您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
信号与系统复习题及答案.doc 30页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
你可能关注的文档：
··········
··········
系统的激励是，响应为，若满足，则该系统为 线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？）
求积分的值为 5 。
当信号是脉冲信号时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。
若信号的最高频率是2kHz，则的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。
信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为 一常
数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。
系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。
若信号的，求该信号的。
为使LTI连续系统是稳定的，其系统函数的极点必须在S平面的 左半平面 。
已知信号的频谱函数是，则其时间信号为。
若信号的，则其初始值 1 。
二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（每小题2分，共10分）
1.单位冲激函数总是满足 （ √ ）
2.满足绝对可积条件的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。 （ × ）
3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。
4.连续LTI系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。
5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。
三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分，
6题15分，共60分）
1.信号，信号，试求。（10分）
解法一：当时， 0
2.已知，，求。（5分）
，收敛域为
由，可以得到
3.若连续信号的波形和频谱如下图所示，抽样脉冲为冲激抽样。
（1）求抽样脉冲的频谱；（3分）
（2）求连续信号经过冲激抽样后的频谱；（5分）
（3）画出的示意图，说明若从无失真还原，冲激抽样的应该满足什么条件？（2分）
解：（1），所以抽样脉冲的频谱 。
（2）因为，由频域抽样定理得到：
（3）的示意图如下
的频谱是的频谱以为周期重复，重复过程中被所加权，若从无失真还原，冲激抽样的应该满足若。
4.已知三角脉冲信号的波形如图所示
（1）求其傅立叶变换；（5分）
（2）试用有关性质求信号的傅立叶变换。（5分）
解：（1）对三角脉冲信号求导可得：
，可以得到。
5.电路如图所示，若激励信号，求响应并指出响应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。（10分）
解：由S域模型可以得到系统函数为
由，可以得到
，在此信号激励下，系统的输出为
则 强迫响应分量：
自由响应分量：
瞬态响应分量：
稳态响应分量：0
6.若离散系统的差分方程为
（1）求系统函数和单位样值响应；（4分）
（2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；（4分）
（3）画出系统的零、极点分布图；（3分）
（4）定性地画出幅频响应特性曲线；（4分）
解：（1）利用Z变换的性质可得系统函数为： ，则单位样值响应为
（2）因果系统z变换存在的收敛域是，由于的两个极点都在z平面的单位圆内，所以该系统是稳定的。
（3）系统的零极点分布图
（4）系统的频率响应为
四、简答题（1、2二题中任选一题解答，两题都做只计第1题的分数，共10分）
利用已经具备的知识，简述如何由周期信号的傅立叶级数出发，推导出非周期信号的傅立叶变换。（10分）
利用已经具备的知识，简述LTI连续时间系统卷积积分的物理意义。（10分）
1.解：从周期信号FS推导非周期信号的FT
对于非周期信号,T1→∞,则重复频率,谱线间隔，离散频率变成连续频率。
在这种极限情况下，但可望不趋于零，而趋于一个有限值，且变成一个连续函数。
考察函数,并定义一个新的函数F 傅立叶变换：
称为原函数f t 的频谱密度函数 简称频谱函数 .
傅立叶逆变换 2.解：线性系统在单位冲激信号的作用下，系统的零状态的响应为单位冲激响应：
利用线性系统的时不变特性：
利用线性系统的均匀性：
利用信号的分解，任意信号可以分解成冲激信号的线性组合：
利用线性系统的叠加定理：
1. 。 2. 。
已知 f t 的傅里叶变换为F jω , 则f 2t-3 的傅里叶变换为 。
已知 ，则 ; 。
已知 ，则 。
已知周期信号，其基波频率为 rad/s；
周期为 s。
已知，其Z变换 ；收敛域为 。
已知连续系统函数，试判断系统的稳定性： 。
9．已知离散系统函数，试判断系统的稳定性： 。
10．如图所示是离散系统的Z域框图，该系统的系统函数H z 。
二． 15分 如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI系统，
已知输入时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应
和零输入响应，以及系统的全响应。
三．（14分）
已知,,试求其拉氏逆变换f t ；
已知，试求其逆Z变换。
四 （10分）计
正在加载中，请稍后...信号与系统(部分)习题答案_图文_百度文库
您的浏览器Javascript被禁用，需开启后体验完整功能，
享专业文档下载特权
&赠共享文档下载特权
&10W篇文档免费专享
&每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
信号与系统(部分)习题答案
&&吴大正第4版：适合iPad查看
阅读已结束，下载本文需要
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
加入VIP
还剩195页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
第四章 数字滤波器的原理和设计方法
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
第四章 数字滤波器的原理和设计方法
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口第 9 章 Z 变换与离散时间系统的 Z 域分析z 变换是对离散序列进行的一种数学变换，其原始思想是英国数学家狄莫弗（De Moivre）于 1730 年首先提出的，之后，从 19 世纪的拉普拉斯（P.S.Laplace）至 20 世纪的 沙尔（H.L.Shal）等数学家不断对其进行了完善性研究。z 变换在工程上的应用直到 20 世纪 50 年代与 60 年代随着采样数据控制系统、 数字通信以及数字计算机的研究与实践迅速开展 才得以实现，并成为分析这些离散系统的重要数学工具。 类似与连续系统分析中拉氏变换可以将线性时不变系统的时域数学模型―微分方程转 化为 s 域的代数方程，z 变换则把线性移 (时)不变离散系统的时域数学模型―差分方程转换 为 z 域的代数方程， 使离散系统的分析同样得以简化， 还可以利用系统函数来分析系统的时 域特性、频率响应以及稳定性等，因而在数字信号处理、计算机控制系统等领域中有着非常 广泛的应用。 本章主要讨论 z 变换的定义、收敛域、性质等基础知识，并在此基础上研究离散时间系 统的 z 域分析、离散时间系统的频域分析等方面的内容。9.1 Z 变换的定义z 变换的定义可以从两个方面引出，一是由采样信号的拉氏变换过渡到 z 变换，二是直接针对离散信号得出。 为了强调拉氏变换与 z 变换之间的联系，首先从抽样信号的拉氏变 换推演出 z 变换。 9.1.1 从抽样信号的拉氏变换导出 z 变换 定义在区间 ?? ? t ? ?上的任意有界连续信号 x(t ) x (t ) ? ? 经过单位冲激周期信号???T ? t ? ?n ???? ? ?t ? nT ??抽样后所得到的抽样信号 xs (t ) 可以表示为xs (t ) ? x ? t ? ?T ? t ? ? x ? t ? ? ? ? t ? nT ? ? x ? nT ? ? ? ? t ? nT ?n ??? n ?????（9.1）式（9.1）中， T 为抽样间隔，对式（9.1）取双边拉氏变换可得? ? ? ? ? X s (s) ? ? xs ? t ? e? st dt ? ? ? ? x ? nT ? ? ? t ? nT ?? e? st dt ?? ?? ? n??? ?交换积分与求和次序，并利用冲激函数的性质可得X s ( s) ?式（9.2）中 e? snTn ?????x ? nT ? ? ? ? t ? nT ?e? st dt ????n ???? x ? nT ?e?? snT（9.2）并非复变量 s 的代数式，故引入一个新的复变量 z ，即令z ? e sT ? ? ? 1 s ? 1n z ? T ?这样，式（9.2）变为变量 z 的函数，有（9.3）X s ( s) s ? 1 ln z ?Tn ???? x ? nT ?z??n? X ?z?（9.4）于是得到一个以 z 为变量的代数式， 即序列 x ? nT ? 的 z 变换 X ? z ? ， 其本质上是序列 x ? nT ? 的拉氏变换。若令 T ? 1 ，即有 x ? n ? ? x ? t ? t ? nT ? x ? nT ? ，则由式（9.4）可得X ? z ? ? Z ? x ? n ?? ? ? ?n ???? x ? n ?z??nz ? Rx（9.5）式（9.5）中，符号 Z ? x ? n ? ? 表示对任意有界序列 x ? n ? x ? n ? ? ? 进行 z 变换，求和变量 ? ???n 从 ?? 到 ? 表明这种 z 变换是针对一切 n 值都有定义的一般序列 x ? n?? n ? 0, ?1, ?2,??而给出的，故称之为序列 x ? n ? 的双边 z 变换。 Rx 是使和存在的 z 的取值范围，称为 X ? z ? 的收敛域 ROC ? r e gion of convergence? 。 现在来讨论单边 Z 变换的定义。 单边 Z 变换也是对任意有界序列 x ? n?? ?? ? n ? ?? 定 义的，这时，可以假定 x(t ) 为一连续因果信号，将上面推导中单位冲激周期信号 ?T ?t ? 表示 式中的求和下限改为 0，对所得抽样信号 xs (t ) 进行单边拉氏变换，并在变换结果中令??z ? e sT ， T ? 1 便得到单边 z 变换的定义为X ? z ? ? Z ? x ? n ?? ? ? x ? n ?z ? n ? ?n ?0?z ? Rx（9.6）在上面的双边和单边 z 变换的推导过程中，我们曾将抽样周期 T 归一化为 1，亦即将抽 样频率 ? 归一化为 2? ，于是得到 x ? n ? ? x ? nT ? 。这表明，若将离散序列视为是对连续信 号进行抽样的结果，则可以认为抽样周期等于 1，抽样频率等于 2? 。认识这一点有助于理解离散序列的频率特性。此外，我们还设定 z ? e 或 s ? ?1 T ?1n z ，由此将离散序列与连sT续信号在变换域中联系了起来， 更明确地说就是在拉氏变换中的 s 平面与 z 变换中的 z 平面 之间建立了一种映射关系， 借此可以解释离散信号和系统与连续信号和系统之间许多彼此相 同的特性。9.1.2 z 变换的原始定义从抽样信号的拉氏变换推导出 z 变换， 不仅表明了这两种变换之间存在着众多的内在关 系， 而且贯通了连续系统与离散系统之间的有机联系， 从而可以借助离散系统对连续系统进 行近似的数值分析、计算和模拟。但是，实际上，从数学上也可以直接给出序列的双边 z 变换和单边 z 变换的定义，仍如式（9.5）和（9.6）所示。这时，认为它们是 z 变换的原始 或者说是基本定义。 这种定义方式完全无关于连续时间信号与系统， 使我们不会简单地认为z 变换就是拉氏变换的自然延伸，从而更能表现出 z 变换自身的独立性与应用上的广泛性。9.2 双边 z 变换与单边 z 变换的关系由式（9.5）和（9.6）可知，双边 z 变换与单边 z 变换的关系为X ? z ? ? Z ? x ? n ?? ? ? ?= X L ? z ? +X R ? z ?式（9.7）中， X L ? z ? ?n ???? x ? n ?z????n?n ??1? x ? n ?z???n+ ? x ? n ?z ? nn ?0?z ? Rx （9.7）n ??1? x ? n ?z?n， XR ? z? ?? x ? n ?zn ?0??n，可见，因果序列的单边 z 变换与双边 z 变换的结果相同，否则两者不相等。由于单边 z 变换的求和下限为 n ? 0 ，所以 任一有界序列 x ? n ? （因果或非因果序列） 的单边 z 变换等于因果序列 x ? n ? ? ? n ? 的双边 z 变 换。 由式（9.5）和（9.6）可知： （1）序列 x ? n ? 的 z 变换 X ? z ? 实质是以序列值为加权系数 的复变量 z 的幂级数，亦即复变函数中的罗朗级数。对于在区间 ? n1 , n2 ? ? n1 ? 0 ? n2 ? 存在 非零有限值的序列，其双边 z 变换即包含 z 的正幂级数项 ? n ? 0 ? ，又包含 z 的负幂级数项 （2）序列的每个样点值都有一个对应的 z 变 ? n ? 0? ，而其单边 z 变换仅为 z 的负幂级数； 换，整个序列的 z 变换是所有样点值的 z 变换之和。 z 变换在离散系统中的应用与拉氏变换在连续系统中的应用类似。由于单边 z 变换可以 考虑到初始条件， 所以用于在已知系统的初始状态以及序列的初始条件时求取系统的瞬态响应， 既可以求零输入响应， 也可以求零状态响应。 例如在求解因果系统差分方程的暂态解时， 则需要用到单边 z 变换。此外，由于实际信号多为因果序列，单边 z 变换比双边 z 变换容易 收敛，所以在实际中应用较广；双边 z 变换由于其中序列的取值范围为 ? ??, ??? ，无法考 虑初始条件， 所以用于研究离散系统的稳态响应， 例如在数字信号处理与数字滤波器的理论 与技术中。双边 z 变换的信号不必限制在 n ? 0 范围内，因而比单边 z 变换更能全面地讨论 问题，例如 z 变换的性质与收敛域等；此外，双边 z 变换便于与双边拉氏变换，特别是傅立 叶变换直接产生联系，因而较多地用于信号处理理论中。 在零状态下或是对于因果序列，单边 z 变换便是双边 z 变换的特例。9.3 Z 变换的收敛域对于任意给定的有界序列 x ? n ? ，使其 z 变换式所表示的级数收敛的所有 z 值之集合， 称为 z 变换 X ? z ? 的收敛域 ? ROC ? 。9.3.1 双边 Z 变换的收敛域与拉氏变换的情况类似， 对于单边 z 变换，序列与其变换结果及其收敛域均存在着唯一 对应关系，但是在双边 z 变换的情况下，不同的序列尽管其 z 变换的收敛域不同却可能对应 着完全相同的变换结果。为了清楚地说明这一点，下面举一个例子。 例 9.1 设有序列 x1 ? n? ? a 双边 z 变换。 解：由于序列 x1 ? n? 为一因果序列，所以其双边 z 变换等于单边 z 变换，有n（ ? ? n? 和 x2 ? n? ? ?an? ? ?n ?1? ， a 为实数或复数）试求它们的X1 ? z ? ?n ???? ?an? ? n ??z ?n ? ? ? az ?1 ? ? ?n ?0??n?1 ?1 这是一个公比为 az 的等比级数，所以若 az ? 1 即 z ? a ，级数收敛，根据等比级数求和公式可得X1 ? z ? ? ? ? az ?1 ? ?n n ?0?1 z ? , z ?a ?1 1 ? az z?a（9.8）和拉氏变换一样，当序列 x ? n ? 的 z 变换 X ? z ? 为一有理分式时，也可以用 z 平面上的零点 （分子多项式的根）和极点（分母多项式的根）来表述 X ? z ? 。式（9.8）中， X1 ? z ? 的零 点和极点分别为 z ? 0 和 z ? a ， 其收敛域是 z 平画上以原点为中心， a 为半径的圆的全部圆外区域。图 9.1（a）绘出了 X1 ? z ? 的零极点分布和收敛域，若 a ? 1 ，则收敛域包括了单 位圆（以原点为中心、半径为 z ? 1的圆） 。否则将不包括单位圆。 由于? ? ?n ? 1? ? ??1，n ? ?1 ?0, n ? 0所以序列 x2 ? n? 为一反因果序列，其双边 z 变换为X2 ? z? ?n ???? ??a ? ? ?n ?1?? z ? ?n??n??n ????a z?1n ?nn ?? n,= ? ? a ? n z n =1 ? ? ? a ?1 z ?, ,??n,n, ?1n, ?0?1 上式中第二项为一等比级数，只有当 a z ? 1 即 z ? a 时级数才收敛，这时有X 2 ? z ? ? 1?1 ?a ?1 z z ? ? ?1 ?1 1? a z 1? a z z ? az ?a（9.9）由式（9.9）可见， X 2 ? z ? 的零点和极点分别为 z ? 0 和 z ? a ，其收敛域是 z 平画上以原点 为中心， a 为半径的圆的全部圆内区域。图 9.1(b)绘出了 X 2 ? z ? 的零极点分布和收敛域。（a） 指数序列 an? ? n?（b）指数序列 ?an? ? ?n ?1?图 9.1 指数序列 z 变换的收敛域 对比式（9.8）和（9.9）可见，两个彼此不同的序列，其双边 z 变换 X ? z ? 的表示式却 是相同的，但它们的收敛域完全不同（当 a 相同时无公共区域） 。在更为复杂的双边 z 变换 中，同一个 z 变换式还可以对应多个时域序列，它们只能根据各自的收敛域来区分，因为如 果不同序列的双边 z 变换相同，则它们的收敛域必无公共部分。这表明双边 z 变换式与其收 敛域紧密关联。因此，为了确保双边 z 变换与时域序列之间存在着唯一对应关系，在给出X ? z ? 的同时必须指明其收敛域。由于双边 z 变换的收敛域如此重要，所以下面来讨论 z 变换收敛域的一般性质，它们 对于双边 z 变换和单边 z 变换都是适用的。 性质 1. z 变换 X ? z ? 的收敛域是 z 平面上以原点为中心的同心圆环。 这是由于 X ? z ? 是 z （ z 的极坐标形式 z ? re?1j?）的幂级数。以原点为中心的同心圆环说明 X ? z ? 的收敛域的一般表示式应为 Rx1 ? z ? Rx2 ，如图 9.2 所示。在某些情况下，内边 界 Rx1 可以小到零，此时收敛域呈一圆盘状；外边界 Rx2 则可以大到无穷大。例如序列?an? ? ?n ?1? 的 z 变换收敛域为 0 ? z ? a ，序列 an? ? n ? 的 z 变换收敛域为 a ? z ? ? 。只有当 x(n) 是单位样值函数 ? (n) 时，其收敛域才是整个 z 平面。图 9.2z 变换收敛域的一般形状性质 2. z 变换 X ? z ? 的收敛域内不能包含任何极点。 由复变函数理论可知， z 变换定义式（9.5）为一罗朗级数，在其收敛域内是解析的， 即 z 变换函数及其导数在其收敛域内都是 z 的连续函数， 亦即 z 变换函数是其收敛域内每一 点上的解析函数。 因此， 收敛域内不能包括极点 X ? z ? 在极点处， （ 其值为无穷大， 不收敛） ， 并且是以通过某些极点所在的圆周作为其边界， 但边界不在收敛域内。 这一点与拉氏变换的 收敛域以过极点、平行于 j? 轴的直线为边界相对应。 例 9.2 已知一 z 变换为 X ? z ? ?z2 ，试指出其所有可能的收敛域。 1? ? ? z ? ? ? z ? 4? 3? ?解： X ? z ? 的两个极点分别为 p1 ? 1 3 和 p2 ? 4 ，在 z ? 0 处有一个二阶零点，其零极点分 布如图 9.3(a)所示。根据上述收敛域的性质可知，该 z 变换式根据其极点的分布仅有三种可 能的收敛域，分别如图 9.3(b)、 、(d)所示。 0 ? z ? 4 不能构成收敛域，因为该域中包含 （c） 了极点 p1 ? 1 3 。图 9.3(b)所示的收敛域 z ? 4 是以最外边的极点 z ? 4 为边界的，它对应于 时域中的一个因果序列 （见 9.3.2 节） 图 9.3(c)所示的收敛域 z ? ，1 1 是以最里边的极点 z ? 3 3为边界的，它对应于时域中的一个反因果序列（见 9.3.2 节） ，图 9.3(d)所示的环形收敛域1 1 ? z ? 4 是分别以最里边的极点 z ? 和最外边的极点 z ? 4 为边界的， 它对应时域中的一 3 3个双边序列（见 9.3.2 节） 。在三种情况中，只有最后一种可能的收敛域包含了单位圆，因 此唯有它所对应序列的傅立叶变换收敛，亦即其傅立叶变换存在。（a）(b)（c）(d)图 9.3 例 9.2 中 z 变换式的零极点分布与三种可能的收敛域（a） X ? z ? 的零极点分布图， (b)对应因果序列的收敛域， (c)对应反因果序列的收敛域 ， (d) 对应双边序列的收敛域9.3.2 序列特征与其双边 z 变换收敛域的对应关系我们知道，z 变换的收敛问题是一个级数收敛问题。 根据级数理论可知， 一个任意级数， 只要由其各项的绝对值构成的所谓正项级数收敛，则该级数必收敛。因此，双边 z 变换式 （9.5）所示的无穷级数收敛或者说 z 变换存在的充分条件是其满足绝对可和条件，即要求n ???? x ? n? z??n&?（9.10）对于式（9.10）左边的正项级数，通常可以用两种方法判别其是否收敛。为了表示简单，令x ? n? z ?n ? an ，并设 limn ??an?1 ， ? ? （比值判定法）或 lim n an ? ? （根值判定法） 若 ?&1， n ?? an则正项级数收敛，于是双边 z 变换式（9.5）所示级数也收敛，这时求出使 ?&1 的 z 取值范 围，便是 X ? z ? 的收敛域,，反之，若 ?&1，则正项级数发散，因而双边 z 变换式（9.5）所 示级数也发散；若 ?=1，则无法确定，级数可能收敛也可能发散。这种判定级数收敛性并求 出收敛域的方法对于单边 z 变换式（9.6）同样适用。 一般而言， 按照序列拓展的方向性对序列进行分类可以得出四类有界序列， 即有限长序 列、无限长右边序列、无限长左边序列和无限长双边序列。它们的不同特征决定了其双边 z 变换收敛域的各异特点。 了解这些序列的特性与它们双边 z 变换收敛域特征之间的一一对应 关系有助于 z 变换的求取与应用。 下面利用上述两种正项级数收敛的判定方法来讨论这些序 列的特性与它们双边 z 变换收敛域特征之间的对应关系。 1． 有限长序列 若 x(n) 为 仅 在 有 限 长 区 间 n1 ? n ? n2 ? ???n1?n2??? 内 取 不 全 为 零 的 有 界 值 ? ? ? ?? x ? n ? ? ? ? ，其他区间均取零值的有限长序列，则其双边 z 变换为X ( z) ? ? x(n) z ? nn ? n1 n2（9.11）由于 n1 和 n2 均为有限整数，所以式（9.11）为一有限项级数，其中任一项只要 z 不等于零或 无穷大就都是有限值， 因而其收敛域的确定无需利用上述两种判定方法， 可以直接依据 n1 和n2 的正负取值得出下面三种不同情况：（1） n1 ? 0, n2 ? 0 ，这时序列为有限长因果序列，由于序列中均是 n 为正值的样点，所以 式（9.11）为 z 的有限项负幂级数。因而只有当 z ? 0 时， X ( z ) 才会趋于无穷。于是，有限 长因果序列双边 z 变换的收敛域是除去原点的整个 z 平面，即z ＞ 0 或 0 ? z ? ?；（2） n1 ? 0, n2 ? 0 ，这时序列为有限长反因果序列，由于序列中均是 n 为负值的样点，所 以式（9.11）为 z 的有限项正幂级数。因此，有限长反因果序列双边 z 变换的收敛域是除去z ? ? 点的整个 z 平面，即z ＜?或0 ? z ? ?（3） n1 ＜ 0 ， n2 ? 0 ，这时序列为有限长双边序列，由于该序列可以分解为一个有限长因 果序列和一个有限长反因果序列之和，所以其双边 z 变换可以表示为X ( z) ?n ?????x ( n) z ? n ? ? x ( n) z ? n ? ? x ( n) z ? nn ? n1 n?0?1n2= XL ? z? ? XR ?z?中即有 n 为正值的样点又有 n 为负值的样点，所以式（9.11）中即含有 z 的负幂次项又含有 z 的正幂次项。因此，有限长双边序列双边 z 变换的收敛域不能包括 z ? 0 和 z ? ? 点，是 上述两种情况即 X L ? z ? 和 X R ? z ? 收敛域的公共部分，有0 ＜ z ＜?因此，一般地说，对于有限长序列，其双边 z 变换的收敛域至少是 0 ＜ z ＜ ? ，并且可能 还包括 z ? 0 或 z ? ? ，具体情况取决于 x(n) 的形式是上述三种中的那一种。 2． 无限长右边序列 若 x(n) 为在无限长区间 ? n1 , ?? 内取不全为零的有限值，而在区间 n ? n1 内序列值全为 零的无限长右边序列，则其双边 z 变换为X ( z ) ? ? x(n) z ? n ? ?? ? n1 ? ? ?n ? n1?由根值判定法可知，若? ? lim n x(n) z ? n ? lim n x(n) z ?1 ? 1，即若n?? n??z ＞ lim n x(n) ? Rx1n ??则 X ( z ) 收敛。 Rx1 称为该级数的收敛半径。因此，无限长右边序列双边 z 变换的收敛域是 在 z 平面上半径为 Rx1 的圆的外部，即 z ? Rx1 。但是，根据 n1 是正还是负值又可以分为以 下两种情况： （ 1 ） n1 ? 0 ， 这 时 序 列 为 无 限 长 右 边 非 因 果 序 列 ， 其 双 边 z 变 换 X ( z ) 可 以 表 示 为X ( z ) ? ? x(n) z ? n = ? x(n) z ? n ? ? x(n) z ? n ，由于和式 ? x(n) z ? n 中均为 z 的正幂次n ? n1 n ? n1 n ?0 n ? n1??1??1项，它们只有在 z ? ? 时才收敛，所以此时收敛域为Rx1 ＜ z ＜ ? ；（2） n1 ? 0 ，这时序列为无限长因果序列，其双边 z 变换 X ( z ) 和式中都是 z 的负幂次项， 故其收敛域可以包含 z ? ? ，为 z 平面上某个圆的圆外区域，即z ＞ Rx1但是，需要注意的是有限长因果序列双边 z 变换的收敛域为 z ＞0，即这时 Rx1 ? 0 ，其收 敛域比无限长因果序列双边 z 变换的收敛域要大。 显而易见，任何序列单边 z 变换的收敛域和无限长因果序列双边 z 变换的收敛域类同， 均为 z ＞ Rx1 。 3. 无限长左边序列 若 x(n) 为只在无限长区间 ? ??, n2 ? 内取不全为零有限值，而在区间 n ? n2 内序列值全 为零的左边无限长序列，则其双边 z 变换为X ( z) ?n ???? x ( n) zn2?n? ?? ? n2 ? ? ?（9.12）若 n2 ? 0 ，和式（9.12）中求和变量 n ? 0 。因此，为了便于应用根值判定法，作变量代换n? ? ?n ，得X ( z) ?n??? n2??x(?n?) z n? ?n ?? n2? x(?n) z?n由于求和结果与求和变量无关，故上式中变量 n? 再改为 n。 由根值判定法可知，若n ? ? lim n x (?n ) n ? lim x ?n )z ? ，即 z ( 1 n?? n??z＜1 lim n x(?n)n ??? Rx2则 X ( z ) 收敛。因此，无限长左边序列双边 z 变换的收敛域是 z 平面上半径为 Rx 2 的圆的内 部，即 z ＜ Rx 2 。但是，根据 n2 是正还是负值又可以分为以下两种情况： （1） n2 ? 0, ，这时序列为无限长左边非反因果序列，其双边 z 变换 X ( z ) 可以表示为X ( z) ?n ??? n2?n2x(n) z ? n = ? x(n) z ? n ? ? x(n) z ? nn ??? n?0?1n2由于和式? x ( n) zn ?0?n中均为 z 的负幂次项，它们只有在 z ? 0 时才收敛，所以此时收敛域不能包括原点，即0 ＜ z ＜ Rx 2 ；（2） n2 ? 0 ，这时序列为无限长反因果序列，其双边 z 变换 X ( z ) 和式中仅含有 z 的正幂 次项，故其收敛域包含 z ? 0 ，为 z 平面上某个圆的圆内区域，即z ＜ Rx 24．无限长双边序列 若 x(n) 是在无限长区间 ? ??, ??? 内取非零有限值的无限长双边序列，则其双边 z 变换 为X ( z) ?= XL ?z? ? XR ?z?n ?????x ( n) z ? n ?n ?????1x ( n) z ? n ? ? x ( n ) z ? nn ?0?由于 x ? n ? 的非零值在 n 轴原点的两边， 可以分解为无限长左边序列和无限长右边序列之和， 所以 X ( z ) 对应地为这两个序列 z 变换的叠加，其收敛域则为这两个 z 变换收敛域即z ? Rx2 和 z ? Rx1 的公共区域。若 Rx2 ? Rx1 ，则该公共区域存在，即无限长双边序列 z 变换的收敛域为Rx1 ? z ? Rx2其中 Rx1 ? 0 ， Rx2 ? ? ，因此为 z 平面上的一个圆环区域，若 Rx1 ? Rx2 ，则无限长左边序 列和无限长右边序列的 z 变换无交叠的收敛域，此时无限长双边序列的双边 z 变换不收敛。 通过以上分析不难看出， 双边序列是所有序列的一般形式， 其他序列则可以看成是双边 序列的一种特例。例如，有限长序列是在有限长区间 n1 ? n ? n2 ? ???n1?n2??? 内具有有限 ? ? ? ? 个非零值的双边序列；无限长右边序列是一种在无限长区间 n ? n1 具有非零值的双边序列； 无限长左边序列则是一种在无限长区间 n ? n2 时具有非零值的双边序列。因此，双边序列 z 变换的环状收敛域也是收敛域的一般形式（收敛域性质 1） ，而其他序列 z 变换的收敛域形 状则是环状收敛域的一种特例。 根据有限长序列、无限长右边序列、无限长左边序列和无限长双边序列取非零值的区 间特点又常将它们分别称为有始有终序列、有始无终序列、无始有终序列和无始无终序列。 为了便于比较上述 4 类序列的形式与其收敛域特征的对应关系，将以上讨论结果列于表 9.1。表 9.1 各种序列形式与其双边 z 变换收敛域的对应关系 序列 x?n? 的形式 有限长序列： (1) 有限长因果序 列： n1≥0 n2＞0 (2) 有限长反因果 序列： n1＜0 n2≤0 （3） 有限长双边序 列： n1＜0 n2＞0 无限长右边序列： (1) 无限长右边非 因果序列： n1＜0 n2＝∞ (2) 无限长因果序 列： n1≥0 n2＝∞ 无限长左边序列： (1) 无限长左边非 反因果序列： n1＝- ∞ n2＞0 双边 z 变换 X ? z ? 的收敛域z ?0z ??0? z ??Rx1 ? z ? ?z ? Rx10 ? z ? Rx2(2) 无限长反因果 序列： n1＝- ∞ n2≤0 无限长双边序列： n1＝- ∞ n2＝∞z ? Rx2Rx1 ? z ? Rx2有了序列特征与其双边 z 变换收敛域的对应关系，我们就可以在给定 z 变换表示式X ( z ) 的情况下，根据不同的收敛域，确定 X ( z ) 所对应的不同形式的 x(n) ，而根据表 9.1中所示双边 z 变换收敛域的分布特征可知，只要知道 X ( z ) 在 z 平面上两个特殊点 z ? 0 和z ? ? 处的收敛情况就可初步判定 X ( z ) 所对应 x(n) 的形式。例如，若 X ( z ) 在 z ? ? 处收敛而在 z ? 0 处不收敛， 则由表 9.1 可知， X ( z ) 仅可以对应一个因果序列， 此 例如 X ( z) ? 1 z 就是在 z ? ? 处收敛而在 z ? 0 处不收敛，它只能对应一个因果序列 x(n) ? ? (n ? 1) ；若X ( z ) 在 z ? 0 处收敛，在 z ? ? 处不收敛，则此 X ( z ) 仅可以对应一个反因果序列，例如 , X ( z) ? z 在 z ? 0 处 收 敛 而 在 z ? ? 处 不 收 敛 ， 它 只 能 对 应 一 个 反 因 果 序 列x(n) ? ? (n ? 1) ；若 X ( z ) 在 z ? ? 和 z ? 0 处均收敛，则此 X ( z ) 按照它的收敛域不同情况可以有两种可能性， 即在某个收敛域时对应一个因果序列， 而在另外一个收敛域时却对应一 个反因果序列。例如，对于 X ( z) ? z ? z ? a ? 来说， z ? 0 和 z ?? 都不是 X ( z ) 的极点，故X ( z ) 在这两处均收敛， 而收敛域是以极点为边界的， 所以若给定 X ( z ) 的收敛域为 | z |? a ，n 则 对 应 x( n)? a ( n， 为 一 因 果 序 列 ； 而 当 收 敛 域 为 | z |? a 时 ， 则 对 应 ? )x(n) ? ?an? (?n ? 1) ，为一反因果序列。如果 X ( z ) 在 z ? 0 和 z ? ? 处均不收敛，则 X ( z )所对应的序列则为双边序列， 包括 n1 ＜ 0 但 n2 ? 0 时的有限长双边序列、n1 ? 0 时的无限长 右边序列, n2 ? 0 时的无限长左边序列，后三者在 n ? 0 两边都取非零值，是特殊的双边序 列。因此，按照 X ( z ) 给定的收敛域不同情况可以有四种可能的序列与其对应，但最终结果只有一个。 根据 z 变换收敛域的性质 2 可知，一般来说，收敛域是以极点为边界的。因此，对于有 限长序列， 其双边 z 变换收敛域通常位于最里边极点 z ? 0 :的和最外边极点: z ? ? 之间， 对 于无限长右边序列，其双边 z 变换收敛域位于最外边（模值最大）的极点的外部（可能包含z ? ? 点）对于无限长左边序列，其双边 z 变换收敛域位于最里边（模值最小）的极点的内部（可能包含 z ? 0 点） ，对于双边序列，其双边 z 变换收敛域位于最外边一组极点中模值最 小的和最里边一组极点中模值最大的之间。 例 9.3 试求有限长序列 x(n) ? ? 指出其零极点。 解：序列 x(n) 为有限长序列中 n1 ? 0 ? n2 ? 0? 的情况，即为一有限长因果序列，其双边 z 变 换与单边 z 变换相同，有?a n , 0 ? n ? N ? 1 ?0 , 其它的双边 z 变换，其中 a 为实数或复数，并X ( z) ? ?n ?????a n z ? n ?? ? az ?1 ?n?0 ?1 N ?1N ?1n1 ? ? az?1 ? az?1 z ?a z z?aN N ?1, z ?0N由于 x ? n ? 为一有限长因果序列，所以其 z 变换收敛域必为 z ? 0 。由 X ( z ) 的表示式可知， 其零点满足方程式 z ? a ? 0 ，由于 eN N?j 2? k N?n? 1, k ? 0,1, ?, N ? 1 ，所以 X ( z ) 的 N 个零点为zk ? ae ?j 2? k N ?, k ? 0,1,2?, N ?1X ( z ) 在 z ? 0 处有一个 N ? 1 阶的重极点，在 z ? a 处有一个一阶极点。但是，这个一阶极点被位于该处的零点 z0 ? a ? k ? 0 ? 抵消掉，从而使得 X ( z ) 在 z ? a 处既无极点又无零点。 因此， X ( z ) 仅在 z ? 0 处有一个 N ? 1 阶的重极点，而其零点位于zk ? ae ?j 2? k N ?, k ? 1,2,?, N ?1 ，其零极点图分布如图 9.4 所示。在本例中，当 a ? 1 时，所给序列 x ? n ? 即为矩形序列， 因而可以推出矩形序列 RN 的 z 变换为X ( z) ?1? z?N 1 z N ?1 ? N ?1 , 1 ? z ?1 z z ?1z ?0进一步，当 a ? 1 而 N ? 1 时，有 x(n) ? ? ? n ? ，其 z 变换收敛域还要扩大，包括 z ? 0 点， 为整个 z 平面。图 9.4 例 9.3 的零极点图 ? N ? 16? 对于无限长右边序列和无限长左边序列，在例 9.1 中已经分别以 an? ? n? 和?an? ? ?n ?1? 为例求出了它们的双边 z 变换，并指明了其收敛域。|n| 例 9.4 已知无限长双边指数序列为 x(n) ? a ，其中 a ? 0 ，求其双边 z 变换。解：当 a ? 1 和 a ? 1 两种情况下 x(n) 的波形分别绘于图 9.5（a）（b）中。显然，双边指数 、 序列可以表示成一个无限长右边序列和一个无限长左边序列之和，即x(n) ? an? (n) ? a?n? (?n ?1)因此，所求双边 z 变换为X ? z? ?n ?????x ? n ?z ? n ?n ???? ?an? (n) ? a ?n? (?n ?1)?z ?n ? ? a n z ?n ? ? ?n ?0 ???n ????a?1?n ?nz由例 9.1 可知，有?[a n? (n)] ? ? a n z ? n ?n ?0z ,| z |? a z?a和?[a ? n? (?n ? 1)] ?n ????a?1?n ?nz??z 1 ,| z |? ?1 z?a a由此可见，在双边指数序列的 z 变换式中，第一项级数在 | z |? a 收敛，第二项级数在| z |?1 1 收敛，显然，若 a ? 1 ，则 | z |? a 和 | z |? 没有重叠区域，即两个序列 z 变换收 a a敛域的交集为一空集。 如图 9.5(c)所示， 这时， 双边指数序列不存在双边 z 变换； 例如，a ? 1 时， 双边指数序列变为常数序列 x ? n ? ? 1 ， a ? 1 时则为双边增长的实指数序列， 而 如图 9.5(b) 所示，它们均不存在双边 z 变换。若 a ? 1 ， | z |? a 和 | z |? 示，这时，双边指数序列的双边 z 变换为1 有公共区域，如图 9.5(d)所 aX ? z? ? ?a z ?n ?n n ?0?n ????a?1?n ?nzz z a2 ?1 z 1 ? ? ? , a ?| z |? ?1 ?1 z ?a z ?a a ( z ? a)( z ? a ) a（a）(b)(c)(d)（a） a ? 1 时的序列, (b) a ? 1 时的序列,(c) a ? 1 时 z 变换收敛域,(d) a ? 1 时 z 变换收敛域 图 9.5 双边指数序列及其双边 z 变换的零极点图与收敛域9.3.3 单边 Z 变换的收敛域单边 z 变换式（9.6）所表示的幂级数收敛的充分条件是? x ?n? zn ?0??n&?（9.13）因此， z 平面上使式（9.13）左边级数收敛的所有 z 值之集合，称为单边 z 变换 X ? z ? 的收 敛域 ? ROC ? 。 我们知道，单边 z 变换的求和下限为 n ? 0 ，任一序列 x ? n ? 的单边 z 变换等于因果 序列 x ? n ? ? ? n ? 的双边 z 变换。由于单边 z 变换式中只涉及 n ? 0 那部分 x ? n ? 的序列值故 而仅含有 z 的负幂次项，所以其收敛域比双边 z 变换的要简单得多，只有两种收敛域。因为 由任意有界序列 x ? n ? 分属于四种序列的那一种决定了 x ? n ? ? ? n ? 可能为有限长因果序列或 无限长因果序列，从而有（1）有限长双边序列和 n2 ? 0 的无限长左边序列的单边 z 变换变 为有限长因果序列的双边的 z 变换或单边 z 变换，故它们的收敛域为 z ? 0 ，其中有限长双 边序列序列 ? ? n ? 单边 z 变换与双边 z 变换的收敛域作为特例是整个 z 平面， （2） n1 ? 0 的 无限长右边序列和无限长双边序列的单边 z 变换变为无限长因果序列的双边的 z 变换或单边 z 变换，故它们的收敛域为 z ? Rx1 ，即位于最外边极点所在圆周外部的区域。因此，对于 不同的序列，其单边 z 变换的收敛域必有公共部分。从广义上说，单边 z 变换只有一种收敛 域形式，即位于 z 平面上某个圆域之外的区域。 我们知道， 对于双边 z 变换， 只有同时给定 z 变换式 X ? z ? 及其收敛域， 时域序列 x ? n ? 和 X ? z ? 之间才是一一对应的，若仅给定 X ? z ? 的表示式而没有给出其收敛域， x ? n ? 和X ? z ? 之间则不是一一对应的。但是，对于单边 z 变换，序列 x ? n ? 和 X ? z ? 之间唯一对应性则依据序列是因果序列还是双边序列有两种情况： （1）因果序列 x ? n ? 与其单边 z 变换函 数 X ? z ? 之间即使没有特别指明其收敛域也存在着一一对应关系。 因此， 一般不特别强调单 边 z 变换的收敛域， （2）双边序列与其单边 z 变换函数 X ? z ? 之间不是一一对应的，例如， 常 数 序 列 x1 ? n ? ? 1 与 单 位 阶 跃 序 列 x2 ? n? ? ? ? n ? 具 有 相 同 的 单 边 z 变 换 函 数 ， 即X1 ? z ? ? X 2 ? z ? ?z 。 z ?1单边 z 变换收敛域的确定方法与双边 z 变换收敛域的确定方法完全相同，可以借用之。9.4 常用序列的 z 变换下面直接根据双边 z 变换定义式 （9.5） 和单边 z 变换定义式 （9.6） 求出某些常用序列的 z 变换。 1．单位样值序列 ? (n) 单位样值序列可以视为一种特殊的有限长单值 ? n1 ? n2 ? 0? 双边序列,其双边 z 变换与单 边 z 变换相同，有Z ?? ? n ?? ? ? ? ? 1,n ???? ? ? n ?z??n? ? ? ? 0 ? z 0 ? ? ?1? z ?1 ? ?n ?0?0? z ??这表明，单位样值序列 z 变换的收敛域是整个 z 平面，它是有限长双边序列双边 z 变换的收 敛域 0 ＜ z ＜ ? 的一个特例。 2．单位阶跃序列 ? ? n ? 单位阶跃序列 ? ? n ? 为无限长因果序列，所以其双边 z 变换和单边 z 变换相同，有Z ?? ? n ? ? ? ? ?n ???? ? ? n ? z ?n ? ? z ?n ?n ?0??1 z ? , z ? 1 （9.14） ?1 1? z z ?1?1 ?1 由于 X ? z ? 是一个公比为 z 的等比级数， 故由此求出收敛域为 z ? 1 ， z ? 1。? ? n ? 可 即以视为 an? ? n? 的一个特例 ? a ? 1? 。n3．单边指数序列 a? ? n? 和 ?an? ? ?n ?1?n由于单边指数因果序列 a所以其双边 z 变换和单边 z 变换 ? ? n ? 为无限长因果序列，? j ?0相同，在例 9.1 中已经求出为 z ? z ? a ? ，收敛域为 z ? a 。当 a ? e 指数因果序列 e 序列 ?an ? j?0 n0时，即为单边虚? ? n ? ，其 z 变换为 z ? z ? e? j? ? ，收敛域均为 z ? 1。单边指数反因果? ? ?n ?1? 为无限长反因果序列，所以其单边 z 变换为零，双边 z 变换在例 9.1 中所求为 z ? z ? a ? ，其收敛域为 z ? a 。 4．双边指数序列 an双 边 指 数 序 列 an的 双 边z 变 换 在 例9.4中 求 出 为a2 ?1 z 1 , a ?| z |? ，其单边 z 变换等于单边指数因果序列 an? ? n ? 的 z 变 ?1 a ( z ? a)( z ? a ) a换。 5．斜变序列 n? (n) 和 ?n? (?n ? 1) 由于斜变因果序列 n? (n) 为无限长因果序列，所以其双边 z 变换和单边 z 变换相同，有Z ? n? ? n ? ? ? ? ?由式（9.14）可知有n ???? n? ? n ? z ?n ? ? nz ?nn?0???zn ?0?1??n?1 ,| z |? 1 1 ? z ?1将上式两边各对 z 求导，可得? n( zn ?0?1??1 n ?1)?1 (1 ? z ?1 ) 2上式两边分别乘 z ，便得到斜变因果序列的 z 变换为Z ? n? ? n ? ? ? ? nz ? n ? ? ?n ?0?1?z ,| z |? 1 ( z ? 1)2（9.15）对式（9.15）两边分别再对 z 求导数，可得?[n 2? (n)] ?z ( z ? 1) ,| z |? 1 ( z ? 1)3z ( z 2 ? 4 z ? 1) ,| z |? 1 ( z ? 1) 4?[n3? (n)] ? ?对于斜变反因果序列 x(n) ? ?n? (?n ? 1) ，可推得其双边 z 变换为?[?n? (?n ? 1)] ?z ,| z |? 1 ( z ? 1)2（9.16）斜变反因果序列的单边 z 变换为零。由式（9.15）（9.16）可见， n? (n) 与 ?n? (?n ? 1) 的 z 、 变换表示式相同，但其收敛域不同，因果序列 n? (n) 的 z 变换收敛域为 | z |? 1 ，而反因果序列 ?n? (?n ? 1) 的 z 变换收敛域为 | z |? 1 。 6．单边正弦 sin ? ?0n? ? ? n? 和单边余弦序列 cos ? ?0n? ? ? n? 由于 ?[e? j ?0 n? (n)] ?z ,| z |? 1 ，因此应用欧拉公式及 z 变换定义可以求出单边 z ? e ? j ?0正弦因果序列 sin(?0 n)? (n) 的双边和单边 z 变换为Z [sin ? ? 0 n ? ? ? n ?] ? Z [ =??? 1 j?0 n ? j?0 n 1 (e ?e )? ? n ?] ? ? [ (e j?0 n ? e ? j?0 n )? ? n ?]z ? n 2j n ??? 2 j1 j?0 n ? j?0 n ? n 1 ? ? j?0 n ? n ? ? j?0 n ? n ? (e ?e )z ? ?e z ? ?e z ? 2 j ? n ?0 n ?0 2 j n ?0 ? ? z sin ?0 1 z z ( ? )? 2 , z ?1 j?0 ? j?0 2 j z ?e z ?e z ? 2 z cos ? 0 ? 1?同理可得单边余弦因果序列 cos ? ?0n? ? ? n? 的双边和单边 z 变换为?[cos(?0 n)? (n)] ?z ( z ? cos ?0 ) ,| z |? 1 z ? 2 z cos ?0 ? 12可以看到，单边正弦、余弦因果序列的 z 变换式都有 2 个极点 p1 ? ej?0和 p2 ? e? j?0，它们都位于单位圆上，且与正实轴的夹角分别为 ?0 和 ??0 ，这表明，复变量 z ? rej?中的辐角? 在 z 复平面上是一个反映序列包络频率的变量。此外，无论单边正弦、余弦因果序列是否为周期序列，它们 z 变换的收敛域均为 | z |? 1 。 读者还可以自行推导单边正弦反因果序列 sin(?0 n)? (?n ? 1) 和单边余弦反因果序列cos(?0n)? (?n ?1) 的双边 z 变换分别为?[sin(?0 n)? (?n ? 1)] ? ?[cos(?0 n)? (?n ? 1)] ?若在式（9.8）中设 a ? ? ej?0z sin ?0 ,| z |? 1 z ? 2 z cos ?0 ? 12? z ( z ? cos ?0 ) ,| z |? 1 z 2 ? 2 z cos ?0 ? 1，则由该式可得Z ? a n? (n) ? ? ?[ ? n e j?0 n? (n)] ? ? ? 1 , | z |?| ? | 1 ? ? e j?0 z ?1同理可得?[ ? n e? j?0n? (n)] ?1 ,| z |?| ? | 1 ? ? e? j?0 z ?1利用欧拉公式， 由上两式可得单边指数因果衰减 ? ? ? 1? 及增幅 ? ? ? 1? 正弦、 余弦序列的双 边和单边 z 变换为?[ ? n sin(?0 n)? (n)] ? ?以及1 ? 2? z ?1 cos ?0 ? ? 2 z ?2? z ?1 sin ?0? z sin ?0 ,| z |?| ? | z ? 2? z cos ?0 ? ? 22?[ ? n cos(?0 n)? (n)] ? ?1 ? ? z ?1 cos ?0 1 ? 2? z ?1 cos ?0 ? ? 2 z ?2 z ( z ? ? cos ?0 ) ,| z |?| ? | z ? 2? z cos ?0 ? ? 22为了便于查阅，表 9.2 中列出了常用序列的 z 变换式。 表 9.2 常用序列的 z 变换 序 号 序 列 类 型序列z 变换收敛域1有? ( n)限 长 2 序 列 31整个 z 平面? (n) ? ? (n ? N )1? Z ?N 1 ? z ?1z ?0? ( n)z z ?1z ?14 因a n ? ( n)z z?az ?a5 果? ? a ? ? (n)nz z?az ?a z ?16 序n? (n)z ( z ? 1)27列nan? (n)az ( z ? a)2z ?a8sin(?0 n)? (n)z sin ?0 z ? 2 z cos ?0 ? 12z ?19cos(?0 n)? (n)z ( z ? cos ?0 ) z ? 2 z cos ?0 ? 12z ?110? n sin(?0n)? (n)? z sin ?0 z ? 2? z cos ?0 ? ? 22z??11? n cos(?0n)? (n)z ( z ? ? cos ?0 ) z ? 2? z cos ?0 ? ? 22z??12? ? ? n ? kn ?k ?0 0?1 1 ? z ? n0z ?113?? ? ?n ?1?z z ?1z ?114反?n? ? ?n ?1?因 果z? z ?1?2z ?115 序 列?an? (?n ?1)z z?az?a16?nan? (?n ? 1)az? z ? a?2z?a9.5 Z 变换的基本性质我们知道， z 变换是一个幂级数，因此求取一个序列 z 变换的基本方法是直接利用 z 变 换定义归结为等比级数求和的方法， 然而这种方法对于较为复杂的序列就显得相当麻烦。 和 其他各种数学变换一样，z 变换也具有许多基本性质，利用它们既可以根据简单常用序列的 z 变换方便地求出较为复杂序列的 z 变换，也可以简化 z 反变换的求取过程，还可以便利地 进行线性移不变系统的分析。 1..线性z 变换的线性表明，线性组合序列的 z 变换等于相组合序列 z 变换的线性组合，这一性质对于双边 Z 变换和单边 Z 变换均成立，即若任意有界序列 x1 (n) 和 x2 (n) 的双边或单边 Z 变换为Z? x1 (n)? ? X1 ( z) , z ? Rx1 和Z? x2 (n)? ? X 2 ( z), z ? Rx2则线性组合序列 a1 x1 (n) ? a2 x2 (n) 的双边或单边 Z 变换为Z?a1x1 (n) ? a2 x2 (n)? ? a1 X1 ( z) ? a2 X 2 ( z), z ? 包含Rx1 ? Rx2（9.17）式（9.17）中 a1 、 a2 为任意实数、复数。 z ? 包括Rx1 ? Rx2 表示经线性组合后的序列， 其 z 变换的收敛域一般说来是相组合序列 z 变换收敛域的公共区域， 或者说至少是相组合序 列 z 变换收敛域的交集。 例如， z ? Rx1 为 Rx11 ? z ? Rx12 ， z ? Rx2 为 Rx21 ? z ? Rx22 ， 若 则 Rx1 ? Rx2 为 Rx1 ? z ? Rx2 ，其中 Rx1 取 Rx11 和Rx21 中较大者， Rx2 取 Rx12 和Rx22 中较小者， 即有 max Rx11 , Rx21 ? z ? min Rx12 , Rx22 。由于单边 z 变换的收敛域一般为圆外区域，所 以这时 z ? Rx1 和 z ? Rx2 可以分别表示为 z ? Rx1 和 z ? Rx2 ，而线性组合后 z 变换的收 敛域是以其中最大的极点模值为半径的圆的外部， 即应为相组合序列 z 变换收敛域中的较小 者，故有 z ? max Rx1 , Rx2 。 但是，当 X i ( z) ? i ? 1, 2? 为有理分式时，线性组合 a1 X1 ( z ) ? a2 X 2 ( z ) 有时会产生新的 零点，出现零、极点相消的情况，若消去的极点正好是决定 X1 ( z) 收敛域 Rx1 边界的极点和 /或 X 2 ( z) 收敛域 Rx2 边界的极点，则组合序列 z 变换的收敛域就会比交集 Rx1 ? Rx2 大，有 时甚至能扩展到整个 z 平面。例如，在例 9.3 中，原序列 x ? n ? 可以视为两个右边序列之差， 即有??????x ? n ? ? a n ?? ? n ? ? ? ? n ? N ? ? ? a n? ? n ? ? a N a n ? N ? ? n ? N ? ? ?由例 9.1 可知， an? ? n ? 的 z 变换为Z ? a n? ? n ? ? ? ? ? z ,z ?a z?aN n? N应用本节后面介绍的 z 变换的位移性容易求出 a a? ? n ? N ? 的 z 变换为aN z?N 1 ? az ?1Z ?a N a n? N ? ? n ? N ?? ? a N Z ?a n? N ? ? n ? N ?? ? ? ? ? ? a N z ? N ?1 = ,z ?a z?a由 z 变换的线性性可知 x ? n ? 的 z 变换为X ? z? ?z a N z ? N ?1 1 zN ? aN ? ? N ?1 , z ?0 z?a z?a z z?a由于线性组合新产生的零点 z ? a 消去了决定原序列 z 变换的收敛域 z ? a 边界的极点z ? a ，结果 X ? z ? 仅在 z ? 0 处有一个 N ? 1 阶重极点，所以 X ? z ? 的收敛域从本应为两个相组合的 z 变换收敛域的交集 z ? a 扩大到除 z ? 0 点外的整个 z 平面。 这种情况中最简单 的就是 N ? 1 ，此时,因仅在 z ? a 处的零极点相互抵消，故 X ? z ? ? 1，收敛域扩大为整个 z 平面，实际上由 an? ? n? ? an? ? n ?1? ? ? ? n? 也可知这一结果。若新产生的零点没有消去决定 X1 ( z) 和/或 X 2 ( z) 收敛域边界的极点，则线性组合a1 X1( z) ? a2 X2 ( z)的收敛域就等于 Rx1 ? Rx2 。例如， e j?0n? ? n? 和 e? j?0n? ? n ? 线性组合后z 变 换 的 极点 为原 两 个序列 z 变 换 的极 点组 合 在一起 ， 即 无零 极点 相 消的情 况 ， 故sin(?0 n)? (n) 和 cos(?0 n)? (n) z 变换的收敛域与 e j?0n? ? n? 和 e相同，仍为 z ? 1。 由此可见， 一般说来， 利用 z 变换的性质求一个比原序列复杂一些的新序列的 z 变换时， 其收敛域可能会发生变化，这可以根据所得计算结果的零极点予以辨识。? j?0n? ? n? z变换的收敛域z 变换的线性表明这种变换具有可加性与均匀性，即是一种线性变换，并可以推广到任意多个序列的线性组合情况，直接应用 z 变换的定义式（9.5）就可以证明线性性质。 2.位移（时移）性 由于双边 z 变 z 变换的位移性反映了序列位移后其 z 变换与原序列 z 变换之间的关系。 换的定义变量 n 是从 ?? 开始的，而单边 z 变换的定义变量 n 则是从 0 开始的，因而它们的 位移性表述式有所不同，下面分别进行讨论。 （1）双边 z 变换的位移（时移）性 若任意有界序列 x ? n ? 的双边 z 变换为Z ? x(n)? ? X ? z ? , z ? Rx则 x ? n ? 移位后所得序列 x(n ? n0 ) 的双边 z 变换为?? x(n ? n0 )? ? z ?n0 X ( z), z ? Rx (可能增添或删除z ? 0或z ? ?点）证明：根据双边 z 变换的定义，则有? ? x(n ? n0 )? ?n ?????x(n ? n0 ) z ? nn?? n ? n0? z ? n0n????? x(n?) z?? n?? z ? n0 X ( z ) （9.18）式（9.18）中， n0 为任意正整数，故 x(n ? n0 ) 和 x(n ? n0 ) 分别表示序列 x(n) 左移和右移 后所得序列，移位因子 z? n0反映了时域序列 x(n) 移位后各个样值的位序变化。由于序列移? n0位后的 z 变换仅是原序列的 z 变换乘以一个 z 的幂指数 z， 故而序列移位后只会可能使其z 变换在 z ? 0 或 z ? ? 处的零极点产生变化。因此，序列移位前后 z 变换收敛域的差别也只有可能在该两点。由于无限长双边序列 z 变换的收敛域为环形区域( Rx1 ? z ? Rx 2 )，已 不包括 z ? 0 和 z ? ? ，所以序列位移后其 z 变换的收敛域不会发生变化，除此之外，其他 三 种 序 列位 移后 ， 它们 的 z 变 换 收敛 域 则可 能 在 z ? 0 或 z ?? 有 所变 化 ，即可能增添或删除z ? 0或z ? ?点 。下面按照表 9.1 中序列的分类， 对于除无限长双边序列外其他序列左移或右移后双边 z 变换收敛域在 z ? 0 或 z ? ? 点的变化情况分别作出讨论。 对于左移序列 x(n ? n0 ) 有以下三种情况： 1)若 x(n) 是一个因果序列 x ? n ? （有限长或无限长） x(n ? n0 ) 可能不是因果的，若 ， 则收敛域将在 z ? ? 点发生变化， 即原因果序列 x(n) z 变换 X ( z ) 收 x(n ? n0 ) 不是因果的， 敛域中所含 z ? ? 将被删除，因此， x(n ? n0 ) z 变换的收敛域不再包含 z ? ? ，是将 x(n) z 变换的收敛域中 z ? ? 点删除后所剩的部分； 2) 若 x(n) 是一个无限长左边非反因果序列， x(n ? n0 ) 则可能是反因果的，若 x(n ? n0 ) 是 反因果的，则收敛域将会在 z ? 0 处发生变化，这时， x(n) z 变换的收敛域中不含 z ? 0 点，而 x(n ? n0 ) z 变换的收敛域是 x(n) z 变换的收敛域再添加 z ? 0 点； 3) 若 x ? n ? 是一个有限长双边序列，x(n ? n0 ) 则可能不是反因果的， x(n ? n0 ) 是反因果 若的，则收敛域将在 z ? 0 处发生变化， x(n ? n0 ) z 变换的收敛域是 x(n) z 变换的收敛域 中再添加原本不含有的 z ? 0 点。 对于右移序列 x(n ? n0 ) 有以下三种情况： 1) 若 x(n) 是一个反因果序列 （有限长或无限长） x(n ? n0 ) 可能不是反因果的， x(n ? n0 ) ， 若 不是反因果的，则收敛域将在 z ? 0 处发生变化，即原反因果序列 x(n) z 变换的收敛域中所 含 z ? 0 将被删除， 因此， 这时 x(n ? n0 ) z 变换的收敛域是将 x(n) z 变换的收敛域中 z ? 0 点 删除后所剩的部分； 2) 若 x(n) 是一个无限长右边非因果序列，x(n ? n0 ) 可能是因果的， x(n ? n0 ) 是因果的， 若 则收敛域将在 z ? ? 处发生变化， x(n ? n0 ) z 变换的收敛域是 x(n) z 变换的收敛域中再 添加 z ? ? 点。 3) 若 x ? n ? 是一个有限长双边序列， x(n ? n0 ) 可能不是因果的，若 x(n ? n0 ) 是因果的，则 收敛域将在 z ? ? 处发生变化， x(n ? n0 ) z 变换的收敛域是 x(n) z 变换的收敛域中再添 加 z ? ? 点。 总之，如果原序列 z 变换的收敛域包括 z ? 0 或 z ? ? ，则序列位移后 z 变换的极点可 能发生变化，从而其收敛域也相应地可能有所改变，与原收敛域相比， z ? 0 或 z ? ? 可能 增加进收敛域或从收敛域中删除。例如，特殊的有限长双边序列 ? (n) z 变换的收敛域是整?1 个 z 平面，但右移序列 ? (n ? 1) 的 z 变换为 z ，在 z ? 0 处不收敛，应删除；而左移序列? (n ? 1) 的 z 变换为 z ，在 z ? ? 处不收敛，应删除。这是因为 ? (n ? 1) 是一个有限长的因果序列，而 ? (n ? 1) 是一个有限长的非因果序列。 （2） 单边 z 变换的位移（时移）性 设 x(n) 为一任意有界序列，由于其单边 z 变换等于 x(n)? ? n? 的单边 z 变换，故 x(n) 的 单边 z 变换为Z ? x ? n ? ? ? n ? ? ? X ( z ), z ? Rx ? ?于是有1） x(n) 左移 n0 ? 任意正整数? 后所得序列 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变换为 ．n0 ?1 ? ? Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? ? ? z n0 ? X ? z ? ? ? x ? k ? z ? k ? ? ? k ?0 ? ?=z X ? z ? ? ? x ? k ? zn0 k ?0n0 ?1, z ? Rx (可能增添或删除z ? 0或z ? ?点）n0 ? k（9.19） 2） x(n) 右移 n0 后所得序列 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变换为 ．?1 ? ? Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ?? ? z ? n0 ? X ? z ? ? ? x ? k ? z ? k ? ? ? k ?? n0 ? ?=z X ? z ? ?? n0k ?? n0? x ?k ? z?1?? n0 ? k ?, z ? Rx (可能增添或删除z ? 0或z ? ?点）（9.20） 3) x(n) 右移 n0 后所得序列 x ? n ? n0 ? 再乘以 ? ? n ? n0 ? 所形成序列 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 即因 果序列 x(n)? ? n? 右移 n0 后所得序列的单边 z 变换为Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? ? ? z ? n0 X ? z ? , z ? Rx (可能增添或删除z ? 0或z ? ?点） ? ?（9.21）证明：1)：由于 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变换等于 x ? n ? n0 ? ? ? n? 的的单边 z 变换,故有Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? ? ? ? x ? n ? n0 ? z ? n ? ? ?n ?0 n0 ?1?k ? n ? n0k ? n0? x ?k ? z ??? k ? n0 ??? ? =z n0 ? ? x ? k ? z ? k ? ? x ? k ? z ? k ? k ?0 ? k ?0 ? n0 ?1 ? ? =z n0 ? X ? z ? ? ? x ? k ? z ? k ? k ?0 ? ? =z X ? z ? ? ? x ? k ? z n0 ? kn0 k ?0 n0 ?12)：类似地，由于 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变换等于 x ? n ? n0 ? ? ? n? 的单边 z 变换，所以 通过变量代换 k ? n ? n0 可以证明序列 x(n) 左移 n0 位后所得序列 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变换如 式（9.21）所示。 3）: 对 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 应用单边 z 变换定义可得Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? ? ? ? ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? ?z ? n ? ? ? ?n ?0??n ? n0? x ? n ? n0 ? z ? n?n? ? n ? n0= z - n0 ? x ? n? ? z ? n?n? ? 0?=z - n0 X ? z ?与单边拉氏变换的情况类似， 由于序列的位移情况较多， 因而其单边 z 变换的位移性质也就 比较复杂，使用时应注意区分。例如， x ? n ? ? ? n ? 的右移序列是 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 而不是x ? n ? n0 ? ? ? n? ，即在一般情况下， x ? n ? n0 ? 并不等于 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? ，只有在 x ? n ?本身为因果序列时， x ? n ? n0 ? 与 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 以及 x ? n ? n0 ? ? ? n? 三者才相同，因 而它们的 z 变换也才相等。 显然， x ? n ? 本身是双边序列时， 当 它们是不同的。 x ? n ? ? ? n ? 而 的左移是 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? ，不是 x ? n ? n0 ? ? ? n? ，只有当 x ? n ? 本身是有始序列或者说 右边序列即 n ? n0 , x ? n ? ? 0 时，两者才相同。 若 x ? n ? 为因果序列，则右移式（9.20）中的和式??k ?? n0? x ?k ? z?1?k等于零，所以由一般右移序列单边 z 变换式（9.20）可以得出因果序列右移后所得序列的单边 z 变换为Z ? x ? n ? n0 ? ? ? n ? ? ? z - n0 X ? z ? , z ? Rx (可能增添或删除z ? 0或z ? ?点） （9.22） ? ?因为对于因果序列 x ? n ? 而言，左移式（9.19）中和式 果序列左移后所得序列的单边 z 变换仍为式（9.19） 。 由于实际中经常遇到的是因果信号， 所以式 （9.19） （9.22） 和 是最常用的。 注意式 （9.21） 和式（9.21）的形式是相同的。 由式（9.19）（9.20）可见，单边 z 变换与双边 z 变换位移性的表示式是不同的，产生 、 这种差异的根本原因在于单边 z 变换的求和变量 n 是从 0 开始对序列 x ? n ? 取变换的。 因此， 当序列 x ? n ? 左移 n0 个单位形成序列 x ? n ? n0 ? 时，原序列值 x(0), x(1),?, x(n0 ?1) 将会移 到 n ? 0 的 左 边 ， 所 以 对 x ? n ? n0 ? 作 单 边 z 变 换 也 就 相 应 丢 失 这 n0 个 样 值 ： z x( 0 ) ,x (1) , x , 0 ( 的1)变换，即式（9.19）中在原序列单边 z 变换 X ? z ? 的基础上扣除 ? n?n0 ?1 k ?0? x ?k ? zn0 ? k不等于零，所以因n0 ?1这 n0 个数据点的 z 变换? x( k ) zk ?0?k， 而当序列 x ? n ? 右移 n0 个单位形成序列 x ? n ? n0 ? 时将增加 n0 个原序列样值： x(?n0 ), x(?n0 ? 1),?, x(?1) ，因而所得序列 x ? n ? n0 ? 的单边 z 变 换就会在原序列单边 z 变换的基础上再添加这 n0 个数据点的 z 变换，即式（9.20）中的k ?? n0? x ?k ? z?1?k， 而 当 x(n) 右 移 n0 后 所 得 序 列 x ? n ? n0 ? 再 乘 以 ? ? n ? n0 ? 形 成 序 列x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 时，通过右移所增添的 n0 个原序列样值： x(?n0 ), x(?n0 ? 1),?, x(?1)由于乘以 ? ? n ? n0 ? 而置零了，这样，对所得序列 x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ? 作单边 z 变换时只需 将 X ? z ? 乘上表示序列移位的因之 z? n0，如式（9.21）所示，其中移位因子 z? n0用来表示对应样值的位移。 9.6 是一序列 x ? n ? 右移 1 点后， 图 在其单边 z 变换中增加了 1 个样点的 z 变 换的图示说明。图 9.6 单边 z 变换的位移性说明1 例 9.5 已知有界双边序列 x(n) ? ? ? n ?1? ? 2? ? n? ? ? ? n ?1? ， x(n ?) 和 x(n ? 1) 的单边 求z 变换。解：由单边 z 变换的定义先求出 x(n) 的单边 z 变换，有X ? z ? ? ? ?? ? n ? 1? ? 2? ? n ? ? ? ? n ? 1? ?z ? n ? ?n ?0?， z ?0=2+z ?1应用左位移性式（9.19）可以求出 x ? n ? 1? 的单边 z 变换为0 ? ? Z ? x ? n ? 1? ? ? n ?? ? z ? X ? z ? ? ? x ? k ? z ? k ? ? z ? 2 ? z ?1 ? 2 ? ? 1 ? ? k ?0 ? ?可见，左移 1 位后序列 x ? n ? 1? 单边 z 变换的收敛域是在原序列 x(n) 单边 z 变换的收敛域 中增添了 z ? 0 点，故而扩大到整个 z 平面，这是因为 x ? n ? 1? ? ? ? n ? 的缘故。应用右位移 性式（9.20）可以求出 x ? n ?1? 的单边 z 变换为?1 ? ? Z ? x ? n ? 1? ? ? n ? ? ? z ?1 ? X ? z ? ? ? x ? k ? z ? k ? ? ? k ??1 ? ??z?1?2 ? z?1? z? ?1? 2z ? z?1, z ?0?2可见， x ? n ?1? 单边 z 变换的收敛域与原序列 x(n) 单边 z 变换的收敛域相同。 例 9.6 设 xN (n) 是一个如图 9.7 所示的周期为 N 的因果周期序列， 若它在第一个周期内的信 号为 x1 (n) ，则 x(n) 可以视为 x1 (n) 及其延时构成的序列，即xN (n) ? x1 ? n ? ? x1 ? n ? N ? ? x1 ? n ? 2 N ? ? ? ? ? x1 ? n ? kN ?k ?0?试用 x1 (n) 的 z 变换来表示 x(n) 的 z 变换。解：由于xN (n) 和 x1 (n) 均为因果序列，所以其双边 z 变换与单边 z 变换相等。 x (n) 是一 1个仅存在于 n ? 0 到 N ? 1 区间的有限长序列, 即有x1 ? n? ? x ? n? ,0 ? n ? N ?1，x1 (n) 的单边 z 变换为X1 ( z ) ? ? xN (n) z ? n , z ? 0n ?0 N ?1利用单边 z 变换的线性性以及右移因果序列的单边 z 变换式（9.22）可以求得 xN (n) 的单边z 变换为X N ( z )＝X1 ( z ) ?1 ? z ? N ? z ?2 N ? ?? ? X 1 ( z )? z ? kN ? ?k ?0 ?其中?zk ?0?? kN是一个公比为 z?N?N ? 1 即 z ? 1 ，则级数可和即 的无穷等比级数 ，当 zX N ( z ) 收敛，有X N ( z ) ? X 1 ( z )? ? z ? N ? ?k k ?0 ?1 zN X1 ( z ) ? N X1 ( z ), z ? 1 （9.23） 1? z?N z ?1可 见 ， 式 （ 9.23 ） 和 周 期 为 T 的 因 果 周 期 信 号 x ? t ? 的 拉 氏 变 换 式X ? s ? ? X 1 ? s ? ?1 ? e ? sT ? , ? ? 0 是完全相似的。图 9.7 因果周期序列示例 由于 x1 ? n? 是一个 N 点有限长因果序列，其 z 变换式 X1 ? z ? 在 z ? 0 处有一个 N ? 1 阶 极点，而有理因式系数 zN?zN? 1? 在 z ? 0 处有一个 N 阶零点，在单位圆上有 N 个一阶极N点； 由式 （9.23）可知， X N ( z ) 的零极点是由相乘项 X1 ? z ? 和 z?zN? 1? 的零极点的组合，由于在 z ? 0 处零极点发生相消，所以 X N ( z ) 在 z ? 0 处仅剩一个一阶零点，而在单位圆上 有 N 个一阶极点，因此， 因果周期序列的收敛域必然为 z ? 1，这和因果周期信号拉氏变 换的收敛域为 ? ? 0 也是一致的。 因果周期序列的典型实例是因果周期单位样值序列 ? N ? n ? ??? ? n ? kN ? ，如图k ?0?9.8所示，其第一个周期的序列为 x1 ? n? ? ? ? n ? ，对应的 z 变换为 X1 ? z ? ? 1, z ? 0 。应用式 （9.23）可以求得其 z 变换为 zN?zN? 1? , z ? 1 ，可见，该变换式的极点满足方程 z N ? 1 ，N因而有 N 个极点均匀分布在单位圆上；而变换式的零点满足方程 z ? 0 ，故在原点有一个N 阶零点。当 N ? 1 时，因果单位样值周期序列即为单位阶跃序列。图 9.8 周期为 N 的因果周期单位样值序列 ? N (n) 3. Z 域尺度变换性与频移性 Z 域尺度变换性描述了序列 x ? n ? 经指数序列加权后所得序列的 z 变换与原序列 z 变换 之间的关系。若任意有界序列 x ? n ? 的双边 z 变换为Z? x(n)? ? X ( z) , z ? Rx则序列 z0 n x(n) 的双边 z 变换为? z? Z [ z0 n x(n)] ? X ? ? , z ? z0 Rx ? z0 ?证明：根据双边 z 变换的定义可得（9.24）Z [ z0 x(n)] ?nn ????z?n 0x ( n) z?n? z ? ? z ? ? ? x(n) ? ? ? X ? ? , z ? z0 Rx n ??? ? z0 ? ? z0 ???n式 （9.24） z0 可以为任意非零实数 a 、 中 纯虚数 ej?0和复数 r0 ej ?0， 因而加权指数序列 z0 n 有实指数序列、虚指数序列和复指数序列 3 种情况，下面分别讨论之。 （a） 实指数序列 r0 n ? z0 ? r0 ? 0? ： z 域的径向比例变换 这时，由式（9.24）可知有?z? Z [r0 n x(n)] ? X ? ? , z ? r0 Rx ? r0 ?（9.25）式 （ 9.25 ） 表 明 ， x ? n ? 被 实 指 数 序 列 r0 n 加 权 （ 或 调 制 ） 其 z 平 面 将 相 应 的 扩 展 ，?r0? 1或0 ? ?1 r0 ? ? 1, x ? n ? 被一个增长的实指数序列r0 n加权 ?0或压缩?0 ? r? 1或 ?1 r0 ? ? 1, x ? n ? 被一个衰减的实指数序列r0 n加权 ? 变化为 ? z r0 ? ，因而使得 X ? z ? 的所有零极点位置在 z 平面上仅沿径向移动 r0 倍，收敛域也随之扩展或压缩 r0倍 ， 变 为 r0 Rx 。 例 如 ， 若 X ( z ) 的 收 敛 域 为 Rx1 ? z ? Rx2 , 则 X ? z r0 ? 的 收 敛 域 为r0 Rx1 ? z ? r0 Rx2 。这时，也称式（9.24）为 z 变换的实指数加权性质。（b） 虚指数序列 ej ?0 n?z0? e j?0 ： z 域的中的旋转?由式（9.24）可知，这时有Z [e j?0 n x(n)] ? X e ? j?0 z , z ? Rx??（9.26）j ?0 n这时，Z 域尺度变换就变成了频移，式（9.26）称为频移性质，由此式可知，由于 e 为 1， 辐角为 ?0 ， 所以当序列 x ? n ? 被频率为 ?0 的虚指数序列 ej ?0 n的模时域调制产生 ej?0 nx ( n)时， 对应于 z 平面上尺度展缩表现为 z 平面的旋转即频移， 因此，X ? z ? 所有零极点的位置， 包括收敛域， 将绕 z 平面原点逆时针旋转一个 ?0 的弧度角， 但没有径向上的变化， 即其 z 变 换的极点与原 z 变换的极点相比，辐角变化了 ?0 弧度而幅值不变，因而收敛域不变，仍和 原序列 z 变换的收敛域相同。 显然， 如果 X ? z ? 的零极点是共轭成对的， 则频移旋转后 X e 将失去这种共轭关系。 如果旋转量是 ? 的奇数倍，即 ?0 ? ? 2k ? 1? ? ，此时 z0 ? e 以得到 z 域反转性质，即j?0?? j?0z 的零极点分布一般??e ?j 2k ?1??? ?1 ，则可Z [? ?1? x(n)] ? X ? ? z ? , z ? Rxn（9.27）图 9.9（a）（b）和（c）分别绘出了 X ? z ? 、 X e 、 收敛域。?? j?0z 和 X ? ? z ? 的零极点分布及?（a）(b) 图 9.9 频移引起零极点分布的变化（c）（a） X ? z ? 的零极点分布，(b) X e?? j?0z 的零极点分布 ， （c） X ? ? z ? 零极点分布?我们知道，傅立叶变换的调制定理是利用正弦、余弦信号去乘以一个信号使得乘积信 号的频谱是原信号频谱的搬移结果，而式（9.26）表示的一个序列和虚指数序列相乘后所得 序列的频谱也是将原序列频谱的搬移， 但是， 这种调制定理的频谱搬移特性是依靠零极点在z 平面上旋转实现的。这 种 情 况 的 一 个 简 单 例 子 就 是 利 用 欧 拉 公 式 求 cos ? ?0n? ? ? n? 的 z 变 换 ， 已 知X ? z ? ? Z ? x ? n ? ? ? Z ?? ? n ? ? ? z ? z ? 1? , z ? 1 ， cos ? ?0 n ? ? ? n ? ? e j?0 n ? e ? j?0 n ? ? ? ???2，z ( z ? cos ?0 ) 1 1 ? e ? j?0 z e j?0 z ? Z ?cos ? ?0 n ? ? ? n ? ? ? ? X e ? j?0 z ? X e j?0 z ? ? ? ? j?0 ? j?0 ? ? 2? ? 2 e z ? 1 e z ? 1 ? ? z 2 ? 2 z cos ? ? 1 ? ? 0????其收敛域未变，仍为 z ? 1。接着可以求 ? n cos(?0 n)? (n) 的 z 变换，这时，应用第一种情 况中的式（9.25）可以求得? z?z ? ? ? cos ?0 ? ?? ? ? z ( z ? ? cos ?0 ) Z ? ? n cos(?0 n)? (n) ? ? 2 ? ? z 2 ? 2? z cos ?0 ? ? 2 ?z? z ? ? ? ? 2 ? cos ?0 ? 1 ? ?其收敛域为z?? 1 ，即 z ? ? 。这些结果与表 9.1 中所列的完全一致。j?0 n（c） 复指数序列 r0 n en?z0? r0 e j?0?： z 域的径向比例变换与旋转对于复指数序列 z0 ? r0 e?j ?0?n，Z 域尺度变换性的形式为Z ? r0 e j?0 ? ???n? z x ( n ) ? ? X ? j?0 ? ? ? r0 e? ? , z ? r0 Rx ?（9.28）这种情况是（1）（2）两种情况的综合，即是 Z 域尺度变换性的一般情况。这时， X ? z ? 在 、z 平面上的尺度展缩表现为两方面，即其所有零极点的位置，包括收敛域，不光在 z 平面上仅沿径向移动 r0 倍，而且还要绕原点逆时针旋转一个 ?0 的弧度角，而由于零极点的位置 在径向上有 r0 倍的变化，所以这时收敛域在尺度上也相应变化为 r0 Rx 。 若以 z0 对序列 x(n) 作指数加权则还可得出?nZ ? z0 ? n x(n) ? ? X ? z0 z ? , z ? Rx z0 ? ?（9.29）Z 域尺度变换性和频移性对单边 z 变换同样成立，这时，由于 X ? z ? 的收敛域为z ? Rx ，经 Z 域尺度变换后收敛域变化为 z ? z0 Rx 。?1? 例 9.7 已知 x ? n ? ? ? ? 4n?1? ? n ? 1? ，求 x ? n ? 的双边 z 变换。 ? 3? ?1? 解：令被实指数序列 ? ? 加权的序列为 xa ? n? ? 4n?1? ? n ?1? ，则原序列可以表示为 ?3? ?1? x ? n ? ? ? ? xa ? n ? ，而 xa ? n? 的双边 z 变换可以利用位移性求出为 ? 3?Xa ? z? ? z z z2 ? ,4 ? z ? ? z?4 z?4n nn由 Z 域尺度变换性可以求出 x ? n ? 的 z 变换为?? 1 ? n ? X ? z ? ? Z ? x ? n ? ? ? Z ?? ? xa ? n ? ? ? X a ? 3z ? ? ? ?? 3 ? ? ? ?? 3z ? =4．时域反转性23z ? 4?9z2 4 , ? z ?? 3z ? 4 3时域反转性反映了序列的 z 变换与该序列反转后 z 变换的关系，即若任意有界序列x ? n ? 的双边 z 变换Z? x (n ? ? X ( z ) , ? ) z则 x(?n) 的双边 z 变换为xR1 ?1? Z ? x(?n)? ? X ? ? , z ? Rx ?z?证明：根据双边 z 变换的定义可得（9.30）Z [ x(?n)] ?n ???? x ( ? n) z??nn??? n1 ?1? ?1? ? ? x(n?) ? ? ? X ? ? , z ? Rx ?z? ?z? n?????? n?式（9.30）表明， x(?n) z 变换的收敛域是 x(n) z 变换收敛域 Rx 的倒数，这是因为它们所 对应的 z 变量成倒数关系， 则极点亦成倒数关系的缘故。 例如， z0 是 Rx 中的一点， 1 z0 若 则点 就 会 在 1 R x 中 ， 若 X ( z ) 的 收 敛 域 为 Rx1 ? z ? Rx2 , 则 X ?1 z ? 的 收 敛 域 为Rx1 ? z ?1 ? Rx2 , 即有 1 Rx2 ? z ? 1 Rx1 。显然，时域反转性仅对双边 z 变换成立。由式（9.30）可知，对于偶序列 x ? n? ? x ? ? n? ，有 X ? z ? ? X ? ? ；而对于奇序列?????1? ?z??1? ?1? x ? n? ? ? x ? ?n? ，则应有 X ? z ? ? ? X ? ? ，因此，可以利用 z 域特性 X ? z ? ? X ? ? 和 ?z? ?z? ?1? X ? z ? ? ? X ? ? 是否成立来判断它们所对应的时域序列的奇、偶对称性。 ?z?例 9.8 已 知 因 果 序 列 x ? n ? ? ? n ? 的 z 变 换 为 X ? z ? , z ? Rx ， 试 求 反 因 果 序 列 （吕幼新阎鸿森） x ? ?n ? ? ? ?n ?1? 的双边 z 变换。 解：首先由时域反转性质求出 x ? ?n? ? ? ?n? 的双边 z 变换为1 ?1? Z ? x ? ?n ? ? ? ?n ? ? ? X ? ? , z ? ? ? Rx ?z?例 如 ， x ? n? ? ? ? n? 的 z 变 换 为 X ? z ? ?1 z ? , z ? 1 ， 故 ? ? ?n ? 的 z 变 换 为 ?1 1? z z ?1X ? z ?1 ? ?1 z ?1 ?? , z ? 1。 1? z 1 ? z ?1将反因果序列 x ? ?n ? ? ? ?n ?1? 表示为x ? ?n? ? ? ?n ?1? ? x ? ?n? ? ? ?n? ? x ? 0? ? ? n?将 上式 两边取 双边 z 变 换， 并 在 等 式右 边 应 用 z 变换 的 线 性 性质 便 得 到反因 果 序 列x ? ? n? ? ? ? n ?1? 的双边 z 变换为1 ?1? X ? x ? ?n ? ? ? ?n ? 1?? ? X ? ? ? x ? 0 ? , z ? ? ? Rx ?z?应用上述结果可以求出 ? ? ?n ?1? 的双边 z 变换为 为z , z ? 1 ,而 ?? ? ?n ? 1? 的双边 z 变换 1? zz , z ? 1 （胡光锐 p312 陈生谭 p292） 。显然， 由于 ? ? ?n ?1? 和 ?? ? ?n ? 1? 的形式 z ?1比较简单，所以直接用定义求它们的双边 z 变换比较简单。 ， 5. Z 域微分性（序列线性加权）若任意有界序列 x ? n ? 的双边 z 变换Z? x (n ? ? X ( z ) , ? ) z则序列 nx(n) 的双边 z 变换为xRZ ? nx( n) ? ? ? z证明：根据双边 z 变换的定义可得d X ( z ) , z ? Rx dz（9.31）Z ? x ( n) ? ?n ???? x ( n) z??n, z ? Rx在上式两边对 z 求导数，并在等式右边交换求和与求导的顺序得? ? dX ( z ) d ? ? x(n) ( z ? n ) ? ? ? ?nx(n) ?z ? n?1 dz dz n ??? n ???? ?z?1n ???? ? nx(n)? z??n? ? z ?1Z ? nx(n) ?将上式两边乘以 ?z ，得Z [nx(n)] ? ? zdX ( z ) dz2 2 由于 n x ? n ? ? n ? nx ? n ? ? ，所以应用式（9.31）可得序列 n x ? n ? 的双边 z 变换为 ? ?d d ? d ? Z [n2 x(n)] ? Z n ?nx ? n ? ? ? ? z Z ?nx ? n ? ? ? ? z ? ? z X ? z ? ? ? ? ? ? dz dz ? dz ? 2 d X ? z? dX ? z ? =z 2 ?z 2 dz dz????用同样的方法可知，一般地序列 n x(n) 的双边 z 变换为m? d? Z[n x(n)] ? ?? z ? X ? z ? , z ? Rx ? dz ?mm其中d ? d ? d ? d? ?? ? ? ? ? z dz ? ? ? z dz ?? z dz ?? ? z dz X ? z ? ? ? , m ? 1且为整数 ? ? ? ?????? ?????? ? ?m m次求导运算对于有理函数形式的 X ( z ) ，微分不仅不改变其收敛域，也不改变极点位置，既不会 出现新极点，也不会失去原有极点，每进行一次微分，只是使原极点的阶数增加一阶，所以X ( z ) 的微分乘以 z m 后，其极点位置与 X ( z ) 的极点位置相同，仅仅是阶数不同，因而序列线性加权 z 变换的收敛域与原序列 z 变换的收敛域相同。z 域微分性（序列线性加权）对单边 z 变换也成立，这时收敛域为 z ? Rx 。例 9.9 已知因果序列 x ? n? ? n ? n ?1? an?2? ? n ? ，试求 x ? n ? 的双边 z 变换。 解：对 a n? ? n ? 应用位移性可得序列 an?1? ? n ?1? 的双边 z 变换为Z ? a n ?1? ? n ? 1? ? ? z ?1 ? ? ?z 1 ? ,z ?a z?a z?ad ? 1 ? z ,z ? a ? ?? dz ? z ? a ? ? z ? a ?2根据 Z 域微分性质式（9.31）可得Z ? na n ?1? ? n ? 1? ? ? ? ? z ? ? ? ?对上式应用位移性可得Z ?? n ? 1? a n?2? ? n ? 2?? ? z ?1 ? ? ?z? z ? a?2?1? z ? a?2,z ?a对上式应用 Z 域微分性质式（9.31）可得Z ? n ? n ? 1? a n?2? ? n ? 2 ? ? ? ? ? z ? ? ? ?时 由于 n ? 0、n ? 1 ， n ? n ?1? an ?2d ? 1 ? 2z ? , z ? a （9.32） ? 2? dz ? ? z ? a ? ? ? z ? a ?2 ? ?? 0 ，所以有n ? n ?1? an?2? ? n ? 2? ? n ? n ?1? an?2? ? n?对上式两边取双边 z 变换，由式（9.32）可以求出Z ?n ? n ? 1? a n?2? ? n ?? ? ? ?2z? z ? a?2,z ?a（9.33）按照上述求解过程，对式（9.33）反复应用位移性和 Z 域微分性质式，可以得出一个重要的z 变换对：z ?1 ? Z ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? k ? 1? a n ? k ? ? n ? ? ? ,z ?a k ?1 ?k! ? ? z ? a?上式中 k ? 0,1, 2,? 。类似地，由 an（9.34a）? ? ?n ?1? 的双边 z 变换 ? z ? z ? a ? , z ? a 。类似地，还可以求出另一个重要的 z 变换对：z ? 1 ? Z ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? k ? 1? a n ? k ? ? ?n ? 1? ? ? , z ? a （9.34b） k ?1 ? k! ? ? z ? a?此外，对一些非有理函数形式的 z 变换，也可以不用 z 反变换求法而用 Z 域微分性质?1 式（9.31）来求它们的反变换，例如，对于 X ? z ? ? ln 1 ? az , z ? a ，可以根据 Z 域微??分性质，求得dX ( z ) d az ?1 ?ln ?1 ? az ?1 ?? ? Z [nx(n)] ? ? z ? ?z ? ? 1 ? az ?1 , z ? a dz dz这样，利用 Z 域微分性就将一个非有理函数的 z 变换式转换为一个有理函数表示式了。由a n? ? n ? 的 z 变 换 为 1? ?1az??1,? zn ?1a 可 知 ，n ? ?a ? ? ? n ?的 z 变 换 则 为1 ?1 ? az ?1 ? , z ? a ，由位移性可得， ? ? a ?所以求出 X ? z ? ? ln 1 ? az? ? n ? 1? 的 z 变换为 z ?1 ?1 ? az ?1 ? , z ? a ，a ? ?a ?n ?1??1? 的反变换为 x ? n? ? ? ?? ? n ? 1?n? ?a ? ? n ? 1 。 ?? ? ?nn?1 ?1 1 ? az ?1 类似地， a n? ? n ? 的 z 变换为 1 1 ? az , z ? a ， 由 可以求出 az??2, z ? a 的z反变换为序列 nan? ? n? 。表 9.3 中列出了常用 Z 变换的性质。表 9.3 序 号 性 质 线 性 双边 单边 z变 换 双边 单边 双边 单边 （左 移） 单边
双 边 单 边 双 边 双 边 单 边 双 边 单 边Z 变换的主要性质信号（序列）z 变换a1 X1 ( z) ? a2 X 2 ( z)1a1x1 (n) ? a2 x2 (n) x(n ? n0 )x(n ? n0 )? (n) x(n ? n0 )? (n)n0z ? n0 X ( z )z [ X ( z ) ? ? x( k ) z ? k ]k ?0 n0 ?1时 2 域 平 移z ? n0 [ X ( z ) ?k ?? n0? x( k ) z?1?k]x ? n ? n0 ? ? ? n ? n0 ?z0n x(n)z-n0 X ? z ?X( z ) z0z3 域 尺 度 时 域 反 转 Z 域 微 分 时 域 卷 积4x(?n)X ( z ?1 )5nx(n)?zdX ( z ) dz6x1 (n)* x2 (n)X1 ( z ) X 2 ( z )z7 域 卷 积x1 (n) ? x2 (n)1 z ?c1 X1 (v) X 2 ( v )v?1dv ? 2? j或? 2? j ?单 边1z X1 ( ) X 2 (v)v ?1dv c2 vX ( z) 1? z?N8时 域 延xN (n) ? ? x(n ? mN )? (n ? mN )m?0?X N ( z) ?拓 初 值 定 理 终 值 定 理 双 边 单 边 双 边 单 边x?n?x?n?x ? n`1 ? ? lim z n`1 X ( z )z ??9x (0) ? lim X ( z )z ??10x(?) ? lim( z ? 1) X ( z )z ?19.6 Z 反变换由 z 变换 X ? z ? 及其收敛域求取对应序列 x ? n ? 的计算过程称为 z 反变换，可以表示为x ? n ? ? Z ?1 ? X ? z ? , Rx ? ? ?（9.69）求 z 反变换通常有三种方法， 即幂级数展开法 （长除法） 部分分式展开法和围线积分法 、 （留 数法） ，对于简单的情况可以直接用观察法得到，例如，对于有限长序列，从其 X ? z ? 的多 项式形式就可以直接得出所要求的对应序列 x ? n ? ，对于一些简单的 z 变换式还可以直接应 用 z 变换的性质来求其反变换。9.6.1. z 反变换的一般定义z 反变换的定义可以由离散时间傅立叶变换导出，也可以由复变函数中的柯西积分定理 导出。我们知道，复变函数理论中的柯西积分定理为?z 2? j ?C1k ?1?1, k ? 0 dz ? ? ?0, k ? 0（9.70）式（9.70） 中积分路径 c 是一条 z 平面上环绕坐标原点沿逆时针方向的围线。 已知序列 x ? n ? 的双边 z 变换的定义为X ? z? ?在式（9.71）两边乘以 zk ?1n ???? x ? n ?z??n, Rx1 & z ? Rx2（9.71）? k为任一整数? ，然后沿一条完全位于 X ? z ? 的收敛域内、围绕X ? z ? z k ?1dz ? ? ? ? n ? k ?1 ? ? ??? ?C ?n? x ? n ? z ?z dz 2? j ? 1z 平面坐标原点、逆时针方向的围线 c （图 9.12）作围线积分，即? 2? j ?C1（9.72）若n ???? x ? n ? ? ? ，即序列 x ? n ? 绝对可和，则式（9.72）中的积分与求和可交换次序，有?? 2? j ?于零，即有1CX ? z ? z k ?1dz ?n ???? x ? n ? ? 2? j ? ???? 1? z k ?n?1dz ? C ?（9.73）由柯西积分定理式（9.70）可知，式（9.73）右边的围线积分当 n ? k 时等于 1，否则积分等? 2? j ?于是可得1?1, n ? k z k ?n?1dz ? C ?0, n ? k（9.74）因为 k 为任一整数， 所以式 （9.73） 右边和式中只有 n ? k 这一项不为零， 其余各项均为零，? X ? z? z 2? j ?C1k ?1dz ? x ? k ?（9.75）将式（9.75）中的 k 用 n 代替便可得到 X ? z ? 的 z 反变换 x ? n ? 用如下围线积分表示x ? n? ?? 2? j ?C1X ? z ? z n?1dz, C ? Rx1 , Rx2??（9.76）? 式（9.76）中， n ? 0， 1, ?2,? 。图 9.12 围线积分法的积分路径 若在式（9.71）采用单边 z 变换，按照同样的推导过程也可以得到式（9.76） ，不过这时 其中 X ? z ? 收敛域应为 z ? Rx ? Rx ? 0? ，逆时针方向的积分围线 C 仍应围绕原点并在收敛 域内，因而是式（9.76）的一种特殊情况，因此，式（9.76）为 z 反变换的一般定义式。9.6.2. 双边 z 反变换的计算双边 z 反变换可以在给定 X ? z ? 及其收敛域后，根据式（9.76）计算得出，但是该式 是复变函数的积分，计算较为复杂，故而一般利用复变函数的留数定理来求解。此外，还有 部分分式展开法和幂级数法。下面分别讨论这三种方法。 1． 部分分式展开法z 变换的部分分式展开法和拉氏变换的相同，是将有理分式 X ? z ? 展开为基本常用的部分分式 X k ? z ? 之和，即 X ? z ? ?? X ? z ? ，并且根据 X ? z ? 的收敛域是每一部分分式收敛i i域的公共部分来确定每一部分分式的收敛域。 由于所展开的每一部分分式都是常见序列的 z 变换，因而可以非常容易地得出每一部分分式的 z 反变换 xi ? n? ，于是由线性性质可以求出? ? X ? z ? 的 z 反变换 x ? n ? ? Z ?1 ?? X i ? z ?? ? ? Z ? X i ? z ?? ? ? xi ? n ? 。 ? ? i ? i ? i我们知道， 有理分式 X ? z ? 可以表示为 z 或 z 的多项式之比， 这里假设为前者的形式，?1有X ? z? ?N ? z ? bL z L ? bL?1 z L?1 ? ?b1 z ? b0 ? , z ? Rx D ? z ? aP z P ? bP?1 z P?1 ? ?a1 z ? a0（9.77）式（9.77）中 ak ? k ? 0,1, ?, P ? ， bm ? m ? 0,1,?, L ? 均为实系数。（1） X ? z ? 的极点为互异实数极点 若 X ? z ? 的全部极点 p1 , p2 ,?, pP 均为单实极点， 且不为零， X ? z ? z 的极点亦为单实 则 极点，可以展开为P Kp X ? z ? K0 Ki K1 K2 （9.79） ? ? ? ? ?? ?? z z z ? p1 z ? p2 z ? p p i ?0 z ? p p式（9.79）中， p0 ? 0 ，待定系数 Ki 的计算式为Ki ? ? z ? pi ?X ? z? zi ? 0,1,?, Pz? pi（9.80）其中系数 K 0 对应于极点 p0 ? 0 的系数，有K0 ? ? X ? z ?? ? ?z?0=bL aP一旦确定系数 Ki ?i ? 0,1,?, P ? 后，在式（9.79）两端乘以 z 便得到 X ? z ? 的表示式为X ? z? ? ?i ?0PP Ki z Kz = K0 ? ? i z ? Rx z ? pi i ?1 z ? pi（9.81）由于 X ? z ? 的部分分式展开式中每一个分式项 X i ? z ? 均只有一个极点 pi ， 故而 X i ? z ? 的收敛域 Rxi 只能是 z 平面上圆周 z ? pi 的外部或内部，因此，可以根据收敛域的性质 及其与极点的关系或者 X ? z ? 的收敛域 Rx 是这些 Rxi 的交集 Rx ? Rx1 ? Rx2 ? ? ? RxP 来 确定 X i ? z ? 的收敛域 Rxi 在圆周 z ? pi 的外部 z ? pi 或内部 z ? pi 。于是，展开 式 （9.81） 中除 K 0 外每一分式项 X i ? z ? 的反变换是因果序列：Z ? pin? ? n ? ? ? z ? ? z ? p , z ? pi i 或反因果序列： Z ? ? pin? ? ?n ? 1? ? ? z ，它们的和即为 X ? z ? 的反变换 x ? n ? 。 ? ? z ? p , z ? pi i 下面按 X ? z ? 收敛域的三种情况分别作出讨论： 1） X ? z ? 的收敛域为一圆外区域 z ? Rxa ， 这时，Rxa 必为 X ? z ? 的 P 个极点 p1 , p2 ,?, pP 中模值最大的一个极点之幅值， 即有 Rxa ? max pi ， X ? z ? 的反变换 x ? n ? 为一因果序 则i??????????? ?列，为各因果序列 xi ? n? 之和，即有x ? n ? ? K 0? ? n ? ? ? Ki ? pi ? ? ? n ?n i ?1P（9.82）2） X ? z ? 的收敛域为一圆内区域 z ? Rxb ，这时 Rxb 为 X ? z ? 的 P 个极点 p1 , p2 ,?, pP 中 模值最小的一个极点之幅值，即有 Rxb ? min pi ，则 X ? z ? 的反变换 x ? n ? 为一反因果序i? ?列，为各反因果序列 xi ? n? 之和，即有x ? n ? ? K0? ? n ? ? ? Ki ? pi ? ? ? ?n ? 1?n i ?1P（9.83）3） X ? z ? 的收敛域为一环形区域 Rx ? z ? Rx ，这时，假设 Rxb 为 X ? z ? 的 M 个极点 a b 即有 Rxb ? min ? p1 , p2 , ? , pM ? ， M 个 这 p1 , p2 ,?, pM 中模值最小的一个极点之幅值， 极点对应的部分分式的 z 反变换为反因果序列； Rxa 则为 X ? z ? 的其余 ? P ? M ? 个极点pM ?1 , pM ?2 ,?, pP 中模值最大的一个极点之幅值，即有(3) X ? z ? 含有重极点 设 X ? z ? 在 z ? pi 处 有 一 个 m 阶 重 极 点 ， 其 余 q ? ? P ? m? 个 为 互 异 单 极 点 ， 则X ? z ? z 可以展开为q m m K1 j K1 j X ? z ? K0 q Kr Kr ? +? ?? ?? ?? j j z z r ?1 z ? pr j ?1 ? z ? pi ? r ? 0 z ? pr j ?1 ? z ? pi ?（9.87）式（9.87）中， Kr ? r ? 0,1, 2,?, q ? 仍按式（9.80）确定，对 K1 j 可以采用推导拉氏反变换 部分分式有多重极点时待定系数的方法，从而得出两种情况下完全相同的待定系数计算式， 即K1 j ?? ? m? j ? ? 1 m X ? z ? ?? ?d ? , ? j ? 1, 2, ?, m ? ? ? m ? j ? ?? z ? pi ? ?? z ?? ? m ? j ?! ? dz ? ? ? z? pi（9.88）一旦确定了 K r 和 K1 j ， X ? z ? 的反 z 变换式X ? z ? ? K 0 +?r ?1qm K1 j z Kr z ?? z ? pr j ?1 ? z ? pi ? j（9.89）设式（9.89）中重极点所对应的部分分式为Xd ? z? ? ?j ?1mK1 j z? z ? pi ?j（9.90）式（9.90）中 X d ? z ? 的 z 反变换 xd ? n ? 与共轭复数极点一样也有三种情况，当 X ? z ? 的收敛 域为 z ? Rx1 时， xd ? n ? 为因果序列，有? n ? n ? 1? ?? n ? m ? 2 ? n ? m?1 ? xd ? n ? ? ? K11 pin ? K12 npin ?1 ? ? ? K1m pi ? ? ? n ? （9.91） ? m ? 1?! ? ?式 （9.91） X d ? z ? 各项反变换可以利用在指数序列 pin? ? n? 的 z 变换式两边逐次对 pi 微分 中 推出，首先有Z ? pin? ? n ?? ? ? ?在式（9.92）两边对 pi 微分可得z z ? pi（9.92）Z ?npin?1? ? n ?? ? ? ?在式（9.93）两边对 pi 微分可得z? z ? pi ?2（9.93）Z ?n(n ?1) pin?2? ? n ?? ? ? ?式（9.94）又可以表示为2z? z ? pi ?3（9.94）? n(n ? 1) pin ?2? ? n ? ? z Z? ?? 3 2 ? ? ? z ? pi ? ? ??在上述 z 变换式两边对 pi 逐次微分 m ? 1 次可以得出（9.95）Z ? n(n ? 1) ?? n ? m ? 2 ? p in ? m ?1? ? n ? ? ? ? ?即有? m ? 1?! z m ? z ? pi ?? n(n ? 1) ?? n ? m ? 2 ? pin ?m?1? ? n ? ? z Z? , m ? 1, 2? （9.96） ?? m ? m ? 1?! ? ? ? z ? pi ? ? ?显然，也可以直接利用式（9.34a）得出 z 反变换式（9.91） 。当 X ? z ? 的收敛域为 z ? Rx2 时， xd ? n ? 为反因果序列，此时，可以利用在指数序列? pin? ? ?n ?1? 的 z 变换式两边逐次对 pi 微分推出，或直接利用式（9.34b）得出为? n ? n ? 1? ?? n ? m ? 2 ? n ? m ?1 ? xd ? n ? ? ? ? K11 pin ? K12 npin ?1 ? ? ? K1m pi ? ? ? ?n ? 1? （9.97） ? m ? 1?! ? ?当 X ? z ? 的收敛域为一环形区域 Rx1 ? z ? Rx2 时，视重极点 pi 所在位置， xd ? n ? 为如 上所示形式的因果序列或反因果序列。 若 X ? z ? 中有二阶共轭复数极点 p1,2 ? a ? jb ? re? j? ，则它们所对应的部分分式为Xe ? z? ?? ? ? （9.98） ( z ? re j? )2 ( z ? re j? ) ( z ? re? j? )2 ( z ? re? j? )K11 e j?1 zK12 e j?2 zK11 e? j?1 zK12 e? j?2 z若 X ? z ? 的收敛域为 z ? Rx1 ，则 X e ? z ? 的 z 反变换 xe ? n? 为因果序列，即xe ? n ? ? 2r n ? K11 n cos(? n ? ?1 ) ? K12 cos(? n ? ? 2 ) ? ? (n) （9.99） ? ?若 X ? z ? 的收敛域为 z ? Rx2 ，则 X e ? z ? 的 z 反变换 xe ? n? 为反因果序列，即xe ? n ? ? ?2r n ? K11 n cos(? n ? ?1 ) ? K12 cos(? n ? ? 2 ) ? ? (?n ? 1) （9.100） ? ?若 X ? z ? 的收敛域为 Rx1 ? z ? Rx2 ， xe ? n? 为因果序列或反因果序列，这取决于 X e ? z ? 的 极点位置与 X ? z ? 的收敛域的关系，判别方法如前所述。 例 9.18 已知 X ? z ? ?z ? z 3 ? 2 z 2 ? 4 z ? 8?? z ? 2?2?z2? 4?, z ? 2 ，求 X ? z ? 的 z 反变换 x ? n ? 。解:将 X ? z ? z 展开为部分分式为X ? z ? z3 ? 2z 2 ? 4z ? 8 z3 ? 2z 2 ? 4z ? 8 ? ? 2 2 z ? z ? 2 ? ? z 2 ? 4 ? ? z ? 2 ? ? z ? j 2 ?? z ? j 2 ? =? z ? 2?K122?K11 K1 K2 ? ? ? z ? 2? ? z ? j 2? ? z ? j 2?其中系数 K11 、 K12 、 K1 和 K 2 分别为K12 ? ? z ? 2 ?2X ? z? d ? 2 X ? z? ? ? 2 ， K11 ? ?? z ? 2 ? ? ?1 z z ?2 dz ? z ? z ?2 ? ?K1 ? ? z ? j 2 ?于是得X ? z? X ? z? 1 1 ? j ， K2 ? ? z ? j 2? ??j z z ?? j 2 2 z z? j 2 2X ? z? ? =2z? z ? 2?2z2? ?z j z j z ? ? ? ? ? z ? 2? 2 ? z ? j2? 2 ? z ? j2?? z ? 2?2z 2z ? 2 ? z ? 2? z ? 4X ? z ? 的 4 个部分分子式的极点分别为 p1,2 ? 2 ，其中有一个为二阶极点， p3 ? ? j 2 。p4 ? j 2 ，显然，}