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如果无穷数列{an}满足下列条件：①an+an+22≤an+1；②存在实数M，使an≤M．其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．（1）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且是Ω数列，求M的取值范围；（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3=14，S3=74证明：数列{Sn}是Ω数列；（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn+1．
题型：解答题难度：中档来源：上海二模
（1）∵bn+1-bn=5-2n，∴n≥3，bn+1-bn＜0，故数列{bn}单调递减；（3分）当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，则数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．（4分）（2）证明：∵{cn}是各项正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3=14，S3=74设其公比为q＞0，∴c3q2+c3q+c3=74．（6分）整理，得6q2-q-1=0，解得q=12，q=-13（舍去）．∴c1=1，cn=12n-1，Sn=2-12n=Sn+2，S＜2．（8分）对任意的n∈N*，有Sn+Sn+22=2-12n-12n+2＜2-12n+1=Sn+1，且Sn＜2，故{Sn}是Ω数列．（10分）（3）证明：假设存在正整数k使得dk＞dk+1成立，由数列{dn}的各项均为正整数，可得dk≥dk+1+1，即dk+1≤dk-1．因为dk+dk+22≤dk+1，所以dk+2≤2dk+1-dk≤2（dk-1）-dk=dk-2．由dk+2≤2dk+1-dk及dk＞dk+1得dk+2＜2dk+1-dk+1=dk+1，故dk+2≤dk+1-1．因为dk+1+dk+32≤dk+2，所以dk+3≤2dk+2-dk+1≤2（dk+1-1）-dk+1=dk+1-2≤dk-3，由此类推，可得dk+m≤dk-m（m∈N*）．（14分）又存在M，使dk≤M，∴m＞M，使dk+m＜0，这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意n∈N*，都有dk≤dk+1成立．（16分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如果无穷数列{an}满足下列条件：①an+an+22≤an+1；②存在实数M，使a..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列的概念及简单表示法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质数列的概念及简单表示法
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。特别提醒：①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
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数字推理，顾名思义即为探索数列排列规律，并正确填补空缺数字的一类题目，形成规律至少需要三个数字，我们要做的则是从这三个或者更多数字中找出连接他们的“线”，或者明目张胆、或者遮遮掩掩，不变的是总能牵一发而动全身，而这样的“线”你有把握找到几条呢？入门篇1、数字间涉及和、差（1）等差关系：数列中各个数字成等差数列 ；二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列。（2）移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。找规律：2，15，41，80，？解题思路：相邻两数的差分别是13、26、39……，它们是公差为13的等差数列。下一个数字是80+52=132。2、数字间涉及乘除（1）等比关系：数列中相邻两个数的比值相等；二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列 （2）移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。找规律填空：7，9，-1，5，（ ） 解题思路：尝试两两相加，新数项间存在等比。7+9=16；9+（-1）=8；（-1）+5=4；5+（-3）=2 , 16，8，4，2等比。Tip：观察数列数字间的变化幅度的大小，如果前几项较小，末项却突然增大数倍，可以考虑等比数列；如果数列的起伏不大，变化幅度小且逐渐递增或递减，则可考虑等差数列。3、平方关系、立方关系、乘方关系平方、立方是数字推理中的常客，而这就需要我们对常见数字的平方（和）、立方（和）都有所了解，在解题时注意各项数字是否为整数的平方或立方，或是与它们左右相邻或相近的数字，如果是，就可以考虑平方数列或立方数列。找规律：1=3，2=14，3=39；4=？解题思路：5以内的平方、立方结果出现频率很高，熟悉这些即可较快推断出本题规律——4、翻转数列有些数字推理中并不存在计算，而是需要另辟蹊径，比如换个“角度”看。找规律填空：0、1、8、11、69、88、96、101、( &)解题思路：既然说到翻转，那么我们可以顺带了解一下对称图形——左右、中心对称的数字都有哪些？题目中的数有一个共同的特点：旋转倒过来看数字不变。如0，倒过来看还是0。以此类推，下一个保持不变的数是111。第一个问题来了！看这里！1，2，7，20，61，182，547，（ ）A.1095C.1640B.1520D.1980—— 进阶篇5、非整数数列我们通常会对整数间的关系比较敏感，但数字推理中也不乏特立独行的存在，比如分数数列，比如带根号的数列。分数数项有时需要我们先做通分处理，且通常需要把分子和分母看作两个不同的数列来计算；遇到带根号的数项则可尝试开根号或转换成根号内乘方的形式。如果数列内有多项分数或根式，一般都需要将其余项均化为分数或者根式。这类数列并不比整数数列棘手，运算规则都是相通的，熟能生巧。6、质数数列质数又称素数，条件是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。质数数列都是围绕质数做文章，这就需要我们对常见的质数、排列都有所了解才行。问号处应填入什么数？1，3，6，11，18，29，42，？解题思路：相邻两个数的差为从小到大的质数列，下一个质数是17，42+17=597、特定的数列规律、转换方式比如圆周率、进制转换、斐波那契数列、发音规律、笔划顺序、字母对应、钟表数字与角度对应等等，不知道这个数列的可能永远解不出来，但知道了这个规律就会变得非常简单。以下四行每一行都有一个共同点，而这个共同点在行与行之间又形成了一个规律。请问，10应该属于下面哪一行？ 1 &3 &7 &8 0 5 &9 2 &4 &6解题思路：这题的关键点不在运算，而在读音，把每一行的数字正确念出来，解题也就结束了。第一行读音都为第一声第二行读音都为第二声第三行读音都为第三声第四行读音都为第四声10读第二声，应该在第二行这里是试图难倒你的第二个问题！找规律填数：3，5，9，15，（ ），45，81，147，279.........请问：括号处填多少？A.21C.30B.27D.36—— 高阶篇8、双重数列（1）每两项为一组，以组合为单位呈现运算规律，例如每两项之比/差相同、又或者每组以某种方式计算后得到的新数项间存在联系等等。2、5、6、10、11、16、？解题思路：仔细看每个数字之间相差的数：5-2=3、6-5=1、10-6=4、11-10=1、16-11=5考验智商的时刻到了，如果你对圆这类知识非常敏感，就可以发现这些相差的数字组合起来即为：31415，然后我们接下来要做的就是把圆周率给背一遍，3.1415……而下一位（即圆周率小数点后第5位）就是9。最终答案揭晓——16+9=25。（2）两个数列相隔，可能其中一个数列无任何规律，也可能两个数列的规律不同、需要分别看待。通常如果一个数列的项数比较长，或有两项是括号项，我们就可以往奇、偶项数列和两两分组数列去考虑了。当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。1，12，4，10，7，（ & &），10，6解题思路：本题的奇数项、偶数项需要拆开看，两个数列分别有规律，奇数项为+3，偶数项为-2，括号处应为8。9、组合数列当当当！最有挑战的终于来了！如果你在33IQ的数字推理题库里逛过，你就会发现以前面那8种数列单独出的题几乎是不存在的，即使出现了也难度不高，更多的是8种数列关系两两组合、甚至三种组合，环环相套、题中有题。最常见的当属和差关系+乘除关系、和差关系+平方立方关系，不常见的就得诸位看官自行摸索了。最后留一道思考题，我们下期见啊！按规律填空：9126, &11218, &13346, &12516, &14734, &？A.16952C.71006B.16970D.81160—— ——————————本文为33iq原创，转载请注明出处。
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实验 数列与级数.doc 6页
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实验 数列与级数
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实验3 数列与级数
级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。
所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字
, ,… , ,…
而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式
数列与级数有密不可分的关系。给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列
其中= ++…+ , n = 1,2 ,… .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数
这里= ,,n = 2 ,3 ,… 。并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。
给定的数列{} ,人们最关心的问题是：
数列有什么规律与性质？
当n→∞时，数列的极限是什么？
极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？
如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？
如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？
对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。
本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。我们以Fibonacci数列为例来探讨上述问题。
Fibonacci数列
给定如下的数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……
其递推关系式由
，2，…， ,
给出，该数列被称为Fibonacci数列。
Fibonacci数列经常以著名的养兔问题提出来。某人养了一对兔子（公母各一只）。一月后，这对兔子生了一对小兔。以后每月、每对成熟（即一月以上）的兔子都生育一对小兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子？显然，问题的答案就是数列的第十二项。
为考察Fibonacci数列的极限与规律，我们用计算机算出Fibonacci数列每一项的值，并在二维平面上画出顺次连接点（，），n=1,2,…，N的折线图，其中是一个大整数。
分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图。Fibonacci数列是否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？你能否证实你的观察？
为进一步研究Fibonacci数列的特性，我们将取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点,n=1,2,…,N=1000, 对上述数据进行拟合可得
分别取N=，10000，用直线去拟合数据, n=1,2,…,N,由此求数列的近似表示，注意观察的线性项的系数，它与黄金分割数有何联系？
由计算机观察到的上述结果我们似乎可以猜测数列的通项具有形式
将上式代入递推公式（3）得
从而 。因为数列趋于无穷，故取
然而，公式（8）并不满足，即并非数列的通项公式。不过，它仍然是数列的主项。
证明公式（8）不是Fibonacci数列的通项。
为进一步得到Fibonacci数列的通项，我们构造数列
将上式代入公式 （3）可得仍然满足递推公式（3）。因而我们猜测，数列的通项也具有形式
其中也满足方程（7），故 = 这样，我们得到Fibonacci数列的通项一个新的猜测
由条件确定出 c= ,=
从而我们得到
这样，Fibonacci数列趋于无穷的阶为()。
验证（9）式正是Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干与叶子的生长有紧密的联系。它在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助前苏联数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的Hilbert第十问题。此外，它在优化、运筹以及计算机科学与艺术领域都具有极大的应用
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通项是an=（-1）∧（n+1）n=2k时Sn=0n=2k+1时候Sn=1
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1-3数列的极限
来源：互联网
贡献&责任编辑：鲁倩 &
章节题目第三节 数列的极限内容提要研究数列及其变化规律;讲授极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性.重点分析极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性.难点分析极限思想,精确定义收敛数列的有界性习题布置：2、3（1）（3）、4、5备注教
容一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”――刘徽正六边形的面积；正十二边形的面积；正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义定义:按自然数编号依次排列的一列数
(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列(1)记为.例如：
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数三、数列的极限问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于时的一切,不等式都成立,那末就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为
或如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：其中 几何解释:注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1 证：
所以, 说明:常数列的极限等于同一常数.小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3 证
四、数列极限的性质1.有界性定义: 对数列, 若存在正数, 使得一切自然数, 恒有成立, 则称数列有界, 否则, 称为无界.例如, 有界无界数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.定理1
收敛的数列必定有界.证：由定义,
注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论
无界数列必定发散.2.唯一性定理2
每个收敛的数列只有一个极限.证: 由定义,
故收敛数列极限唯一.例5 证: 由定义, 区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.思考题指出下列证明中的错误。证明：要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答 ~ （等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值，反而缩小为从而时，仅有成立，但不是的充分条件．以下内容为系统自动转化的文字版，可能排版等有问题，仅供您参考：章 节 题 目第三节 数列的极限研究数列及其变化规律; 讲授极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性.内 容 提 要极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性. 重 点 分 析极限思想,精确定义 收敛数列的有界性 难 点 分 析习 题 布 置P42 ：2、3（1） 、4、5 （3）备 注1教学内容一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ――刘徽 正六边形的面积 A1 ；正十二边形的面积 A2 ； ?? 正 6? 2n ?1??形的面积 AnA1 , A2 , A3 ,?, An ,? ? S2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”1 第一天截下的杖长为 X 1 ? ; 2 第二天截下的杖长总和 为 X 2 ? 1 1 ? ; 2 22????第n天截下的杖长总和为 X n ? X n ? 1? 1 ?1 2n1 1 1 ? 2 ??? 2 2 2二、数列的定义 定义:按自然数 1,2,3,? 编号依次排列的一列数x1, x2 ,?, xn ,?(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项, xn 称为通项(一般项).数列(1) 记为 {xn } . 例如： 2,4,8,?,2 ,?;n{2n }{ 1 } 2n1 1 1 1 , , , ? , n , ?; 2 4 8 21,?1,1,?, (?1)n?1 ,?;{(?1) n?1}{ n ? (?1) n?1 } n1 4 n ? (?1) n?1 2, , ,?, ,?; 2 3 n3, 3 ? 3 ,?, 3 ? 3 ? ?? 3 ,?2注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x3x1x2 x4xn2.数列是整标函数 xn ? f (n). 三、数列的极限观察数列{1 ?问题:(?1) n?1 } 当 n ? ? 时的变化趋势 . n当 n 无限增大时, xn 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:当 n 无限增大时 xn ? 1 ? ,(?1) n?1 无限接近于1. n问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.? xn ?1 ? (?1) n ?1给定1 1 ? n n1 1 1 1 , 由 ? , 只要 n ? 100时, 有 xn ? 1 ? , 100 n 100 100 1 1 给定 , 只要 n ? 1000 , 有 xn ? 1 ? , 时
1 给定 , 只要 n ? 10000 , 有 xn ? 1 ? , 时
1 给定 ? ? 0, 只要 n ? N (? [ ]) 时, 有 xn ?1 ? ?成立.定义 如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么小 ),总存在正数 N ,使得对于?n ? N 时的一切 xn ,不等式 xn ? a ? ? 都成立,那末就称常数 a 是数列 xn 的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为lim xn ? a,n??或 xn ? a(n ? ?).如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：1.不等式 xn ? a ? ?刻划了xn与a的无限接近 ;2.N与任意给定的正数 有关. ?? ? N定义 : lim xn ? a ? ?? ? 0, ?N ? 0, 使n ? N时, 恒有 xn ? a ? ? .n ??3其中 ? : 每一个或任给的 ? : 至少有一个或存在 ; . 几何解释:a ??2?a ??xN ? 2x2 x1xN ?1ax3x当n ? N时, 所有的点xn都落在(a ? ? , a ? ? )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外 .注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 例 1 证明 limn ? (?1) n ?1 ? 1. n ?? nn ? (?1) n ?1 1 ?1 ? n n1 1 ? ? , 或n ? , n ?证： xn ?1 ?任给? ? 0, 要 xn ?1 ? ? , 只要所以, 取N ? [ ], 则当n ? N时,1?就有n ? (?1) n ?1 n ? (?1) n ?1 ? 1 ? ? 即 lim ? 1. n ?? n nn ??例 2 设x n ? C (C为常数 ), 证明 lim x n ? C. 证： 任给? ? 0 , 对于一切自然数n ,xn ? C ? C ? C ? 0 ? ?成立,所以, lim xn ? C .n ??说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 ? ? 0, 寻找 N,但不必要求最小的 N. 例 3 证明 lim q ? 0, 其中 q ? 1.n n ??证任给? ? 0, 若q ? 0, 则 lim q n ? lim 0 ? 0;n ?? n ??若0 ? q ? 1, xn ? 0 ? q n ? ? , n ln q ? ln ? ,?n ? ln ? ln ? , 取N ? [ ], 则当n ? N时, 就有 q n ? 0 ? ? , ln q ln q4? lim q n ? 0.n ??例 4 设x n ? 0, 且 lim x n ? a ? 0, 求证 lim xn ?n ?? n ??a.证： 任给? ? 0, ? lim xn ? a ,n????N使得当n ? N时恒有 xn ? a ? ?1,从而有 xn ? a ?故 lim xn ? a .n ??xn ? a xn ? a?xn ? a a??1a??四、数列极限的性质 1.有界性 定义: 对数列 xn , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n , 恒有 xn ? M 成立, 则称 数列 xn 有界, 否则, 称为无界. 例如, 数列 xn ? 有界 n ?1数列 xn ? 2n. 无界数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [? M , M ] 上. 定理 1 收敛的数列必定有界. 证： 设 lim xn ? a, 由定义, 取? ? 1,n ??则?N , 使得当n ? N时恒有xn ? a ? 1,即有 a ?1 ? xn ? a ? 1.记 M ? max{x1 ,?, xN , a ?1, a ?1}, 则对一切自然数 ,皆有 xn ? M , 故?xn ?有界. n注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性 定理 2 每个收敛的数列只有一个极限. 证: 设 lim xn ? a, 又 lim xn ? b, 由定义,n ?? n ???? ? 0, ?N1 , N 2 .使得 当n ? N1时恒有xn ? a ? ? ;5当n ? N2时恒有xn ? b ? ? ; 取N ? max?N1 , N2 ?,则当n ? N时有 a ? b ? ( xn ? b) ? ( xn ? a) ? xn ? b ? xn ? a ? ? ? ? ? 2? .上式仅当a ? b时才能成立 故收敛数列极限唯一. .例 5 证明数列 n ? (?1)n?1 是发散的 x . 证: 设 lim xn ? a, 由定义, 对于 ? ?n ??1 , 2 1 则?N , 使得当 n ? N时, 有 xn ? a ? 成立 , 2 1 1 即当 n ? N时, xn ? (a ? , a ? ), 区间长度为 1. 2 2而xn 无休止地反复取, ?1两个数, 不可能同时位于长度为 1 的区间内. 1 事实上,{xn }是有界的 但却发散 , .五.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性.思考题 指出下列证明 lim n n ? 1中的错误。n ??1 ln n ? ln(1 ? ? ) n 1 ln(1 ? ? ) ln(1 ? ? ) ? 从而由 ? n ln n ln 2证明：要使 n n ? 1 ? ? , 只要使 得 ?? ? 0, 取 N ? ?? ln 2 ? ? ?1 ? ln(1 ? ? ) ?当 n ? N 时，必有 0 ? n n ? 1 ? ? 成立? lim n n ? 1n ??思考题解答?nn ?1 ? ? ~1 ln n ? ln(1 ? ? ) （等价） n61 ln(1 ? ? ) ln(1 ? ? ) ? ? n ln n ln 2 ln 2 ln n ? ? ln(1 ? ? ) 实际上就是不等式 n n ln n ln 2 即证明中没有采用“适当放大” 的值，反而缩小为 n n ln(1 ? ? ) 从而 n ? N ? 时， ln 2 ln 2 ? ln(1 ? ? ) 成立， 仅有 n ln n ? ln(1 ? ? ) 的充分条件． 但不是 n证明中所采用的7
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