一个椭圆来呢?我们将两个图钉钉在一张纸上，用一根绳圈围住这两个图钉，用把支铅笔放在绳圈内，紧拉着绳圈绕着图钉移动，绕圈后，就画出一个椭圆来了。图钉所钉的点就是这个椭圆的两个焦点。
更进一步，我们还可以在一间黑暗的房间里，用一个手电筒来照墙。当正射墙壁时，出现了圆的光圈，当手电简稍作倾斜，光圈就变成椭圆形了:当手电筒倾斜到某一个角度后，椭圆会裂开，形成“抛物线”。如果继续倾斜手电筒，抛物线就越变越尖，这个形状叫“双曲线”。再倾斜手电筒，双曲线会变成两条相交的直线。
椭圆，抛物线与双曲线统称“圆锥曲线”。这是中学解析几何课的主要内容，但上面这些直观的讲授与实验，小学生是可以接受的。
参见“汉声”第31册。
有一个故事"葛大小一生":星期一刚出生，星期二上教堂，星期三娶新娘，星期四侧在床，星期五快完蛋，星期六上天堂，星期日已下葬。葛大小这一生是怎么回呢?
这里实际上是一个有限数系的循环现象:1，2，3，4，5，6，7;1，2，3，4，5。6，7***。星期一到底是哪一个星期一?星期二又是哪一个星期二? **。但有一点是明确的，即假定今天是星期二，我们将它记为1，如果n天之后再是星期二，则n-1必定是7的倍数，即用7可以除尽n-1，我们将这一情况记为n-1=0 (mod7)，或n= 1 (mod 7)，称为n与1模7是同余的:
同余这个概念在日常生活中是常见的。例如时钟每隔12个小时就开始循环，如此循环不已。
同余是大学初等数论课开始的内容，但上述这些讲述对于学过除法的小学生是可以接受的。
参见“汉声”第10册。
使用通常的阿拉伯数字记数，用10个数字记号0，1 ，*，9就够了为什么用10个记号?这很可能是由于人有10个指头，这就是我们熟知的十进位记数法。小孩子开始学算术四则运算时，也是借助于手指来帮忙的。
但记数法不一定要十进位，例如中国的老秤，1斤等于16两，这里的两与斤的关系就是16进位，这表明10是可以换成另一个整数的。
在电脑设计中，我们是通过电子开关来传递信号与处理数的，每一个电子开关都只能接受“开”与“关”的信号。这样用两个记号0(关)与1(开)最方便，在这里用的就是二进制。
关于二进制，有两个故事可以启发小孩子的想象力:我们将1米放大一倍为2米，再放大一倍为4米，继续放大一倍为8米，如此等等，放至第26次，其长度即够地球的赤道之长。放至第30次，即超过地球至月球的距离了。另有一个故事说，有一个国王要奖励国际象棋的发明者，发明者提出要麦子，象棋盘共有64个格子，他要求第一个格子上放1粒妻子，第二个格子上加倍放，即2粒，第三个格子再加倍，即4粒，如此等等。则第64个格子，上放的麦子，覆盖满地球也放不下啊!
关于五进制也很有用，例如选举时用“正”字来计票数，就是五进位。
大学的分析课中，一般会讲到各种进位法，但小学生也可以接受上述讲法，并易于学会它们的四则运算。参见“汉声”第23， 38册。
从一个游戏说起:有一纸袋糖，假定在袋外加一粒糖，然后将糖的总数加一倍，再加4粒糖，然后将总数平分，最后再减去3粒精，问还剩下多少糖?
解答;我们列个式子如下;假定纸袋中共有x粒糖，则以后每一步的糖数分别为x+1，2x+2， 2x+6，x+3，x，所以最后剩下的仍为原来的那一纸袋糖。
上面解答中的x叫未知数，我们可以根据问题的题意列出式子一步一步来计算，又如，我们问什么数加7等于15?我们假设要求的这个数为x，则x+7=15，将等号两边都减去7，即得x=8。
这就是中学代数课开始时要学的东西，这样讲解，小学生是可以接受的。
参见“汉声”第21册。
我们常常会看到一张交通围，上面有道路及一些筑物，如玩具店，图书馆，饭店，博物馆等。我们可以将某些建筑物画出来，并标以“点”，(一些建筑物可以被略去)，再将连接这些点的道路用一条“线段”表示出来，这样我们就得到了一张“网络图”。一个点称奇点或偶点依照通过这个点的线段的条数为奇数或偶数而定。如果这张网络图是封闭的，例如一个城市的交通图。人们常常会问这样的问题:一个部递员将信送至每一个点，怎样走法最节省(指走的路最短)?
这个问题发端于著名的“海惠堡的桥”问题(见第33册)。由此产生了数学的领域“图论”，在大学的图论课会讲这些内容，这里讲的知识，小学生是可以接受的。
参见“汉声”第33册。
什么是拓扑学? 一根拉直的绳子，上面标有三个点，我们将绳子变弯曲之后，形状变了，但这三个点的次序未变，一个圆将平面分成圈内与圆外，若将圆拉成一个三角形，则圆之内与外仍分别在三角形之内与外，这是不变的。我们称这种不变的性质为“不变性”。把线及各种图形经过压缩卷曲，或其他方式扭曲之后，有些性质改变了，有些性质不会改变。形象地说，研究这些不变性的数学领域称为拓扑学。
如果用一把刀，沿着球面上一条封闭的曲线切下，总能将球切成两部分，即我们不可能沿着球面上的某一条封闭曲线切下，而不把球切成分离的两部分。具有这种性质的物体称它们属于一个“族”。我们称它为“零族”，或称它有“空格”0。面包圈就不一样了。过面包圈的里圈至外圈切一刀，面包圈仍保持完整，但如果再多切一刀，它就分成两部分了。所以面包圈属于“一族”的物体，或称它有空格1。像8字形的面包圈是空格为2的物体，我们还可以定义空格≥3的物体。
以上讲的是大学数学课程拓扑学的一点基本概念，这里的直观讲法与实验，小学生是可以接受的。
参见“汉声"第32册。
什么是概率论?通俗地说，就是利用一些数据来预测未来的结果。例如，明天的天气如何?比方说，我们有一百天的气象记录和今天的天气情况差不多，而接下来的第二天曾有过七十天下雨的记录，气象预报员就可以说，明天下雨的概率是70%，一般说来，记录愈多，预测就愈准。
又如掷10个钱币，正面向上的可能共有11种情况，即0个正面，1个正面。，与10个正面。我们可以先做一张表，分“正面数”与“次数”两栏。例如，投掷第5次时得到3个正面，我们“正面数”栏上记上“3”，及在“次数”栏中划上一笔，为便于计数，我们通常用“正”字记数，在此为正字划上最后一笔。 如果我们共投掷了一百次，例如，我们看到10个都是正面的次数 为0。，6个为正面的次数为42， 5个为正面的次数为48**，0个为正面的次数为1。这时我们可以画另外一张图，横坐标为“正面数”，即0，1，2，*， 10。纵坐标为达到的次数，0。上画1格。5上画48格。。*，10上画0格。图象是由少至多，再由多至少，如果再投掷100次，所得的图象亦会是类似的，这就是投掷10个钱币，正面朝上的概率分布图。
如何估计工业产品合格否?如果产品数量很大，我们无法一一检查每个产品。我们常常随意拿出一小部分来，算算合格的百分比，即概率。由此来预测产品的合格率。这就是“抽样检查”。
概率论在中学数学课中有些组合讲法，严格的数学讲法要在大学的概率论课讲。但结合生活实际，小学生也可以接受概率的直观含义。
参见“汉声”第36册。
古罗马人的数字与计数法在有些地方仍在延用，这是一种常识，我们应该知道，对应于1，2，3分别为I，I， I，但我们不能无限制地延续这个记号，于是添加了5的记号V。将I放在V的左边，即IV，它表示4。将I放在V的右边，即VI，它表示6。于是我们有V，V组，它们分别表示7，8。以后还要再加一个记号x ，它表示10。这样，我们就有了9的表示义， 11的表示X，以及X V表示15， X VI表示16，XXX I表示31等等。不难想象，往下数数时，我们还。需要引进记号L(=50)， C(=100)， D(=500)1，M(1000)，V (5000)， x (10000)等等。除记号繁杂外，记数时还需要用加减法，所以它不及阿拉伯敷字与计数法好。
我们现在用“天平"来称东西，大概来源于古代人用双手提东西来比较两只手中的东西的重量。我们用一根横杆，它的两端各挂一个盘子，横杆的中点立有一根支杆，使横杆处于平衡状态。我们在右边盘子里放上欲称的东西，左边盘子里放上法码，如果两边平衡了，即得知右边盘子里的东西的重量了。今天使用的称是里面装有弹簧，上面有一个盘子的形状。我们将欲称的东西放进盘子里，弹簀就会受到挤压，以其受压的程度来判定东西的重量。
如何计长度?如何计量重量?如何测温度?这些都是日常生活中常见的问题。
通常用来计量长度的单位有英制:1英尺为12英寸，1码为3英尺，1英里等于5280英尺。另一计量长度的单位为公制，公制包括厘米，100厘米为1米，1000米为1公里，48英寸等于120厘米。
英制用来计量重量的单位是:盎司，磅，1磅等于16盎司，公制是克，公斤。1公斤等于1000克1公斤大约等于2。2磅。
温度的计量有华氏;水沸腾的温度为华氏212度，水结冰的温度为华氏32。度。另一温度的计量为摄氏:用摄氏温度计，水在摄氏0度时结冰，在摄氏100度时沸腾。这两种温度计，除刻度不同外，都是一样的。科学家还用标尺说明地震的强弱，风的强弱等。
如何求出墙上一段弯曲的曲线的长度?如何求一个容器的表面积与体积?这些都可以估算。例如，墙上画有一条曲线，我们可以用一根绳子沿着曲线对齐，将绳子的两端剪掉，量一下绳子的长度即可知墙上曲线的长度了。虽然我们不能在这套丛书里严格地定义函数，对称，螺线，连接词“或”与“且”，但在日常生活中，这些概念是经常出现的。
我们从家里走到车站要多少时间?这就要看我们怎样走了:跑步，快走，还是慢慢走，即走的速度如何!所以花的时间依赖于速度，或者说，时间是速度的函数。对称的东西随处可见，例如人的脸是左右对称的。双手也是配对的，等等。
圆周的起点与终点是一个点，所以它是一条封闭的曲线，但若将一根绳子对着一个中心点绕，就成一条螺线了，螺线上每一点到中心的距离都不一样。这是一条开放的曲线。在日常生活中常常看到螺线，例如螺丝钉的螺纹，唱片的唱沟都是螺线段。
命令句与疑问句不是叙述句，我们在叙述句“真”，“假”间可以用“或”和“且”将两个叙述句连接起来。例如，猫吃鱼或猫会飞:狗喜欢啃骨头且猫喜欢吃鱼。
还有几册书是与数学有关的游戏，可以开发儿的智力。
参见“汉声”第12， 13， 17， 18， 19， 25， 26，27，28，30， 34， 37，39， 40，41册。
数学是一门有广泛应用的学科，统计学是常见的一门重要的应用数学分支。它主要从事分析和处理各种“数据”。由于统计与概率论有着密切的关系，所以人们常常将它们连在一起，称为“概率统计”。随者愈来愈多的数学分支用于统计及它自身领域的扩张，现在已成为一个独立的科学分支了。
统计学首先要获取“数据”:例如，一个国家有多少人:一个城市搭公交车上学的学生有多少;喜欢用“黑人牌”牙膏的人有多少，等等。
根据这些数据，我们可以作些预测。例如，一个学校的水果店，可以在一个班级中作抽样调查，看看喜欢吃苹果，香蕉，橘子，梨与草莓的人数比例，从而作为店里进口这些水果数量的依据。类似地，农民可以利用市场的销售数据来决定种植各种粮食与蔬菜的品种与数量，等等。
我们可以将数据画在一张纸上，有所谓的“文氏图”。
例如，有8个人，其中5个人会滑水冰，6个人会滑早冰，3个人既会滑水冰，也会猾早冰，我们可以用文氏图表示为统计里有几个常用的t，即“众数”，“中位数"与“算术平均数”。
例如，一个班的同学，大多数人早餐都吃馒头与稀饭，这个“大多数”就是“众数”。
一个班的同学，按高矮排成一排，排在中间的同学的身高就是同学身高的“中位数”。如果有两个同学排在中间位置，则他们的身高的平均数就是“中位数”。
我们不定期可以将全班同学的身高记录下来，将它们加起来，再除以全班的人数，答案就是全班同学身高的“算术平均数”。
对“汉声”的出版有以下两条小建议:
1。黑色字排在深色上面，不易辨识。例如深绿色的底面上黑色字不易看清楚。最好改为淡绿色上排黑色字，或深绿色上排白色或黄色字。
2。 41册书的封面都用硬壳纸精装，若能改成软封面平装，则成本可以大幅度减低。这样更便于推广，特别是贫困地区的小学可能买得起。
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彭翕成注：多年以前，我听张景中老师与人聊天，提及“元老如何……”。后来我才知道这是对王元院士的尊称。其实王元院士也只比张老师大6岁而已。
人上了年纪，就很难看完一本书。元老竟然一口气看完了41册，1400页，可见这书的魅力。元老在文中反复强调，知识还是那个知识，如何讲解让小朋友更好地理解接受，值得研究。
我看了元老的推荐，很早就买了，也有一些心得体会。改日和大家分享。
下面是彭东来收到这套书时很兴奋的表情。就是他手里那一套！
这套书原价1000多，现价500多。看起来不便宜，但实际上41本，不到14元一本，精装很漂亮的书。向大家推荐。
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2015年暑假班五年级奥数讲义
养成教育培训学校养成教育培训学校 五年级奥数精品讲义 （内部资料）暑假班专用讲师：赵老师奥数课堂精讲内容系列丛书这个夏季，我陪您度过 提高成绩，从这里开始1养成教育培训学校养成教育辅导学校序言本教辅资料于 2014 年秋季编写，针对于粽营镇所有对数学 感兴趣的小学六年级，集各大精品讲师之长，兼容教材，学生学 习资料，教辅资料，课外掌握的知识，特准备了一份属于六年级 的专用教辅资料。 随着国内应用数学,数学建模,数学思维开拓程度的不断加深， 奥林数学匹克（奥数）也变的日益重要。在高等教育与学前教育 日益突出的今天，您想输在人生的起跑线上吗？ 养成教育教你从一个优秀的学生变为一个从数以千万同龄 人脱颖而出的尖子生！！！让您实现从奥数改变数学到知识改变 命运的大踏步跨越，能不能蜕变完全取决于您的态度。 养成教育奥数教辅资料分模块为学生展示了由易到难，由 分散到综合的阶梯式授课内容， 本套教辅分精讲和学测练习两大 部分，分侧重点为学生灌输各种数学思维方法，让学生真正享受 乐学，活学，精学的过程。 对于每一位学生来说，你是自己人生的导师，对待自己， 我们要用和别人不一样的方法， 或者说我们要有一套自己的学习 方式，那就是选择奥数辅导班。老师寄语：选择养成就是选择不一样的数学，不一样的 人生！！！注：本教材需配合暑假班课堂练习题和暑假班家庭作业共同使用2养成教育培训学校循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要 利用运算定律进行简算的问题．1．真分数a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 7 1 ? ? ， 3 =0. 428571 ? ? ? ， 4 =0. 571428 ? ，5 =0. ? ， 2 =0. 285714 ? =0.
7 7 7 71992，那么 a 是多少? 【分析与解】? ? ． ? ? ， 6 =0. 285 7 a 因此，真分数 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 71+4+2+8+5+7=27， 又因为 ??21,27-21=6，而 6=2+4，所以 评注： 化．. a ? 2 ，即 a =6． =0. 85714 7a 的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变 7? 乘以一个数 a 时， ? 误看成 1.23， 2． 某学生将 1.23 把 1.23 使乘积比正确结果减少 0.3． 则正确结果该是多少? 【分析与解】? 由 题 意 得 ： 1.23? a =0.3 ， 所 以 有 ： a -1.23 a =0.3 ， 即 ： 0.0033 3 ? a = 1.23 ? ? 90=1 23 ? 2 ?90= 111 ? 90=111． a? ．解得 a = 90，所以 1.23 900 10 90 90? ? ? ，结果保留三位小数． 3．计算： 0.1+0.125+0.3+0.16 ? ? ? 【分析与解】 方法一： 0.1+0.125+0.3+0.163养成教育培训学校≈-0.0+0.6 = 0.7359 ≈0.736? ? ? 方法二： 0.1+0.125+0.3+0.161 1 3 15 ? ? ? 9 8 9 90 11 1 ? ? 18 8 53 ? 72 ? ? 0.7361 ?≈0.736? ? 0.12 ? ? 0.23 ? ? 0.34 ? ? 0.78 ? ? 0.89 ? 4．计算： 0.01 ? ? 0.12 ? ? 0.23 ? ? 0.34 ? ? 0.78 ? ? 0.89 ? 【分析与解】 方法一： 0.011 12 ? 1 23 ? 2 34 ? 3 78 ? 7 89 ? 8 ? ? ? ? ? 90 90 90 90 90 90 1 11 21 31 71 81 ? ? ? ? ? = 90 90 90 90 90 90 216 = 90= =2.4? ? 0.12 ? ? 0.23 ? ? 0.34 ? ? 0.78 ? ? 0.89 ? 方法二： 0.01 ? ? 0.02 ? ? 0.03 ? ? 0.04 ? ? 0.08 ? ? 0.09 ?) = 0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ ( 0.01? ?(1+2+3+4+8+9) =2.1+ 0.01=2.1+1 ?27 90=2.1+0.3 =2.4 2.399997． ． ．?= 评注： 0.99 ?= 9 ? 1 ． =1 , 0.09 9 90 10? ? 与 0.179672 ? ? 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近 5．将循环小数 0.0274养成教育培训学校似值的最后一位小数是多少? 【 分 析 与 解 】0 ? ?.? 0?7 ? 2 0.179672=27
6 ? ? ? ? ? ? ? 0.
999循环节有 6 位，100÷6=16??4，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位 是 5．这样四舍五入后第 100 位为 9．6. 将下列分数约成最简分数： 【分析与解】
16 1 166 1 66 1 ? , ? , ? ? ,? 所 以 找规律： , 64 4 664 4 64 4 1 =
4评注：类似问题还有385
? 2? ? 3? ? 4? ? ... ? 297
0.5 ? 236 ? 59 119 0.5 ? 236 ? 59 118 ? 59 1 59 60 ) ?59=59【分析与解】 = = (1 ? =58 119 119 119 119 1197. 将下列算式的计算结果写成带分数： 18556 ÷ ÷1
【分析与解】 7 ÷ ÷1
53811 3 ? 7 ? 3 ? 997 13 ?1993 5 ? 641?11 ? ? = 13 ? 641 2 ?11? 997 3 ? 3 ? 3 ? = 2?3 5 =5 68．计算:79．计算：1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?
64 81285养成教育培训学校【分析与解】原式 ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 64 8 254 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 32
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 32
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 16 508 254 1 1 1 1 ? ? ? ? 8 254 1 1 1 ? ? ? 508 508 254 1 1 ? ? 254 254 1 ? 12710．计算：1 5 3 ? 2 19 ? ? (4.85 ? ? 3.6 ? 6.15 ? 3 ) ? ?5.5 ? 1.75 ? (1 ? ) ? 4 18 5 ? 3 21 ?1 7 5 7 19 ? 3.6 ? (4.85 ? 1 ? 6.15) ? 5.5 ? ? ? ? 4 4 3 4 21 1 35 ? 19 = ? 3.6 ?10 ? 5.5 ? 4 12=9+5.5-4.5 =10【分析与解】 原式=11．计算: 41.2?8.1+11? 91 +537?0.19 4【分析与解】 原式=412?0.81+11?9.25+0.19?(412+125) =412?(0.81+0.19)+11?9.25+0.19?125 =412+11?8+11?1.25+19?1.25 =412+88+1.25?30 =500+37.5 =537.52 2 5 5 ?7 )?( ? ) 7 9 7 9 65 65 5 5 【分析与解】原式= ( ? ) ? ( ? ) 7 9 7 912．计算： (96养成教育培训学校= ?13 ? ( ?5 75 5 5 ) ? ? ( ? ) ? 13 9 7 913．计算:1? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 6 ? 4 ? 8 ? 12 ? 7 ? 14 ? 21 1? 3 ? 5 ? 2 ? 6 ?10 ? 4 ?12 ? 20 ? 7 ? 21? 351? 2 ? 3 ? (13 ? 23 ? 43 ? 73 ) 1? 2 ? 3 2 【分析与解】 原式= ? ? 1? 3 ? 5 ? (13 ? 23 ? 43 ? 73 ) 1? 3 ? 5 514. (1)已知等式 0.126?79+123 3 ?□-6 ÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? 5 10(2)设上题答案为 a ．在算式（1993.81+ a )?○的○内，填入一个适当的一位自然数， 使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是 x ，0.126?79+123 3 x -6 ÷25=10.08，解得： 5 10x =0.03，即口所代表的数是 0.03．(2) 设○ 内所 填的 数字 是 y ， (1993.81+O.03)? y =1993.84? y ， 有当 y 为 8 时 1993.84? y ==15050.94，所以○内所填的数字是 8．1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? 385 2 3 5 7 11 13 1 1 1 1 1 1 【分析与解】原式= ( ? 385 ? ? 385 ? ? 385 ? ? 385 ? ? 385 ? ? 385 2 3 5 7 11 1315．求下述算式计算结果的整数部分： ( ? ≈192.5+128.3+77+55+35+29.6 =517.4 所以原式的整数部分是 517．笔记粘贴处：7养成教育培训学校各种具有和差倍分关系的综合应用题， 重点是包含分数的问题． 基本的解题方法是将已 知条件用恰当形式写出或变形， 并结合起来进行比较而求出相关的量， 其中要注意单位 “1” 的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的 多少倍? 【分析与解】1 ，那么甲数是乙数的 8 1 ，设这时的甲 100甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的数为“1”，则乙数为 1?8=8，那么原来的甲数=l?100=100，则甲数是乙数的 100÷8=12.5 倍．2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和 第二堆里的白子一样多， 第三堆里的黑子占全部黑子的 那么白子占全部棋子的几分之几? 【分析与解】 如下表所示：2 ． 如果把这三堆棋子集中在一起， 5设全部黑子为“5”份， 则第三堆里的黑子为“2”份， 那么剩下的黑子占 5-2= “3”份， 而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多， 将第一堆黑子和第二堆白子调换， 则第二堆全 部为黑子． 所以第二堆棋子总数为“3”份， 三堆棋子总数为 3?3=“9”份， 其中黑子占“5”份， 则白子占剩下的 9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的 4÷9=4 98养成教育培训学校3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产 8 台机床，并且甲厂 的生产量是乙厂的12 ，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 13 12 【分析与解】 因为甲厂生产的是乙厂的 ，也就是甲厂为 12 份，乙厂为 13 份，那 13么甲厂比乙厂少 1 份=8 台．总共=8?(12+13)=200 台．4．足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降 价多少元? 【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有 1+0.5=1.5． 原来收入为 l?15=15， 降价后收人为 15?(1+ 元，则一张门票降价 15-12=3 元．1 )=18 元， 那么降价后门票为 18÷1.5=12 55．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 的恰好是没运来的3 ，第二次运了 50 块．这时，已运来 85 ．问还有多少块蜂窝煤没有运来? 7 5 【分析与解】 已经运来的是没有运来的 ，则运来的是 5 份，没有运来的是 7 份， 7 5 5 3 7 也就是运来的占总数的 ．则共有 50÷( - )=1200 块，还剩下 1200? =700 块． 12 12 8 126．有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后， 发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的8 ．问剪下的一段长多少厘米? 13【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为 21－13=8 厘米． 因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为 13-8=5 份，则每 份为 8÷5=1．6(厘米)． 所以，剪后短纸带长为 1.6?8=12.8(厘米)，于是剪去 13-12.8=O.2(厘米)． 方法二：设剪下 x 厘米， 则13 ? x 8 ? ，交叉相乘得：13?(13- x )=8?(21- x )，解得 x =0.2， 21 ? x 13即剪下的一段长 0.2 厘米．9养成教育培训学校7．为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、 乙两队各掘进了 10 米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2 倍，乙队每天的 工作效率总是前一天的 l 【分析与解】 工作量 甲 乙 当天工作量 已完成工作量1 倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 21 10 10 20 20 2 20 15 35 55 3 40 22.5 62.5 117.5 4 80 33.75 113.75 231.25 5 160 50.625 210.625 441.375如下表所示： 天数说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75 米， 那么共用时间为 4+68.75÷210.625=4110 天． 3378．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 13 公顷．麦地的一半 和菜地的三分之一放在一起是 12 公顷．那么菜地是多少公顷? 【分析与解】如下表所示： 菜地1 2麦地1 3?13 公顷 ? 78 公顷 ? 72 公顷 ?12 公顷菜地 3 菜地 2 菜地麦地 2 麦地 3 麦地1 31 2即 5 倍菜地公顷数+5 倍麦地公顷数=78+72=150， 所以菜地与麦地共有 150÷5=30(公顷)． 而菜地减去麦地，为 78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共 1500 棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和 30 棵柳树以后，又临时运来 15 棵槐树，这时剩下的 3 种树的棵数恰好相等．问原计划要 栽植这三种树各多少棵? 【分析与解】将杨树分为 5 份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树=5 份；柳树=2 份+30 棵；槐树=2 份-15 棵， 则一份为()÷(2+2+5)=165 棵， 有：杨树=5?165=825 棵；柳树=165?2+30=360 棵；槐树=165?2-15=315 棵．10养成教育培训学校10. 师徒二人共同加工 170 个零件，师傅加工零件个数的1 1 比徒弟加工零件个数的 还多 3 410 个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数， “徒”表示徒弟加工的零件个 数，有：1 1 “师”“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而 4“师”+4“徒”=170?4=680． 3 4那么有 7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了 80 个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 1 倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍，下午这批工人中有1 27 的人去甲工地，其 12他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天．那 么这批工人共有多少名? 【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”． 甲 上午 下午 乙3 3 ? 1? 3 4 7 121 1 ? 1? 3 4 7 5 1- = 12 12于是甲工地一整天平均用了这批工人的 ( ? 工人的 1-3 7 2 ) ? 2 ? ，乙工地一整天平均用了这批 4 12 32 1 ? ． 3 3 2 1 这批工人的 完成了“1.5”的工作量，那么 的这批工人完成 1.5÷2=“0.75”的工 3 3作量，于是乙工地还剩下 1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要 4 人工作 1 天． 而甲、乙工地的工作量为 1.5+1=2.5，那么需 2.5÷0.25? 4=40 人工作 1 天． 所以原来这批工人共有 40-4=36 人．12．有一个分数， 如果分子加 1， 这个分数就等于 原来的分数是多少? 【分析与解】 如果分子加 1，则分数为1 1 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ． 问 2 31 x ，设这时的分数为： ，则原来的分数为 2 2x11养成教育培训学校x ?1 x ?1 1 ? ，交叉相乘得：3( x -1)=2 x +1，解得 x =4，则原分数为 ，分母加 1 后为： 2x 2x ?1 3 3 ． 813．图 2-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的3 6 ，竹林占圆形的 ，正方形和圆 4 7形的公共部分是水池． 已知竹林的面积比草地的面积大 450 平方米． 问水池的面积是多少平 方米?【分析与解】 因为水池是正方形的1 1 ，是圆的 ，则正方形是水池的 4 倍，圆是水 4 7池的 7 倍，相差 7-4=3 倍，差 450 平方米，则水池=450÷3=150 平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的 的1 ，唐僧和沙僧共吃了总数 21 1 ，唐僧和孙悟空共吃了总数的 ．那么唐僧吃了总数的几分之几? 3 4 1 1 1 【分析与解】 唐+猪= 、唐+沙= 、唐+孙= ．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+ 2 3 4 1 1 1 1 1 1 孙=2 唐+(唐+猪+沙+孙)=2 唐+1= + + =1 ．则：2 唐= ，唐= ． 2 3 4 12 12 24 1 唐僧吃了总数的 ． 2415．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作 1 个零件，但小李每制作 3 个零件要休息 1 分钟，小张每制作 4 个零件要休息 1.5 分钟．现在他们要共同完成制作 300 个零件的任务，需要多少分钟? 【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整． 因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成 300÷2=150 个零件左右； 小李完成 150 个零件需要 150÷3?4=200 分钟； 在 200 分钟左右，198 分钟是 5.5 的整数倍，此时乙生产 198÷5.5?4=144 个零件，并12养成教育培训学校且刚休息完，所以在 2 分钟后，即 200 分钟时完成 144+2=146 个零件； 那么在 200 分钟时，小李、小张共生产 150+146=296 个零件，还剩下 4 个零件未完成， 所以再需 2 分钟，小李生产 2 个零件，小张生产 2 个零件，正好完成． 所以共需 202 分钟才能完成． 方法二：把休息时间包括进去，小李每 4 分钟做 3 个，小张每 5.5 分钟做 4 个． 则在 44 分钟内小李做了：44÷4?3=33 个，小张做了：44÷5.5?4=32 个，他们一共做 了：33+32=65 个． 300÷65=4??40，也就是他们共同做了 4 个 44 分钟即：44?4=176 分钟后，还剩下 40 个零件没有做完． 而 22=4+4+4+4+4+2=5.5?4， 所以 22 分钟内小李做了： 3+3+3+3+3+2=17 个， 小张做了： 4?2=16 个，那么还剩下：40-17-16=7 个，4 分钟内小李做 3 个，小张做 4 个，共做 4+3=7 个，即这 40 个零件还需要 26 分钟． 所以共用时间：44?4+26=202 分钟．笔记粘贴处：13养成教育培训学校第三讲 “牛吃草”问题（略讲内容） 有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周.那么它可供 21 头牛吃几周？这类问题称为“牛 吃草”问题。 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生 长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间 期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增 的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 下面就用开头的题目为例进行分析. 从上面的线段图可以看出 23 头牛 9 周的总草量比 27 头牛 6 周的总草 量多，多出部分相当于 3 周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量， 就要进行转化.27 头牛 6 周吃草量相当于 27?6＝162 头牛一周吃草量 （或 一头牛吃 162 周）.23 头牛 9 周吃草量相当于 23?9=207 头牛一周吃草量 （或一头牛吃 207 周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于 （207-162）÷（9-6）=15 头牛一周的吃草量。 需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用 27 头牛 6 周的 总吃草量减去 6 周新生长的草量（即 15?6=90 头牛吃一周的草量）即为 牧场原有草量。 所以牧场上原有草量为 27?6-15?6=72 头牛一周的吃草量（或者为 23?9-15?9=72）。 牧场上的草 21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把 21 头牛 分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长 的草.但是新生的草只能维持 15 头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面 已分析过每周新生的草恰够 15 头牛吃一周）.故分出 15 头牛吃新生长的 草，另一部分 21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃 72÷ 6=12（周），也就是这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周.问题得解。 例 2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人 淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安 排多少人淘水？ 分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增 加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船 内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这 个问题我们换一个角度进行分析。14养成教育培训学校如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位”.则船内原有水量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量?时间?人数，即 1?3?10 ＝30. 船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 1?5?8=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差， 即 （40-30） ÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于每小时 2 人的淘水 量）。 船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.3 小时漏进水量相当于 3?2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原有水量为 30（2 ?3）=24。 如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24÷2＝12（人），但 与此同时， 每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出， 因此共需 12+2＝14 （人） 。 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出 原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量， 问题就容易解决了。 例 3 12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以 吃完 30 公亩牧场上全部牧草.多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全 部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相 等）？ 分析 解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天， 一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。 12 头牛 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加 上 28 天新生长的草可供 33.6 头牛吃一天（12?28÷10＝33.6）。 21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加 上 63 天新生长的草可供 44.1 头牛吃一天(63?21÷30＝44.l）。 一公亩一天新生长的牧草可供 0.3 头牛吃一天，即 （44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（头）。 一公亩原有的牧草可供 25.2 头牛吃一天，即 33.6-0.3?28=25.2（头）。 72 公亩原有牧草可供 14.4 头牛吃 126 天.即 72?25.2÷126=14.4（头）。15养成教育培训学校72 公亩每天新生长的草量可供 21.6 头牛吃一天.即 72?0.3=21.6（头）。 所以 72 公亩牧场上的牧草共可以供 36（=14.4＋21.6）头牛吃 126 天.问题得解。 解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？ （63?2i÷30-12?28÷10）÷（63-28）=0.3（头）。 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？ 12?28÷10-0.3?28=25.2（头）。 72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？ 72?25.2÷126+72?0.3=36（头）。 答：72 公亩的牧草可供 36 头牛吃 126 天。 例 4 一块草地， 每天生长的速度相同.现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天， 或者供 80 只羊吃 12 天.如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草 量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析 由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量， 故 60 只羊每天 的吃草量和 15 头牛每天吃草量相等，80 只羊每天吃草量与 20 头牛每天 吃草量相等。 解：60 只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？ 60÷4＝15（头）。 草地原有草量与 20 天新生长草量可供多少头牛吃一天？ 16?20=320（头）。 80 只羊 12 天的吃草量供多少头牛吃一天？ （80÷4）?12=240（头）。 每天新生长的草够多少头牛吃一天？ （320-240）÷（20-12）=10（头）。 原有草量够多少头牛吃一天？16养成教育培训学校320-（20?10）＝120（头）。 原有草量可供 10 头牛与 60 只羊吃几天？ 120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。 答：这块草场可供 10 头牛和 60 只羊吃 8 天。 例 5 一水库原有存水量一定， 河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可 抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干.若要求 6 天抽干，需要多少台 同样的抽水机？ 解：水库原有的水与 20 天流入水可供多少台抽水机抽 1 天？20? 5=100（台）。 水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？6?15=90 （台）。 每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？ （100-90）÷（20-15）=2（台）。 原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？ 100-20?2=60（台）。 若 6 天抽完，共需抽水机多少台？ 60÷6＋2=12（台）。 答：若 6 天抽完，共需 12 台抽水机。 例 6 有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也 设第三片草场（24 亩）可供 x 头牛 18 周吃完，则由每头牛每周吃草 量可列出方程为： x＝36 答：第三片草场可供 36 头牛 18 周食用。 这道题列方程时引入 a、 b 两个辅助未知数.在解方程时不一定要求出 其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。笔记粘贴处：17养成教育培训学校【内容概述】能被 2，3，4，5，8，9，11 整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题， 乘积末尾零的个数的计算． 1.整数 a 除以整数 b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除(也 可以说 b 能整除 a)，记作 ba．如:15÷5=3，所以 15 能被 5 整除(5 能整除 15)，记作 5 15． 反之，则称为不能整除，用“ ”表示，如 7 15.如果整数 a 能被整数 b(b≠0)整除， 则称 a 是 b 的倍数， b 是 a 的约数． 如 15 是 5 的倍数， 5 是 15 的约数． 特别的，注意 0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的 倍数． 还有 0÷1=0，所以说 1 能整除任何整数，1 是任何整数的约数． 因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数． 2．整除的性质： 性质 1.如果 ca，cb，那么 c(a±b)． 如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 C 整除． 性质 2.如果 bca，那么 ba，ca． 如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a． 性质 3.如果 ba，ca，且 b、c 互质，那么 bca． 如果 b、c 都能整除，且 b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a． 性质 4.如果 cb，ba，那么 ca． 如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a． 3.一些质数整除的数字特征(约数只有 1 和它本身的数，称为质数)： (1)能被 2 整除的数，其末位数字只能是 0，2，4，6，8； (2)能被 3 整除的数，其各位的数字和能被 3 整除； (3)能被 5 整除的数，其末位数字只能是 0，5； (4)能被 7 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与 前面隔出数 的差(大减小)能被 7 整除(即 qponm?cba 能被 7 整除，7 cba - qponm? 或 7 qponm? - cba )； (5)能被 11 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与 前面隔出数 的差(大减小)能被 11 整除(即 qponm?cba 能被 11 整除 11 cba - qponm? 或 11 qponm? cba )或者， 其 奇数位数字之和 偶数位数字之和 所得的差能被 11 整除；18养成教育培训学校qponm?cba 表示这是一个多位数，而不是 q 与 p、o、c、b、a 等数的乘积，下同．4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对 于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》 ． 5．对于一些特殊的合数的判断方法． 能被 4 整除的数，末两位数能被 4 整除； 能被 8 整除的数，末三位数能被 8 整除； 能被 25 整除的数，末两位数能被 25 整除； 能被 125 整除的数，末三位能被 125 整除； 能被 9 整除的数，其数字和一定是 9 的倍数． 范例 1 在公元 9 世纪，有个印度数学家――花拉子米写有一本《花拉子米算术》 ，他 们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行， 由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加 法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法” ． 如：922+902=889923．他们看 1234 的数字和为，10 除以 9 余 1， 1898 的数字和除以 9 余 8， 18922 的数字和除以 9 余 4， 678967 的数字和除以 9 余 7， 178902 的数字和除以 9 余 0，余数的和除以 9 余 2；而等式的右边 889923 除以 9 的余数为 3．所以 上面的加法算式一定是错误的． 为什么呢? 6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的 0，只要把这个乘积中的因数 2 与 5 的个数分 别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的 0 的个数． 范例 2 试求 83????2005 这 25 个数相乘， 积的末尾有多少 个连续的“0”?【分析与解】其中 ，，2005 含有因数 5 分别有 1，1，1，3，1 个，所以共有 l+1+1+3+1=7 个因数 5； 其中 ，，，，， 含有 因数 2， 分别有 1， 6， 1， 2， 1， 3， 1， 2， 1， 4， 1， 2 个， 所以共有 1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25 个因数 2． 其中因数 5 较少，含有 7 个，所以题中 25 个数的乘积末尾连续的 0 的个数为 7． 评注：多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续 0 的个数．因为因数 2 的个数远多于因数 5 的个数，所以只考虑因数 5 的个数即可．7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6 等类问题都可以使用试 除法． 如果一个数能同时被多个整数整除， 那么一定能被这些数的最小公倍数整除， 而求多个 数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法： ①短除法 求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法． 范例 3 试求 120、180、300 的最小公倍数．【分析与解】19养成教育培训学校于是(120，180，300)=30?2?2?3?5=1800． ②分解质因数 将一组数的每个数严格分解质因数， 然后提出每个质因数的最高次所对应的数， 将这些提出 的数相乘，求出积就是最小公倍数． 8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6 类问题．1．173 口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入 3 个数字，所得到 的 3 个四位数：依次可被 9，11，6 整除．”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少? 【分析与解】方法一：利用整除特征 注意能被 9，11，6 整除的数的特征： 能被 9 整除的数，其数字和是 9 的倍数； 能被 11 整除的数，其 奇数位数字和 和与 偶数位数字和 的差为 11 的倍数；或将其 后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是 11 的倍数； 能被 6 整除的数，其数字和是 3 的倍数，且末位为 0，2，4，6，8 的其中之一. 1+7+3=ll，当口内填入 7 时，1735 的数字和为 18，为 9 的倍数，所以当口内填 7 所组成的 数为 9 的倍数； 173 口的奇数位数字和为 7+口，偶位数数字和为 1+3=4，所以当口内填 11+4-7=8 时，奇数位数字和 22 和与 偶数位数字和 的差为 11，所组成的数为 11 的倍数；1+7+3=11，当口内填入 l，4，7 时，为 3 的倍数，但只有 4 为偶数，所以当口内填入 4 组成 的数为 6 的倍数． 所以，这三种情况下填人口内的数字的和为 7+8+4=19． 方法二：采用试除法 用 1730 试除，??2，7??3，??2． 所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 、1734 依次能被 9、11、6 整除． 所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19．2．如果六位数 1992 口口能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少? 【分析与解】 因为 105=3?7?5，所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的 特征即可． 而能被 7 整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是 7 的倍数； 能被 5 整数的数，其末位只能是 0 或 5． 方法一：利用整除特征 末位只能为 0 或 5． ① 如果末位填入 0，那么数字和为 1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是 3 的倍数，所 以口可以为 0， 3， 6， 9， 验证均不是 200-199=1， 230-199=31， 260-199=61， 290-199=91， 有 9l 是 7 的倍数，即 199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为 90． ②如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征．20养成教育培训学校所以，题中数的末两位只能是 90． 方法二：采用试除法 用 199200 试除， 5=1897??15， 余 15 可以看成不足(105-15=)90． 所以补上 90， 即在末两位的方格内填人 90 即可．3．某个七位数 1993 口口口能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位 数字依次是多少? 【分析与解】 方法一：利用整除特征 因为这个数能被 5 整除，所以末位只能是 0 或 5，又能被 2 整除，所以其末位为偶数，所以 只能是 0． 在满足以上条件的情况下，还能被 4 整除，那么末两位只能是 20、40、60 或 80．1993A20 ， 1993B40 ， 又因为还能同时被 9 整除， 所以这个数的数字和也应该是 9 的倍数， 1993C60 ， 1993D80 的数字和分别为 24+A，26+B，28+C，30+D，对应的 A、B、C、D 只能是 3，1，8，6．即末三位可能是 320，140，860，680． 而只有 320，680 是 8 的倍数，再验证只有 93680 中只有 1993320 是 7 的倍数． 因为有同时能被 2，4，5，7，8，9 整除的数，一定能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 这几 个数整除，所以 1993320 为所求的这个数． 显然，其末三位依次为 3，2，0． 方法二：采用试除法 一个数能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被 2 ? 3 ?5?7=8?9?5?7=2520 整除． 用 1993000 试除，20=790??2200，余 2200 可以看成不足 0，所 以在末三位的方格内填入 320 即可．324．从 0，l，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中选出 5 个不同的数字组成一个五位数， 使它能被 3，5，7，13 整除，这个数最大是多少? 【 分 析 与 解 】 因 为 [3 ， 5 ， 7 ， 13]=1365 ， 在 100000 之 内 最 大 的 1365 的 倍 数 为 ÷5 ， =99645) ， 有 =98280 ， =9-．=94185． 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185．5．修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数．问修改后的这个数是多少? 【分析与解】 方法一：采用试除法 823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，3??469，于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得21养成教育培训学校到的新数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动 有 n=1 时，354+823：1177， n=2 时，354+823?2=2000，所以当千位增加 2，即改为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 方法二：视作数字谜 假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑 3 口口口 3 除以 823 的商： 3??375；3??489． 所以商在 37～48 之间，而 823 的个位 3 只有与 1 相乘所得的积才是 3，所以这个商的尾数 为 1，这样的数字在 37～48 之问，只有 41． 有 823?41=33743．所以改动 31743 的千位为 3 即可．6．在六位数 11 口口 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么 方框中的两位数是多少? 【分析与解】采用试除法 如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除． 3=340??191，余 191 也可以看成不足(323-191=)132． 所以当 132+323n 是 100 的倍数时，才能保证在只改动 110011 的千位、百位数字，而得到 323 的倍数． 所以有 323n 的末位只能是 10-2=8，所以 n 只能是 6，16，26，? 验证有 n=16 时， 132+323?16=5300， 所以原题的方框中填入 5， 3 得到的 115311 满足题意．7．已知四十一位数 55?5 口 99?9(其中 5 和 9 各有 20 个)能被 7 整除，那么中间方格内的 数字是多少? 【分析与解】 我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除 7、11、13； 下面就可用这个性质来试着求解： 由上知 555 ? 5 ? 999 ? 9 的末 6 位数 999999 必定整除 7；?????20个 5?????20个 9有 555 ? 5 ? 999 ? 9 = 555 ? 5 ? 999 ? 9 ? 999 ；于是?????20个 5????? ?????20个 9 20个 5?????14个 9只用考察：555 ? 5 ? 999 ? 9 ?1000000，又因为
互质，所以 1000000 对整除 7 ????? ?????20个 5 14个 9没有影响，所以要求 555 ? 5 ? 999 ? 9 一定是 7 的倍数．?????20个 5?????14个 9注意到，实际上我们已经将末尾的 6 个 9 除去； 这样，我们将数字 9、5 均 6 个一组除去，最后剩下的数为 5 ? 5 口 9 ? 9 ，即? ? ?? ?(20 ?3?6) 个5? ? ?? ?(20 ?3?6) 个955 口 99． 我们只用计算 55 口 99 当“口”取何值时能被 7 整除，有口为 6 时满足.22养成教育培训学校评注：对于含有类似 ? abcabc ? abcabc? 的多位数，考察其整除 7、11、13 情况时，可以将???? ? ????? ?n个abcabcabcabc 一组一组的除去，直接考察剩下的数．8．用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除．这个六位数是多少? 【分析与解】 因为 168=20?3?7，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除． 能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的倍数，末位为偶数． 在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或 768，而又要求 是 7 的倍数，由上题知 abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，口口口 688 的口不管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3 整除可以不验证， 因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数， 在题中给定的 条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解． 当然验证的确满足． 所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数．9．将自然数 1，2，3，?依次写下去组成一个数：11213?．如果写到某个自 然数时，所组成的数恰好第一次能被 72 整除，那么这个自然数是多少? 【分析与解】 因为 72= 2 ? 3 ， 所以这个数必须是 8 的倍数， 即后三位必须是 8 的倍数(也 一定有后二位为 4 的倍数，末位为偶数)，且数字和是 9 的倍数. 有 456，312，516，920，324，728，132，536?均是 4 的倍数，但是只有 456，920， 728，536 是 8 的倍数． 验证这些数对应的自然数的数字和： 456 对应 123456，数字和为 2l， 920 对应 123?，数字和为 102， 728 对应 123??28，数字和为 154， 536 对应 123??，数字和为 207， 所以在上面这些数中，只有 536 对应的 123?? 既是 8 的倍数， 又是 9 的倍数． 所以，满足题意的自然数为 36．3210．1 至 9 这 9 个数字，按图 4-1 所示的次序排成一个圆圈．请你在某 两个数字之间剪开， 分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如， 在 l 和 7 之间剪开，得到两个数是
和 )．如果要 求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除， 那么剪开处左右两个 数字的乘积是多少?23养成教育培训学校【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律：?99的倍数 n为奇数时 n位原序数与n位反序数 的差一定是 ? ? 9的倍数 n为偶数时(如：12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321，它们的差 43956 是 99 的倍数．对于 上面的规律想想为什么?) 那么互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除． 而 396=99?4，所以我们只用考察它能否能被 4 整除． 于是只用观察原序数、 反序数的末两位数字的差能否被 4 整除， 显然只有当剪开处两个数的 奇偶性相同时才有可能． 注意图中的具体数字， 有(3， 4)处、 (8， 5)处的两个数字奇偶性均不相同， 所以一定不满足． 而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足． 进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)， (5， 7)， (7， 1)， (1， 9)处剪开的末两位数字之差为 62-3=28． 86-42=44， 58-26=32， 85-17=68， 91-57=34，71-39=32． 所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的 九位数的差才是 396 的倍数． (9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为 27，8，12，48， 35，9．11．有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 l 号到 15 号．1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，??，依次下去，每位同 学都说，这个数能被他的编号数整除．1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不 对，其余同学都对．问： (1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数． 【分析与解】 (1)列出这 14 个除数： 2、3、4、5 、6、7、 8、9 、 10、11 、12 、 13 、 14 、 15. 注意到如果这个数不能被 2 整除，那么一定不能被 4、6、8、10?等整除，显然超过两个自 然数；类。似这种情况的还有 3～6、9?；4～8、12?；5～10、15?；6～12?； 若不能被 7 整除，那么一定不能被 14 整除，而这两个自然数不连续； 若不能被 12 整除，那么 4 和 3 中至少有一个不能整除 1 号所说的自然数，而 12 与 3、4 均 不连续；类似这种情况的还有 10(对应 2 和 5)；14(对应 2 和 7)；15(对应 3 和 5)； 这样只剩下 8、9、11、13，而连续的只有 8、9． 所以说的不对的两位同学的编号为 8、9 这两个连续的自然数． (2)由(1)知，这个五位数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 整除．所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]= 2 ?3?5?7?11?13=60060． 所以 1 号写出的五位数为 60060．242养成教育培训学校12． 找出 4 个不同的自然数， 使得对于其中任何两个数， 它们的和总可以被它们的差整除． 如 果要求这 4 个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小， 那么这 4 个数里中间两个数的和是 多少? 【分析与解】 我们设这四个数中最小的一个数为 a，要求 4 个最大的数与最小的数的和尽 可能小，则先尽量让 a 最小． 当 a=1，设 4 个数中另外三个数中某个数为 b，有b ?1 b ?1 2 等必须为整数，而 =1+ ， b ?1 b ?1 b ?1则 2 能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为 2 或 1，对应 b 只能是 3 或 2，但是题中要求 a 至少 能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足． 当 a=2，设 4 个数中另外三个数中某个数为 c，有c+2 c+2 4 必须为整数，而 =l+ ，则 4 c-2 c-2 c-2能被(c-2)整除，有(c-2)可以为 4、2、1，对应 c 可以为 6、4 或 3． 验证 6、 4、 3、 2 是满足条件的数组， 它们的中间两个数的和为 4+3=7 即为题中条件下的和．试求 6 个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除． 【试题分析】 取六个数 1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到 15 个和： 1+2，l+3，?，5+6． 这 15 个和的最小公倍数是：23 ? 32 ??5?7?11=27720．把它依次乘所取的六个数得：2，8，138600 及 166320.这六个数 就满足题目的要求．13．把若干个自然数 1，2，3，?乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零， 那么最后出现的自然数最小应该是多少? 【分析与解】 方法一： 要求乘积的末十三位均是 0， 那么这个乘积至少含有 13 个质因数 2， 13 个质因数 5． 连续的自然数中 2 的倍数的个数远大于 5 的倍数的个数． 所以只用考虑质因数 5 的个数， 有： 13?5=65，而 1～65 中，25、50 均含有 2 个质因数 5． 所以只需连乘到(13-2)?5=55 即可．也就是说 1?2?3??的积的末十三位均是 0，那么最 后出现的自然数最小应是 55． 方法二：我们分段考虑质因数 5 的出现的情况： 在 1 至 9 中，有 5 本身，出现 1 次因数 5； 在 10 至 19 中，有 10、15，出现 2 次因数 5； 在 20 至 29 中，有 20、25，由于 25=5?5，5 出现了 2 次，所以共出现 3 次因数 5； 在 30 至 39、40 至 49 中，各出现 2 次 5 的因子，至此共出现了 l+2+3+2+2=10 次 5 的因子． 在 50 至 59 中，有 50、55、50=2?5?5 出现了两次 5 的次因子，所以这里共有 3 个 5 的因 子． 所以到 55 为止，共出现 13 次 5 的因子，55 为出现的最小自然数，使得 2 乘到它的结果中 末尾有 13 个 025养成教育培训学校14.975?935?972?口，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什 么数? 【分析与解】 975 含有 2 个质因数 5，935 含有 1 个质因数 5，972 含有 2 个质因数 2．而 975?935?972?口的乘积最后 4 个数都是 0． 那么，至少需要 4 个质因数 5，4 个质因数 2． 所以，口至少含有 1 个质因数 5，2 个质因数 2，即最小为 5?2?2=20．15．如图 4-2，依次排列的 5 个数是 13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得 4 个数．这 4 个数每相邻的两个数相乘得 3 个数．这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数．这 2 个数相乘得 1 个数．请问：最后这个数从个位起向左数．可以连续地数出几个零?【分析与解】 如下图， 我们在图中标出每个数含有质因数 2、 5 的个数， 除第一行外， 每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数 2、5 的个数也都是上一 行左、右上方两数含有质因数 2、5 个数的和．所以，最后一行的一个数含有 10 个质因数 2，15 个质因数 5． 而一个数末尾含有连续 0 的个数决定于质因数 2、 5 个数的最小值， 所以最后一行的一 个数末尾含有 10 个连续的 0．笔记粘贴处：26养成教育培训学校与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句 话是错的． 【分析与解】 例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，电就是说它们都不是质数． 评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是??，我们注意 到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，?，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被 2、3、 4、?、(n+1)整除，它们是连续的 n 个合数． 其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 1?2?3???n．2、从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12． 【分析与解】 我们知道 12 是 2、3 的倍数，如果开始的质数是 2 或 3，那 么 后一个数 即 2或3 与 12 的和一定也是 2 或 3 的倍数，将是合数，所以从 5 开始 尝试． 有 5、17、29、41、53 是满足条件的 5 个质数．3．9 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个? 【分析与解】 大于 80 的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越 多越好， 9 个连续的自然数中最多只有 5 个奇数， 它们的个位应该为 1， 3， 5， 7， 9．但是大于 80 且个位为 5 的数一定不是质数，所以最多只有 4 个数． 验证 101，102，103，104，105，106，107，108，109 这 9 个连续的自然数 中 101、103、107、109 这 4 个数均是质数． 也就是大于 80 的 9 个连续自然数，其中质数最多能有 4 个．4. 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用27养成教育培训学校到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数? 【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下 1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用 有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67． 所以这 9 个数字最多组成了 2、3、5、41、67、89 这 6 个质数．5．3 个质数的倒数之和是1661 ，则这 3 个质数之和为多少? 19861 1 【分析与解】 设这 3 个质数从小到大为 a、 b、 c， 它们的倒数分别为 、 、 a b 1 F ， 计算它们的和时需通分， 且通分后的分母为 a?b?c， 求和得到的分数为 , c abc 如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a、b、c 或它们之间的积． 1661 现在和为 ，分母 ?331，所以一定是 a=2，b=3，c=331，检 1986 验满足． 所以这 3 个质数的和为 2+3+331=336．6．已知一个两位数除 1477，余数是 49．求满足这样条件的所有两位数． 【分析与解】 有 1477÷除数=商??49，那么 1477-49：除数?商，所以， 除数?商=?3?7?17． 一般情况下有除数大于余数．即除数大于 49 且整除 1428，有 84、51、68 满足． 所以满足题意的两位数有 51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140．如果把所有这样的 分数从小到大排列，那么第三个分数是多少 【分析与解】 有 140=2?2?5?7，因为这些分数的分子与分母的乘积均 为 140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为 140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为 1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 1 2 4 5 7 10 14 对应分数从小到大依次为而 、 、 、 、 、 、 、? 140 70 35 28 20 14 10 其中第三个最简真分数为．8． 某校师生为贫困地区捐款 1995 元． 这个学校共有 35 名教师， 14 个教学班． 各28养成教育培训学校班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那 么平均每人捐款多少元? 【分析与解】 这 个 学 校 最 少 有 35+14?30=455 名 师 生 ， 最 多 有 35+14?45=665 名师生，并且师生总人数能整除 1995． ?133，在 455～665 之间的约数只有 5?133=665，所以师生总数 为 665 人，则平均每人捐款
元．9． 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时， 小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8， 由此得乘积为 1872．那么原来的乘积是多少? 【分析与解】 ?2?2?3?3?13=口口?口口， 其中某个口为 8， 一一验证只有：， 满足． 当为
时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45 看成 48，所以 正确的乘积应该是 45?39=1755． 当为
时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以 正确的乘积应该是 75?24=1800． 所以原来的积为 1755 或 1800．10.已知两个数的和被 5 除余 1，它们的积是 2924，那么它们的差等于多少? 【分析与解】 ?17?43=A?B，且有 A+B 被 5 除余 l，则和的个位 为 1 或 6． 有 4?17+43=68+43=11l，也就是说 68、43 为满足题意的两个数． 它们的差为 68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过 10 的自然数． 甲、 乙两名运动员各射了 5 箭， 每人 5 箭得到的环数的积都是 1764， 但是甲的总环数比乙少 4 环．求甲、乙的总环数各是多少? 【分析与解】 ?3?3?7?7，1764 对应为 5 个小于 10 的自然数 乘积． 只能是 ?3?7?7 =2?6?3?7?7 =2?2?9?7?7 =1?6?6?7?7 =1?4?9?7?7 对应的和依次为 4+3+3+7+7=24， 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27， 1+6+6+7+7=27， l+4+9+7+7=28． 对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7． 所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28．29养成教育培训学校12． 在面前有一个长方体， 它的正面和上面的面积之和是 209， 如果它的长、 宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和 为 ac+ab=209． ac+ab=a?(c+b)=209，而 209=11?19． 当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质 数 2，则 c+b=2+17; 当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为 11?2?17=374．13.一个长方体的长、 宽、 高是连续的 3 个自然数， 它的体积是 39270 立方厘米， 那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】?5?7?11?17，为三个连续自然数的乘积，而 34?34?34 即 343 最接近 39270， 39270 的约数中接近或等于 34 的有 35、 34、 33， 有 33?34?35=39270． 所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高． 则 长 方 体 的 表 面 积 为 ： 2?( 长 ? 宽 + 宽 ? 高 + 高 ? 长)=2?(33?34+34?35+35?33)=6934(平方厘米)． 方法二：?5?7?11?17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因 数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足． 当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 32～36 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的 一条边的长度． 而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l， 所以这个长方体的大小为 33?34?35．
长 方 体 的 表 面 积 为 2?( + + 33 34 39270 )=2?(22)=2?(平方厘米)． 3514．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么 它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越 接近，和越小．如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 8． ?3?3?37，37 是质数，不能再分解，所以 2?3?3?3 对应的两 个数应越接近越好．有 2?3?3?3=6?9 时，即 ?37 时，这三个自然 数最接近． 它们的和为 6+9+37=52(厘米)30养成教育培训学校正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线 形的面积问题， 以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进 行计算的面积问题．1．如图 6-1，每一个小方格的面积都是 l 平方厘米，那么用粗线围成的图 形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L -1)?单位 2正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数． 7 有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为： （4+ -1)?1=6.5(平方厘米) 2 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方 形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所 围成的图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5 平方厘米2．如图 6-2，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?31养成教育培训学校【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位 正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数 有 N=9， L=4， 所以用粗线围成的图形的面积为： (9?2+4-2)?1=20(平方厘米)． 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不 完整的小正三角形分成 4 部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为 4，所 以①部分的面积为 2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为 2，8，6， 所以②、③、④部分的面积分别为 1 ， 4 ， 3 ．所以粗实线内图形的面积为 lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图 6-3 是常见的一副七巧板的图， 图 6-4 是用这副七巧板的 7 块板拼 成的小房子图，那么，第 2 块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第 4 块板 与第 7 块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图 6-3 中标出图 6-4 中各块图形的位置． 设整个七巧板组成的正方形的边长为 1，显然整幅图形的面积为 1，且有第 1 1 1 1 2 块的面积为 ? ? = ． 2 2 2 832养成教育培训学校有 S3 = S4 ， S2 = S5 = S7 =2 S3 ，有 2、3、4、5、7 五块图形的面积之和为1 所以 S4 = S长方形IGFB ， S7 = ． 81 ， 21 所以第 2 块板的面积等于整幅图面积的 ， 第 4 块板与第 7 块板面积和为整幅图 8 1 1 3 面积的 + = ． 16 8 164．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得 到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又 以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图 6-5 所示的图形．如果这 个图形面积是 1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一：如右图，我们将图 6-5 分成若干个大小、形状完全相同 的小正三角形，由 40 块小正三角形组成图 6-5，而由 27 块小正三角形组成了图 中最大的正三角形． 1 120 块小正三角形的面积为 1，所以每块为 ，那么原来的正三角形由 81 120 27 块小正三角形组成，其面积显然为 ． 40方法二：如下图，我们把图 6-5 中的三角形分成 A、B、C 三种，设 A 形正三 1 1 角形面积为“1”，则 B、C 两种正三角形的面积依次为“ ”、“ ”． 9 8133养成教育培训学校在图 6-5 中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为 1，3，12，所以图 6-5 中 1 1 40 27 图形的面积为 1+3? +12? = ．所以有“1”对应 ，而原来的正三角形 9 81 27 40 27 即为三角形 A，所以原来的正三角形的面积为 . 405．如图 6-6，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，M 是 AB 中点，N 是 CD 中 点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将图 6-6 分成大小、形状相同的三角形，有正 六边形 ABCDEF 包含有 24 个小正三角形， 而阴影部分 MNP 包含有 9 个小正三角形．正六边形 ABCDEF 的面积为 6，所以每个小正三角形的面积为 6÷24= 角形 MNP 的面积为 9?1 =2.25(平方厘米)． 41 ，所以三 46．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便 得到了若干个面积相等的小三角形． 已知图 6-7 中阴影部分的面积是 294 平方分米，那么图 6-8 中的阴影部分的面积是多少平方分米?34养成教育培训学校【分析与解】 在图 6-7 中，原正三角形被分成 25 个小正三角形，而阴影部分 含有 12 个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为 294÷12=24.5，所以原正 三角形的面积为 24.5?25=612.5(平方分米)． 而在图 6-8 中，原正三角形被分成 49 块，而阴影部分含有 16 块，所以阴影部分 的面积为 612.5÷49?16=200(平方分米)．7．图 6-9 是 5?5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称 为格点． 请你在图上选 7 个格点， 要求选出的点中任意 3 点都不在同一条直线上， 并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能大． 那么所围图形的面积是多 少平方厘米?【分析与解】 我们知道满足题意的 7 个点可以组成一个七边形，适当的切 去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出 2 个角可以得到一个六边形，切去 3 个角可以得到七边形. 为了使最后留下的七边形的面积尽可能大， 那么切去的 3 个角面积应尽可能 的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为 25-3?0.5=23.5(平方厘米)．8.在图 6-10 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其 中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三 角形． △ABC 占有 9 个小等腰三角形， 其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形， S ?ABC =9?9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.5÷9?6=27(平方厘米)．35养成教育培训学校方法二： 如图(b)， 连接 IG， 有四边形 ADGI 为正方形， 易知 FG=FC=3(厘米)， 1 1 所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是 S ?HIG = ? S正方形AIGD = ? 62 =9. 4 4 而四边形 IGFB 为长方形，有 BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以 S长方形IGFB =6?3=18． 阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和， 即为 9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图 6-10 中某些交点标上字母． 易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形． 先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与 其作差，即为需求阴影部分的面积． 1 81 1 9 有 S ?ABC = S?DEF = ?EF?DF= ， S?CGF = ?CF?FG= ． 2 2 2 2 因为 CF=FG=3，所以 DG=DF-FG=6． 如图(d)，可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形． 1 所以， 而 S?H 所以 S阴影BFGHI = S ?ABC - S?CGF S?ACD S?DGH = ?DG?DG=9， A I = S?DGH =9， 4 81 9 - S?AIH = - -9=27(平方厘米)． 2 2 即阴影部分的面积为 27 平方厘米．9．如图 6-11，在长方形 ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长 20 厘米，AB 长 12 厘米，DE=4AE，CF=3DF，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形 ADFO 的面积， 再将其减去两个三角形 AEO、 EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积． 而四边形 ADFO 的面积等于两个三角形 AOD、ODF 的面积和． 由题意知 AE=4，ED=16，DF=3，FC=9． 1 1 有 S?AOD = S矩形ABCD = ?20?12=60， 4 436养成教育培训学校1 1 1 1 S?ODF = ?DF?( AD)= ?3? ?20=15． 2 4 2 2 1 1 1 1 S?AEO = ?AE?( AB)= ?4? ?12=12， 2 2 2 2 1 1 S?EFD = ?ED?DF= ?16?3=24． 2 2有 S阴影 =( S?AOD + S?ODF )- S?AEO - S?EFD =60+15-12-24=39(平方厘米)． 即阴影部分的面积为 39 平方厘米．10．如图 6-12，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得小 正方形， 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相 连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A、 B 两种三角形． 其中含有 A 形三角形 8 个， B 形三角形 16 个， 其中阴影部分 含有 A 形三角形 4 个，B 形三角形 8 个． 1 1 所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的 ，即为 2 2 ?10?10=50(平方厘米)．11}