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数列极限的求法探讨
关于数列极限的求法探讨摘 要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一 , 本文主要探讨了数学分析中 数列极限求解的几种思路和方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过程， 给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路. 关键词: 数列极限 单调有界 归结原则 极限是数学分析中最基本的概念之一， 用以描述变量在一定变化过程中的终 极状态。 纵观数学的发展， 我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫 长的过程。 它把初等数学扩展为一个新的阶段――变量数学，整个数学分析都是 以极限为基础而展开的一门数学科学。利用极限定义了函数的连续性、导数、积 分等。同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。本文主要结合相关概念、定 理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结. 本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解的 相关的方法予以归纳总结.1.利用定义求数列极限定义 1? ? ：(点列 ? xn ? 以 x0 为极限的定义)1对于任意给定的 ? ? 0 ，存在正整数N ? 0 ，当 n ? N 时， xn ? x0 ? ? ，则称点列 ? xn ? 当 n 趋于无穷时以 x0 为极限.记为 lim xn ? x0 .（ n 必须用公式编辑器中的符号）n??用数学符号简记为： ?? ? 0, ?N ? 0,当n ? N ? xn ? x0 ? ? 例 1 用 ? ? N 语言证明 limn ? 0 （ a ? 1 ). n ?? a n证明：设 a ? 1 ? ? ，由于 a ? 1 ,所以 ? ? 0 .有二项式定理得a n ? ?1 ? ? ? ? 1 ? n? ?nn ? n ? 1? 2?2 ??n ? n ? 1? 2?2因此2 n n 2 ?0 ? n ? ? ? ，解此不等式得 n ? 2 ? 1 . n 2 ?? a a ? n ? 1? ??? ? 0, 取 N ? ?n n 2 ? ?? ， ? 1? ,当 n ? N 时，有 n ? 0 ? n ? a a ? n ?1? ? 2 ? ? ? a ? 1? ? ? ?? 22这说明 lim1n ? 0 ? a ? 1? . n ?? a n定义 2? ? ： (点列 ? xn ? 不以 x0 为极限的定义)存在定数 ? 0 ? 0, 对于任意 k ? 0, 存在xnk ，有xnk ? x0 ? ? 0. .用数学符号简记为： ?? 0 ? 0, ?k ? 0，?nk ? k , xnk ? x0 ? ? 0 . 例 2 用 ? ? N 语言证明 lim ? ?1? ? 1.n n ??证明：取 ? 0 ? 1, ?n ? 0, 令k ? 2n ?1 ? n, 则有 x2n?1 ?1 ? 2 ? 1 ? ?0.注：用极限的定义时，只需要证明存在 N ，故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有 n 的因子移到不等式的 另一边再放大， 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需加入 一些限制条件，限制条件必须和所求的 N 一致，最后结合在一起考虑.2.利用极限的运算性质求数列极限定理 ? ? ：若 lim xn和 lim yn 存在，6n ??n??则 ? a ? lim ? xn ? yn ? ? lim xn ?n ?? n ?? n ??im ?b? l ? xn yn? ? n? ?n ? ?lim x nn ? ? m y nim ?c? l ? n ??? xn ? ynim xn ? l n ?? ? （ lim yn ? 0 ）. ? n?? im yn ? l n ??n ??例 3 若 lim xn ? 1 ， lim yn ? 2 ，则求 lim ? xn ? y n ? .n ?? n ??解：根据数列极限的运算性质有lim ? xn ? yn ?? nl ixmn ?y ? ? n??? n ? 1? 233.利用两边夹定理求数列极限（两边夹定理） ?6?若 ?xn ?,? yn ?,?zn ? 满足(1) yn ? xn ? zn (2) lim yn ? lim zn ? A ? n ? 1, 2,n ?? n ???则 lim xn ? A .n ??利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用的方法，这里我们 将通过以下例题来加深对这一方法的体会，以期更熟练更灵活的运用它。 例4 证明 limx ??13 24? 2n ?1? ? 0 （在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号） ? 2n ?4? 3?5 ? 35 2?证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值，故分母中因子1? 3 ? 13 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2?2n ?? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1? ?2? 2n ? 1?? 2n ? 1?1 ? 0 ? n ? ?? 2n ? 1由此可知： 0 ?13 24? 2n ?1? ?2n13 24故由两边夹定理，得 limx ??? 2n ? 1? ? 0 ? 2n ?注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，而且放大和缩小的数列是容易求得相同的极限。 基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩 小的数列的极限。 一般是将所有项换为最大项得到一个式子，然后所有项再换为 最小项又得到一个式子，证明这两个式子的极限相同，最后得出原式的极限。4.利用上下极限求数列极限（上下极限定义）?5?设 ?xn ? 为有界点列，令 an ? sup ? xk ? ，bn ? inf ? xk ? ，则有k ?nk ?na1 ? a 2 ?大小不一致）? an ? an? 1 ?， b1? b2 ?? bn ? bn?1 ?.（ an , bn 的字号且 ?an ?,?bn ? 有界，于是 lim an ? A, lim bn ? B 存在且 A ? B .我们称A，B分别为n ?? n ??? A ? lim an , limxn ? B ? lim bn . ?xn ? 的上下极限.记为 lim n ?? n ?? x ?? n ??我们知道，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限。我们还知 道， 有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。 据此， 我们利用上下极限， 必要时结合 ? ? N 语言，就可以处理一些数列的极限问题。例5.设 xn ? 0 ? n ? 1, 2,?. 试证：若 lim n ??n ??xn ?1 ? l , l 为有限数，则 lim n xn ? l. n ?? xn证明：对 ? ? ? ? 0, l ? ，由 lim 有l ?? ?xn ?1 ? l , 知 ?N ? 0 ，使当 k ? N 时， xnxk ?1 ? l ? ? ? k ? N , N ? 1, xk?.对任何 n ? N , 将 k ? N , N ? 1, 得n, n ? 1时的各式相乘，并开n次方,? n? N ?nxN ? l ? ? ?? n? N ?n? n xn ? n xN ? l ? ? ?当 n ?? 对上式右（左）边的不等式分别取上（下）极限， 得l ? ? ? lim n xn ? lim n xn ? l ? ?n?? n??x ?? n??又因为 ? 的任意性，知 lim n xn ? lim n xn ? l 故 lim n xn ? l .n ??5.应用单调有界原理求数列极限(公理) ? ? 在实数系中，有界的单调数列必有极限。2单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。 它与极限的四则运算法 则相结合，有时还可以求出某些单调有界数列的极限。 例 6. 设 a0 ? 0 定 义 an?1 ? 1 ? s i n ? n ( a ? 式, 子 1 ) , ,n （ 0此 , 1 2 因 为an?1 ? 1 ? sin(an ? 1), n ? 1,2.?, ）试求 lim an .n ??证明：令 bn ? an ?1, n ? 0,1, 2 ， 则 bn ? sinbn , n ? 0,1, 2 利用归纳法可证 bn ? 0. 注意到当 x ? 0 时，恒有 x ? sin x . 故而推知 bn ? sinbn , n ? 0,1, 2（应为 bn?1 ? sin bn ），所以 bn?1 ? sin bn ? bn .n ??这说明 ?bn ? 为单调增加且有界的数列，故极限 lim bn 存在。 记 lim b n ? l ,再由正玄函数的连续性，有 bn ? sinbn , n ? 0,1, 2b ??取极限得 l ? sinl .(应为 l ? sin l )由此可知必有 l ? 0 .即 lim bn ? 0, .从而 lim an ? l .（应为 lim a n ? 1 ）n ?? n ??n ??注:利用单调准则证明极限存在，主要针对递推数列，必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法、减 法、除法比较前后项。6.利用递推关系求数列极限在某些领域的极限问题中， 如能求出数列中各项间的递推关系，往往可以比 较地证明极限存在，并计算出极限。 例7.设已给两数 a 及 b ， x0 ? a, x1 ? b ， x n 由递推公式 xn ? 来决定，求 lim xn .n ??xn ? 2 ? xn ?1 ? n ? 2? 2解：若从题中所给的等式的两端各减去 xn ?1 ，则得1 ? xn?1 ? xn?2 ?? n ? 2,3, 4, ? . 2 1 令 yn ? xn ? xn?1 ，得 y n ? ? y n ?1 ，且 y1 ? x1 ? x0 ? b ? a 。 2 1 1 yn ? xn ? xn?1 ? ? ? xn?1 ? xn?2 ? ? ? yn?1 （ 序列 ， ） （删掉） 2 2 xn ? xn ?1 ? ?对 y n 的前n项求和，得? x1 ? x0 ? ? ? x2 ? x1 ? ?1? ?b ? a ? ? ? ? ? ? ?b ? a ? ? 2? ? ? xn ? xn ?1 ? ? xn ? a ? ? 1? 1? ? ? ? ? 2?nn即 xn ?a ? 2b a ? 2b 2 ? 1? ? ? b ? a ? ? ? ? ，令 n ?? ，便有 lim xn ? n ?? 3 3 3 ? 2?7.利用柯西收敛准则证明数列极限1 （柯西收敛准则） ? ? 点列 ?xn ? 存在极限的充要条件是对于任意给定的 ? ? 0 ，存在 N ? 0, 当 m, n ? N 时，满足 xm ? xn ? ? .用书写符号简记为?? ? 0, ?N ? N ?? ? , 当 m, n ? N ? xm ? xn ? ? .即： ?? ? 0, ? 正整数 N ，使得当 n, m ? N 时，有 an ? am ? ? .例8.证明：数列 xn ? ?sin k (n ? 1, 2,3, ???) 为收敛数列. k k ?1 2n1 1 ? n?m sin(m ? 1) sin n 1 1 1 1 1 xn ? xm ? ? ??? ? n ? m ?1 ? ??? ? n ? m ?1 ( 2 ) ? m ? m ?1 1 2 2 2 2 2 2 m 1? 2?1? ?? ? 0 取 N ? ? ? ，当 n ? m ? N 时，有 xn ? xm ? ? ?? ?由柯西收敛准则，数列 ?xn ? 收敛.8.利用有界变差数列收敛定理求证数列极限（有界变差数列收敛定理） ? 例 9.若数列 ?xn ? 满足条件3?单调有界数列必定收敛xn ? xn?1 ? xn?1 ? xn?2 ???? x2 ? x1 ? M (n ? 1, 2, ???)则称 ?xn ? 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令 y1 ? 0, yn ? xn ? xn?1 ? xn?1 ? xn?2 ???? x2 ? x1 ,有 ? yn ? 单调递增. 由已知知 ? yn ? 有界，故 ? yn ? 收敛。从而 ?? ? 0, ? N ， 使得当 n ? m ? N 时，有 yn ? ym ? ? . 即 xn ? xm ? xn ? xn?1 ? xn?1 ? xn?2 ???? xm?1 ? xm ? ? 由柯西收敛准则，知数列 ?xn ? 收敛注：按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。有界变 差数列收敛定理的重要性在于， 它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，进 而在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的去求极限。9.利用（海涅）归结原则求数列极限7 归结原则 ? ? ： lim f ? x ? ? A ? 对任何 xn ? x0 ? n ? ?? ，有 lim f ? xn ? ? Ax ? x0n ??? 1 1 ? 例10.计算 lim ?1 ? ? 2 ? n ?? ? n n ?n? 1 1 ? ? 1? 解：一方面， ?1 ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? e ? n ? ? ? ? n n ? ? n?? 1 1 ? ? n ?1 ? 另一方面， ?1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? n ? ? n n ? ?由归结原则（取 xn ?n2 ?2 n n2 n ? n ?1 n ?1nn? n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? n ? ?n2 ?2 n ?1n2 , n ? 2,3, ??? ） n ?1n2 x? n ? 1 ? n?1 ? n ? 1 ? n?1 ? 1? lim ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ? lim ?1 ? ? ? e n ?? x ?? n ? n ? ? ? ? x? ? n ?1? 上一行应为 lim?1 ? 2 ? n?? n ? ?n2 ?2 n ?1? n ?1? ? lim?1 ? 2 ? n ?? n ? ?nn2 n ?1? n ?1? lim?1 ? 2 ? n?? n ? ??2? e ?1 ? e? 1 1? 由迫敛性得 lim ?1 ? ? 2 ? ? e n?? ? n n ?注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限， 从而使问题 得到简化和解决。10．利用施笃兹（stolz）定理求数列极限Stolz定理与L ’Hosital 法则是数学分析处理 ''? 0 '' 型 '' '' 型极限的两个重要工 ? 0具。它们分别适用于变量和连续变量的情形。这里通过以下例子说明Stolz定理 的应用。? stolz定理1 ：? ? ? （应为 ? ）型：若 ? yn ? 是严格递增的正无穷大数列，它与数 ????5???列 ?xn ? 一起满足 limn ??xn ?1 ? xn x ?l， 则有 lim n ? l .其中 l 为有限数， 或 ?? ， 或 ?? . n ?? yn ?1 ? yn yn0? stolz定理2：? 若 ? yn ? 是严格递减的趋向于零的数列，n ?? 时 xn ? 0 且 ? ? 型： ?0?limn ??xn ?1 ? xn x ? l ，则有 lim n ? l .其中 l 为有限数，或 ?? ，或 ?? . n ?? y yn ?1 ? yn n例11.求极限 lim1p ? 2 p ? ??? ? n p ? p?N? n ?? n p ?1解：令 xn ? 1p ? 2 p ???? ? n p , yn ? n p?1, n ? N. 则由定理1得 limp1p ? 2 p ? ??? ? n p n ?? n p ?1? n ? 1? ? n ? 1? lim = lim ? p ? 1 n ?? ? n ? 1? ? n p ?1 n?? ? p ? 1? n p ? ? p ? 1? ? p n p?1 ? ??? ? 1p1 p ?12分母应为 ( p ? 1)n p ?p( p ? 1) p ?1 n ???1 2注： Stolz定理是一种简便的求极限方法， 特别对分子、 分母为求和型， 利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达（LHospita）法则。11.巧用无穷小数列求数列极限引理 ? ? ：数列 ?xn ? 收敛于 a 的充要条件是：数列 ?xn ? a? 为无穷小数列．8注：上述引理说明，若 lim xn ? a ，则 x n 可作“变量”替换：令 xn ? a ? ? n ，其中n????n ? 是一无穷小数列.定理1 ：若数列 ?? n ? 为无穷小数列，则数列 ? ? n ? 也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2 ：若数列 ?? n ? 为无穷小数列，则数列 ???1 ? ?2 ???? ? ?n ? n? 也为无穷小数 列． 推论1 ：设数列 ?? n ? 为无穷小数列，则数列 数列． 例12.设 lim xn ? a ，求极限 limn?? n???? ?1? ? 2 ? ??? ? ? n? n? 也为无穷小x1 ? x2 ? ??? ? xn . n ?? n解：由 lim xn ? a ，作“变量”代换，令 xn ? a ? ? n ，其中 ?? n ? 是一无穷小数列. 由定理2的结论有 lim? a ? ?1 ? ? ? a ? ? 2 ? ? ??? ? ? a ? ? n ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ? lim n ?? n ?? n n= limna ? ??1 ? ? 2 ? ??? ? ? n ? ?? ? ? 2 ? ??? ? ? n ? ? a ? 0 ? a . ? a ? lim 1 n ?? n ?? n n注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的。12.利用压缩映射原理求数列极限定义1： 设 f ? x ? 在 ? a, b? 上有定义， 方程 f ? x ? ? x 在 ? a, b? 上的解称为 f ? x ? 在 ? a, b? 上的不动点。 定义2：若存在一个常数 k ，且 0 ? k ? 1 ，使得 ?x, y ?? a, b? 有f ? x ? ? f ? y ? ? k x ? y ，则称 f ? x ? 是 ? a, b? 上的一个压缩映射。压缩映射原理：设称 f ? x ? 是 ? a, b? 上的一个压缩映射且 x0 ? ? a, b? , x n+1 ? f ? xn ? , （应为 xn?1 ? f ( xn ) ，所有数学符号应用公式编辑器编辑。）对 ?n ? N ，有xn ??a, b? ，则 f ? x ? 在 ? a, b? 上存在唯一的不动点 c ，且 lim xn ? c ， n ? 1, 2, ???n??1 例13.证明数列 xn ? a ? a ? ??? a （ n 个根式, a & , n =1,2, ??? ）极限存在，并求 4lim xn .n ??证及解：易知 xn ? a ? xn?1 ，考察函数 f ? x ? ? a ? x ，x ??0, ?? ? 且在 ?0, ?? ? 上, 有 f ' ? x? ?1 1 ? ? 1 ，因此 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是压缩的. 2 a?x 2 ax1 ? a ??0, ??? ， xn?1 ? f ? xn ? ，由压缩映射原理，数列 ?xn ? 收敛且极限为方程 x ? f ? x ? ? a ? x 的解. 解得 lim xn ?n ??1 ? 1 ? 4a . 2注：压缩映射原理在实数分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、 微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十 分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决.13.利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理， 它利用函数的局部性质来研究 函数的整体性质，其应用十分广泛.下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数 列极限中的应用。a a ? ? 例14.求 lim n2 ? arctan ? arctan ? ， ? a ? 0? n ?? n n ?1 ? ?? a a? , 应用拉格朗日中值定理，得 解：设 f ? x ? ? arctan x ，在 ? ? n ?1 n ? ??a? f ? ?? ?n?1 ?a a ? ? a ? ? a a? f? ? , ?， ?? ? ,? ? ? 2 ? ? n ?1 ? 1? ? ? n n ?1 ? ? n ?1 n ?a n ? ? a. 2 1? ? n ?1故当 n ?? 时， ? ? 0 ，可知 原式 ? lim n 2 ?n ??上式应为 lima n2 ?a n? 1 ? ? 2 n(n ? 1)14.利用一些熟知的公式求极限（A） lim an ? a ，则（ lim a1 ? a2 ?n ?? n ??? an ? a ） 应为 lima1 ? ? ? a n ? a （a为 n ?? n有限数， ??, ?? ，但 ? 不行）a （ B ） 若 l i m n ? a ， 且 an ? 0 . 则 lim n an ? a （ 这 是 哪 来 的 结 论 ？ 如 n ?? n ?? a n ?1an ? e n , liman 1 ? , 但 lim n an ? e ） n?? a n?? e n ?1an ?1 ? a ，且 an ? 0 .则 lim n an ? a n ?? n ?? a nn ??n ??(c)若 lim（D）若 lim ? an ? an ?1 ? ? d , 则 liman ?d n根据上述公式，我们可以求一些复杂的极限 例15.求 limn （此题过程已改动） n!n ?? nb b nn 1 解：令 bn ? ， an ? n?1 ，则 an ? n?1 ? (1 ? ) n 。 n! bn bn nlim a n ? e ，得n??lim nn ??n n!? lim n bn ? lim n b1n ?? n ??b b2 ? n ? lim n a1a 2 ? a n ? e b1 bn?1 n??例16.求 lim1? 2 ? 3 3 ??? n n 。 n ?? nn ?? n ??解:令 an ? n n lim a n ? lim n n ? 1 则由（A）知lim a ?a ? ? ? an 1? 2 ? 3 3 ??? n n ? lim 1 2 ? 1 （此题已改） n?? n?? n n注：由上可看出，利用一些已知结论求极限，可达到事半功倍的功效。极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始 终， 可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限。本文在有关极限概念定理及 性质的基础之上， 通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结。对数列 极限求法的讨论我们可以发现，在计算极限时，其方法是多种多样的，技巧性很 强，本文共总结了求数列极限的十四种方法，当然求极限的方法并不只这些，在 此就不一一探究了。 仔细检查文字，标点符号，式子计算，还有添加参考文献。按格式写。
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数列极限存在的问题 求详细过程
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这个题简单。1、sin(x(n))&x(n)，即x(n+1)&x(n)（因x(n)不可能等于零和pai），即x(n)严格单调减少；2、x(n)&0，即x(n)有下界；两点说明x(n)存在极限。
说 0&Xn&1这个对吗。
0&Xn&1不一定成立，因为X1=pai/2时，X2=1，但0&Xn&=1恒成立。
但是0&X1&π，是不是这个不等式不对……
X1是初值，没关系的，只要它能保证X2&0即可。如果严格一点，表述为：当n&1时，0&Xn&=1恒成立。极限概念的要点不在有限几项的值，而在于项的变化趋势。
原来如此。谢谢！
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