有关高数二重积分的问题_百度知道
有关高数二重积分的问题
如果积分区域D关于y=x对称，且f（x，y）=f（y，x），y=x将D分成两部分，D1和D2请问，能否推出∫∫Df（x，y）dxdy=2∫∫D1f（x，y）dxdy...
如果积分区域D关于y=x对称，且f（x，y）=f（y，x），y=x将D分成两部分，D1和D2请问，能否推出
∫∫Df（x，y）dxdy=2∫∫D1f（x，y）dxdy
wuyuanmm知道合伙人
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能。因为f（x，y）在D1上的积分等于f（y，x）在D1上的积分，根据积分的几何意义f（y，x）在D1上的取值等于f（x，y）在D2上的取值。所以f（x，y）在D1上的积分其实等于f（x，y）在D2上的积分，所以你写的式子是成立的。还可以更加深入的探讨。对任意直线如果，积分区域和函数本身都关于这条直线对称，那么会有函数在整块积分区域上的积分等于函数在其积分区域的某一块对称区域积分的两倍。相当于你进行了坐标变换把该任意直线变换为y轴
谁动了我的喵知道合伙人
谁动了我的喵
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能啊~~~因为f（x，y）=f（y，x），所以∫∫D2f（x，y）dxdy=∫∫D2f（y，x）dxdy此时，x，y只是个代号而已，互换不影响实质，互换后，D2就变成D1了，得∫∫D2f（y，x）dxdy=∫∫D1f（x，y）dydx=∫∫D1f（x，y）dxdy所以 ∫∫Df（x，y）dxdy=2∫∫D1f（x，y）dxdy成立
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高数二重积分习题探讨.doc 34页
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重积分及其应用
1．用二重积分表示下列立体的体积：
(1) 上半球体：；
(2) 由抛物面，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体
解答：(1) ；
所属章节：第九章第一节
难度：一级
2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
(1) ，其中D为；
(2) ，其中D为
解答：(1) ；
所属章节：第九章第一节
难度：一级
3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为，且在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．
所属章节：第九章第一节
难度：一级
4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力
所属章节：第九章第一节
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5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小
(1) 与，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；
(2) 与，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；
(3) 与，其中D是任一平面有界闭区域；
(4) 与，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；
解答：(1) 在区域D内部，，所以I1>I2；
(2) 在区域D内部，，故，所以 I1>I2；？
(3) 由于，所以I1I2
所属章节：第九章第一节
难度：一级
6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值
解答：(1) 由于的面积为32，在其中，而等号不恒成立，故；
(2) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；
(3) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；
注：原题有误？还是原参考答案有误？如将改为，则区域面积为200，结论为
(4) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故．
所属章节：第九章第一节
难度：二级
7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
所属章节：第九章第一节
难度：二级
8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明：
(1) 若f(x，y)不恒为零，则；
(2) 若，则f(x，y)≡0
解答：(1) 若f(x，y)不恒为零，则存在，，利用连续函数的保号性，存在的一个邻域，在其上恒有，于是，而，所以 ；
(2) 假若f(x，y)不恒为零，则由上题知，矛盾，故f(x，y)≡0．
所属章节：第九章第一节
难度：二级
9．计算下列二重积分：
解答：(1) ；
所属章节：第九章第二节
难度：一级
10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分：
(1) D由曲线y=lnx，直线x=2及轴所围成；
(2) D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成；
(3) D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成；
(4) D由曲线y=x3，y=x所围成；
(5) D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成
解答：本题图略，建议画出
注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线所围成”，则答案为原参考答案
所属章节：第九章第二节
难度：一级
11．计算下列二重积分：
(1) ，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成；
(2) ，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；
(3) ，D由抛物线和y =x2围成；
(4) ，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；
(5) ，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成
解答：(1) ；
所属章节：第九章第二节
难度：二级
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：
解答：本题图略，建议画出
所属章节：第九章第二节
难度：一级
13．计算下列二次积分：
解答：(1) ；
所属章节：第九章第二节
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14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分：
解答：(1) 设，则
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交换积分次序主要是根据原来的积分次序画积分区域和确定上下限．用画平行线法（对哪个坐标积分就做哪个坐标轴的平行线）确定上下线（可以参照课本）．
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二重积分换序问题收藏
各位大神们，这个区域怎么确定啊
先把D画出来，先积y确定上下界，然后沿x轴看x的表达式为上下界
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