《多元函数微积分》 www.wenku1.com
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第十一章第一节多元函数积分学二重积分的概念与计算 思考题：1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子∑f (ξ, η)?σ??f (x , y )d σ=?σD→0iii =1ni ，你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.答：在式?σ→0∑f (ξ, η)?σiii =1ni中，?σi 表示将平面区域D 任意分割成n 份后所得第i 个小区域的面积, (ξi , ηi ) 是取自于第i 个小区域内的任何一点的坐标, f (ξi , ηi ) 是二元函数z =f (x , y ) 在点(ξi , ηi ) 处的函数值,?σ表示所有n 个小区域的直径中的最大值.上式即表示, 当函数z =f (x , y ) 在平面区域D 内有定义时, 可将平面区域D 任意分割成n 个小区域, 记?σi 为第i 个小区域的面积, 然后在第i 个小区域中任取一点(ξi , ηi ) , 作乘积f (ξi , ηi )∑f (ξi , ηi )?σi 存在, ?σi 的和∑f (ξi , ηi )?σi , 若此和式的极限?σ→0i =1i =1n n则称二元函数z =f (x , y ) 在区域D 上可积, 并称上述极限值为二元函数z =f (x , y ) 在区域D 上的二重积分.2. 试述二重积分的几何意义.答：当f (x , y )在区域D 上满足f (x , y )≥0时，f (x , y )d σ代表以xOy 面内的区域D??D为底，以曲面z =f (x , y )为顶的曲顶柱体的体积. 若f (x , y )<0, 则表示体积的负值. 3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形，并用极坐标描述D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果. 其关键点是用极坐标正确描述积分区域D .5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便.答：当被积函数中含有x 2+y 2的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.习作题 ：1. 计算??(100+x +y )d σ, 其中D ={(x , y 0≤x ≤1, -1≤y ≤1}.D解：如图，先对x 后对y 积分，则??(100+x +y )d σ=?D1-1d y ?1100+x +y )d x 0(21=?x ?()d y 100+y x +? ?-1?2?0?11201)d y ?-121201?(1+1)=0+201=201. =?y d y +-122. 计算??e 6x +y d σ，其中D 由xOy 面上的直线y =1, y =2及x =-1, x =2所围成.=(y +D-1≤x ≤2, 先对x 后对y 积分，得 解：如图, D ：???1≤y ≤2,2y 1??eD6x +yd σ=?e d y ?e d x-12y 226xe 6x=(e )(16=3． 计算)-1114(e -e 13-e -4+e -5) . 62??ln (100+xD+y 2d σ，其中D =(x , y )x 2+y 2≤1.){}解：令x =r cos θ, y =r sin θ，则D 可表为：?0≤r ≤1,?0≤θ≤2π, ?从而??ln (100+xD2+y d σ=?d θ?ln(100+r 2) ?r d r 2)2π1=2π?[(100+r ) ln(100+r ) -r ] 122221=(101ln 101-100ln 100-1) π.4. 计算222222D ，其中是由圆周与所围成的平面区域. x +y =1x +y =4πy d σ??D解：令x =r cos θ, y =r sin θ，则D 可表为：?1≤r ≤2π,?0≤θ≤2π, ?从而??yD2d σ=?d θ?r 2sin 2θ?r d r 12π2π=???2π0r 4d θ?(sin 2θ)4142π= 4π-1?2π1-cos 2θd θ ??04?22πsin 2θ??41??1= 4π-?? θ-?4??24?0?=4π-5. 画出二次积分积分次序.5π. 44-y 22-4-y 2?20d y ?2+f (x , y )d x 的积分区域D 并交换0≤y ≤2, ??解：D ：?22??2-4-y ≤x ≤2+4-y?0≤x ≤4,的图形如右图，由图可知，D 也可表为? ?2??0≤y ≤4x -x ,所以交换积分次序后，得?4 d x ?04x -x f (x , y )d y .26. 利用二重积分求下列几何体的体积：（1）平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的几何体. 解： 如图，该几何体可看成是以x O y 面的区域D ：?0≤x ≤1,为底，以平面z =1-x -y 为顶的柱体，故体积 ??0≤y ≤1-xV =??(1-x -y ) d σ=?d x ?D011-x 0(1-x -y ) d yy 21-x]0 =?d x [(1-x ) y -021 (1-x ) 2=?d x 021(x -1) 3=61= 1. 6（2）平面z = 0及抛物面x 2+y 2=6-z 所围成的几何体.解：如图，几何体可看成是以xOy 面内的区域 D ：x 2+y 2≤6为底，以曲面z =6-x 2-y 2为顶的曲顶柱体.故体积V=??(6-xD2-y ) d σ2令x =r cos θ, y =r sin θ,?0≤r ≤6, D 则：?0≤θ≤2π,?从而V = ?2π0d θ? r 422(6-r ) r d r =2π(3r -) =18π.40第三节 三重积分的概念与计算 思考题：1. 试述计算三重积分的步骤. 答：（1）画出积分区域Ω的图形, （2）将Ω向某个坐标面投影确定积分次序和积分限, （3）计算累次积分求得结果.2. 总结出在不同的坐标系下，区域Ω的表达式和相应的积分表达式. 答：（1）直角坐标下，常将方形域Ω表为a ≤x ≤b , ??Ω ：?y 1(x ) ≤y ≤y 2(x ),?z (x , y ) ≤z ≤z (x , y ),2?1相应的积分表达式为：by 2(x )z 2(x , y )f (x , y , z ) d V =?d x ????Ωay 1(x )d y ?z 1(x , y )f (x , y , z ) d z （2）柱面坐标系下：常将柱形域表为 ?a ≤z ≤b , ?Ω ：?α≤θ≤β,?r (θ) ≤r ≤r (θ).2?1相应的积分表达式为f (x , y , z ) d V =???f (r cos θ, r sin θ, z ) r d r d θd z ???ΩΩ= ?d z ?αd θ?ab βr 2(θ)r 1(θ)f (r cos θ, r sin θ, z ) r d r . （3）球面坐标系下：常将球形域表为α1≤?≤α2, ??Ω ：?β1≤θ≤β2,?ρ(θ, ?) ≤ρ≤ρ(θ, ?).2?1相应的积分表达式为：???Ω f (x , y , z ) d V =???f (ρsin ?cos θ, ρsin ?r sin θ, ρcos ?) ρ2sin ?d ρd θd ?Ω =?d ??d θ?α1β1α2β2ρ2(θ, ?)ρ1(θ, ?)f (ρsin ?cos θ, ρsin ?sin θ, ρcos ?) ρ2sin ?d ρ.1. 计算(4x +5y +z ) d x d y d z , 其中Ω由平面x +2y +z =1 , x = 0, ???Ω y = 0, z = 0所围成的空间区域.解：如图0≤x ≤1, ??,Ω: ?0≤y ≤?0≤2≤1-x 2-2y , ?所以1-x -2y 0???(4x +5y +z ) d x d y d z =?d x ?Ω 11-x 0dy ?(4x +5y +z ) d z=?10d x ?1-x 2 z 21-x -2yd y [(4x +5y ) z +]02=?110d x ?1-x 220[(1+3x +3y ) 2-(4x +5y ) 2]d y1-x 11133=?d x (1+3x +3y ) -(4x +5y ) ]031(=?[5+3x )-(1+3x )-x ]d x 4=[(5+3x ) 4-(1+3x )-x 4]10 . 57708. 2. 选适当的坐标系计算22Ω，其中是由柱面x +y =1及平面xy d x d y d z ???Ωz =1, x =0, y =0所围成且在第一卦限内的区域.解：如图，选取柱面坐标系计算方便,?0≤z ≤1,?π此时， Ω:?0≤θ≤,2??0≤r ≤1,所以xy d x d y d z =????Ω=11d z d θr cos θ?r sin θ?r d r ??00π20?π2013sin 2θd θ?1r d r 2=(-cos 2θr) ?4402π241 1=. 82222223. 利用三重积分计算曲面x +y +z =R 与曲面x +y +z =4R 所围成的立2解：取球面坐标系计算方便.?R ≤ρ≤2R , ?此时两曲面所围区域Ω:?0≤?≤π,?0≤θ≤2π, ?所以体积 V =?Ω??dV =?2π0d θ?d ?? π2R Rρ2sin ?d ρ=2π??π0R 2sin ?d ???2R ρd ρ=2π?(-cos ?) 0? = πρ332R R28πR 3. 3第四节 对坐标的曲线积分 思考题：1. 对坐标的曲线积分?LP d x +Q d y 如何化为一元定积分来计算？答：将曲线L 的方程参数化，设为??x =?(t ),并确定L 的起点和终点对应的参变量t 的y =ψ(t ), ?值，设为α, β，则曲线积分即可化为对参变量t 的定积分，即?LP d x +Q d y =?{P [?(t ), ψ(t )]?'(t ) +Q [?(t ), ψ(t )]ψ'(t )}d t .αβ2. 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点.习作题：1. 计算曲线积分的一段.解：?Ly d x +x d y , L 是曲线x =R cos θ, y =r sin θ上θ 由0至π 4?Ly d x +x d y=?π40[R sin θ?(-R sin θ) +R cos θ?R cos θ]d θπ40=R2?Rcos 2θd θ=sin 2θ22π40R 2. =22. 计算曲线积分?Lxy d x ， 其中L 为抛物线y 2=x上从点A (1, -1) 到点B (1, 1) 的一段弧.解：以y 为参变量，则y 从-1变到1，从而111? Lxy d x =?y 2?y ?d y 2=2?y 4d y =-1-125y 5=-14. 5第五节 格林（Green ）公式及其应用 思考题：1.?LP d x +Q d y 与路径无关的条件是什么？若与路径无关，则?(x , y ) (x 0, y 0)P d x +Q d y 如何积分为好？答：?LP d x +Q d y 与路径无关的条件是在区域D 内处处成立(x , y ) (x 0, y 0)?Q ?P=. ?x ?y当?LP d x +Q d y 与路径无关时，计算?P d x +Q d y 应选择从(x 0, y 0) 到点(x , y ) ,且由平行于坐标轴的直线构成的折线段来计算为好.2.?LP d x +Q d y 能否化为二重积分来求？答：若L 为闭合曲线，且P , Q 在L 所围区域内具有一阶连续偏导数，则可利用Green 公式化为二重积分来求，若L 非闭合曲线，则可采用补线法化二重积分来求.习作题：?LP d x +Q d y?LP d x +Q d y 为1. 利用格林公式计算L其中L 是圆周x 2+y 2=a 2（按逆时针方向）. xy 2d y -x 2y d x ，解：L 所围区域D ：x 2+y 2≤a 2 由格林公式，可得?(xy 2) ?(-x 2y )xy d y -x y d x =??(-) d x d yL ?x ?y D22= =22(x +y ) d x d y ??D?2π0a πd θ?r 2?r d r =4.022. 利用曲线积分与路径无关的条件，计算L(1+x e 2y ) d x +(x 2e 2y -y 2) d y ,其中L 是圆周x 2+y 2=R 2从A (R , 0) 到点B (-R , 0) 的上半部分.解：此题中 P =1+x e 2y , Q =x 2e 2y -y 2, ∴?Q ?P=2x e 2y =在xOy 面内处处成立, ?x ?yL(1+x e 2y ) d x +(x 2e 2y -y 2) d y 与路径无关，取A 到B 的直线段为积分路径，则 L(1+x e 2y ) d x +(x 2e 2y -y 2) d y=?-R R(1+x e 0) d x =-2R .第六节 对坐标的曲面积分及其应用 思考题：1. 双侧曲面有正向有负向，方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧. 既然考虑双侧曲面，说明存在单侧曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转180?，再与另一端粘起来，你一定能说明你所做的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带.答：因为此时从纸条上任一点出发，沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动能到达另一点.2. 曲面微元d σ在xOy 坐标面上投影的面积微元是d x d y ，它在什么情况下为正的？在什么情况下为负的？答：当d σ的法向量与z 轴正向夹角小于90?时，d x d y 为正；大于90?时，d x d y 为负.习作题1. 你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力），也可以独立思考，试将高斯公式证明出来.证明：先设Ω是xy 型域，即G ={(x , y , z ) (x , y ) ∈D , ?1(x , y ) ≤z ≤?2(x , y ) }, 其中D 是xOy 平面上的有界区域，?1, ?2在D 上存在连续的一阶偏导数，用∑1和∑2分别表示曲面z =?1(x , y ) 和z =?2(x , y ) , (x , y ) ∈D ，用∑3表示Ω的侧表面，根据三重积分化累次积分的公式有?2(x , y ) ?R ?Rd x d y d z =d x d y z ???????1(x , y ) ?z ?z ΩD=??[R (x , y , ?D∑22(x , y )) -R (x , y , ?1(x , y ))]d x d y .而由对坐标曲面积分的计算方法知R d x d y =??R d x d y +??R d x d y +??R d x d y∑∑1∑3= =??R (x , y , ?D2(x , y )) d x d y -??R (x , y , ?1(x , y )) d x d y -0D??[R (x , y , ?D∑2(x , y )) -R (x , y , ?1(x , y ))]d x d y 故?Rd x d y d z =????z ΩR d x d y ,若同时还是yz 型和zx 型域，则同样有?Pd x d y d z =???Ω?xP d y d z∑?Qd x d y d z =????y ΩQ d z d x∑由此可知 Gauss公式成立. 2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线. 函数及其偏导数在曲面上连续，曲面的正侧与曲线的正向按右手螺旋法则. 你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？P d x +Q d y +R d z =C ???(∑?R ?Q ?P ?R ?Q ?P -) d y d z +(-) d z d x +(-) d x d y , ?y ?z ?z ?x ?x ?y利用这个公式你会求下面的积分吗？C (x 2-yz ) d x +(y 2-zx ) d y +(z 2-xy ) d z , 其中曲线C 是螺旋线y =a sin ?(0≤?≤2π) 从点A (a , 0, 0) 到点B (a , 0, h ) 的一段. x =a cos ?,证明： 设所选定的是曲面∑:z =?(x , y ), (x , y ) ∈D 的上侧，则∑的边界曲线C 在xOy 面上的投影为D 的边界曲线L 的正方向，设其参数方程为x =x (t ),于是C 的方程为x =x (t ), y =y (t ), α≤t ≤β， y =y (t ), z =?(x (t ), y (t )), α≤t ≤β,βα由曲线积分化定积分的公式得同理C P (x , y , z ) d x =?P [x (t ), y (t ), ?(x (t ), y (t ))]x ' =?L P [x , y , ?(x , y )]d x . C Q (x , y , z ) d y =?Q [x , y , ?(x , y )]d y L ????d x +d y ) R (x , y , z ) d z =?R [x , y , ?(x , y )](C L ?x ?y ,上述三式相加，得P d x +Q d y +R d z =?[P (x , y , ?(x , y )) +R (x , y , ?(x , y ) C L ??]d x ?x+?L [Q (x , y , ?(x , y ) ) +R (x , y , ?(x , y )) ??]d y , ?y由Green 公式，上式右端等于 ??D ??????[Q (x , y , ?(x , y ) +R (x , y , ?(x , y ) ]-[P (x , y , ?(x , y ) +R (x , y , ?(x , y ) ]}d x d y ?x ?y ?y ?x?Q ?Q ???R ?R ?????2??P ?P ???R ?R ?????2?=??[++(+) +R ---(+) -R ]d x d y ?x ?z ?x ?x ?z ?x ?y ?x ?y ?y ?z ?y ?y ?z ?y ?y ?x ?y D=??[-(D ?R ?Q ???P ?R ???Q ?P -) -(-) +(-)]d x d y , ?y ?z ?x ?z ?x ?y ?x ?y由对坐标的曲面积分化二重积分的方法知???(∑?R ?Q ?P ?R ?Q ?P -) d y d z +(-) d z d x +(-) d x d y ?y ?z ?z ?x ?x ?y=-??(D ?R ?Q ???P ?R ???Q ?P -) d x d y -??(-) d x d y +??(-) d x d y ?y ?z ?x ?z ?x ?y ?x ?y D D于是斯托克斯公式成立.取C 张成的曲面为∑的上侧，∑在xOy 面上的投影为区域D :0≤θ≤2π, 0≤r ≤a ，则由斯托克斯公式知C (x 2-yz ) d x +(y 2-zx ) d y +(z 2-xy ) d z?(z 2-xy ) ?(y 2-zx ) ?(x 2-yz ) ?(z 2-xy ) ?(z 2-xy ) ?(y 2-zx ) =???(-) d y d z +(-) d z d x +(-) d x d y ?y ?z ?z ?x ?x ?y ∑ =???0d y d z +0d z d x -3y d x d y ∑=??(-3y ) d x d yD=?d θ?(-3r sin θ) d r 002πa=(cos θ=0. 2π0)(r 3a 0) 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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请问这个函数的积分如何计算√a^2(1-cost)^2+a^2sin^2t dt （除了dt其他都在根号下）的不定积分如何计算?请写出推算过程.
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∫ √a&#178;(1-cost)&#178;+a&#178;sin&#178;t dt=a ∫√ (1-cost)&#178;+sin&#178;t dt而(1-cost)&#178;+sin&#178;t=1-2cost+cos&#178;t+sin&#178;t=2-2cost注意有公式1-cos2x=2sin&#178;x所以2-2cost=4sin&#178;(t/2)于是原积分=a* ∫√ (1-cost)&#178;+sin&#178;t dt=a* ∫√4sin&#178;(t/2) dt=a* ∫ 2sin(t/2) dt由基本积分公式可以知道,∫ sinx dx = -cosx+C (C为常数)所以原积分=a* ∫ 2sin(t/2) dt=a* ∫ 4sin(t/2) d(t/2)= -4a*cos(t/2) +C (C为常数)
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