收敛级数收敛的条件（convergent series）是柯西於1821年引进的它是指部分和序列的极限存在的级数收敛的条件。收敛级数收敛的条件分

两大类其性质与有限和（有限项相加）相比有本質的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立收敛级数收敛的条件的基本性质主要有：级数收敛的条件的每一项同乘一个不为零的常數后，它的收敛性不变；两个收敛级数收敛的条件逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数收敛的条件；在级数收敛的条件前面加上有限项不会改变级数收敛的条件的收敛性；原级数收敛的条件收敛，对此级数收敛的条件的项任意加括号后所得的级数收敛的条件依然收敛；級数收敛的条件收敛的必要条件为级数收敛的条件通项的极限为0

收敛级数收敛的条件和绝对收敛级数收敛的条件

，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 “

也可以简称为级数收敛的条件，其中

数项级数收敛的条件的前 n 项和记作

两大类其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立收敛级数收敛的条件概念是柯西于1821年引进的。

设 k 为常数如果级数收敛的条件

也没有极限。由此我们得到结论：级数收敛的条件的每一项同乘一个不为零的常数后它的收敛性不变。

注意：性质2说明两个收敛级數收敛的条件逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数收敛的条件。

以去掉k项为例设级数收敛的条件为

去掉前 k 项，得到新的级数收敛的条件

记原级数收敛的条件前 k+n 项的和为

去掉前 k 项得到的新级數收敛的条件的前 n 项和为

类似的，可以证明在级数收敛的条件前面加上有限项不会改变级数收敛的条件的收敛性。

收敛则对此级数收斂的条件的项任意加括号后所得的级数收敛的条件

，加括号后所成的级数收敛的条件的前 k 项的和为

的收敛性以及收敛子列与其子列的关系可知：数列

这说明了加括号后所成的级数收敛的条件收敛，且其和不变

注意：如果加括号后所成的级数收敛嘚条件发散，则原级数收敛的条件也发散

（2）当 p ≤1时，