【数学】无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同-学路网-学习路上 有我相伴
无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同
来源：互联网 &责任编辑：李志 &
无穷级数求和用无穷级数怎么求记S=1+1/2+3/2?+5/2?+…+(2n-1)/(2^n),则(1/2)S=1/2+1/2?+3/2?+…+(2n-3)/(2^n)+(2n-1)/2^(n+1)S-(1/2)S=1+2/2?+2/2?+…+2/(2^n)-(2n-1)/2^(n+1)(1/2)S=2(1/2+1/2?+1/2?+…...无穷级数第二题求和函数连续求导就得到s''(t)了接下来连续积分就得到s(t)了高数无穷级数问题求和为什么x=0时s(x)=1/2呢这个级数的前面几项写出来,是1/(1?2)+1/(2?2?)?x+1/(3?2?)?x?+……所以,s(0)=1/2无穷级数求和,用积分的方法做。错就错在积分的定义搞错了!和式取极限后才化为积分,而不是先化为积分再求极限(3i+1)(3i+2)=[3n-(3n-3i+1)][3n-(3n-3i+2)]=n^2[3-3(n-i+1/3)/n][3-3(n-i+2/3)/n]令n-i=k(3i+...微积分图中的这个无穷级数求和函数求过程谢谢向左转|向右转无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图2)无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图4)无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图10)无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图12)无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图16)无穷级数求和.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同(图18)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:无穷级数求和学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 微积分图中的这个无穷级数求和函数求过程谢谢向左转|向右转防抓取，学路网提供内容。.为什么设x=1/3和x=根号1/3答案不同这个无穷级数怎么求和?2²+1/3²+…+1/n²→π²/6这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围-----------防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:无穷级数求和问题用傅里叶级数展开x^4来做。答案π^4/90详见参考资料。防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:一道无穷级数求和问题定积分在形式上从0到自身的取值刚好满足条件.对于例2,其实跟例1是一个道理,它的变量应该视作(x+1),那么x的取值也显然是从-1开始了.呵呵,如果还要对为什么是不定积分...防抓取，学路网提供内容。(1) 1/(1-x) = ∑{0 ≤ n} x^n,求导得1/(1-x)² = ∑{1 ≤ n} n?x^(n-1) = ∑{0 ≤ n} (n+1)?x^n.无穷级数求和1/(2n-1)^2其中n从1到正无穷,求它们的和,已知...已知∑{1≤k}1/k²=π²/6.故∑{1≤k}1/(2k)²=1/4?∑{1≤k}1防抓取，学路网提供内容。因此2/(1-x)²-1/(1-x) = ∑{0 ≤ n} (2n+1)?x^n.无穷递减等比级数求和方法无穷递减等比级数求和方法统一为Sn=a1/(1-q)这里a1是首项,q是公比。Sn=7/9/(1-7/9)=7/2无穷递减等比级数意思就是公比绝对值小于1且不等于0的等比级数防抓取，学路网提供内容。即∑{0 ≤ n} (2n+1)?x^n = 2/(1-x)²-1/(1-x) = (1+x)/(1-x)².求高数大神用无穷级数求π的值答：arctanx的幂级数表达式是：x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+...+(-1)^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1)+...防抓取，学路网提供内容。代入x = 1/3得∑{0 ≤ n} (2n+1)/3^n = (1+1/3)/(1-1/3)² = 3.无穷级数∑(i^2/4^i)从i=0到i=∞求和怎么算，求详解问：如题答：乘以x^k,作为函数项级数，然后通过逐次求导和积分，2次之后就得到了关于x的解析式，代入x=1即得到结果如∑(k^2/4^k)防抓取，学路网提供内容。用∑{0 ≤ n} (2n+1)?x^(2n)求是一样的.求无穷级数(-1)^n/(2n+1)问：可以转化为幂级数，先求导得1/(1+x^2)，然后积分得arctanx，把x=1代入，...答：幂级数∑(-1)^n/(2n+1)?x^(2n+1)的收敛域为[防抓取，学路网提供内容。1/(1-x²) = ∑{0 ≤ n} x^(2n),故x/(1-x²) = ∑{0 ≤ n} x^(2n+1).无穷级数∑(-1)^(n1)1/n=？具体怎么求问：∑上无穷大下n=1(-1)的(n+1)次方/√n级数的敛散性，答：化简过后是交错级数，但用莱布尼茨判别法判断，不满足单减，故发散防抓取，学路网提供内容。求导得(1+x²)/(1-x²)² = ∑{0 ≤ n} (2n+1)?x^(2n).无穷级数求大神答：解：分享一种解法，借助级数求和解决。设x=1/a，则0防抓取，学路网提供内容。代入x = 1/√3仍得3.根号二怎么用无穷级数求和的形式表示答：利用√(1+x)的展开式可以计算。（1+x）^n=1+nx+（n(n-1)/2!）x²+（n(n-1)(n-2)/3!）x³+……代入n=1/防抓取，学路网提供内容。(2) 1/(1+x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n?x^n,故1/(1+x²) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n?x^(2n).无穷级数求极限问：无穷级数求极限x的范围是所有实数答：没有看到所谓的级数，只看到了一般的极限！当x=0时，原极限=0当x≠0时，∵n］(n/2)^(n/2)(证明略)因此：0&|x|^n/n!≤防抓取，学路网提供内容。积分得arctan(x) = ∑{0 ≤ n} (-1)^n?x^(2n+1)/(2n+1) (取x = 0可知积分常数为0).高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数问：高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数划线的怎么出来的？求解释答：这是几何级数。根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。而几何级数的求和公式是根据等比数防抓取，学路网提供内容。于是arctan(x)/x = ∑{0 ≤ n} (-1)^n?x^(2n)/(2n+1).无穷级数：∑（1/n，）从1到无穷的和怎么求答：级数都是n从1到无穷，∑Xn的和函数怎么求要根据通项Xn的具体形式。没有统一的求法。防抓取，学路网提供内容。代入x = 1/√3得∑{0 ≤ n} (-1)^n/((2n+1)?3^n) = √3?arctan(1/√3) = √3?π/6.无穷级数，求和函数答：这个是利用逐项求导后求级数和，再求积分。把原来的级数每一项都求导，就变成了Σx^(4n)了，对这个级数求和，这个级数很好求和，因为对于有限项，就是等比数列求和了:Σx^(4n)=防抓取，学路网提供内容。这个无穷级数怎么求和?2²+1/3²+…+1/n²→π²/6这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围---------------------------将sinx按泰勒级数展开:s...无穷级数求和问题用傅里叶级数展开x^4来做。答案π^4/90详见参考资料。一道无穷级数求和问题定积分在形式上从0到自身的取值刚好满足条件.对于例2,其实跟例1是一个道理,它的变量应该视作(x+1),那么x的取值也显然是从-1开始了.呵呵,如果还要对为什么是不定积分...无穷级数求和1/(2n-1)^2其中n从1到正无穷,求它们的和,已知...已知∑{1≤k}1/k²=π²/6.故∑{1≤k}1/(2k)²=1/4?∑{1≤k}1/k²=π²/24.而由∑{1≤n}1/n²=∑{1≤k}1/(2k-1)²+∑{1≤...
相关信息：
- Copyright & 2017 www.xue63.com All Rights Reserved这里只是个音乐up，理科类视频均为黑历史.网易云电台：东方风，持续更新，分为周更和月更，有特殊情况会在前一期的曲子中备注.投稿：14粉丝：107分享--dynmicweibozoneqqbaidu将视频贴到博客或论坛视频地址复制嵌入代码复制微信扫一扫分享收藏0硬币--稍后看马克一下~用手机看转移阵地~用或其他应用扫描二维码手机下视频请使用扫码若未安装客户端，可直接扫此码下载应用看过该视频的还喜欢正在加载...miniOFF级数求和∑1/n(n+1) （高数问题）
问题描述：
级数求和∑1/n(n+1) （高数问题）n取2到无穷 菜鸟求解题思路,有解题过程更好了
问题解答：
我来回答：
剩余:2000字
如图 再问： 有点明白了。那我想问下这道题目，∑（n=1）(x^n)/2^n*n怎么变形呢 再答：
n=0(-1)^n2^n/0!=1所以n从1开始变成从0开始,要加上-1
原级数=Σn(n+1)x^n所以你是对的,书上错了.但观察后续,他是对的,估计只是印错了一个地方（n+2该n+1即可） ?号处注意到,n如果从-1开始那么其和恰等于1/(1-x)故原式子=1/(1-x)减去n=-1的项（1）减去n=0的项（x）,即1/(1-x)-1-x 再问： 按你这么说答案好像是对的，是一种做法了？
结果为2e 再问： 过程，大神！ 再答：
考虑级数∑x^n/(n^2-1)在x=1/2时的取值设级数和函数为s(x),利用幂级数的求导和积分性质计算,对xs(x)求导得：∑x^n/(n-1)记为t(x),在对t(x)/x求导即可求和,然后用积分反求s(x)
如下图... 再问： 没有那个x^n 再答： 是啊，但是要有x^n的幂级数的和函数来求你要的级数。 就是S(x),当x=1 时 x^n=1,就得到你要的级数了。
令s(x)=Σ(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)两边求导,得s'(x)=Σ(-1)^n x^(2n)=-x²/(1+x²)两边积分,得∫(0,x)s'(x)dx=∫(0,x)-x²/(1+x²)dxs(x)-s(0)=-∫(0,x)(x²+1-1)/(1+x&
x^(4n)=e^ln[x^(4n)]=e^(4nlnx)=e^[4lnx/(1/n)]当x=0 n=0时,运用洛必达法则=e^[(4/x)/(-1/n^2)]=e^[-4(n^2)/x]=e^(-4n)=e^0=1 再问： ???n=0???S??0????????x=0??????????????n?????0??
可以如图借用指数函数的展开式求出和函数.
当n=0时,默认取的是级数中的常数项,这算是个不成文的规定吧.幂级数的定义域中是包含x=0的.其实幂级数是：1+x^2/2!+x^4/4!+...+x^(2n)/(2n)!+...这个定义域中当然是有x=0的.我们把它写成Σ(n from 0 to ∞)[x^(2n)] / [(2n)!]是一种简单写,但是如果为了0这
这不就是e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...中令x=3即可.考虑f(x)=1+x+x^2/2!+...,收敛半径R=正无穷.于是f'(x)=1+x+x^2/2!+...=f(x),[e^(-x)*f(x)]'=e^(-x)*(f'(x)-f(x))=0,故e^(-x)*f(x)恒等于e^(-0)*
高阶趋于零 x有取值范围的 绝对值小于1 再问： 再问： 因为有那个ξ在，不知道怎么讨论咯再问： 谢谢您啦，帮我再看看再问： 收敛域感觉都不好算啊 再答： let me see see 这个是要算收敛域咩？再问： 应该要算的吧，汗，级数有点复杂呀再问： 收敛域我是按照麦克老林级数反推的，但是感觉即使这样也很难讨论余项是
这是个无穷级数求和的问题：过程很复杂,是08年研究生入学考试数学三的真题先建立一个和函数,然后再利用无穷级数求和算的
cosnx = [e^(-nix) + e^(nix)]/2sinnx = [e^(nix) - e^(-nix)]/2i含有n的三角函数项都能写成含n和-n的复数项那么前者n从0到正无穷写成后者n也是0到正无穷,-n是负无穷到0,合起来就是负无穷到正无穷
就是极限为正时 数列接近极限的部分与它符号相同
极限为正时 数列接近极限的部分与它符号相同
保号性的意义：将某点的性质扩充到该点附近的区间上,使得函数的研究在一定程度上变得方便保号性的作用：是很多极限证明题的重要工具,很多性质,定理都会用到保号性总的来说,保号性是极限的一个十分重要的性质,带点功利性来说,这可以说是高数证明题的一个考点（尽管很多情况下是间接考到）有不懂欢迎追问
设函数为 f(x),若其在x0处有极限,且有f(x0)>0, 那么根据定义,对任意的ε>0,存在δ>0, 满足 |f(x)-f(x0)|
也许感兴趣的知识高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数_百度知道
高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数
高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数划线的怎么出来的？求解释...
高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数划线的怎么出来的？求解释
答题抽奖
首次认真答题后
即可获得3次抽奖机会，100%中奖。
fly玛尼玛尼
fly玛尼玛尼
采纳数：323
获赞数：830
擅长：暂未定制
这是几何级数。根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。而几何级数的求和公式是根据等比数列的求和公式得到的：
最后一张图片是什么意思
为什么要取极限
喔，我知道了，谢咯
是不是几何级数t的n次方必须要从n＝0开始记，做题求和函数时，只要不是n从0开始，就需要化成从零开始的形式，再套他的和函数公式进行计算，是这样吗
幂级数是都要n从0开始吗?很懵啊😞
还是说是从使幂级数有意义的最小n开始，
为你推荐：
其他类似问题
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。当前位置： >>
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成 和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元 263 年创立了“割圆术” ，其要旨是 用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级 数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来 自于 14 世纪印度的马哈瓦， 他首先发展了幂级数的概念， 对泰勒级数、 麦克劳林级数、 无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。 到了 19 世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面 发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董v诚、坎各 达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进 行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广 泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。 它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数， 在幂级数理论中， 对给定幂级数分析其收敛性， 求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一 问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数 求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多 样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高 的有趣的数学问题。一、幂级数的基本概念（一） 、幂级数的定义[1]1、设 u n ( x )( n ? 1, 2, 3 ? ) 是定义在数集 E 上的一个函数列，则称u1 ( x ) ? u2(x) ? ? ? un (x) ? ? , x ? E?为定义在 E 上的函数项级数，简记为 ? u n ( x )n ?1。2、具有下列形式的函数项级数? a n ( x ? x 0 ) ? a 0 ? a1 ( x ? x 0 ) ? a 2 ( x ? x 0 ) ? ? ? a n ( x ? x 0 ) ? ?n 2 n ?n?01称为在点 x 0 处的幂级数。n 特别地，在 ? a n ( x ? x 0 ) 中，令 x ? x 0 ? x ，即上述形式化为 n?0 ?n?0? a n x ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ? ?n 2 n?称为在 0 点的幂级数。 （二） 、幂级数的和函数[2]2 3 若对幂级数中的每一个 x 都有 a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? s ( x ) ， 则称 s ( x ) 为幂级数的和函数。 幂级数的部分和记为s n ( x ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a n x2 3 n且部分和 s n ( x ) 有如下性质lim s n ( x ) ? s ( x )n? ?二、幂级数求和函数的几种方法以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幂级数该如何进行求和，并且帮助大 家掌握解题技巧。 （一） 、定义法[3]n 对于幂级数 ? a n x ，若前 n 项和函数列 { s n ( x )} 有极限，即 n?0?n? ?lim s n ( x )存在，则n 此幂级数收敛，且 ? a n x ? lim s n ( x ) n?0 n? ??。n 例 1：求幂级数 ? a x 的和函数，其中 a ? 0 ， n?0?x ?1。解：当x ?1时s ( x ) ? lim s n ( x ) ? lim ( a ? a x ? ? ? a x ) ? limn n? ? n? ?a ? ax 1? xnn? ??a 1? x（二） 、分项组合法 我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征， 比如可以将已知级数的通2项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。 例 2：求 s ( x ) ? n?0 ??n3( n ? 1) !xn的和函数。解:易知该级数的收敛域为 ( ? ? , ? ? ) 当 x ? 0 时， s ( x ) ? 0 当x ? 0时s(x) ? x 2? x 2? e?x 2? ?n?2?( n ? 1) n ( n ? 1) ? n ? 1 ? 1 ( n ? 1) !?n?2 ?xn? x2xn?2(n ? 2)!1 x )? 1 x? ?n?2?xn?1 xn!?n?2?xn ?1( n ? 1) !(x ? 1 ?? x? 20x?0所以 s ( x ) ?e ?x (x2?1?1 x) ?1 x? x ? 2x?0（三） 、逐项求导与逐项积分法 若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再 求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考 虑用“先求导，再积分”的做法。 定理 1、'[4]n ：设幂级数 ? a n x 在 ( ? R , R ) 内的和函数为 s ( x ) ，则 n?0?s ( x ) 在 ( ? R , R ) 内每一点都是可导的，且有逐项求导公式：? n ' ? n ' ? n ?1s ( x) ? ( ? an x ) ? ? (an x ) ? ? nan xn?0 n?0 n ?1求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 R 。 2、 s ( x ) 在 ( ? R , R ) 内可以积分，且有逐项积分公式：?0 s ( t ) d t ? ?0 ( ? a n t ) d t ? ? a n ?0 t d t ? ?n n n?0 n?0 x x ? ? x ?an n ?1xn ?1n?03其中 x 是 ( ? R , R ) 内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 R 。 在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项 积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的 和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。n 例3：求幂级数 ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) x 的和函数 s ( x ) 。 n ?1 ?解：易知该级数的收敛域为 ( ? 1, ? 1) ，在任意区间上可以逐项积分s ( x ) ? x ? n (n ? 1)( n ? 2 ) xn ?1 ? n ?1令s1 ( x ) ? ? n (n ? 1)( n ? 2 ) xn ?1?n ?1s 2 ( x ) ? ? 0 s1 ( t ) d t ? ? (n ? 1)( n ? 2 ) xn ?1?x?ns 3 ( x ) ? ?0 s 2 ( t ) d t ? ? ( n ? 2 ) xn ?1xn ?1s 4 ( x ) ? ?0 s 3 ( t ) d t ? ? xn ?1x?n?2?x31? x2 3所以s3 ( x ) ? s 4 ( x ) ? ('x31? x) ?'3x ? 2x (1 ? x )32s2 ( x ) ? s ( x ) ?' 36x ? 6x ? 2x2(1 ? x )3s1 ( x ) ? s 2 ( x ) ?'6 (1 ? x )4从而可得所求和函数s ( x ) ? xs 1 ( x )? 6x (1 ? x )4( ? 1 ? x ? 1)例 4：求幂级数 ?1 n ( 2 n ? 1) 的和函数 s ( x ) 。 n?4?( ? 1) xn2n解：易知收敛区间为 [ ? 1,1] 当 x ? 0 时， s ( x ) ? 0 当x ? 0时设y(x) ?x 2s(x) ? ?n ?1?( ? 1) xn2 n ?12 n ( 2 n ? 1)y (x) ? ?' n ?1?( ? 1 )xn2n2n?x 1? x2? '' n 2 n ?1 y ( x ) ? ? ( ? 1) x ? n ?1得出x ' y ( x )? ? 0?t 1? t2dt ? ?1 2l n?( x12)y ( x )? ? 0x?1 2l n (?1t2d )t? x ?1 2xl n ( 1? x2)?a r cx a n ts ( x )?2?l n?1 ( x22 a r c tx a n ? ) xx ? 00综上所述s(x) ?2 arctan x x2 ? ln (1 ? x ) ?2x ? 0（四） 、代数方程法 此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原 幂级数的和函数。 例 5：设有等差数列 ： a , a ? b , a ? 2 b , a ? 3 b , ? , a ? ( n ? 1) b , ? 等比数列 ： c , cx , cx , cx , ? , cx2 3 n ?1,?则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积5所构成的级数为ac ? ( a ? b ) cx ? ( a ? 2 b ) cx ? ( a ? 3b ) cx , ? , [ a ? ( n ? 1) b ]cx2 3 n ?1,?求其和函数 s ( x ) ,其中 a , b , c 为常数。 解：易知此级数的收敛域为 ( ? 1, ? 1)xs ( x ) ? ? { [ a ? ( n ? 1) b ]cx n }n ?1 ?(1 ? x ) s ( x ) ? ac ? bcx ? bcx 2 ? bcx 3 ? ? ?? ac ? b cx 1? x所以s( x) ?ac b cx ? 1 ? x (1 ? x ) 2例 6：求幂级数 ? Hn?0?m( n )xn的和函数，其中nH m (n)?为 n 的 mn ?1次多项式。解：记 则sm ( x ) ? ? H m ( n )xn?0?xs m ( x ) ? ? H m ( n ) xn?0n ?1(1 ? x ) s m ( x ) ? H m (0 ) ? ? [ H m ( n ? 1) ? H m ( n )] xn?0?? H m ( 0 ? x ? H m ?1 n ( x ) )n n?0?①其中 H m ?1 ( n ) 为 n 的 m?1次多项式再使用一次以上的运算方法可得x (1 ? x ) s m ( x ) ? xH m (0) ? x ? H m ?1 ( n ) xn?0 ? n ?1②① - ② 得(1 ? x ) s m ( x ) ? H m (0 )(1 ? x ) ? x [ ? H m ?1 ( n ) x ? ? H m ?1 ( n ) x2 n n?0 n?0???n ?1]n ?1? H m (0 )(1 ? x ) ? x{ H m ?1 (0 ) ? ? [ H m ?1 ( n ? 1) ? H m ?1 ( n )] xn?0}? H m (0 )(1 ? x ) ? x [ H m ?1 (0 ) ? x ? H m ? 2 ( n ) x ]n n?0?其中 H m ? 2 ( n ) 为 n 的 m? 2次多项式反复使用以上的方法可以得到(1 ? x ) s m ( x ) ? (1 ? x )m m ?1H m (0) ? (1 ? x )m ?2xH m ?1 (0) ? (1 ? x )m ?3xH m ? 2 (0)6? ? ? ? ? (1 ? x ) xm?2H 2 (0 ) ? xm ?1[ H 1 (0 ) ? ? x ]n n ?1?这样就可以求得 s m ( x ) 。（五） 、微分方程法 在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行 高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介 绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把 幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及 和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。 例 7：求幂级数?n?0 ?f (n) n!xn在下列情况下的和函数 s ( x ) ：① f ( n ) ? ( n ? 1) d ，即公差为 d 的等差数列，其中 d 为常数；n ② f ( n ) ? q ，即公比为 q 的等比数列，其中 q 为常数。解：①易知该级数的收敛域为 ( ? ? , ? ? )s(x) ? ?n?0??( n ? 1) d n!( n ? 1) d ( n ? 1) !xn则s ( x) ? ?' n ?1xn ?1s ( x) ? s( x) ? d ? dx ?'d 2!x2?d 3!x3? ??? dex这 是 一 个满 足 初始 条件 s (0) ? d 的 一 阶常 系 数的 线性 微 分 方程 ， 解此 微分 方 程得s ( x ) ? d e (1 ? x )x②易知该级数的收敛域为 ( ? ? , ? ? )s(x) ? ?n?0 ?qnxnn!7s (x) ? ?n ?1''?qn( n ? 1) !xn ?1s ( x ) ? s ( x ) ? ( q ? 1) ? ( q ? 1) qx ? ( q ? 1) q x ? ?2 2? ( q ? 1) eqx这 是 一 个 满 足 初 始 条 件 s (0) ? 1 的 一 阶 常 系 数 的 线 性 微 分 方 程 ， 解 此 微 分 方 程 得s(x) ? eqx（六） 、柯西方法[5] 如果级数n?0? an?与n?0? bn??都绝对收敛，作这两个级数的乘积? ?n?0? cn??，其中c n ? a0 bn ? a b? 1 ?? ? an b，则 ? c n 也绝对收敛，且必有 ? c n ? ? a n ? ? b n 。 1 n 0n?0 n?0 n?0 n?0例 8:求幂级数的和函数 s ( x ) ? ? ? (1 ?n ?1?1 2?1 3?? ?1 n) x , x ? 1。nn 解：令 a n ? x , n ? 0 ,1, 2 , ? , x ? 1则 ? an ? ? x ?n n?0 n?0??1 1? x( x ? 1) 为绝对收敛级数再令 ?n?0?bn为 ln (1 ? x ) 的泰勒级数：x2ln (1 ? x ) ? ? (0 ? x ??x3?? ?xn? ? ), x ? 123n此级数在 ( ? 1, ? 1) 内是绝对收敛的。c n ? ? (1 ? xn从而? x?xn ?1n1 2 ? 1 3n ?11 n?? ? xn ?1? x ? xn? o)? ? (1 ??? ?)xn所以 s ( x ) ? ? c n ? ? a n ? ? b n ?n?0 n?0 n?0???ln (1 ? x ) 1? x8（七） 、差分算子求和法 此方法适用于通项系数是以 n 为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若f (x)为任意实函数， ? 为差分算子，则定义函数f (x)的一阶差分为? f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x )n 阶差分为[6]? f ( x) ? ? (?nn ?1f ( x )), n ? 2, 3, ??定理：设 p ( x ) 为 m 次多项式，则当 x ? 1 时 ? p ( n ) xn?0mn收敛，而且其和函数s ( x ) ? ? ? p (0 )k k ?0xk k ?1(1 ? x )定理证明：当x ? 1 时，幂级数? p ( n )xn?0?n收敛，现在定义单位算子 I 及位移算子 E 分别为 If ( x ) ? f ( x ) 则 由于E f ( x ) ? f ( x ? 1)? f ( x ) ? E f ( x ) ? If ( x )n n即E ? ?? Ip ( n ) ? E p (0) ? ( ? ? I ) p (0)n? ?k ?0n ( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) k!n ( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) k!?? p (0 )k? ?k ?0m? p (0 )k所以s( x) ? ? p(n) x ? ?n n?0 n?0??k ?0mn ( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) k!? p (0 ) xkn? ? ?m?n ( n ? 1) ? ( n ? k ? 1) k!? p (0 ) xknk ?0 n?0? ?k ?0m? p (0 )kx [1 ? 2 ? k ? 2 ? 3 ? ( k ? 1) ? ? ]kk!? p (0 )k k? ?k ?0mxdk k(1 ? x ? x ? ? )2k!? p (0 )k kdxdk k? ?k ?0mx(1 1? x)k!dx9? ?k ?0m? p (0 )kxkk! (1 ? x )xk k ?1k!kk ?1? ? ? p (0 )k ?0m(1 ? x )例 9：求幂级数 ???n ? n ?12xnn ?1n的和函数 s ( x )解：令 s1 ( x ) ? ? ( n ? n ? 1) x2 n ?1n' 则 s1 ( x ) ? xs ( x )p (n) ? n ? n ? 12故?p (n) ? 2n ? 2? p (n) ? 22所以由定理得s1 ( x ) ? p (0 ) 1? x ? x ? p (0 ) (1 ? x )2?x ? p (0 )2 2(1 ? x )3?1 1? x1?2x (1 ? x )2x (1 ? x )22?2x2 3(1 ? x )2x2 3, ( x ? 1)s (x) ?'1x 1? x[??(1 ? x )]则s ( x ) ? lnx 1? x?2 1? x?1 (1 ? x )2, ( x ? 1)三、幂级数求和函数各种方法特点分析与评价以上介绍了七种求幂级数和函数的方法，这也只是若干种求幂级数和函数方法中一 部分，其他更多的方法还有待探索发现，在此不再进一步探究。下面就以上七种方法再 做一点讨论： （一）定义法的特点：此方法是根据求幂级数部分和函数列的极限得出的，所以它 自然适用于一切形式的幂级数求和。但是问题在于，对于一些通项比较复杂的幂级数， 幂级数部分和数列的极限很难求出， 则此方法就会失效。 例如幂级数 n?0 ??( ? 1) nn3( n ? 1) !xn的10部分和数列是否收敛就难以判断，假如要用定义法进行求和，那么就会相当困难而得不 出结果。 （二）分项组合法特点：要运用这一方法我们首先要对所求幂级数的各项进行细心 的观察。当逐项观察时发现不了什么规律，这时可以隔一项甚至两项、三项再次观察， 也可以把通项稍作变形再观察。如果发现了一题中存在不止一种规律，那么就把符合同 一种规律的各项组合在一起进行分别计算，最终再联列得出所求级数的和函数。这种方 法在对通项进行拆项上技巧性很强，一般可以利用已知和函数的幂级数来进行。 （三）逐项求导与逐项积分法，这一方法使用起来比较简单。遇到一个级数，第一 步将其通项单独拿出来分析。如果开始比较复杂无从下手，可以试着进行逐次求导、逐 次积分、先求导再积分、先积分再求导，经过几次运算以后可以变成比较简单、容易求 和的级数的话，那么先求出新级数的和，接着再做与之前所做的相反的运算就可以得出 原来的级数的和函数。这种方法运用时要熟记常见函数的麦克劳林展开式，此时的展开 式就是常见幂级数的和函数公式，这种求幂级数和函数的方法还可以用来求一些简单的 数项级数的和。 （四）代数方程法，看到所求幂级数时，要仔细观察相邻两项之间是否存在有明显 的关系，比如：前后两项之间只相差一个倍数，前一项乘以自变量、自变量的倍数或自 变量的幂得到后一项。一旦发现这些规律时我们就可以果断的运用代数方程法求此幂级 数的和函数，这样可以节约大量计算时间、带来很大的方便、提高效率。同样对于微分 方程法，所求幂级数的一般项中通常含有阶乘因子，使用之前先对原来的和函数做一定 的变形，求其一阶导数、必要时还要求其二阶导数、三阶导数，将所得结果与原来和函 数联列。 如果容易得到一个微分方程， 那么就可以转化为求解此微分方程的初值问题解： 容易求出初值解，则此解为要求的幂级数的和函数；若不易求初值解，此法就不再适用。 （五）柯西方法、差分算子求和法，这两种方法的适用条件比较明显。只要所求级 数的通项可以表示为另外两个级数前 n 项相应乘积之和， 且这两个级数的和函数容易求 得，那么就可以使用柯西方法将已求得的两个和函数相乘而得到所求幂级数的和函数。 如果遇到通项系数是以 n 为自变量的有限次多项式的幂级数， 那么就可以尝试使用差分 算子求和法对其进行求解。 上面是对七种求和函数的方法分别介绍的，但不是说对于任何一题只要使用其中的 一种方法就可以得出结果，有时候会碰到稍微复杂的题目，这时可能使用以上任何一种11方法都不能得出结果， 而是要综合使用其中的两种、 三种甚至四种方法才可以顺利解答。例10：求幂级数和函数s(x) ? x ? 2 x ?2x3? x ? 5x ?4 5x6? x ? ( n ? 1) xnn ?1?xn?23!n ? 1, 4 , 7 ,1 0 ? ? , x ? 16!( n ? 2) !??其中解：令 s ( x ) ? s1 ( x ) ? s 2 ( x ) ? s 3 ( x ) 其中s1 ( x ) ? x ? x ? ? ? x ? ? , n ? 1, 4, 7, ?4 n?x 1? x23s 2 ( x ) ? 2 x ? 5 x ? ? ? nx ? ? , n ? 2, 5, 8, ?5 nx s 2 ( x ) ? 2 x ? 5 x ? ? ? nx3 5 8n?3? ? , n ? 2, 5, 8, ?n(1 ? x ) s 2 ( x ) ? ? x ? 3 x ? 3 x ? ? ? 3 x ? ? , n ? 2, 5, 8, ?3 2 2 5?3x2 31 ? x? x2所以s2 ( x ) ?3x2 3 2(1 ? x )?x2 31? xs3 ( x ) ?x3?x6?? ?xn? ? , n ? 3, 6, 9, ?3!6!n!s 3 (x) ?'x2?x5?? ?xn ?12! x45! ?? ?( n ? 1) ! xn?2? ? , n ? 3, 6, 9, ?s 3 (x) ? x ?''4!'(n ? 2)!''? ? , n ? 3, 6, 9, ?以上三式相加得s3 ( x ) ? s 3 ( x ) ? s 3 ( x ) ? ??xn? e ?1xn ?1n!' 这是一个满足初始条件 s 3 (0) ? 0, s 3 (0) ? 0 的二阶常系数的线性微分方程， 解此微分方程得12s3 ( x ) ?2 3?x 2eco s23 2x?x 21 3e ?1x从而s(x) ?x 1? x3?x2 31? x?3x?32 3?ecos3 2x?1 3e ?1x(1 ? x )2例11：求 ??n ?12xnn ?1n的和函数 s ( x ) 。解：易知该幂级数的收敛域为 ( ? 1,1)s( x) ? ? nx ? ?n n ?1 n ?1 ? ?1 nxn令s1 ( x ) ? ? n xn ?1??n ?1? 0 s1 ( x ) d x ? ? 0 ? n xn ?1xxn ?1dx ? ? x ?n n ?1?x 1? x则s1 ( x ) ? (? 1 x ， n ) = , ? nx = 2 2 1 ? x （ 1 - x ) n ?1 （ 1-x)x令s2 ( x ) ? ??1 nxnn ?1s 2 (x) ? ? xn ?1，?n ?1?1 1? xs2 ( x ) ??x 01 1? xd x ? ? ln (1 ? x )所以s( x) ? ? nx ? ?n n ?1 n ?1??1 nxn?x (1 ? x )2? ln (1 ? x )(? 1 ? x?1)这两题分别综合用到了以上七种方法中的三个，这样才得以成功解答。从中我们可 以得到启示，做题时自己的想法不能太单一、闭塞，所谓条条大路通罗马，要敢于尝试，13相信肯定会有一种相对比较适合的方法的。参考文献：[1] 李铮、周放.高等数学 [ M] .科学出版社，] 腾桂兰、杨万禄.高等数学 [ M] .天津大学出版社， [3] 王金金、李广民、于力.高等数学学习辅导（第二版）[ M] .西安电子科技大学出版社，2002. [4] 陆少华.微积分（第二版）[ M] .上海交通大学出版社，2002. [5] 卢丁著，赵慈庚等译.数学分析原理 [ M] .机械工业出版社，] 黎力军. 幂级数的算子求和法[ J] . 邵阳高专学报, 1994, 7（ 4 ） :311-313. [7] 欧阳光中、姚允龙、周渊．数学分析[ M] .上海：复旦大学出版社，2003. [8] 华东师范大学数学系. 数学分析( 第三版) [ M] . 北京: 高等教育出版社, 2002. [9] 同济大学应用数学系. 高等数学( 第四版) [ M] . 北京: 高等教育出版社, 2004. [10] 菲赫金哥尔茨．微积分学教程[ M] .北京：高等教育出版杜，1054. [11] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[ M] .北京：高等教育出版杜，1993.14
更多搜索：
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}