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数学分析反常积分
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由基本不等式a²+b²≥2ab地√f(x)/x^p
≤ ½ [f(x) +1/x^(2p)]已知∫[1,+∞]f(x)dx收敛，又因为p＞½，即2p&1，所以∫[1,+∞]1/x^(2p) dx收敛故½∫[1,+∞] [f(x) +1/x^(2p)]dx收敛由比较原理，∫[1,+∞]√f(x)/x^p dx收敛
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反 常 积 分
教学目的：
1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；
2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛
散性的判别。
教学时数：8学时
反常积分概念 （2学时）
教学目的：深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点：反常积分的含义与性质
问题的提出:
例（P264）.
两类反常积分的定义
设函数 定义在无穷区间 上，且在任何有限
区间 ? 上可积，如果存在极限
则称此极限J为函数 在 上的无穷限反常积分（简称
无穷积分），记作 ,并称 收敛.
如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 ? 发散.
设函数 定义在 上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间? 上有界且可积，如果存在极 ????????
则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作
? 并称反常积分 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 ?发散.
, 的敛散性 .
计算积分 .
讨论以下积分的敛散性 :
讨论积分 的敛散性 .
判断积分 的敛散性 .
讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨论积分 的敛散性 .
瑕积分与无穷积分的关系:
设函数 连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有 ，把无穷积分化成了瑕积分.　
可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .
§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）
教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点：反常积分敛散性的判别。
无穷积分的性质
在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区间 上可积 , 且 ???? .
和 在区间 上可积 ,
在区间 上可积 , 且 ? .
无穷积分收敛的Cauchy准则:
积分 收敛 .
绝对收敛与条件收敛: 定义概念. ?
收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 . ?
比较判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷
积分敛散性记法.
比较判敛法:
设在区间 上函数 和 非负且，又对任何 > , 和 在区间 上可
推论2 （Cauchy判敛法）:
( 以 为比较对象, 即取
? .以下 > 0 )设对任何 > , ,
讨论以下无穷积分的敛散性 :
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:
1.Abel判敛法:
若 在区间 上可积 , 单调有界 ,?则积分 收敛.
2.Dirichlet判敛法:
设 在区间 上有界 ， 在 上单调，且当 时， .则积分 收敛.
讨论无穷积分 与 的敛散性.
证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
( 乘积不可积的例 )
设 , 。由例6的结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散.
瑕积分的性质与收敛判别（2学时）
教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 的原意写出相应的命题.
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数学分析-第19章含参量反常积分-2
暨南大学数学分析精品课程§2 含参量反常积分一、含参量反常积分及其一致收敛的定义 1. 含参量无穷反常积分及其一致收敛的定义 含参量无穷反常积分及其一致收敛 及其一致收敛的定义设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在无界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b ，c ≤ y & +∞} 上，若对每一个固定的 x ∈ [ a, b ]， 反常积分∫+∞都收敛，则它的值是 x 在 [ a, b ] 上取值的函数，cf ( x, y )dy（1） ）暨南大学数学分析精品课程当记这个函数为 I = I ( x) 时，则有 I ( x) = ∫+∞称(1)式为定义在 [ a, b ] 上的含参量 x 的无穷限反 常积分，或简称含参量反常积分.考虑含参量反常积分(1)与函数 I = I ( x)，若对cf ( x, y )dy , x ∈ [a, b],（2 ）对任给的正数 ε , 总存在某一实数 M = M (ε ) & c, 使得当 G & M 时, 对一切 x ∈ [a, b], 都有∫G cf ( x, y )dy ? I ( x) & ε ,暨南大学数学分析精品课程即∫Mcf ( x, y ) dy & ε ,则称含参量反常积分(1)在 [a, b]上一致收敛于 I ( x). 一致收敛于 2. 含参量无界函数反常积分及其一致收敛的定义设 z = f ( x, y ) 在区域 R = [a, b] × [c, d ) 上有定 义. 若对 x 的某些值 , y = d 为函数 f 的瑕点 , 则 称 ∫ f ( x, y )dy 为含参量 x 的无界函数反常积分,c d或简称为含参量反常积分.暨南大学数学分析精品课程若对每一个 x ∈ [a, b], 无界函数的反常积分 I ( x) = ∫ f ( x, y )dyc d都收敛 , 则 I = I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 ? ε & 0, 总存在某正数δ = δ (ε ) & d ? c, 使得当 0 & η & δ 时 , 对一切 x ∈ [a, b], 都有∫dd ?ηf ( x, y )dy & ε暨南大学数学分析精品课程则称含参量无界函数反常积分 I ( x) 在 [a, b] 上一 致收敛.例1 证明含参量反常积分∫+∞0sin xy dy y(3)在 [δ , + ∞) 上一致收敛(其中δ & 0), 但在 (0, + ∞)内不一致收敛.暨南大学数学分析精品课程解： 作变量代换 u = xy 得 +∞ sin xy +∞ sin u （4 ） ∫A y dy = ∫Ax u du , +∞ sin u du 收敛, 故对?ε & 0, 总 其中A & 0. 由于∫ 0 u 存在正数M = M (ε ), 只要 A′ & M 时就有∫+∞A′sin u du & ε . u M由于 Ax ≥ Aδ， 于是当Aδ & M， A & 即δ时， (4) 有 由暨南大学数学分析精品课程∫+∞Asin xy dy & ε , y所以 (3) 在 x ≥ δ & 0 上一致收敛 . 现在证明 (3) 在 (0, +∞)内不一致收敛. 由一 致收敛定义, 只要证明: 存在某一正数ε 0 , 使对任 何实数 M (& c), 总相应地存在某个 A & M 及某个 x ∈ [a, b], 使得+∞∫Asin xy dy = y∫+∞Axsin u dy ≥ ε 0 . u暨南大学数学分析精品课程sin xy 由于 ∫ dy 收敛, 对任意固定的 M & 0, 0 y +∞ sin xy +∞ sin xy M +1 sin xy du ∫M +1 y dy ? ∫0 y dy = ∫0 y ( M +1) x sin u du := I ( x), =∫ 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是 对 ?ε & 0, 总存 x0 = x0 ( M , ε ) & 0 使得 | I ( x0 ) |& ε , 即,+∞∫+∞M +1+∞ sin u sin x0 y du ? ∫ du & ε , 0 y u暨南大学数学分析精品课程亦即 于是∫+∞( M +1) x0+∞ sin u sin u du ? ∫ du & ε , 0 u u+∞ +∞ sin u sin u sin u ∫0 u du ? ε 0 & ∫( M +1) x0 u du & ∫0 u du + ε 0 . 1 +∞ sin u 为使上式最左边项为正, 现令 ε 0 = ∫ du , 则 2 0 u +∞ sin x y +∞ sin u 0 ∫M +1 y dy = ∫( M +1) x0 u du & 2ε 0 ? ε 0 = ε 0 . +∞ sin xy 所以 ∫ dy 在 (0, +∞)内不一致收敛. 0 y+∞暨南大学数学分析精品课程二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则） 一致收敛的柯西准则） 定理设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在无界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b ，c ≤ y & +∞} 上. 反常积分 ∫+∞ cf ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要条件是 : 对任给正数 ε , 总存在某一实数 M = M (ε ) & c, 使得当暨南大学数学分析精品课程A1 , A2 & M 时 , 对一切 x ∈ [a, b] 都有∫ ∫+∞ cA2A1f ( x, y ) dy &ε .+∞(5)证明：(充分性 对每个 x, (3)式成立,这说明 充分性) 证明： 充分性f ( x, y ) dy 收敛, 从而 ∫A1f ( x, y ) dy 收敛,+∞ A1在(3)式中令 A2 → +∞ 得, | ∫ 故结论得证.f ( x, y ) dy | ≤ ε暨南大学数学分析精品课程例2证明：若 z = f ( x, y ) 在 [a, b] × [c, +∞) 上连续, 又∫ ∫+∞cf ( x, y ) dy在 [a, b) 上收敛 , 但在 x = b 处发散, 则+∞ cf ( x, y ) dy在 [a, b) 上不一致收敛.暨南大学数学分析精品课程证明: 证明: 用反证法.假设原积分在 [a, b) 上一致收敛, 则对? ε & 0, ? M & c, 当 A, A′ & M 时对一切 x ∈ [a, b) 恒有∫A′Af ( x, y )dy & ε .A′ A由假设 f 在 [a, b] × [ A, A′] 上连续，所以 ∫ f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x → b , 得到当 A′ & A & M 时,∫A′Af (b, y )dy ≤ ε .暨南大学数学分析精品课程+∞而ε 是任给的，因此 ∫cf ( x, y )dy 在x = b 处收+∞ c敛, 这与假设矛盾. 所以积分 ∫ [a, b) 上不一致收敛.f ( x, y )dy 在关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级 数一致收敛之间的联系有下述定理. 定理19.8 设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在无 定理界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b，c ≤ y & +∞} 上.暨南大学数学分析精品课程+∞含参量反常积分 ∫cf ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要条件是： 对任意趋于 + ∞ 的递增数列 { An }(其中 A1 = c), 函数项级数∑∫n =1∞An+1 Anf ( x, y )dy = ∑ un ( x)n =1∞(6)在 [a, b] 上一致收敛.证明: 必要性 必要性) 证明 (必要性由∫+∞cf ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛, 故对? ε & 0, ? M = M ε） c , 当 （ &暨南大学数学分析精品课程A′′ & A′ & M 时, 对一切 x ∈ [a, b], 总有∫A′′A′f ( x, y )dy & ε .(7)又由 An → +∞ (n → ∞) , 所以对正数 M , 存在正 整数 Am & An & M . 由(7), 对一切 x ∈ [a, b] 有 |u n ( x ) + L + u m ( x ) | =| ∫ =| ∫Am+1 Am An+1f ( x, y ) dy + L + ∫ f ( x, y ) dy | & ε .An+1Anf ( x, y ) dy |Am这就证明了级数 (6) 在[a, b] 上一致收敛.暨南大学数学分析精品课程注: 当 ∫+∞cf ( x, y )dy 和 ∑ un ( x)中有一个一n =1∞致收敛时， 由 lim ∑ um ( x) = lim ∫m n =1 m m Am cf ( x, y )dy知∫+∞cf ( x, y )dy =∑ un ( x)n =1∞暨南大学数学分析精品课程下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别 法, 由于它们的证明与函数项级数相应的判别 法相仿，故从略. 魏尔斯特拉斯M 魏尔斯特拉斯M判别法设二元函数 z = f ( x, y ) 定义在无界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b ，c ≤ y & +∞} 上, 函数 g = g ( y ) 定义在[c, +∞) 上, f 和 g 满足下式 f ( x, y ) ≤ g ( y ) , a ≤ x ≤ b , c ≤ y & +∞ .暨南大学数学分析精品课程+∞ +∞若∫cg ( y )dy 收敛, 则 ∫cf ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛.狄利克雷判别法设两个二元函数 f , g 定义在无界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b，c ≤ y & +∞} 上, 若 (i ) 对一切实数 M & c ， 含参量正常积分∫Mcf ( x, y )dy对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,暨南大学数学分析精品课程对一切 M & c 及一切 x ∈ [a, b] 都有 |∫M cf ( x, y )dy | ≤ M ;(ii ) 对每一个 x ∈ [a, b], 函数 g = g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y → ∞ 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分 ∫ 一致收敛.+∞ cf ( x, y ) g ( x, y )dy 在[a, b] 上暨南大学数学分析精品课程阿贝尔判别法设两个二元函数 f , g 定义在无界区域 R = {( x, y ) a ≤ x ≤ b ，c ≤ y & +∞} 上, 若 (i )∫+∞cf ( x, y ) dy在 [a, b] 上一致收敛;(ii ) 对每一个 x ∈ [a, b], 函数 g = g ( x, y ) 为 y 的单 调函数 , 且对参量 x , g ( x, y ) 在 [a, b] 上一致有界. 则含参量反常积分 ∫ 致收敛.+∞ cf ( x, y ) g ( x, y )dy 在 [a, b] 上一暨南大学数学分析精品课程例3证明含参量反常积分 cos xy ∫0 1 + x 2 dx 在 (?∞ , + ∞) 上一致收敛.+∞(8)cos xy 1 证明: 证明 由于对任何实数 y 有 , | |≤ , 2 2 1+ x 1+ x +∞ dx 而反常积分 ∫ 收敛 , 故由 M 判别法 , 含参 2 0 1+ x 量反常积分 (8) 在 (?∞ , + ∞) 上一致收敛.暨南大学数学分析精品课程例4 证明含参量反常积分sin x ∫0 e x dx 在[0, d ] 上一致收敛.? xy+∞(9)暨南大学数学分析精品课程sin x 证明: 证明 由于反常积分 ∫ dx 收敛 (当然 , 0 x 对于参量 y , 它在 [0, d ] 上一致收敛) , 函数 g = g ( x, y ) = e? xy 对于每个 y ∈ [0, d ] 是 x 单调 , 且对任何 0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0 都有 g ( x, y ) = e ? xy ≤ 1. 故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分 (9) 在 [0, d ] 上一致收敛.+∞暨南大学数学分析精品课程三、含参量反常积分的性质 定理19.9（连续性） 定理19.9（连续性）若二元函数 z = f ( x, y )在 19.9[a, b]×[c, +∞) 上连续，含参量反常积分I ( x) = ∫+∞ cf ( x, y)dy(10)在 [a, b] 上一致连续,则 I 在 [a, b] 上连续.暨南大学数学分析精品课程证明: 证明:由定理 19.8 , 对任一递增且趋于 + ∞ 的数列 { An }( A1 = c ) , 函数项级数 I ( x) = ∑ ∫n =1 ∞ An +1 Anf ( x, y ) dy = ∑ u n ( x )n =1∞在 [ a , b ] 上一致收敛. 又由于 f 在 [ a , b ] × [c, +∞ ) 上 连续, 故每个 u n = un ( x ) 都在 [ a , b ] 上连续. 根据函 数项级数的连续性定理, 函数 I 在 [ a , b ] 上连续.暨南大学数学分析精品课程注: 此定理表明, 在一致收敛的条件下极限运 算与积分运算可以交换顺序:x → x0lim ∫+∞ cf ( x, y )dy = ∫+∞ c +∞ cf ( x0 , y )dyx → x0=∫lim f ( x, y )dy暨南大学数学分析精品课程定理19.10（可微性） 定理19.10（可微性） 19.10设 z = f ( x, y ) 与 f x 在区域 [a, b] × [c, +∞) 上连续. 若 I ( x) = ∫+∞ cf ( x, y )dy 在[a, b] 上收敛,+∞∫+∞cf x ( x, y )dy在 [a, b] 上一致收敛, 则 I 在[a, b] 上可微, 且 I ′( x) = ∫cf x ( x, y )dy .An+1(11)证明: 证明: 对任一递增且趋于 + ∞ 的数列{ An }( A1 = c) ,令 un ( x ) = ∫Anf ( x, y )dy.暨南大学数学分析精品课程由定理19.3 推得 ′ un ( x ) = ∫ 由∫+∞ c An+1 Anf x ( x, y )dy.f x ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛及定理∞ ∞19.8 可得函数项级数∑ u′ ( x) = ∑ ∫n =1 n n =1An+1 Anf x ( x, y )dy在[a, b] 上一致收敛, 因此根据函数项级数的 逐项求导定理, 即得暨南大学数学分析精品课程? ∞ ?′ ∞ ′ I ′( x) = ? ∑ un ( x) ? = ∑ un ( x) ? n =1 ? n =1 = ∑∫n =1 ∞ An+1 Anf x ( x, y )dy = ∫+∞cf x ( x, y )dy,或写作+∞ ? d +∞ ∫c f ( x, y)dy = ∫c ?x f ( x, y)dy. dx注: 最后结果表明在定理条件下，求导运算和 积分运算可以交换顺序.暨南大学数学分析精品课程+∞例5 计算 ? (r ) = ∫ e0? x2cos rxdx .对任一实数 r 成立及积分解: 由于 e? x2cos rx ≤ e? x2∫+∞0e? x2dx 收敛 , 所以原积分在 r ∈ (?∞, +∞) 上收敛.考察含参量反常积分∫+∞0(e? x2cos rx)′rdx = ∫ ? xe0 ? x2+∞? x2sin rxdx.由于 ? xe? x2sin rx ≤ xe+∞ ? x2 0( x ≥ 0, ? ∞ & r & +∞)成立及反常积分 ∫ xe dx 收敛 , 根据 M 判别法上述暨南大学数学分析精品课程含参量积分在 (?∞, +∞) 上一致收敛.综合上面的结果, 由定理19.10得? ′( r ) = ∫ ? xe0+∞? x2sin rxdx = limA →+∞ 0∫A? xe? x2sin rxdxA ? 1 ? x2 ? 1 A ? x2 = lim ? e sin rx ? ∫ re cos rxdx ? ? A →+∞ ? 2 2 0 0 ? ? r +∞ ? x 2 r = ? ∫ e cos rxdx = ? ? ( r ). 2 0 2 于是有暨南大学数学分析精品课程r ln ? (r) = ? + ln c , 42? (r) = cer2 ? 4.+∞ ? x2从而 ? (0) = c， 又由于 ? (0) = ∫ e dx =0π2,所以 c =π2, 因此得到? (r ) =π2er2 ? 4.暨南大学数学分析精品课程定理19.11（可积性） 定理19.11（可积性） 19.11设 z = f ( x, y ) 在 [a, b] × [c, +∞) 上连续, 若 I ( x) = ∫+∞ cf ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛, 则 I 在+∞ b[a, b] 上可积, 且∫badx ∫+∞cf ( x, y )dy = ∫cdy ∫ f ( x, y )dx. (12)a从而 证明: 证明: 由定理 19.9 知道 I 在 [ a, b] 上连续， I 在 [a, b] 上可积.暨南大学数学分析精品课程又由定理 19.9的证明中可以看到, 函数项级数 I ( x) = ∑ ∫n =1 ∞ An+1 Anf ( x, y )dy = ∑ un ( x )n =1∞在 [ a, b] 上一致收敛, 且各项 un ( x ) 在 [a, b] 上连续, 故由函数项级数逐项求积定理, 有∫baI ( x )dx = ∑ ∫ un ( x ) dx = ∑ ∫ dx ∫b b n =1 b a n =1 a ∞ An+1 An∞∞An +1 Anf ( x, y )dy= ∑∫n =1dy ∫ f ( x, y ) dx = ∑ ∫a n =1∞An+1 An(∫baf ( x, y ) dx dy ,(13))暨南大学数学分析精品课程这里倒数第二个等式是根据定理19.6 关于积分顺序 的可交换性. 令 vn = ∫∞ An+1 An(∫baf ( x, y )dx dy, (13) 式)表明 ∑ vn 收敛，从而关于 x 一致收敛，于是有∑v = ∫ (∫∞ +∞ n =1 n cn =1baf ( x, y )dx） dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx.c a +∞)+∞b故由(13) 式有∫baI ( x)dx = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx.c ab这就是(12)式.暨南大学数学分析精品课程当定理 19.11中 x 的取值范围为无限区间 [ a , +∞ ) 时, 则有如下定理：定理19.12 定理19.12设 z = f ( x, y ) 在 [ a, +∞ ) × [c, +∞ ) 上连续. 若 (i )∫+∞af ( x, y ) dx 关于 y 在任何区间闭[c, d ] 上一致收敛,∫+∞cf ( x, y ) dy 关于 x 在任何闭区间[ a, b ] 上一致收敛 ;暨南大学数学分析精品课程(ii ) 积分∫+∞adx ∫+∞c| f ( x , y ) | dy 与 ∫+∞+∞cdy ∫+∞a中有一个收敛 , 则| f ( x , y ) | dx (14) f ( x , y ) dx .∫+∞adx ∫cf ( x , y ) dy =∫+∞cdy ∫+∞a证明: 证明:不妨设(14)中的第一个积分收敛，由 此知 ∫+∞ adx ∫+∞cf ( x , y ) dy 也收敛. 需证暨南大学数学分析精品课程∫即+∞cdy ∫+∞af ( x , y ) dx =+∞∫+∞adx ∫+∞+∞cf ( x , y ) dy ,+∞d → +∞lim∫dcdy ∫daf ( x , y ) dx =∫adx ∫cf ( x , y ) dy即需证对 ? ε & 0, ? M & c , 当 d & M 时 , I d = | ∫ dy ∫c +∞ af ( x , y ) dx ? ∫+∞adx ∫+∞cf ( x , y ) dy |& ε.暨南大学数学分析精品课程d +∞而 I d = | ∫ dy ∫ca df ( x , y ) dx+∞ a?∫ Id = ≤+∞adx ∫ f ( x , y ) dy ? ∫c +∞dx ∫+∞df ( x , y ) dy | .根据条件 (i ) 及定理19.11 可得∫ ∫+∞a Adx ∫ddf ( x , y ) dy+∞ Aa Adx ∫+∞f ( x , y ) dy + ∫dx ∫+∞d +∞f ( x , y ) dy . | f ( x , y ) | dy .(15)≤ | ∫ dx ∫a+∞df ( x , y ) dy | + ∫+∞ Adx ∫c暨南大学数学分析精品课程由条件 (ii )，对?ε & 0, ?G & a, 当 A & G 时有 0≤∫ ≤∫+∞ A +∞ Adx ∫ dx ∫+∞ d +∞ c| f ( x, y ) | dy | f ( x, y ) | dy &ε2.选定 A 后 , 由 ∫+∞cf ( x, y ) dy 的一致收敛性 , 存在 M & c , 使得当 d & M 时有∫+∞df ( x, y ) dy &ε2( A ? a ).暨南大学数学分析精品课程把这两个结果应用到 (15) 式 , 得到 2 2 即 lim I d = 0 , 从而结论得证.d →∞Id &ε+ε=ε,暨南大学数学分析精品课程sin bx ? sin ax 例6 计算 I = ∫ e dx ( p & 0, b & a). 0 x 解: 因为对每个x，+∞ ? pxsin bx ? sin ax sin yx = x x 所以 I =∫ e0 +∞ ? pxy =by =ab sin yx =∫ d = ∫ cos xydy ， a a x b=∫ e0+∞? px( ∫ cos xydy ) dx = ∫b asin bx ? sin ax dx x+∞0dx ∫ eab? pxcos xydy.暨南大学数学分析精品课程+∞由于 e+∞? pxcos xy ≤ e? px及反常积分 ∫ e0? pxdx 收敛，根据维尔斯特拉斯 M 判别法， 含参量反常积分∫0e ? px cos xydx 在[a, b] 上一致收敛 . 由于被积函数在 [0, +∞) × [a, b] 上连续 , 根据定理19.11，交 换 I 中的积分顺序 , I 的值不变 . 于是 I = ∫ dy ∫ ea 0 b +∞ ? pxcos xydx = ∫bap dy 2 2 p +ya b = arctan ? arctan . p p暨南大学数学分析精品课程+∞例7 计算 I = ∫0 解:F ( p) = ∫ e0 +∞在例6中令 b = 0, 则有? pxsin ax dx . xsin ax a dx = arctan ( p & 0). x p由阿贝尔判别法可得上述含参量反常积分在 p ≥ 0 上一致收敛 . 于是由定理19.9, F 在 p ≥ 0 上连续 , 故 +∞ sin ax ∫0 x dx = F (0) = plim+ F ( p) →0 a π = lim+ arctan = sgn a. p →0 p 2
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copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。持续学习：数学分析之定积分应用与反常积分持续学习：数学分析之定积分应用与反常积分文话教育百家号定积分应用广泛，涉及几何学，物理学，生态学，经济学等众多领域。那么我们什么时候该考虑用定积分来表达问题和解决问题呢？如果实际问题的要求量U具有以下三特征：那么就可以考虑使用定积分来表达U是与变量x的变化区间[a,b]相关的量U对于[a,b]具有可加性，即U = ΣΔUΔU可以近似表示为f(x)Δx的形式通常写出这个U量的积分表达式有两种格式：一是定义法：严格执行，分割，近似代替，求和取极限 的三步骤二是微元法：设U分布在[a,x]上，且当x=b时，U(b)是所求最终值，如果在任意小的区间[x,x+Δx] ，U的增量ΔU可以表示为ΔU=f(x)Δx+o(Δx)，其中f(x)是[a,b]上的连续函数，则U(b)=∫f(x)dx |a-&b定积分应用应用一：求平面图形的面积:包括直角坐标系，参数方程，极坐标系三种情况应用二：求体积：包括知到平行截面面积求体积，旋转体体积应用三：求平面曲线弧长：有定理，设曲线C的参数方程 x=x(t) ,y=y(t)
t∈[a,b] ,且C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长L=∫√(x`^2(t)+y`^2(t)) dt
|a-&b应用四：求旋转曲面的面积：有定理，设曲线C是x=x(t) ,y=y(t)≥0
t∈[0,L]，且为光滑曲线，则C 绕x轴旋转一周所得曲面的面积为 S= 2π∫y(t)dt
|0-&L应用五：变力做功：压力，力矩与重心，涉及一定的大学物理知识，在此不多展开反常积分的概念和基本性质：设f(x）在[a，+∞]上有定义，且任一[a，u]上可积，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a-&u ,u-&+∞ ,则称J是f(x)在[a，+∞]上的无穷反常积分，记作 J=∫f(x)dx |a-&+∞，并称∫f(x)dx |a-&+∞ 收敛，如果极限不存在，则称反常积分发散。设f(x）在[a，b)上有定义，且任一[a，u][a，b)上可积，f在点b的任一左半去心邻域内无界，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a-&u ,u-&b- ,则称J是无界函数f(x)在[a，b)上的无穷反常积分，也称瑕积分，b是瑕点，记作 J=∫f(x)dx |a-&b，并称∫f(x)dx |a-&b 收敛，如果极限不存在，则称瑕积分发散。反常积分的基本性质：和定积分类似，具有线性性，积分换元法和分部积分法反常积分的收敛性：柯西收敛准则：若f在任一[a,u][a，w）上可积，∫f(x)dx |a-&w 是反常积分，则∫f(x)dx |a-&w 收敛 &==&对任意ε&0，存在B∈[a，w），使对一切u1,u2∈[B,w]有|∫f(x)dx |u1-&u2 |&ε如果∫|f(x)| dx |a-&w，则称反常积分是绝对收敛，如果积分收敛，但非绝对收敛，称∫f(x)dx |a-&w为条件收敛定理：绝对收敛的反常积分必收敛反常积分的比较判别法：1）满足条件下，∫f(x)dx |a-&w收敛 &==&F(u)=∫f(x)dx |a-&w在[a，w）有上界。2）比较判别法：若f，g在任一[a,u][a，w）上可积，∫f(x)dx |a-&w ，∫g(x)dx |a-&w，为反常积分，若在[a，w）上有0≤f(x)≤g(x）,则 当∫g(x)dx |a-&w 收敛，∫f(x)dx |a-&w 收敛；当∫f(x)dx |a-&w 发散，∫g(x)dx |a-&w 发散3）比较判别法的极限形式：若f，g在任一[a,u][a，w）上非负可积，∫f(x)dx |a-&w ，∫g(x)dx |a-&w，为反常积分，若lim f(x)/g(x) = c
x-&w-，则当 0&c&+∞ 时，∫f(x)dx |a-&w ，∫g(x)dx |a-&w 同敛态；当c=0时，由∫g(x)dx |a-&w 收敛 推得∫f(x)dx |a-&w 收敛；c=+∞时，∫g(x)dx |a-&w 发散，∫f(x)dx |a-&w发散。柯西判别法，有三种形式Dirichlet判别法：若f，g在任一[a,u][a，w）上可积，∫f(x)g(x)dx |a-&w 是反常积分，若F(u)=∫f(x)dx |a-&u，在[a,w)上有界；g(x)在 [a,w)上单调且lim g(x)=0
则反常积分∫f(x)g(x)dx |a-&w收敛Abel判别法：若f，g在任一[a,u][a，w）上可积，∫f(x)g(x)dx |a-&w 是反常积分，若∫f(x)dx |a-&w 收敛，g(x)在[a,w)上单调有界，则∫f(x)g(x)dx |a-&w 收敛。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。文话教育百家号最近更新：简介:摆摊卖知识：文化教育主题，哲经美数心理学作者最新文章相关文章}