已知函数f(x)=lnx-a/x(x-1) g(x)=e^x。h(x)=f(x+1)+g(x)

点击联系发帖人 时间：2018-06-24 15:30

已知函数f(x)=lnx-a/x

，其中m，a均为实数．
（1）求g（x）的极值．
（2）设a=-1，若函数h（x）=f（x）+xe^x+1?g（x）-m²lnx是增函数，求m的取值范围．
（3）设a=2，若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁，t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x_m），求m的取值范围．

，令g（x）=0，得x=1当x∈（0，1）时，
g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∵g（1）=1
∴y=g（x）的极大值为1，无极小值．

≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，

≤0时，只需1-m²≥0，即0≤m≤1，当?

＞0时，只需1?m2?

（3）由（1）知，当x∈（0，e]时，g（x）∈（0，1]，
由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t₁，t₂（t₁≠t₂）与该值对应．

＜0，f（x）单调递减，不合题意，当m≠0时，x＝

时，f'（x）=0，由题意，
f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜

]时，f'（x）＜0，当(

由题意，只需满足以下三个条件：①fmin(x)＝f(

（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．

≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，讨论二次函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论；
（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．

导数在最大值、最小值问题中的应用．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生的等价转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．

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﹙1﹚当a＝3,b＝﹣1时,求函数f﹙X﹚的最小值.
﹙2﹚若曲线y＝f﹙x﹚在点﹙e,f﹙e﹚﹚处的切线方程为2x﹣3y﹣e＝0,求a,b的值.
﹙3﹚当a＞0,且a为常数时,若函数h﹙x﹚＝x[f﹙x﹚＋lnx]对任意的x1＞x2≥4,总有h﹙x1﹚－h﹙x2﹚／x1－x2＞﹣1成立,试用a表示出b的取值范围.

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