将函数Y=2的x次方+1的图像按向量a平移到函数y=2的x+1次方的图像,则a=
分类：数学
x→x+1 左移1y-1→y 下移1a=（-1,-1）
已知函数y=3sin(1/2x-π/4)(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图像是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；(3)求次函数的振幅、周期和初相;(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心
（1）网友,不是我不给你上传图.在这里上传图形相当麻烦.要审查n个小时.你可能有耐心.很抱歉,但是我没有耐心.我怕被人抢答或你取消提问.（2）由y=sinx的图象向右平移π/4个单位长度,得y=sin(x-π/4);再横向伸长到原来的2倍,得y=sin(1/2 x-π/4);最后再纵向伸长到原来的3倍,得y=3sin(1/2 x-π/4);（3）振幅6,周期4π,初相-π/4（4）对称轴方程1/2 x-π/4=kπ+π/2,k∈Z,解出x即得对称中心1/2 x0-π/4=kπ,k∈Z,解出x0即得,(x0,0)ok吧_博客_百度空间 欢迎访问我的函数博客三角函数salon栏目“三角函数解题思路”
原式 = 2xy(x? + 2xy +y?)= 2xy(x+y)?= 2*2*4?= 64
证明由f（x+2）f（x）=1得f（x+2）=1/f（x）.(*)则f（x+4）=f（x+2+2）.(利用*式）=1/f（x+2）.(再次利用*式）=1/[1/f（x）]=f（x）故f（x+4）=f（x）故T=4故fx是周期函数
已知函数f(x)=x*2-4x+a+3,a∈R(1)若函数f(x)在(-∞,∞)上至少有一个零点,求a的取值范围?(2)若函数f(x)在[a,a+2]上的最大值为3,求a的值?
其他相关问题已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f(x)-ax^2+3是奇函数,求函数的表达式个极值
分析：由题意先求f（x）的导函数,利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a,b,c的方程求解即可；有上可知函数f（x）的解析式,先对函数f（x）求导,再利用极值概念加以求解即可．f′（x）=-3x^2+2ax+b,∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3,∴f′（1）=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1,又函数g（x）=-x^3+bx+c+3是奇函数,∴c=-3．∴a=-2,b=4,c=-3,∴f（x）=-x^3-2x^2+4x-3．f′（x）=-3x^2-4x+4=-（3x-2）（x+2）,令f（x）=0,得x= 2/3或x=-2,当x∈（-∞,-2）时,f′（x）＜0,函数f（x）在此区间上单调递减；当x∈ (-2,2/3)时,f′（x）＞0,函数f（x）在此区间单调递增；当x∈ (2/3,+∞)时,f′（x）＜0,函数f（x）在此区间上单调递减；所以f（x）极小=f（-2）=-11,f（x）极大=f (2/3)=-41/27．．
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的点p(1.f(1))处的切线方程为y=_3x+1,函数g(x)=f》相关的作业问题
求导f'(x)=-3x^2+2ax+b点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1故-3=-3+2a+b-2=-1+a+b+c得a=-b/2c=-1-b/2f'(x)=-3x^2+2ax+b=-3x^2-bx+b>=0在区间[-2,0]上恒成立从二次函数考虑f'(x)=-3x^2-bx+b是开口向下的抛物线故要使f'(
奇函数性质有f(-x)=-f(x),f(0)=0代入后知a=0,c=0,e=0(以后直接用这种结论,偶数次幂的系数都是0,而奇函数在点0处若有定义,那么一定是0)得y=bx^3+dx求导得y=3bx^2+d在x=1时切点在y=x-2上,那么点是(1,-1),他也在y=bx^3+dx上 ,有:-1=b+dy=x-2的斜率
题目不清楚,没办法回答,请再完善一下. 再问： 设g(x)=f(x)+m/（x-1）是[2,+∝)上的增函数求m的最大值 谢谢 再答： 这是一个关于导数的题目，先根据在P点处的切线方程求出A、B的值，即求出了函数F（X）的表达式，再由F（X）+M/（X-1）在{2,8）上是增函数，可知G（X）的导数在该区间上大于或等于
不知道你有没有学过导数,这里用这个 f(0)=b; f'(x)=x^2-2x+a; 在点P处的斜率为f’(0)=a; 切线方程为y-b=ax 解得a=3,b=-2; g(x)=1/3x^3-x^2+3x-3+m/x; g'(x)=x^2-2x+3-m/x^2; 因为其是[2,+∝)上的增函数,所以在这个区间g’(x)大
f(x)≤A-1993x³-3x²+1≤A-1993x³-3x²+1994-A≤0x²(x-3)≤A-1994f'(x)=3x²-6x≤00≤x≤2函数在[0,2]上单调递减,在[-1,0]上单调递增,在[2,4]上单调递增.要不等式对于x∈[-1,4]上恒成
求导f(x)'=3x^2+2ax 切线在P（1,0）处的斜率和直线3x+y=0的斜率相同 f(1)'=-3求出a=-3 点平（1.0）在原函数f(x)上所以b=2 函数f(x)=x^3-3x^2+2f(x)'=3x^2-6x=3(x^2-2) f(x)'>0求出增区间 f(x)'根号2 ） f(0)=2 f(3)=2
切点在函数上所以-1=-1+a-ba-b=0,a=bf(x)=x^3+ax^2+axf'(x)=3x^2+2ax+af'(-1)=3-2a+a=3-a,即（-1,-1）处切线斜率是3-a切线9x-y+8=0斜率是9所以3-a=9a=-6f(x)=x^3-6x^2-6xf'(x)=3x^2-12x-6=0x=2±√6x2
x=-1时4x-2y+5=0中y=1/2则点（-1,1/2）f(x)=x^3+ax^2+bx和切线都经过,对f(x)求导f'(x)=3x^2+2ax+b则可得方程组1/2=-1+a-b1/2=3-2a+b解得a=1,b=-1/2
导数题 无压力1)f'(x)=3x^2+2axx-3y=01/3x=yk2=-3f(1)=0f'(1)=-3a=-3b=22)f'(x)=3x(x-2)x1=0 x2=2f(x)max=f(0)=2f(x)min=f(t)=t^3-3t^2+2
将两点代入函数得:2^(2a+b)=1=2^0和2^(a+b)=2=2^1即可得两试2a+b=0和a+b=1得出a=-1,b=2所以f(x)=2^(-x+2)
f（x）=ax^4+bx^2+c的图象过点(0.1)则c=1f'（x）=4ax^3+2bx当x=1,f'（1）=4a+2b=1y=1-2=-1所以（1,-1）在f（x）上4a+2b=1a+b+1=-1解得a=2.5,b=-4.5f（x）=ax^4+bx^2+c=2.5x^4-4.5x^2+1
f(1)=4+a+b+5=-12a+b=-21 --------------(A)f'(x)=12x^2+2ax+bf'(1)=12+2a+b=-122a+b=-24 -------------(B)联立（A),(b),解得：a=-3,b=-18f(x)=4x^3-3x^2-18x+5
f'(x)=3x^2+2axk=3+2a=-32a=-6a=-3f(1)=1-3+b=0b=2f'(x)=3x^2-6x令f'(x)=0x=0 或x=2(-无穷,0)和(2,+无穷),增[0,2]减f(2)=8-12+2=-2f(0)=2f(4)=64-48+2=18最大值18 最小值-2
（-a,o）代入得b=0故r(x)=x^2+axf(x)=x^2+ax-lnx设直线y=kx联立得x^2+ax-lnx-kx=0当x=1时成立 由F'(x)>0得-x^2+(2-a)x+a>o在（0,1）恒成立即令x=0 ,1代入即可得a>0
① f(x)=ln(x+m)+n的图像在点(1，f(1))处的切线方程是y=x-1 所以点(1，f(1))带入y=x-1成立即f(1)=1-1=0 f(1)=ln(1+m)+n=0 其中f(x)'=1/(x+m)； 又 (1，f(1))处的切线方程是y=x-1 y=x-1斜率k=f(1)'=1/(1+m)=1 所以m=
y﹦5x-10与x轴的交点坐标为(2,0),对f(x)求导得到；f‘（x）=3x^2+4bx+c,由题意可知f’（2）=5,f(2)=0即是；3×2×2+4×2b+c=58+8b+2C-2=0所以b=-1,c=1；f（x）=x^3-2x^2+x-2
f(x)=-2x³/3+2ax²+3xf′(x)=-2x²+4ax+3最大值为5所以 当x=a时 f′(a)=5=-2a²+4a²+32a²=2 a²=1 a=±1当a=1 f(x)=-2x³/3+2x²+3xf(1)=13/3f
切线方程是y=5x-10,所以进过点（2,0）,那么点（2,0）满足f(x),并且图象与x轴的焦点的导数值为5,所以带入得8+8b+2c-2=0；对f(x)=x3+2bx2+cx-2求导,得到f'(x)=3x^2+4bx+c,将（2,0）带入得12+8b+c=5,对两个方程联立求解,得c=1,b=-1,所以方程为f(x函数（数学函数） - 搜狗百科
&&历史版本
该版本已锁定
，您可以选择查看以下：
函数（数学函数）
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应。这种关系使一个集合里的每一个对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的被称作这个函数的，包含所有的输出值的集合被称作。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
　　读音：hán shù　　函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。　　----A iable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
在一个变化过程中，如果有两个变量x y 如果给定一个x值都有唯一的一个y和他对应那么称y是x的函数 x是自变量y是因变量
如果A B是两个非空数集且x y分别属于A B 如果在A中任取一个x根据对应法则f在B中都有唯一的y与之对应那么成f是B对于A的函数。　　，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。　　----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.　　函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。　　函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。　　用映射的定义　　一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。　　向量函数:自变量是向量的函数 叫向量函数 f(a1.a2，a3......an)=y　　对应、映射、函数三者的重要关系：　　函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}　　编程定义　　函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行(或称调用)该函数。　　类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。　　大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字(或称保留字)。
设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).　　数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。函数　　数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做，习惯上也说y是x的函数。　　若先定义的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。　　例1：y＝x X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］ ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。 　　其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为［0，b］。以上3示法：公式法 ，表格法和图像法。 　　一般地，在一个变化过程中并且对于X的每一个确定的值，Y都有唯一的值与其对应，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量。　　&IMG src=&http://t10.baidu.1051841&fm=0&gp=28.jpg& name=pn0&　　有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的　　x→u→y，这要看定义域：设域为U，当U*&IU时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。 函数元素
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。
计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。象和原象
元素x∈X在f的象就是f（x），他们所取的式值为0。
子集A?X在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f(函数图象
函数f的图象是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。
如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。
当k&0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k&0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。 单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x 不等于 y时有f（x）不等于 f（y）。函数 射向
满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。
　　1.早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。　　2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数　　1718年约翰o贝努利(Bernoulli Johann，瑞，)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰o贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰o贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数　　1821年，柯西(Cauchy，法，) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托(Cantor，德，)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。　　4.现代函数概念──集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。　　1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。　　正比例函数:　　正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当k&0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k&0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．　　正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．　　（另：中文“函数”名称的由来　　在中国清代数学家李善兰（）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。）　　深入研究一次函数　　徐若翰　　在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。　　一、实际问题中的分段函数　　［例1］（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是多少？　　分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。　　根据函数图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为=6000（米）。　　∴上坡速度为（米/分钟）　　下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）　　小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为＋.2（分钟）。　　二、在物理学科中的应用　　［例2］（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：　　求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围。　　分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关系可以用一次函数表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。　　由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，　　令y=7.5，得x=275　　∴所求函数为　　注 两段之间的分界点是x=275，不是x=300。　　三、直线平移的应用　　［例3］（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。　　分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为　　平移后得到直线的解析式为　　如果　　把直线PA：平移，经过C点　　得到直线：　　直线交x轴于点（－36，0）　　直线的解析式为　　如何理解函数概念　　曹阳　　函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。即：　　在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。　　它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。　　函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：　　“一对一” “多对一” “一对多”　　是函数 是函数 不是函数　　下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：　　例1 一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，：　　拉力F（kg）　　弹簧的长度y（c）　　弹簧的长度y是拉力F的函数吗？　　分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。　　例2某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。　　描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？　　分析：给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。　　例3 下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。　　（1）圆的面积S与半径r之间的关系；　　（2）汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；　　（3）等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。　　分析：（1）圆的面积S与半径r之间的关系式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。　　（2）路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。　　（3）底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。　　一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。　　例4 下列图象中，不能表示函数关系的是（ ）　　分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。　　［问题2.9］设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。
反函数　　就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。 隐函数　　若能由 F（x，y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的。　　思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一” 多元函数　　设点（x1，x2，…，xn） ∈G&IRn，U&IR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。 　　及其图像 幂函数、指数函数、、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。 　　①：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝α(为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。 　　②：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。 　　③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。 　　以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即，记作lnx。 　　④三角函数：见表2。 　　函数、余弦函数如图6，图7所示。 　　⑤：见表3。双曲正、余弦如图8。 　　⑥：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex＋e-x），双曲（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。 　　[编辑]补充　　在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。 　　术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。 二次函数　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：　　y=ax^2+bx+c　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）　　则称y为x的二次函数。　　二次函数的右边通常为二次三项式。　　x是自变量，y是x的函数　　二次函数的三种表达式　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）　　顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)&/CA&　　：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]　　其中x1，2= -b±√b^2－4ac 二次函数　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:　　______　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a　　二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。　　抛物线的性质　　1.抛物线是轴对称图形。为直线x = -b/2a。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )　　当－b÷2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则抛物线的开口越小。　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与y轴交于（0，c）　　6.抛物线与x轴交点个数　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。　　_______　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）　　当a&0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x&-b/2a}上是减函数，在{x|x&-b/2a}上是；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)　　二次函数与一元二次方程　　特别地，二次函数（以下称函数），　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　　即ax^2+bx+c=0　　此时，与x轴有无交点即方程有无实数根。　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
7.当a＞0时y=ax^2+bx+c在x≥-b/2a上为增函数 在x≤－b／2a上为减函数
当a＜0时y＝ax?＋bx＋c在x≥－b／2a上为减函数在x≤－b／2a上为增函数　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 　　y=ax^2　　y=a(x-h)^2 　　y=a(x-h)^2+k 　　y=ax^2+bx+c 　　顶点坐标 　　(0，0) 　　(h，0) 　　(h，k) 　　(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a) 　　对 称 轴 　　x=0 　　x=h 　　x=h 　　x=-b/2a 　　当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，　　当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到．　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　(2)当△=b^2-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）　　当△=0．图象与x轴只有一个交点； 　　当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0． 　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　　y=ax^2+bx+c(a≠0)． 　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． 　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)． 　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．　　中考典例　　1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(　) 　　(A)直线x=1　(B)直线x=-1　(C)直线x=2　(D)直线x=-2 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴． 　　评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确． 　　另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A． 　　2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 　　甲：对称轴是直线x=4； 　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　． 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法 　　评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 　　∵抛物线对称轴是直线x=4，　　∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　① 　　∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，　　即：x2- x1=　② 　　①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4- 　　∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。 　　当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 　　当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 　　因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3) 　　即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3 　　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。 　　5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为(　) 　　A、6　B、4　C、3　D、1 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。 　　评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。 　　图13-28　　　6．( 安徽省)发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。 　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？ 　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？ 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。 　　评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x&13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下： 　　解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 　　所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。 　　当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。 　　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。 　　第10分时，学生的接受能力为59。 　　(3)x=13时，y取得最大值， 　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。 　　9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： 　　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； 　　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； 　　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 　　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为　　:(55–40)×450=6750(元)． 　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为： 　　y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)， 　　∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000． 　　(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–， 　　即：x2–140x+4800=0， 　　解得：x1=60，x2=80． 　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：　　40×400=16000(元)； 　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：　　40×200=8000(元)； 　　由于＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 一次函数　　I、定义与定义式： 函数的基本概念：一般地，在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个X值，相应地就确定了唯一一个Y值与X对应，那么我们称Y是X的函数（function).其中X是自变量，Y是因变量，也就是说Y是X的函数。　　自变量x和因变量y有如下关系： 　　y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 　　则称y是x的一次函数。 　　特别地，当b=0时，y是x的。 　　II、： 　　y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 　　即 △y/△x=k 　　III、一次函数的图象及性质： 　　1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 　　2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 　　3． k，b与函数图象所在象限。 　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。 　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 　　IV、确定一次函数的表达式： 　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： 　　y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。 　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 　　（4）最后得到一次函数的表达式。 　　V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点　　VI、一次函数在生活中的应用 　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 　　反比例函数 　　形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。 　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 　　反比例函数的图像为双曲线。 　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。 三角函数　　三角函数是数学中属于中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷的极限和的解，将其定义扩展到复数系。 　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 　　它有六种基本函数： 　　函数名： 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 　　符号 sin cos tan cot sec
　　正弦函数 sin（A）=a/h 　　余弦函数 cos（A）=b/h 　　正切函数 （A）=a/b 　　 cot（A）=b/a 　　在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。　　一次函数解析式的求法　　求函数解析式，是初中代数的一个重要内容，下面介绍函数中最基本的函数��一次函数几种常见的解法。　　一、待定系数法　　待定系数法是求函数解析式的基本方法，其一般步骤为，首先设出所求函数解析式，再根据题设条件列出相应的方程（组），最后将所求待定系数的值代入所设的函数解析式即可。　　例1. 已知一次函数的图象经过点A（2，-1）和B，点B是另一条直线与y轴的交点，求这个函数的解析式。　　解：设一次函数的解析式为y=kx+b，则由题意得交点B的坐标为（0，3），　　又一次函数的图象经过点A（2，-1）和点B（0，3），　　解得　　所求的函数解析式为。　　例2. 已知（其中a,b是常数）成正比例，求证：（1）y是x的一次函数；　　（2）如果时，时，把y表示成x的函数式。　　分析：（1）欲证y是x的一次函数，即把y表示成“”的形式，由与成正比例，故可设，经变形可证。　　（2）把两组值代入由（1）得到的函数表示式中，求得参数的值。　　解：（1）设　　，故y是x的一次函数。　　（2）把分别代入中，得　　所求的解析式为。　　二、平移变换法　　平移变换法，就是把函数的图象沿x轴向右（）或向左（）平移|a|个单位，再沿y轴向上（）或向下平移|b|个单位，即可得到函数的图象。利用这个平移法则可直接写出所求函数图象的解析式。　　例3. 将直线向左平移3个单位，再向上平移一个单位，所得的直线解析式为_______。　　解：根据题意及平移变换法则　　得，即　　三、数形结合法　　数形结合法，就是根据问题的需要，既可以把数量关系转化为图形性质去研究也可以把图形性质转化为数量关系来讨论。　　例4. 已知两个一次函数和，试用两种不同的方法比较它们同一个自变量对应的函数值的大小。　　分析：比较两个一次函数值的大小，可以从图象法，代入法两个角度比较。　　解：解法一：（图象法）在同一坐标系中作出一次函数的图象。　　当的函数图象在的函数图象的下方　　当时，的函数图象在的函数图象的上方　　解法二：（代数法）　　由此可见，上述两种解法，分别从数、形两种角度入手，相得益彰。　　例5. 正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴的正半轴上，A点的坐标是（1，0）。　　（1）经过点C的直线与x轴交于点E，求四边形AECD的面积。　　（2）若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的方程并在坐标系中画出直线l。　　分析：（1）要求四边形ABCD面积，因为正方形ABCD中DC//AE。可见四边形AECD为梯形。　　为此只要求AE即可。　　（2）要使直线l把正方形面积分成相等两部分，只要直线l过正方形的对称中心，即对角线交点。　　解：（1）由，得。　　四边形AECD为直角梯形，　　（平方单位）　　（2）过正方形对称中心的直线，总是将正方形分成面积相等的两部分。　　过点E及正方形对称中心的直线即为所求的直线l。　　连接AC、BD交于G。　　则E（2，0），G（3，2）代入的，　　解得　　所求直线l的方程为。　　四、分类讨论法　　分类讨论法，就是在题目中未出现图形或具体条件时将会出现多种可能性，因此要分别进行讨论。　　例6. 如果一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值的范围是，求此函数的解析式。　　分析：由于一次函数的图象是直线，故当时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值即y的最大值9，一定对应x的最大值6，或最小值，这要视k的符号而定。　　解：对k的值分两种情况进行讨论：　　（1）当时，则y的值随x的增大而增大，因此，一定是当时，　　故得 解之得　　所求函数解析式为。　　当时，y随x的增大而减小，一定是。　　于是得解得　　所求解析式为　　综合上述两种情况。符合条件的解析式为　　数学问题是千变万化的，但我们总能找着常规，学习用运动变化的观点看待数学问题，这对我们的学习是大有裨益的。幂函数　　幂函数的一般形式为y=x^a。　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x&0，则a可以是任意实数；　　排除了为0这种可能，即对于x&0和x&0的所有实数，q不能是偶数；　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。　　（6）显然幂函数无界。 高斯函数　　设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤&1） 复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。　　复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家在他的关于的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 　　upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 　　downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. 介绍单位阶梯函数及延迟单位阶梯函数,研究单位阶梯函数的性质及其应用;利用单位阶梯函数表示各类分段函数和求拉氏变换,从而使得求这类函数积分变换的过程大大简化,最后介绍了单位阶梯函数与单位冲激函数的关系. 反比例函数　　表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。　　反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1　　反比例函数的特点：y=k/x→xy=k　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。　　反比例函数图像性质：　　反比例函数的图像为双曲线。　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。　　当 k &０时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数　　当k &０时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数　　倘若不在同一象限，则刚好相反。　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 　　知识点：　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。　　2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）。
函数的有界性　　设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)&=K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)&=K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|&=M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。 　　函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性函数性质　　设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1&x2时，恒有f(x1)&f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1&x2时，恒有f(x1)&f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
函数的奇偶性　　设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立： 　　f(x) = - f( - x) 或f( -x) =- f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。 　　奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。 　　设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立： 　　f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。 　　偶函数的例子有|x|、x、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。 　　偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性　　 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。 　　并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
函数的连续性　　在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 　　设f 是一个从实数集的子集射到 的函数：。f 在中的某个点c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： 　　f 在点c 上有定义。c 是中的一个聚点，并且无论自变量x 在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。 　　不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 　　仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c 点连续当且仅当以下条件成立： 　　对于任意的正实数，存在一个正实数δ& 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ& x & c + δ，就有成立。
函数的凹凸性　　
设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)&(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)&(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。
实函数或虚函数
实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。
虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。
　　许多语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:　　int max(int x,int y)　　{　　(x&y?x:y;);　　}程序函数调用　　就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。　　带有（一个）参数的函数的声明：　　类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）　　{　　}　　不带参数的函数的声明：　　void+函数名（）　　{　　}　　花括号内为函数体。　　带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。　　C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（）　　调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的个数相同。　　有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。　　#include &iostream&　　　　int f1(int x, inty)　　{　　return x+y;　　}　　void ()　　{cout&&f1(50,660)&&endl　　}　　C语言中的部分函数　　main（主函数）　　max（求最大数的函数）　　scanf（输入函数）　　（输出函数）函数图像函数f 的图像是平面上点对（x,f（x））的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。 　　如果X 和Y 都是连续的线，则函数的图像有很直观表示注意两个集合X 和Y 的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f 等于其图象。
在Microsoft Word、WPS等软件插入函数时，一般需要借助其编辑公式功能。以Word文档为例介绍Word中创建函数公式的方法：第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“函数”按钮。在打开的函数结构列表中会显示三角函数、反函数、双曲函数、反双曲函数等多种类型的函数。根据需要选择合适的函数形式（例如选择“正弦函数”）。第3步，在空白公式框架中将插入函数结构　，单击占位符框并输入具体函数数值即可。高中生数学集合与函数的公式定理口诀内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。
　　一、映射与函数：　　(1)映射的概念： (2)一一映射：(3)函数的概念：　　如：若 ， ;问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个; 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。　　函数 的图象与直线 交点的个数为 个。　　二、函数的三要素：　　相同函数的判断方法：① ;② (两点必须同时具备)　　(1)函数解析式的求法：　　①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法：④赋值法：　　(2)函数定义域的求法：　　① ，则 ; ② 则 ;　　③ ，则 ; ④如： ，则 ;　　⑤含参问题的定义域要分类讨论;　　如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。　　⑥对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ;定义域为 。　　(3)函数值域的求法：　　①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如： 的形式;　　②逆求法(反求法)：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围;常用来解，型如： ;　　④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;　　⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;　　⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域;　　⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。　　⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。　　求下列函数的值域：① (2种方法);　　② (2种方法);③ (2种方法);　　三、函数的性质：　　函数的单调性、奇偶性、周期性　　单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。　　判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)　　导数法(适用于多项式函数)　　复合函数法和图像法。　　应用：比较大小，证明不等式，解不等式。　　奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;　　f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。　　判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法　　应用：把函数值进行转化求解。　　周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。　　其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.　　应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。　　四、图形变换：函数图像变换：(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。　　常见图像变化规律：(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)　　平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b　　注意：(ⅰ)有系数，要先提取系数。如：把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。　　(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意义。　　对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称　　y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称　　y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称　　y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意：它是一个偶函数)　　伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),　　y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。　　一个重要结论：若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;}