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下载须知 | 常见问题汇总
线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数李建平习题答案详解__复旦大学出版社线性代数习题一123（答案略）41∵奇数???∴为偶数故所求为2∵（奇数）???∴所求为∵偶数06?∴项前的符号位（正号）??61??（2）∵56AAA?124351???∴项前的符号位（负号）?612341N????原1N??（2）??22N??????原12N??（3）原式121NNNA?????121NNA??78（答案略）9∵60940DX??????∴7X10（1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得??111011XNXXXXN?????????????????????????????1NX??（2）按第一列展开11100NNNNYXDXXYY???????????????（3）NNDNN??????????????3011201NNN???????????????1121NN?????????????2321111NNNN????????????????12111NNN????????????????NNNN????????????????????习题二12345（答案略）6设为与可交换的矩阵，则有12X???????BA?AB即1212XX???????????????????解之得1212,,,ABA7（1），记为223301XY??????????????XAY，记为112230YZ??????????????BZ（2）即??XABZ1122350XZ??????????????8（答案略）F??????????AE10（1）222?????BABAB22??22?11∵21,?ABE∴2,4??A反之若,则,即24?O2?A121设∵∴2,IJIJAB?AT?AIJJIA又∵∴2O0I又12IJIJIJINJBAA???221IIINA???,1,JN??当时，有,N?,0NNNNAA????∴0A（2）设，则IJA?TIJB?12IJIJIJINJA??∵∴T,,IJN?当时，有IJ?22101,IIINAA????故即120,IIINA???A131∵∴为对称矩阵TTATA同理也为对称矩阵（2）∵TT???∴为对称矩阵又∵TT??AA∴为反对称矩阵（3）∵1122TTTT?????A由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵A故可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。14（1）必要性∵,,TT??BAB∴TA充分性∵,,??∴TTBAB2必要性∵222,,??EE∴2AB充分性∵22,,??AB∴22??ABABE3必要性∵2,,?∴2?????AB即?AB充分性∵22,,?AB∴??15（答案略）16∵1K??EAAE?∴可逆。且121K?????17∵KK??AAE??∴可逆，且K1KK??18（答案略）19∵,若可逆，则?AE0?A∴故可逆，且1??????1??20设，∵是对称矩阵∴记，则IJA?AIJJIAIJNA，即为对称矩阵，又∵,∴为对称矩阵。IJJIN1??A1?21（1）设，则IJ?NNIJN（2）∵∴AE1??又∵11??∴?1A于是即1???AE11???A3∵∴?E1于是11TTTTT?????A4注意加条件可逆A∵可逆∴1??∴11NN??A21N??A22∵∴1BC?111MMBCCA??????2324（答案略）25∵∴230?AE32?AE∴可逆，且1?26∵∴1?PΛ1?P11????AΛ?又∵,,4??????143???????1102??????∴??????????????????????A27（答案略）28∵∴?C1??CAE又∵∴?BEB故111?????AE2913223??AA1123????????????243?A∵∴AE1,NN??A∴（答案略）31（1）,,,4???????AAA,,,6??????AAA32???BBOB331∵11?????????????????????????OAEA∴11??????????????BBO2∵11111?????????????????????????????ACEOACBO∴11???????????????CBB习题三1234（答案略）5∵不能由线性表示Β12,MΑ?∴线性方程组无解MKK??ΑΒ?不妨假设能由线性表示，则存在一组数，使Β12,S?Α?12,SK???12SKK?????ΑΑΒ?从而120SSMK??????Α??此式与方程组无解矛盾。MK??Β?故不能由的任何部分组线性表示Β12,?6依题意1122334???????????????????????????????所以4????????????????????????????????即12327????????7∵∴12323???????112233????????????????令∵1???????A40??A∴可逆，于是A?????????????????????????A即????122331????????8．（答案略）9当即当或时，线性相关212040AA???3A2??123,?否则线性无关。123,?10（1）设1210MMKK??????则1232MK?????∴即20MKK???????????12MK??????故线性无关。121,,??????（2）设2310MKKK????则11MM????∵线性无关∴解之得12,M??1210MK??????????L11一方面，向量组能由基本单位向量组线性表示；1,2N??12,N??另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为12,N??,??12321,,,NN????????∴向量组与向量组等价。1,2N??12,N??12一方面可由向量组线性表示；另一方面由于与,R?,S??1,2R??有相同的秩，所以就是向量组的一个极大无关组，1,2S?1,2R?1,2S??从而可以由线性表示,S??1,2R?故???1,2,1,RRS???????13设是向量组中任意一个向量?12,,S?∵可由线性表示12,,IIR?又，∴线性无关??12,,SR???12,,IIR??∴是的一个极大无关组。12,,IIR?12,,S?14∵可由线性表示，而也可由线性表示12,N??12,,N?12,,N??12,N??∴从而???,,,?????????12,,,NRR??故线性无关。12,,N?15必要性∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量12,,N??12,,N??N都可由线性表示。??充分性∵任意维向量都可以由线性表示，∴基本单位向量组12,,N?可由线性表示，故12,N??12,,N??????12,,,NNRR???????∴从而线性无关。??12,,NR??12,,N??习题四123456答案略7设，由得即??12??B原0?AB??120??A原120??A原可见，是方程组的两个解12,X又∵∴是方程组的两个线性无关的解。于是，问题就转化??,R?12,?0为求解方程组0A∵???????????????????????X???????????????????????????取即为所求。12,580,17,508TT?????12175,80B?????????8、设所求方程组为不妨设241AX?,01ABACD????依题设，,R??12,?????即2301ABCD??????321ABCD???????故所求方程组为234100X???????????9、由题设可知为的解，又因为，所以121NXX??AX1RAN??的基础解为所含向量个数为．0AX???故为的基础解系,TY?0AX于是的通解为XCY为任意常数１０、的互解为12340X??????3410K?????????即K????????????1012010A?????????????????方程组有非零解．34R???显然满足方程所以是所求非零的公1234,1KK????1,TK??共解．11（答案略）１２．由题设知，方程组的基础解系含一个解向量．0AX?????????可见是方程组的基础解系0,TY由知，知AX??XX??????，又233?（）（）即121340XXX??又线性无关．234,??可见为它的一个解，1340,X???????12341XX?从而为的一个特解。,TY?AX?故的通解为AX??0YK???１３（１）假设线性相关1,2,NRY????线性无关1,2,NR????纯由向量组线性表示Y??1,2,NR??从而是方程组的解与已知矛盾0AX?线性无关．1,2,NRY????（２）设10NRNRKKY?????????11NRR?????又线性无关?,2,RY???1200NNRKKK???
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&span id=&_baidu_bookmark_start_2& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_start_4& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&/p>&p>&span style=&font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 鉴于本网发布稿件来源广泛、数量较多, 系统审核过程只针对存在明显违法有害内容（如色情、暴力、反动、危害社会治安及公共安全等公安部门明文规定的违法内容）进行处理，难以逐一核准作者身份及核验所发布的内容是否存在侵权事宜, 如果著作权人发现本网已转载或摘编了其拥有著作权的作品或对稿酬有疑议, 请及时与本网联系删除。&/span>&/p>&p>&strong style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 white-space: background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 侵权处理办法参考版权提示一文：&/strong>&a href=&https://www.jinchutou.com/h-59.html& target=&_blank& textvalue=&https://www.jinchutou.com/h-59.html&>https://www.jinchutou.com/h-59.html&/a>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>&&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、如涉及内容过多，需要发送邮箱，请电子邮箱到，我们会及时处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>2、系统一旦删除后，文档肯定是不能下载了的，但展示页面缓存需要一段时间才能清空，请耐心等待2-6小时；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>3、请版权所有人（单位）提供最起码的证明（证明版权所有人），以便我们尽快查处上传人；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话，友好处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情，可以为我们提供相应的关键字，便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您（贵单位）相关版权作品上传；&/span>&/p>&p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&/p>" />
&span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 为了维护合法，安定的网络环境，本着开放包容的心态共建共享金锄头文库平台，请各位上传人本着自律和责任心共享发布有价值的文档；本站客服对于上传人服务前，有以下几点可提前参阅：&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、本站上传会员收益见：&a href=&https://www.jinchutou.com/h-36.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/h-36.html&/a> &/span>&/p>&p>2、本站不会为任何刚注册的上传会员特批解除上传限制，普通会员每天可以上传50份，值班经值会审核其上传内容，请自行观察自己上传的文档哪些在“临时转换中”（审核通过），哪些在审核拒绝中，连续坚持几天都没有任何文档被拒的情况下，根据文档质量和发布分类是否正常等考量合格后值班经理会特批升级会员等级，相应的权益也同时上升。&/p>&p>3、上传人本着友好、合作、共建、共享的原则，请耐心仔细的查看《&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>违禁作品内容处理规则》；&/a>&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/i-143.html&/a>&/p>&p>4、上传人可以观注本站公告，查看其它被公示永久封禁的原因&a href=&https://www.jinchutou.com/news-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/news-1.html&/a>&/p>&p>5、其它问题可以参阅上传常见问题指引：&a href=&https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html&/a>&/p>" />第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1 (1) 1 4 1 1 8 3解2 0 1 1 4 1 1 8 32 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4a b c (2) b c a c a b4解a b c b c a c a bacb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c31 1 1 (3) a b c a 2 b2 c 2解1 1 1 a b c a 2 b2 c 2bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) x y x y (4) y x y x x y x y 解 x y x y x x y x y x y yx(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 (3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 (4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 (5)1 3 21 41 43 (2n) (2n 1) 2 4 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 41 43 42 32解 逆序数为 n(n 1) 2 3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (6)1 3 解 (2n 1) (2n) (2n 2) (2n 1)(2n 2) (n 1 个) 2逆序数为 n(n 1) 3 2(1 个) 5 2 5 4 (2 个) (2n 1)(2n 2) (n 1 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 4 2(1 个)6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23 的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 4 计算下列各行列式4 1 (1) 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 1 2 5 1 4 2 0 7 2 0 2 1 4 c c 4 12 2 2 3 1 2 0 0 10 3 2 7 c4 7c3 0 0 1 10 4 1 10 2 1 2 2 ( 1)4 14 10 3 14 03a11a23a32a44( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42解4 1 10 04 1 10 c2 c3 9 9 10 0 0 2 0 1 2 2 10 3 14 c1 1 c 3 17 17 14 2 2 3 (2) 1 5 1 1 2 0 2 3 1 5 4 2 3 6 1 1 2 2 4 2 3 6 1 c4 c2 2 1 4 3 12 1 1 2 3 2 5 0 6 2 0 r4 r2 2 1 4 3 12 2 1 2 3 0 2 1 4 2解1 1 2 00 2 0 0r4 r1 2 1 4 0 3 12 2 1 2 3 0 0 0 0 0 0ab ac ae (3) bd cd de bf cf ef解ab ac ae bd cd de ef bf cfb c e adf b c e b c e1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef 1 1 1 a 1 (4) 0 0 1 b 1 0 a 1 0 0 0 1 c 1 0 0 1 d 0 1 c 1 0 r1 ar2 0 1 1 0 1 0 d 0 ab a 0 b 1 0 1 c 1 0 1d解1 b 1 01 ab a 0 c3 dc2 1 ab a ad 1 c 1 ( 1)( 1) 1 c 1 cd 0 0 1 0 1d2 1( 1)( 1)3 21 ab 1 ad abcd ab cd ad 1 1 cd 5 证明: a2 ab b2 (1) 2a a b 2b (a b)3; 1 1 1 证明 a2 ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b2 a2 2a b a 2b 2a 2a a b 2b 0 0 1 c3 c1 1 1 1ab a2 b2 a2 ( 1) b a 2b 2a3 13 (b a)(b a) a b 2 a (a b) 1ax by ay bz az bx x y z 3 3 (2) ay bz az bx ax by (a b ) az bx ax by ay bz z x y 证明ax by ay bz az bx ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz x ay bz az bx y ay bz az bx a y az bx ax by b z az bx ax by z ax by ay bz x ax by ay bz x ay bz z y z az bx 2 a y az bx x b z x ax by z ax by y x y ay bz2x y z y z x 3 a y z x b z x y z x y x y z3x y z x y z 3 a y z x b y z x z x y z x y3(a3x y z b )y z x z x y3a2 2 (3) b2 c d2 证明(a (b (c (d1)2 1)2 1)2 1)2(a (b (c (d2)2 2)2 2)2 2)2 (a (b (c (d 2a 2b 2c 2d 2 2 2 2(a (b (c (d3)2 3)2 0 ; 3)2 3)2 (a (b (c (d 3)2 3)2 (c c c c c c1 得) 3)2 4 3 3 2 2 3)2 5 5 5 (c4 c3 c3 c2 得) 5a2 b2 c2 d2(a (b (c (d1)2 1)2 1)2 1)2 1 1 1 1 1 1 1 12)2 2)2 2)2 2)2 3 3 3 3a2 b2 c2 d2 a2 b2 c2 d22a 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d2a 2b 2c 2d2 2 0 2 21 a (4) a 2 a41 b b2 b41 c c2 c41 d d2 d4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d41 1 1 1 0 b a c a d a 0 b(b a) c(c a) d (d a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b a ) c (c a ) d 2(d 2 a2) (b a)(c a)(d a) 1 1 1 d b c 2 2 2 b (b a) c (c a) d (d a)1 1 1 (b a)(c a)(d a) 0 c b d b 0 c(c b)(c b a) d (d b)(d b a) (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) c(c 1 a) d (d 1 a) b b =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) (5) x 0 1 x 0 1 0 0 0 0 xn a1xn10 0 0 an an 1 an 2x 1 a2 x a1an 1x an证明 用数学归纳法证明x 当 n 2 时 D2 a x 1 x 2 a1x a2 命题成立 a1 2假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2an 2 x an1则 Dn 按第一列展开 有Dn xDn1an ( 1)n11 x 110 1 10 0 x0 0 1xD n1an xn a1xnan 1x an因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 D det(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依副对角线翻转 依次得an1 D1 a11 ann a1nn(n 1) 2a1n D2 a11ann an1 D3ann an1a1n a11证明 D1 D ( 1) 2D D3 D证明 因为 D det(aij) 所以an1 D1 a11 ann a1n a11 ( 1)n 1 an1 a21 a1n ann a2na11 a21 n 2 n 1 ( 1) ( 1) an1 a31 ( 1) 同理可证D2 ( 1)n(n 1) 2 1 2 (n 2) (n 1)a1n a2n ann a3n D ( 1)n(n 1) 2Da11 a1nan1 annn(n 1) 2( 1)n(n 1) 2DT( 1)n(n 1) 2DD3 ( 1)n(n 1) 2D2 ( 1)( 1)n(n 1) 2D ( 1)n(n 1) D D7 计算下列各行列式(Dk 为 k 阶行列式)a1 a(1) Dn1, 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是0 解 a 0 0 0 1 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 (按第 n 行展开) 0 a a ( 1)1) (n 1) 2nDn0 0 0 a 0 0 ( 1)n 1 0 a 0 0 0 0 a ( 1)n 10 1 0 0 0 0 a 0 (na a (n1) (n 1)( 1)nan an an a (n2)(n 2)2an 2(a2 1)(2) Dnx a a x a a x解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 x a a a x x a 0 a x 0 x a a x 0 0 a 0 0 0 x aDn再将各列都加到第一列上 得 x (n 1)a a a 0 x a 0 0 0 x a 0 0 0 a 0 0 0 x a [x (n 1)a](x a)n1Dnan (a 1)n an 1 (a 1)n 1 (3) Dn1(a n)n (a n)n 1 ; a n 1a 1a 1 1解 根据第 6 题结果 有n(n 1) 21 a1 a 11 a n (a n)n 1 (a n)nDn1( 1)an 1 (a 1)n 1 an (a 1)n此行列式为范德蒙德行列式 Dn1( 1) ( 1)n(n 1) 2[(a i 1) (a j 1)]n 1 i j 1n(n 1) 2[ (i j)]n 1 i j 1( 1)n(n 1) 2( 1)n (n 1) 21(i j)n 1 i j 1(i j)n 1 i j 1an (4) D2n cn 解 an D2n cn a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1 dnbn (按第 1 行展开) dnan an1bn a1 b1 c1 d110cn 1 0 0 an ( 1)2n 1bn cn cn1 1dn 1 0 0 dn bn a1 b1 c1 d 1 dn 1 0 即 D2n (andn bncn)D2n1再按最后一行展开得递推公式 D2n andnD2n 于是 而 所以 D2nn2bncnD2n22(aidi bici )D2i 2D2 a1 b1 a d b c c1 d1 1 1 1 1 D2nn(ai di bici )i 1(5) D det(aij) 其中 aij |i j|; 解 aij |i j| 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 3 2 1 0 1 1 1 1 0 n n n n 0 1 2 3 4Dn det(aij )n 1n 2 n 3 n 4 r1 r2 r2 r3n 1n 2 n 3 n 4c2 c1 c3 c11 1 1 10 2 2 220 0 2 20 0 0 20 0 0 0 n 1n 1 2n 3 2n 4 2n 5 ( 1)n 1(n 1)2n (6) Dn1 1 a1 1 1 a2 1 1 1 1 , 其中 a1a2 1 anan 0解Dn 1 a1 1 1 1 a2 1 1 1 1 1 anc1 c2 c2 c3a1 0 0 a2 a2 0 0 a3 a3 0 0 0 0 0 00 0 0 an 010 0 01 1 1an 1 1 an 1 an a1 1 a2 1 a31a1a21 0 0 1 1 0 an 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 01 1 an 11 0 1 1 an1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1i 1a1 1 a2 1 a3 1 an 11na1a2an0 0 0 0 0 0nai 1(a1 a2 an )(1i1) 1 ai8 用克莱姆法则解下列方程组 x1 x (1) 1 2x1 3x1 x2 x3 x4 5 2x2 x3 4x4 2 3x2 x3 5x4 2 x2 2x3 11x4 0解 因为1 1 D 2 3 1 1 1 2 1 4 3 1 5 1 2 11 142D15 1 1 1 2 2 1 4 2 3 1 5 0 1 2 11 1 1 1 2 2 3 3 1 5 1 2 4 2 5 0 11142 D21 5 1 1 1 2 1 4 2 2 1 5 3 0 2 11 1 1 2 3 1 2 3 1 x4284D3 所以 x1426D41 5 1 2 142 1 2 2 0 D4 D 1D1 1 x2 DD2 2 Dx3D3 3 D1 5x1 6x2 x1 5x2 6x3 0 (2) x2 5x3 6x4 0 x3 5x4 6x5 0 x4 5x5 1 解 因为 5 1 D 0 0 0 1 0 D1 0 0 1 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 0 665 6 5 0 0 0
5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1145D2D35 1 0 0 0 5 1 0 0 06 5 1 0 0 6 5 1 0 01 0 0 0 1 0 6 5 1 00 0 6 5 1 0 0 6 5 10 0 0 703 D4 6 5 1 0 0 212 0 15 1 0 0 06 5 1 0 00 6 5 1 01 0 0 0 10 0 0 6 5395D5 所以x1 x2x3 703 665x4395 665x4 212 6659 问 l m 取何值时 解？ 解 系数行列式为lx1 x2 x3 0 齐次线性方程组 x1 mx2 x3 0 有非零 x1 2mx2 x3 0l 1 1 D 1 m 1 m ml 1 2m 1 令D 0 得 m 0或l 1 于是 当 m 0 或 l 1 时该齐次线性方程组有非零解 (1 l)x1 2x2 4x3 0 齐次线性方程组 2x1 (3 l)x2 x3 0 有 x1 x2 (1 l)x3 010 问 l 取何值时 非零解？ 解 系数行列式为 D1 l 2 4 2 3 l 1 1 1 1 l1 l 2 13 l 4 1 l 1 0 1 l(1 l)3 (l 3) 4(1 l) 2(1 l)( 3 l)(1 l)3 2(1 l)2 l 3 令D 0 得 l 0 l 2或l 3 于是 当 l 0 l 2 或 l 3 时 该齐次线性方程组有非零解 第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 x1 2 y1 2 y2 y3 x2 3y1 y2 5y3 x3 3y1 2 y2 3y3 求从变量 x1 x2 x3 到变量 y1 y2 y3 的线性变换 解 由已知 x1 x2 x3 故 y1 y2 y2 2 2 1 y1 3 1 5 y2 3 2 3 y2 2 21 3 1 5 3 2 31x1 x2 x37 4 9 y1 6 3 7 y2 3 2 4 y3y1 7x1 4x2 9x3 y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3 2 已知两个线性变换 x1 2 y1 y3 x2 2 y1 3y2 2 y3 x3 4 y1 y2 5y3 y1 3z1 z2 y2 2z1 z3 y3 z2 3z3求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换 解 由已知 x1 x2 x3 2 0 1 y1 2 3 2 y2 4 1 5 y2 2 0 1 2 3 2 4 1 5 3 1 0 z1 2 0 1 z2 0 1 3 z36 1 3 z1 12 4 9 z2 10 1 16 z3 x1 6z1 z2 3z3 所以有 x2 12z1 4z2 9z3 x3 10z1 z2 16z3 3 设A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 2 3 1 2 4 0 5 1 求 3AB 2A 及 ATB 1 1 1 21 1 1 1 1 1解1 1 1 1 2 3 3AB 2A 3 1 1 1 1 2 4 1 1 1 0 5 1 0 5 8 30 5 6 2 9 0 AT B 1 1 1 21 1 1 1 1 12 13 22 2 17 20 4 29 2 0 5 8 0 5 6 2 9 01 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 4 1 1 1 0 5 14 计算下列乘积 4 3 1 7 (1) 1 2 3 2 5 7 0 1 解 4 3 1 7 1 2 3 2 5 7 0 1 4 7 3 2 1 1 1 7 ( 2) 2 3 1 5 7 7 2 0 1 35 6 493 (2) (1 2 3) 2 1 解 3 (1 2 3) 2 1 (1 3 2 2 3 1) (10)2 (3) 1 ( 1 2) 3解2 1 ( 1 2) 32 ( 1) 2 2 1 ( 1) 1 2 3 ( 1) 3 22 4 1 2 3 61 3 1 (4) 2 1 4 0 0 1 2 1 13 4 1 3 1 4 0 2 解 1 3 1 2 1 4 0 0 1 2 1 13 4 1 3 1 4 0 2 6 20 7 8 5 6a11 a12 a13 x1 (5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3 解 a11 a12 a13 x1 (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3 (a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 x1 a13x1 a23x2 a33x3) x2 x32 2 a11x12 a 22x 2 a33x3 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a23x2 x35 设A12 13B10 12问(1)AB BA 吗? 解 AB BA 因为 AB 3 4 4 6 BA 1 2 38 所以 AB BA(2)(A B)2 A2 2AB B2 吗? 解 (A B)2 A2 2AB B2 因为 A B 2 2 2 5( A B)2 但2 2 2 2 2 5 2 5 3 8 4 118 14 14 29 6 8 8 12 1 0 3 4 10 16 15 27A2 2AB B2所以(A B)2 A2 2AB B2 (3)(A B)(A B) A2 B2 吗? 解 (A B)(A B) A2 B2 因为 A B 2 2 2 5 A B 0 2 0 1 0 6 0 9( A B)(A B) 而 A2 B2 3 8 4 112 2 0 2 2 5 0 1 1 0 3 4 2 8 1 7故(A B)(A B) A2 B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A2 0 则 A 0 解 取A 0 1 0 0 则 A2 0 但 A 0(2)若 A2 A 则 A 0 或 A E 解 取A 1 1 0 0 则 A2 A 但 A 0 且 A E(3)若 AX AY 且 A 0 则 X Y 解 取 A 1 0 0 0 X 1 1 11 Y 11 01则 AX AY 且 A 0 但 X Y 7 设A 解 A2 1 0 l 1 求 A2 A3 1 0 2l 1 Ak1 0 1 0 l 1 l 1A3 A2 A1 0 1 0 2l 1 l 11 0 3l 1Ak 8 设A1 0 kl 1 l 1 0 0 l 1 0 0 l 求 Ak解 首先观察 A2l 1 0 l 1 0 0 l 1 0 l 1 0 0 l 0 0 l l3 3l2 3l 0 l3 3l2 0 0 l3 l4 4l3 6l2 0 l4 4l3 0 0 l4 l5 5l4 10l3 0 l5 5l4 0 0 l5 k(k 1) lk 2 klk 1 lkl2 2l 1 0 l2 2l 0 0 l2A3 A2 AA4A A3A5 A4 Alk klk Ak 0 0 lk 012用数学归纳法证明 当 k 2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k 1 时， lk klk Ak1 1Ak A0 0lk 0k(k 1) lk 2 klk 1 lk2l 1 0 0 l 1 0 0 llk 0 01(k 1)lk lk110(k 1)k lk 1 2 (k 1)lk 1 lk 1由数学归纳法原理知 lk klk Ak 0 0 lk 01k (k 1) lk 2 klk 1 lk29 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是 对称矩阵 证明 因为 AT A 所以 (BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 10 设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 AB BA 证明 充分性 因为 AT A BT B 且 AB BA 所以 (AB)T (BA)T ATBT AB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 AT A BT B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T BTAT BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 1 2 2 5 解A 1 2 2 5|A| 1 故 A 1 存在 因为 5 2 2 1A*A11 A21 A12 A22故A11 A* | A|5 2 2 1(2) cosq sinq sinq cosq 解A cosq sinq sinq cosq|A| 1 0 故 A 1 存在 因为 cosq sinq sinq cosqA* 所以 A1A11 A21 A12 A22 1 A* | A|cosq sinq sinq cosq1 2 1 (3) 3 4 2 5 4 1 解 A 1 2 1 3 4 2 5 4 1 |A| 2 0 故 A 1 存在 因为4 2 0 13 6 1 32 14 2A*A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A331所以A1 A* | A| 02 1 0 13 3 1 2 2 16 7 1a1 a 2 (4) 0 解 a1 A 0(a1a2 an a2 0 anan 0)由对角矩阵的性质知A11 a1 1 a2 00 1 an12 解下列矩阵方程 (1) 2 5 X 1 3 解 X 4 6 2 1125 1 34 6 2 1 1 13 4 3 23 5 4 6 1 2 2 12 23 0 82 1 1 (2) X 2 1 0 1 1 1 解 X2 1 1 1 13 2 1 0 4 3 2 1 1 1 1 1 13 3 4 3 2 2 2 1 8 5 2 3 311 0 1 2 3 2 3 3 0(3) 解1 4 2 0 X 12 11 X 1 4 1213 1 0 1 3 1 2 0 0 1 1111 2 4 3 1 10 12 1 1 0 1 1 2 1 6 6 10 12 3 0 1 2 0 1 0 1 0 0 (4) 1 0 0 X 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 4 1 4 3 2 0 1 1 2 0解X0 1 0 1 0 0 0 0 111 4 3 1 0 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 010 1 0 1 4 3 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 x1 2x2 3x3 1 (1) 2x1 2x2 5x3 2 3x1 5x2 x3 3 解 方程组可表示为 1 2 3 x1 2 2 5 x2 3 5 1 x3 故 x1 x2 x3 1 23 2 25 3 5 1 1 2 312 1 0 1 3 4 1 0 21 2 31 0 0从而有x1 1 x2 0 x3 0x1 x2 x3 2 (2) 2x1 x2 3x3 1 3x1 2x2 5x3 0 解 方程组可表示为 1 1 1 x1 2 1 3 x2 3 2 5 x3 故 x1 x2 x3 x1 5 x2 0 x3 3 1 1 1 2 1 3 3 2 5 2 1 012 1 05 0 3故有14 设 Ak O (k 为正整数) 证明(E A) 1 E A A2 证明 因为 Ak O 所以 E Ak E 又因为 E Ak (E A)(E A A2 Ak 1) 所以 (E A)(E A A2 Ak 1) E 由 定理 2 推论知(E A)可逆 且 (E A)1Ak1E A A2Ak1证明 一方面 有 E (E A) 1(E A) 另一方面 由 Ak O 有 E (E A) (A A2) A2 (E A A2 故 (E A) 1(E A) (E A A2 两端同时右乘(E A) 1 就有 (E A) 1(E A) E A A2 Ak1(Ak1Ak)A k 1)(E A) Ak 1)(E A) Ak115 设方阵 A 满足 A2 A 2E O 证明 A 及 A 2E 都可逆 并 求 A 1 及(A 2E)1证明 由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E 即 A(A E) 2E 或 A 1 (A E) E 21由定理 2 推论知 A 可逆 且 A 由 A2 A 2E O 得 A2 A 6E 或1 ( A E) 2 4E4E 即(A 2E)(A 3E)( A 2E) 1 (3E A) E 4由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 ( A 2E) 1 1 (3E A) 4 证明 由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E 两端同时取行列式得 即 故 由 |A2 A| 2 |A||A E| 2 |A| 0 A2 A 2E O A(A E) 2E A 1 1 ( A E) 2 4E1所以 A 可逆 而 A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故 A 2E 也可逆A 1A(A E) 2A 1E 又由 A2 A 2E O(A 2E)A 3(A 2E) 4E 4(A 2 E)(A 2E)(A 3E)所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) ( A 2E) 1 1 (3E A) 416 设 A 为 3 阶矩阵 | A| 1 求|(2A) 2 解 因为 A 1 1 A* 所以 | A||(2A)115A*|5A*| | 1 A 1 5| A| A 1 | | 1 A 1 5 A 1 | 2 2 2 1 3 1 | 2A | ( 2) |A | 8|A| 1 8 216 且17 设 矩 阵 A 可 逆 (A*)1证 明 其 伴 随 阵 A* 也 可 逆1(A 1)*1 A* 得 A* |A|A | A|1证明 由 A 1所以当 A 可逆时 有|A*| |A|n|A 1| |A|n 从而 A*也可逆 因为 A* |A|A10所以(A*) 又A1|A| 1A1 ( A 1)* | A|( A 1)* 所以 | A 1| (A*)1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n1证明 (1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有 A*(A*) A A A*(A*) (2)由于 A 111E 由此得|A|E(A*)1O所以 A* O 这与|A*| 0 矛盾，故当|A| 0 时 有|A*| 0 1 A* 则 AA* |A|E 取行列式得到 | A|1|A||A*| |A|n 若|A| 0 则|A*| |A|n 因此|A*| |A|n1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立19 设 A0 3 3 1 1 0 12 3AB A 2B 求 B解 由 AB A 2E 可得(A 2E)B A 故 B ( A 2E) A 1 0 1 0 2 0 1 0 112 3 3 1 10 1 2 110 3 3 1 1 0 12 30 3 3 12 3 1 1 020 设 A且 AB E A2 B 求 B解 由 AB E A2 B 得 (A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E) 0 0 1 因为| A E | 0 1 0 1 0 0 B A E 1 0 所以(A E)可逆 从而2 0 1 0 3 0 1 0 221 设 A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求 B 解 由 A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA B 8E1 18(A* 2E) 1A 8[A(A* 2E)] 8(AA* 2A) 8(|A|E 2A) 8( 2E 2A) 4(E A)1 1 1 14[diag(2 1 2)] 4diag( 1 , 1, 1 ) 2 2 2diag(1 2 1)122 已知矩阵 A 的伴随阵 A* 且 ABA11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 30 8BA113E 求 B BA1解 由|A*| |A|3 8 得|A| 2 由 ABA 3E 得AB B 3A B 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A 3(E 1 A*) 1 6(2E A*) 1 21 6 0 1 00 1 0 30 0 0 0 1 0 0 616 0 6 00 6 0 30 0 6 00 0 0 1 10 0 2 求 A111123 设 P 1AP 解 由 P 1AP |P| 3 P* 而11其中 P1 4 1 11得A P P 1 4 1111所以 A11 A=P 1 4 1 1P 1.P 1 0 0 21111 310 0 2故A111 4 1 0 1 1 0 2111 3 1 34 3 1 33 684 1 1 524 设 AP P其中 P1 1 1 1 0 2 1 1 12求 j(A) A8(5E 6A A2) 解 j( )8(5E 6)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) j(A) Pj( )P 1 1 Pj( )P* | P| 1 1 21 0 1 1 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 2 2 3 0 3 1 2 1111
设矩阵 A、B 及 A B 都可逆 证明 A 其逆阵1B 1 也可逆 并求证明 因为 A 1(A B)B1B1A1A1B1而 A 1(A B)B 1 是三个可逆矩阵的乘积 所以 A 1(A B)B 1 可逆 即 A 1 B 1 可逆 (A1B 1) 2 1 0 01[A 1(A B)B 1] 0 1 1 3 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 3 2 2 0 21 0 31B(A B) 1A1 26 计算 0 0 0 解 设 A1 则 而1 0 2 01 1 3 3 B1 3 1 2 1 B2 2 0 3 31 2 0 1A1 E E B1 O A2 O B2 A1B1 B2 A2 B2A1 A1B1 B2 O A2 B2 2 0 4 0 3 3 3 9 1 0 0 0 5 2 4 0 2 4 3 9 | A| | B| |C | | D| 2 5 1 2 0 4 0 0 2 4 3 9 5 2 2 41 2 3 1 0 1 2 1 21 0 3 2 0 3 3所以 1 0 0 0A1 E E B1 O A2 O B2 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 2 0A1 A1B1 B2 O A2 B2 1 1 3 3 1 0 0 0 2 1 0 0即27 取 A B 1 0 1 0C D 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 11 0 0 1 2 0 1 0验证 A B C D 0 2 0 1 0 0 1 0解A B C D0 0 2 01 0 4 0 0 20 1 1而| A| | B| 1 1 0 |C | | D| 1 1故A B C D 28 设 A| A| | B| |C | | D| 3 4 O 4 3 O 2 0 2 2 3 4 4 3 A2 求|A8|及 A4 2 0 2 2解 则 故令 A1 A A8A1 O O A2 A1 O O A28A8 O 1 8 O A2 54 0 0 54 O8 | A8 | | A1 || A8 | | A1 |8| A2 |8 1016 2A4A O O A244 1O 24 0 26 2429 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆 求 (1) O A B O1O A 解 设 B O1C1 C2 C3 C4则 AC3 AC4 BC1 BC2 En O O EsO A C1 C2 B O C3 C4 由此得 AC3 En AC4 O BC1 O BC2 Es O A B O1 1C3 A1 C4 O C1 O C2 B 1 O B1 A1 O所以(2) A O C BA O 解 设 C B1D1 D2 D3 D4则 En O O EsA O D1 D2 C B D3 D4 由此得 AD1 AD2 CD1 CD2 AO C B En O BD3 O BD4 Es1AD1 AD2 CD1 BD3 CD2 BD4 D1 A 1 D2 O D3 B 1CA 1 D4 B 1所以A1 O 1 1 B CA B 130 求下列矩阵的逆阵 5 (1) 2 0 0 2 1 0 0 0 0 8 5 0 0 3 2 5 2 2 1 5 2 2 1 2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 8 5 0 0 0 4 10 121 1解 设A A 于是 5 2 0 0 1 (2) 1 2 1 0 2 1 21B8 3 5 2 1 2 2 5则 B18 3 5 212 3 5 8 1 2 0 0 2 5 0 0 0 0 0 0 2 3 5 80 0 3 21A B1A1B1解 设AB30 1 4C2 1 1 2则1 1 2 10 2 1 20 0 3 10 0 0 4AO C B1A1 O 1 1 B CA B 11 1 2 1 2 1 80 1 2 1 6 5 240 0 0 0 1 0 3 1 1 12 4第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 10 2 (1) 2 0 3 30 4 解 10 2 2 0 3 30 4 10 ~ 0 0 0 0 1 1 3 1 1 3(下一步 r2 ( 2)r1 r3 ( 3)r1 )2 1 1 3 2 0(下一步 r2 ( 1) r3 ( 2) )10 2 1 ~ 0 0 1 3 0 0 1 0 10 2 1 ~ 0 0 1 3 0 0 0 3 1 0 2 1 ~ 0 0 1 3 0 0 0 1 10 2 1 ~ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ~ 0 0 1 0 0 0 0 1 02 (2) 0 3 04 3 1 4 3 7 1(下一步 r3 r2 )(下一步 r3 3 )(下一步 r2 3r3 )(下一步 r1 ( 2)r2 r1 r3 )解0 2 0 3 0 4 0 2 ~ 0 0 0 03 1 4 3 7 1 3 1 1 3 1 3(下一步 r2 2 ( 3)r1 r3 ( 2)r1 )(下一步 r3 r2 r1 3r2 )0 2 0 10 ~ 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 5 ~ 0 0 1 3 0 0 0 0 1 (3) 3 2 3 解 1 3 2 3 1 ~ 0 0 0 1 0 ~ 0 0 1 ~ 0 0 0 2 (4) 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 3 5 3 4 1 3 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 8 7 3 1 1 1 0 1 0 0 3 2 3 4 3 5 3 4 4 4 2 2(下一步 r1 2 )3 1 0 1 4 4 2 2 3 1 0 1(下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 )3 4 3 4 8 8 3 6 6 5 10 10 4 2 2 2 2 2 0 0 7 4 0 3 3 2 2 2(下一步 r2 ( 4) r3 ( 3) r4 ( 5) )(下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 )3 2 0 0解2 1 3 23 2 2 31 0 8 7 1 0 8 7 1 2 0 0 2 1 0 0 1 0 1 13 2 3 47 4 0 3(下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 )0 1 ~ 1 2 0 8 0 7 0 ~ 1 0 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 01 1 2 4 9 12 8 11 1 2 4 4(下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 )(下一步 r1r2 r2 ( 1) r4 r3 )0 1 1 02 1 4 0(下一步 r2 r3 )2 1 0 00 2 0 3 1 4 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 求A0 1 0 1 0 1 2 设 1 0 0 A0 1 0 0 0 1 0 0 1 解0 1 0 1 0 0 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 0 0 1 1 0 1 0 1 0 是初等矩阵 E(1 2(1)) 其逆矩阵是 00 1 E(1 2( 1)) 10 1 0 1 0 0 0 1A0 1 0 1 2 3 10 1 1 0 0 4 5 6 0 1 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1 4 5 6 10 1 1 2 3 0 1 0 7 8 9 0 0 1 4 5 2 1 2 2 7 8 23 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 3 21 (1) 3 1 5 3 2 3 解 321 1 0 0 3 2 1 10 0 3 1 5 0 1 0 ~ 0 14 1 10 32 3 0 0 1 0 0 2 10 1 3 2 0 3/ 2 0 1/ 2 3 0 0 7 / 2 2 9/ 2 ~ 0 10 1 1 2 ~ 0 10 11 2 0 0 2 10 1 0 0 1 1/ 2 0 1/ 2 1 0 0 7 / 6 2/3 3/ 2 ~ 0 10 1 1 2 0 0 1 1/ 2 0 1/ 2 故逆矩阵为 7 6 1 1 2 2 2 2 1 3 0 1 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 2 2 2 1 2 1 4 2 2 1 0 0 0 2 3 2 2 3 3 2 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 3 2 0 2 1 0 3 2 9 2 3 2 1 2 2 1 5 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 13 0 (2) 1 0解0 10 0 0 1 0 30 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 1 4 21 0 ~ 0 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 故逆矩阵为 0 1 0 02 3 1 2 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 12 1 1 1 1 0 1 20 0 1 20 1 0 0 0 1 0 3 4 1 6 101 2 2 1` 0 1 1 3 6 1 6 10 1 2 4 1 0 1 1 3 6 1 6 100 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 12 4 0 1 3 6 6 10 B 1 3 2 2 3 1 求 X 使 AX B4 (1)设 A 解 因为 ( A, B) 所以4 1 2 2 2 1 3 1 14 1 2 2 3 12 1 3 r 1 0 0 1 2 2 ~ 0 1 0 1 3 1 0 0 1 10 2 15 3 12 4 1 3 4 B 1 2 3 2 3 110 15 122 3 4X A 1B 0 2 2 1 3 3(2)设 A求 X 使 XA B解 考虑 ATXT BT 因为 (A , B )T T0 2 2 1 1 31 T3 1 2 r 10 0 2 4 3 2 3 ~ 0 10 1 7 4 3 1 0 0 1 1 4 2 4 1 7 1 4所以XT(A ) BT从而X BA 12 1 1 4 7 45 设A1 1 0 0 1 1 AX 2X A 求 X 1 0 1解 原方程化为(A 2E)X A 因为 ( A 2E, A) 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 10 0 0 1 1 ~ 0 10 1 0 1 0 0 1 1 1 0 所以 X ( A 2E) A10 1 1 1 0 1 1 1 06 在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r 1 阶子式? 有没有 等于 0 的 r 阶子式? 解 在秩是 r 的矩阵中 可能存在等于 0 的 r 1 阶子式 也 可能存在等于 0 的 r 阶子式 例如 A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 R(A) 30 0 0 0 0 是等于 0 的 2 阶子式 1 0 0 是等于 0 的 3 阶子式 0 0 0 1 0 7 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎 样? 解 R(A) R(B) 这是因为 B 的非零子式必是 A 的非零子式 故 A 的秩不会小 于 B 的秩8 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 阵 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0) 解 用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角矩此矩阵的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 3 1 (1) 1 1 1 3 解 3 1 1 1 1 3 1 1 ~ 3 1 1 3 0 2 2 1 ; 4 4 0 2 2 1 4 4 2 1 0 2 4 4(下一步 r1 r2 )(下一步 r2 3r1 r3 r1 )1 1 2 1 ~ 0 4 6 5 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 0 4 6 5 0 0 0 0 矩阵的 秩为 2 3 1 1 1(下一步 r3 r2 )4 是一个最高阶非零子式3 2 1 3 1 (2) 2 1 3 1 3 7 0 5 1 8解3 2 1 3 2 1 3 1 7 0 5 1 1 ~ 0 02 3 8(下一步 r1 r2 r2 2r1 r3 7r1 )3 4 4 1 7 11 9 5 21 33 27 15 4 9 0 1 5 0(下一步 r3 3r2 )1 3 4 ~ 0 7 11 0 0 0 矩阵的 秩是 23 22 -1= -7 是 一个最高阶非零子式2 (3) 2 3 1 解 2 2 3 1 0 ~ 0 0 1 0 ~ 0 0 1 0 ~ 0 0 11 3 2 08 0 5 3 1 3 2 0 1 3 2 03 7 7 5 8 0 2 0 8 0 5 3 3 7 7 5 8 0 2 0 2 6 4 3 1 3 2 2(下一步 r1 2r4 r2 2r4 r3 3r4 )7 5 0 0(下一步 r2 3r1 r3 2r1 )1 0 0 0 1 0 0 02 0 0 3 2 0 0 3 3 2 0 01 7 0 16 0 14 2 0 1 0 0 2 7 1 0 0 0 7 1 0(下一步 r2 16r4 r3 16r2 )1 ~ 0 0 00 1 0 02 1 0 00 7 5 矩阵的秩为 3 5 8 0 70 0 是一个最高阶非零子式 3 2 0 10 设 A、B 都是 m n 矩阵 证明 A~B 的充分必要条件是 R(A) R(B) 证明 根据定理 3 必要性是成立的 充分性 设 R(A) R(B) 则 A 与 B 的标准形是相同的 设 A 与 B 的标准形为 D 则有 A~D D~B 由等价关系的传递性 有 A~B 11 设 A 1 2 3k 1 2k 3 k 2 3 问 k 为何值 可使(1)R(A) 1 (2)R(A) 2 (3)R(A) 3 解 A 1 2 3k r 1 1 k 1 2k 3 ~ 0 k 1 k 1 k 2 3 0 0 (k 1)(k 2)(1)当 k 1 时 R(A) 1 (2)当 k 2 且 k 1 时 R(A) 2 (3)当 k 1 且 k 2 时 R(A) 312 求解下列齐次线性方程组: x1 x2 2x3 x4 0 (1) 2x1 x2 x3 x4 0 2x1 2x2 x3 2x4 0 解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 A 1 12 1 10 1 2 1 1 1 ~ 0 1 3 2 2 1 2 0 0 1 0 1 4/3于是x1 4 x4 3 x2 3x4 x3 4 x4 3 x4 x4故方程组的解为 x1 x2 x3 x4 4 3 3 4 (k 为任意常数) 3 1kx1 2x2 x3 x4 0 (2) 3x1 6x2 x3 3x4 0 5x1 10x2 x3 5x4 0 解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 A 1 2 1 1 12 0 1 3 6 1 3 ~ 0 0 1 0 5 10 1 5 0 0 0 0于是x1 2x2 x4 x2 x2 0 x3 x x44故方程组的解为 x1 x2 x3 x4 2 1 0 0 1 k2 0 (k1 k2 为任意常数) 0 1 5x4 7x4 6 x4 7x4 0 0 0 0k12x1 3x2 3x x (3) 1 2 4 x1 x2 x1 2x2x3 2x3 3x3 4x3解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A2 3 1 5 1 0 3 1 2 7 ~ 0 1 4 1 3 6 0 0 1 2 4 7 0 00 0 1 00 0 0 1于是x1 0 x2 0 x3 0 x4 0故方程组的解为 x1 x2 x3 x4 3x1 2x (4) 1 4x1 7x1 0 0 0 0 4x2 3x2 11x2 2x2 5x3 7x4 0 3x3 2x4 0 13x3 16x4 0 x3 3x4 0解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 3 4 2 3 4 11 7 2 3 5 7 17 3 2 ~ 0 1 19 13 16 17 0 0 1 3 0 0 0 0 10 13 x 17 4 20 x 17 4 13 17 20 17 0 0A于是x1 3 x3 17 19 x x2 17 3 x3 x3 x4 x4故方程组的解为 x1 x2 x3 x4 3 17 k 19 1 17 1 0 13 17 20 (k k 为任意常数) 1 2 17 0 1k213 求解下列非齐次线性方程组: 4x1 2x2 x3 2 (1) 3x1 1x2 2x3 10 11x1 3x2 8 解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有 B 4 2 1 2 1 3 3 8 3 1 2 10 ~ 0 10 11 34 11 3 0 8 0 0 0 6于是 R(A) 2 而 R(B) 3 故方程组无解 2x 3y (2) x 2 y 3x 8y 4x y z 4z 2z 9z 4 5 13 6解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有 B 2 1 3 4 3 1 4 10 2 4 5 ~ 0 1 8 2 13 0 0 1 9 6 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0于是x 2z 1 y z 2 z z x y z k 2 1 1 1 2 (k 为任意常数) 0即2x y z w 1 (3) 4x 2 y 2z w 2 2x y z w 1 解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有 B 2 1 4 2 2 1 1 1 1 1 1/ 2 2 12 ~ 0 0 1 1 1 0 0 1/ 2 0 1/ 2 0 1 0 0 0 0x 于是y y z z w 0 x y z w1 y 1z 1 2 2 2即k11 2 1 0 01 2 k2 0 1 01 2 0 (k1 k2 为任意常数) 0 02x y z w 1 (4) 3x 2 y z 3w 4 x 4 y 3z 5w 2 解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有 B 2 3 1 x 1z 7 y 5z 7 z z w w x y z w 1 1 1 2 1 3 4 3 5 1w 7 9w 7 6 7 5 7 1 1 0 1/ 7 1/ 7 4 ~ 0 1 5/ 7 9/ 7 2 0 0 0 0 6/ 7 5/ 7 0于是即1 7 5 k1 7 1 0k21 7 9 7 0 16 7 5 (k k 为任意常数) 1 2 7 0 014 写出一个以 x c1 为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得 2 3 1 0 c2 2 4 0 1x1 x2 x3 x4c12 3 1 0c22 4 0 1与此等价地可以写成x1 2c1 c2 x2 3c1 4c2 x3 c1 x4 c2或 或x1 2x3 x4 x2 3x3 4x4 x1 2x3 x4 0 x2 3x3 4x4 0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 l 取何值时 非齐次线性方程组 lx1 x2 x3 1 x1 lx2 x3 l x1 x2 lx3 l2 (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解? 解 Brl 1 1 1 1 l 1 l 1 1 l l21 1 l l2 ~ 0 l 1 1 l l(1 l) 0 0 (1 l)(2 l) (1 l)(l 1)2 (1)要使方程组有唯一解 必须 R(A) 3 因此当 l 1 且 l 时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解 必须 R(A) R(B) 故 (1 l)(2 l) 0 (1 l)(l 1)2 0 因此 l 2 时 方程组无解 2(3)要使方程组有有无穷多个解 必须 R(A) R(B) 3 故 (1 l)(2 l) 0 (1 l)(l 1)2 0 因此当 l 1 时 方程组有无穷多个解.16 非齐次线性方程组 2x1 x2 x3 2 x1 2x2 x3 l x1 x2 2x3 l 2 当 l 取何值时有解？并求出它的解 解 B 2 1 1 1 2 1 l 1 2 1 1 2 2 (l 1) 1 l ~ 0 1 1 3 2 l2 0 0 0 (l 1)(l 2) 即l 1 l 2要使方程组有解 必须(1 l)(l 2) 0 当l 1时 B 方程组解为 x1 x3 1 x1 x3 1 或 x2 x3 x2 x3 x3 x3 即 当l x1 x2 x3 2时 B 方程组解为 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 k1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 22 10 1 1 1 ~ 0 1 10 1 0 0 0 01 0 (k 为任意常数) 02 10 12 2 ~ 0 1 12 4 0 0 0 0x1 x3 2 x1 x3 2 或 x2 x3 2 x2 x3 2 x3 x3 即 x1 x2 x3 1 k1 1 2 2 (k 为任意常数) 0(2 l)x 2x 2x 1 17 设 2x (51 l)x 2 4x3 2 1 2 3 2x1 4x2 (5 l)x3 l 1 问 l 为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有 无穷多解时求解 解 B 2 l 2 2 2 5 l 4 2 4 5 l 1 2 l 12 5 l 4 2 ~ 0 1 l 1 l 1 l 0 0 (1 l)(10 l) (1 l)(4 l) 要使方程组有唯一解 必须 R(A) R(B) 3 即必须 (1 l)(10 l) 0 所以当 l 1 且 l 10 时 方程组有唯一解. 要使方程组无解 必须 R(A) R(B) 即必须 (1 l)(10 l) 0 且(1 l)(4 l) 0 所以当 l 10 时 方程组无解. 要使方程组有无穷多解 必须 R(A) R(B) 3 即必须 (1 l)(10 l) 0 且(1 l)(4 l) 0 所以当 l 1 时 方程组有无穷多解 此时，增广矩阵为 12 B~ 0 0 00 方程组的解为 2 1 0 0 0 0x1 x2 x3 或 x1 x2 x3x2 x3 1 x2 x3 k1 2 1 0 2 k2 0 1 1 0 (k1 k2 为任意常数) 018 证明 R(A) 1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非 零行向量 bT 使 A abT 证明 必要性 由 R(A) 1 知 A 的标准形为 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (1, 0, , 0) 0即存在可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ 1 0 0 零行向量 且 A abT 充分性 因为 a 与 bT 是都是非零向量 所以 A 是非零矩阵 从而 R(A) 1 因为 1 R(A) R(abT) min{R(a) R(bT)} min{1 1} 1 所以 R(A) 1 19 设 A 为 m n 矩阵 证明 (1)方程 AX Em 有解的充分必要条件是 R(A) m 证明 由定理 7 方程 AX Em 有解的充分必要条件是 1 1 0 (1, 0, , 0) 或 A P 1 0 (1, 0, , 0)Q 1 0 令a P 1 bT (1 0 0)Q10 则 a 是非零列向量 bT 是非R(A) R(A Em) 而| Em|是矩阵(A Em)的最高阶非零子式 故 R(A) R(A Em) m 因 此 方程 AX Em 有解的充分必要条件是 R(A) m (2)方程 YA En 有解的充分必要条件是 R(A) n 证明 注意 方程 YA En 有解的充分必要条件是 ATYT En 有 解 由(1) ATYT En 有解的充分必要条件是 R(AT) n 因此，方程 YA En 有解的充分必要条件是 R(A) R(AT) n 20 设 A 为 m n 矩阵 证明 若 AX AY 且 R(A) n 则 X Y 证明 由 AX AY 得 A(X Y) O 因为 R(A) n 由定理 9 方 第四章 向量组的线性相关性 1 设 v1 (1 1 0)T v2 (0 1 1)T v3 (3 4 0)T 求 v1 v2 及 3v1 2v2 v3 解 v1 v2 (1 1 0)T (0 1 1)T (1 0 1 1 0 1)T (1 0 1)T (3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T 2 设 3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 求 a 其中 a1 (2 5 1 3)T a2 (10 1 5 10)T a3 (4 1 1 1)T 解 由 3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)整理得 a 1 (3a1 2a2 5a3 ) 6 1 [3(2, 5, 1, 3)T 2(10, 1, 5, 10)T 5(4, 1, 1, 1)T ] 6 3v1 2v2 v3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T 程 A(X Y) O 只有零解 即 X Y O 也就是 X Y(1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1 (0 1 2 3)T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由 ( A, B) 0 1 2 3 1 0 0 0 3 0 1 2 2 3 0 1 2 1 1 2 0 2 1 1 4 4 1 3~r1 0 0 00 3 1 2 3 2 2 0 1 6 1 5 2 8 1 74 4 7 9 4 7 5 0~r0 3 1 2 4 1 6 1 5 7 0 20 5 15 25 0 4 1 3 5~r1 0 0 00 3 1 2 1 6 1 5 0 4 1 3 0 0 0 0知 R(A) R(A B) 3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 2 0 4 1 0 r 1 2 4 ~ 0 2 B 1 1 1 0 1 2 13 0 1 知 R(B) 2 因为 R(B) R(B A) 4 已知向量组 A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 (B, A) 1 1 30 1 0 2 2 1 1 1 1 1 10 1)T 2 10 2 r 2 ~ 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 所以 A 组不能由 B 组线性表示~r1
2 11 0 2 2 11~r1 130 1 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0知 R(B) R(B A) 2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A) 2 又R(A) R(B A) 2 所以 R(A) 2 从而 R(A) R(B) R(A B) 因此 A 组与 B 组等价 5 已知 R(a1 a2 a3) 2 R(a2 a3 a4) 3 证明 (1) a1 能由 a2 a3 线性表示 (2) a4 不能由 a1 a2 a3 线性表示 证明 a3 线性表示 (2)假如 a4 能由 a1 a2 a3 线性表示 则因为 a1 能由 a2 a3 线性 表示 故 a4 能由 a2 a3 线性表示 从而 a2 a3 a4 线性相关 矛盾 因此 a4 不能由 a1 a2 a3 线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 A 12 1 3 14 10 1 12 1 0 7 7 0 2 2 12 1 0 1 1 0 0 0 (1)由 R(a2 a3 a4) 3 知 a2 a3 a4 线性无关 故 a2 a3 也 线性无关 又由 R(a1 a2 a3) 2 知 a1 a2 a3 线性相关 故 a1 能由 a2~r~r所以 R(A) 2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 2 10 | B| 3 4 0 22 0 0 0 2 所以 R(B) 3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关？a1 (a 1 1)T a2 (1 a1)T a3 (11 a)T解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由 a 1 1 | A| 1 a 1 a(a 1)(a 1) 1 1 a 知 当 a 1、0、1 时 R(A) 3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2 线性无关 a1 b a2 b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2 线性表示的表示式 解 因为 a1 b a2 b 线性相关 故存在不全为零的数 l1 l2 使 l1(a1 b) l2(a2 b) 0 由此得 设c b l1 l1 l1 l2 b ca1 (1 c)a2 c R 则 l1 l2 a1 l2 l1 l2 a2 l1 l1 l2 a1 (1 l1 l1 l2 )a29 设 a1 a2 线性相关 b1 b2 也线性相关 问 a1 b1 a2 b2 是否 一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1 (1 2)T, a2 (2 4)T, b1 ( 1 1)T, b2 (0 0)T 时 有 a1 b1 (1 2)T b1 (0 1)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T 而 a1 b1 a2 b2 的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组 a1 a2 线性表示 解 设 a1 e1 (1 0 0 0) a2 a3 am 0 则 a1 a2 am 是线性相关的 则 a1 可由 a2 amam 线性相关 但 a1 不能由 a2 (2)若有不全为 0 的数 l1 l2 l1a1am 线性表示 lm 使 lmbm 0lmam l1b1成立 则 a1 a2 am 线性相关, b1 b2 bm 亦线性相关 解 有不全为零的数 l1 l2 lm 使 l1 a 1 原式可化为 l1(a1 b1) lm(am bm) 0 bm 其中 e1 e2 am 和 b1 b2 em 为 bm 均线 取 a1 e1 b1 a2 e2 b2 am em 单位坐标向量 则上式成立 而 a1 a2 性无关 (3)若只有当 l1 l2 l1 a 1 lm 全为 0 时 lmam l1b1 等式 lmbm 0 bm 亦线性无关 等式 lmbm 0 等式 lm(am bm) 0 lmam l1b1 lmbm 0才能成立 则 a1 a2 am 线性无关, b1 b2 解 由于只有当 l1 l2 lm 全为 0 时 由 l1 a 1 成立 所以只有当 l1 l2 lmam l1b1 lm 全为 0 时l1(a1 b1) l2(a2 b2)成立 因此 a1 b1 a2 b2 am bm 线性无关 取 a1 a2 am 0 取 b1 bm 为线性无关组 则它们满 足以上条件 但 a1 a2 (4)若 a1 a2 不全为 0 的数 l1 l2 am 线性相关 bm 亦线性相关 则有am 线性相关, b1 b2 lm 使l1 a 1lmam 0 l1b1lmbm 0同时成立 解 a1 (1 0)T a2 (2 0)T b1 (0 3)T b2 (0 4)T l1a1 l2a2 0 l1 2l2 l1b1 l2b2 0 l1 (3/4)l2 l1 l2 0 与题设矛盾11 设 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 证明向量组 b1 b2 b3 b4 线性相关 证明 由已知条件得 a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1 于是 a1 b1 b2 a3 b1 b2 b3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 从而b1 b2 b3 b4 0 这说明向量组 b1 b2 b3 b4 线性相关 12 设 b1 a1 b2 a1 a2 a2 br a1 a2 ar 且向量组 a1 br 线性无关ar 线性无关 证明向量组 b1 b2 证明 已知的 r 个等式可以写成 (b , b2 , 1 , br ) (a1 , a2 ,1 1 , ar ) 0 1 0 01 1 1上式记为 B AK 因为|K| 1 0 K 可逆 所以 R(B) R(A) r 从而向 量组 b1 b2 br 线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1 (1 2 解 由1 4)T a2 (9 100 10 4)T a3 ( 2 1 9 2 100 1 10 4 4 2 4 2 8 1 9 0 82 0 19 0 32 2 0 0 0 1 0 0 04 2 9 2 1 0 0 0 0 08)T(a1, a2, a3)~r~r知 R(a1 a2 a3) 2 因为向量 a1 与 a2 的分量不成比例 故 a1 a2 线 性无关 所以 a1 a2 是一个最大无关组 (2)a1T (1 2 1 3) a2T (4 解 由 (a1, a2 , a3 ) 1 4 2 1 1 5 3 6 1 3 4 7 1 5 6) a3T (1 1 0 0 0 3 4 9 0 0 4 1 5 0 0 7)~r1 4 1 0 9 5 0 9 5 0 18 10~r知 R(a1T a2T a3T) R(a1 a2 a3) 2 因为向量 a1 T 与 a2T 的分量不成 比例 故 a1T a2T 线性无关 所以 a1T a2T 是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无 关组 25 (1) 75 75 25 31 94 94 32 17 53 54 20 43 132 134 48解 因为 25 75 75 25 31 94 94 32 17 53 54 20 43 132 134 48r2 3r1 r3 3r1 r4 r1~25 0 0 031 17 1 2 1 3 1 343 3 5 5r4 r3 r3 r2~25 0 0 031 17 1 2 0 1 0 043 3 3 0所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.1 (2) 0 2 11 2 0 12 1 3 02 5 1 41 1 3 1解 因为 1 0 2 1 1 2 0 1 2 1 3 0 2 5 1 4 1 1 3 1r3 2r1 r4 r1~1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 0 2 2 2r3 r2 r3~r41 0 0 01 2 2 1 2 1 5 1 0 2 2 2 0 0 0 0所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组15 设向量组 (a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T 的秩为 2 求 a b 解 设 a1 (a 3 1)T a2 (2 b 3)T a3 (1 2 1)T a4 (2 3 1)T 因为 (a3, a4, a1, a2) 12 a 2 2 3 3b 1 1 13~r11 1 3 01a 1 1 01 1b 6~r1 1 1 3 0 1 a 1 1 0 0 2 a b 5而 R(a1 a2 a3 a4) 2 所以 a 2 b 516 设 a1 a2 e1 e2an 是一组 n 维向量 已知 n 维单位坐标向量 an 线性无关 en) 由已知条件 an) E (e1 e2en 能由它们线性表示 证明 a1 a2证法一 记 A (a1 a2 知 存在矩阵 K 使E AK 两边取行列式 得 |E| |A||K|可见|A| 0 所以 R(A) n 从而 a1 a2 an 线性无关 证法二 因为 e1 e2 en 能由 a1 a2 an 线性表示 所以 R(e1 e2 而 R(e1 e2 从而 a1 a2 en) n R(a1 a2 an 线性无关 en) R(a1 a2 an ) an) n an) n 所以 R(a1 a217 设 a1 a2 证明an 是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的充 an 线性分必要条件是 任一 n 维向量都可由它们线性表示 必要性 设 a 为任一 n 维向量 因为 a1 a2 an 线性表示 且表示式是唯一的 an 线性表示 故 an 线性表示 于是有 an) n en 能由 a1 a2 en) R(a1 a2 无关 而 a1 a2 a 能由 a1 a2 an a 是 n 1 个 n 维向量 是线性相关的 所以充分性 已知任一 n 维向量都可由 a1 a2 单位坐标向量组 e1 e2 n R(e1 e2 即 R(a1 a2an) n 所以 a1 a2an 线性无关18 设向量组 a1 a2 证明 因为 a1 a2 l1 l2 lm 使 l1a1 l2a2am 线性相关 且 a1 0 证明存在某 ak 1 线性表示 am 线性相关 所以存在不全为零的数个向量 ak (2 k m) 使 ak 能由 a1 a2lmam 0而且 l2 l3 lm 不全为零 这是因为 如若不然 则 l1a1 0 由 a1 0 知 l1 0 矛盾 因此存在 k(2 k m) 使 lk 0 lk1lk2lm 0于是 l1a1 l2a2 ak 即 ak 能由 a1 a2 (1/lk)(l1a1 l2a2 ak 1 线性表示 lkak 0 lk 1 a k 1 )19 设向量组 B b1 为br 能由向量组 A a1as 线性表示(b1 br) (a1 as)K 其中 K 为 s r 矩阵 且 A 组线性无关 证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R(K) r 证明 令 B (b1 br) A (a1 as) 则有 B AK 必 要性 设向量组 B 线性无关 由向量组 B 线性无关及矩阵秩的性质 有 r R(B) R(AK) min{R(A) R(K)} R(K) 及 R(K) min{r s} r 因此 R(K) r 充分性 因为 R(K) r 所以存在可逆矩阵 C 使 KC K 的标准形 于是 (b1 br)C ( a1 as)KC (a1 br) R(a1 a r) ar) r 从而 b1 因为 C 可逆 所以 R(b1 br 线性无关 Er 为 O20 设b1 a 2 a3 b 2 a1 a3 b n a1 a 2 a 3 证明向量组 a1 a2 an 与向量组 b1 b2 证明 将已知关系写成an an an1bn 等价 1 1 1 0(b1, b 2,, b n ) (a1, a 2,0 1 1 1 0 1 , a n) 1 1 0 1 1 1将上式记为 B AK 因为 0 1 1 1 0 1 |K | 1 1 0 1 1 1 所以 K 可逆 故有 A BK an 与向量组 b1 b2 an 与向量组 b1 b211 1 1 ( 1)n 1(n 1) 0 0由 B AK 和 A BK 1 可知向量组 a1 a2 bn 可相互线性表示 因此向量组 a1 a2 bn 等价21 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x 3Ax A2x 且 向量组 x Ax A2x 线性无关 (1)记 P (x Ax A2x) 求 3 阶矩阵 B 使 AP PB 解 因为 AP A(x Ax A2x) (Ax A2x A3x) (Ax A2x 3Ax A2x) 00 0 ( x, Ax, A x) 1 0 3 01 12所以 B0 0 0 1 0 3 0 1 1(2)求|A| 解 由 A3x 3Ax A2x 得 A(3x Ax A2x) 0 因为 x Ax A2x 线 性 无 关 故 3x Ax A2x 0 即 方 程 Ax 0 有 非 零 解 所 以 R(A) 3 |A| 0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 x1 8x2 10x3 2x4 0 (1) 2x1 4x2 5x3 x4 0 3x1 8x2 6x3 2x4 0 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 A 于是得 x1 4x3 x2 (3/ 4)x3 (1/ 4)x4 取(x3 x4)T (4 0)T 得(x1 x2)T ( 16 3)T 取(x3 x4)T (0 4)T 得(x1 x2)T (0 1)T 因 此方程组的基础解系为 x1 ( 16 3 4 0)T x2 (0 1 0 4)T 2x1 3x2 2x3 x4 0 (2) 3x1 5x2 4x3 2x4 0 8x1 7x2 6x3 3x4 0 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 A 于是得 2 3 2 1 3 5 4 2 8 7 6 3 1 8 10 2 2 4 5 1 3 8 6 2r~1 0 0 1 0 04 0 3/ 4 1/ 4 0 0~r1 0 2/19 0 1 14/19 0 0 01/19 7 /19 0x1 (2/19)x3 (1/19)x4 x2 (14/19)x3 (7 /19)x4 取(x3 x4)T (19 0)T 得(x1 x2)T ( 2 14)T 取(x3 x4)T (0 19)T 得(x1 x2)T (1 7)T 因 此方程组的基础解系为 x1 ( 2 14 19 0)T x2 (1 7 0 19)T (3)nx1 (n 1)x2 解 原方程组即为 xn 取 x1 1 x2 x3 取 x2 1 x1 x3 x4 取 xn 1 x1 x2 nx1 (n 1)x2 xn12xn1xn 0. 2xn10 得 xn n xn 1 0 得 xn (n 1) 0 得 xn 2n 11xn2因此方程组的基础解系为 x1 (1 0 0 x2 (0 1 0 xn10 0 1n)T n 1)T 2)T(0 0 0 2 923 设 A R(B) 2.2 1 3 , 求一个 4 2 矩阵 B, 使 AB 0, 且 5 28解 显然 B 的两个列向量应是方程组 AB 0 的两个线性无关 的解 因为 A 2 2 1 3 ~ 1 0 1/8 1/8 9 5 28 0 1 5/8 11/8 所以与方程组 AB 0 同解方程组为rx1 (1/8)x3 (1/8)x4 x2 (5/8)x3 (11/8)x4 取(x3 x4)T (8 0)T 得(x1 x2)T (1 5)T 取(x3 x4)T (0 8)T 得(x1 x2)T ( 1 11)T 方程组 AB 0 的基础解系为 x1 (1 5 8 0)T x2 ( 1 11 0 8)T 因此所求矩阵为 B 1 5 8 0 1 11 0 824 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 x1 (0 1 2 3)T x2 (3 2 1 0)T 解 显然原方程组的通解为 x1 x2 x3 x4 消去 k1 k2 得 2x1 3x2 x4 0 x1 3x3 2x4 0 此即所求的齐次线性方程组. 25 设四元齐次线性方程组 I x1 x2 0 x2 x4 0 II x1 x2 x3 0 x2 x3 x4 0 0 k1 1 2 3 x1 3k2 3 k2 2 , 即 x2 k1 2k2 (k1 k2 R) 1 x3 2k1 k2 0 x4 3k1求 (1)方程 I 与 II 的基础解系 (2) I 与 II 的公共解 解 (1)由方程 I 得 x1 x4 x2 x4取(x3 x4)T (1 0)T 得(x1 x2)T (0 0)T取(x3 x4)T (0 1)T 得(x1 x2)T ( 1 1)T 因此方程 I 的基础解系为 x1 (0 0 1 0)T x2 ( 1 1 0 1)T 由方程 II 得 x1 x 4 x2 x3 x4 得(x1 x2)T ( 1 1)T取(x3 x4)T (1 0)T 得(x1 x2)T (0 1)T 取 (x3 x4)T (0 1)T 因此方程 II 的基础解系为 x1 (0 1 1 0)T x2 ( 1 x1 x2 x2 x4 x1 x2 x2 x3 0 0 x3 0 x4 0 1 0 1)T (2) I 与 II 的公共解就是方程 III的解 因为方程组 III 的系数矩阵 A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1~r1 0 0 00 1 0 00 0 1 01 1 2 0所以与方程组 III 同解的方程组为 x1 x4 x2 x4 x3 2x4 取 x4 1 得(x1 x2 x3)T ( 1 1 2)T 方程组 III 的基础解系为 x ( 1 1 2 1)T 因此 I 与 II 的公共解为 x c( 1 1 2 1)T c R 26 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 A E 为 n 阶单位矩阵, 证明 R(A) R(A E) n 证明 因为 A(A E) A2 A A A 0 所以 R(A) R(A E) n又 R(A E) R(E A) 可知 R(A) R(A E) R(A) R(E A) R(A E A) R(E) n 由此 R(A) R(A E) n 27 设 A 为 n 阶矩阵(n 2) A*为 A 的伴随阵 证明 R(A*) n 1 0 当 R(A) n 当 R( A) n 1 当 R(A) n 2证明 当 R(A) n 时 |A| 0 故有 |AA*| ||A|E| |A| 0 |A*| 0 所以 R(A*) n 当 R(A) n 1 时 |A| 0 故有 AA* |A|E 0 即 A*的列向量都是方程组 Ax 0 的解 因为 R(A) n 1 所以方程 组 Ax 0 的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为 1 因 此 R(A*) 1 当 R(A) n 2 时 A 中每个元素的代数余子式都为 0 故 A* O 从而 R(A*) 0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程 组的基础解系 x1 x2 5 (1) 2x1 x2 x3 2x4 1 5x1 3x2 2x3 2x4 3 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 B 1 1 0 0 5 21 1 21 5 3 2 2 3~r1 0 1 0 8 0 1 1 0 13 0 0 0 1 2与所给方程组同解的方程为x1 x2 x4x3 8 x3 13 2当 x3 0 时 得所给方程组的一个解 h ( 8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 x1 x3 x2 x3 x4 0 当 x3 1 时 得对应的齐次方程组的基础解系 x ( 1 1 1 0)T x1 5x2 2x3 3x4 11 (2) 5x1 3x2 6x3 x4 1 2x1 4x2 2x3 x4 6 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 B 1 5 2 3 11 5 3 6 1 1 2 4 2 1 6~r1 0 9/ 7 1/ 2 1 0 1 1/ 7 1/ 2 2 0 0 0 0 0与所给方程组同解的方程为 x1 (9/ 7)x3 (1/ 2)x4 1 x2 (1/7)x3 (1/ 2)x4 2 当 x3 x4 0 时 得所给方程组的一个解 h (1 2 0 0)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 x1 (9/ 7)x3 (1/ 2)x4 x2 (1/7)x3 (1/ 2)x4 T 分别取(x3 x4) (1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础 解系 x1 ( 9 1 7 0)T x2 (1 1 0 2)T29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 已知 h1 h2 h3 是它的三个解向量 且 h1 (2 3 4 5)T h2 h3 (1 2 3 4)T 求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是 4 系数矩阵的秩为 3 所 以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于 h1 h2 h3 均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得 2h1 (h2 h3) (h1 h2) (h1 h3) 为其基础解系向量 故此方程组的通解 x k(3 4 5 6)T (2 3 4 5)T (k R) 30 设有向量组 A a1 ( 2 10)T a2 ( 2 1 5)T a3 ( 1 1 4)T 及 b (1 1)T 问 为何值时 (1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示 (2)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式唯一 (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一 并求一 般表示式 解 (1)当 线性表示 (2)当 (a3, a2, a1, b) 4 1 2 1 1 1 2 4 5 10 1 (3 4 5 6)T~r1 2 0 1 1 0 0 41 1 30 时 R(A) R(A b) 此时向量 b 不能由向量组 A4 时 R(A) R(A b) 3 此时向量组 a1 a2 a3 线性无关 而向量组 a1 a2 a3 b 线性相关 故向量 b 能由向量组 A 线性 表示 且表示式唯一 (3)当 4 0 时 R(A) R(A b) 2 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示 且表示式不唯一当40时 1 2 4 1 1 1 2 0 4 5 10 1(a3, a2, a1, b)~r1 0 2 1 0 1 3 1 0 0 0 0方程组(a3 a2 a1)x b 的解为 x1 x2 x3 因此 即 2 c 3 1 1 1 0 2c 1 3c 1 c R cb (2c 1)a3 ( 3c 1)a2 ca1 b ca1 ( 3c 1)a2 (2c 1)a3 c R31 设 a (a1 a2 a3)T b (b1 b2 b3)T c (c1 c2 c3)T 证明三直 线 l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 (ai2 bi2 0 i 1 2 3) l3 a3x b3y c3 0 相交于一点的充分必要条件为 向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 a1x b1 y a1x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0 即 a2 x b2 y a3 x b3 y c3 0 a3 x b3 y c1 c2 c3有唯一解 上述方程组可写为 xa yb c 因此三直线相交于一点 的充分必要条件为 c 能由 a b 唯一线性表示 而 c 能由 a b 唯一 线性表示的充分必要条件为向量组 a b 线性无关 且向量组 a b c 线性相关 32 设矩阵 A (a1 a2 a3 a4) 其中 a2 a3 a4 线性无关 a1 2a2a3 向量 b a1 a2 a3 a4 求方程 Ax b 的通解 解 由 b a1 a2 a3 a4 知 h (1 1 1 1)T 是方程 Ax b 的一个解 由 a1 2a2 a3 得 a1 2a2 a3 0 知 x (1 个解 由 a2 a3 a4 线性无关知 R(A) 3 故方程 Ax b 所对应的齐次 方程 Ax 0 的基础解系中含一个解向量 因此 x (1 程 Ax 0 的基础解系 方程 Ax b 的通解为 x c(1 2 1 0)T (1 1 1 1)T c R xnr2 1 0)T 是 Ax 0 的一2 1 0)T 是方33 设 h*是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解, x1 x2 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)h* x1 x2 证明 x2 由 x1 x2 xn r 线性无关 h* xn r 线性无关 (2)h* h* x1 h* x2(1)反证法, 假设 h* x1 x2xn r 线性相关 因为 x1 xn r 线性相关 所以 h*可xn r 线性无关 而 h* x1 x2xn r 线性表示 且表示式是唯一的 这说明 h*也是 h* xn r 与向量组 h* x1齐次 线性方程组的解 矛盾 (2)显然向量组 h* h* x1 h* x2 x2 组 h* x1 x2 xn r 可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)知向量 xn r 线性无关 所以向量组 h* h* x1 h* x2h* xn r 也线性无关34 设 h1 h2hs 是非齐次线性方程组 Ax b 的 s 个解 k1k2ks 为实数 满足 k1 k2 x k1h1 k2h2ks 1. 证明 kshs也是它的解. 证明 因为 h1 h2 Ahi b (i 1 2 从而 A(k1h1 k2h2 (k1 k2 因此 x k1h1 k2h2hs 都是方程组 Ax b 的解 所以 s) kshs) k1Ah1 k2Ah2 ks)b b kshs 也是方程的解 ksAhs35 设非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵的秩为 r h1 h2 hn r 1 是它的 n r 1 个线性无关的解 试证它的任一解可表示 为 x k1h1 k2h2 证明 因为 h1 h2 knr 1hn r 1(其中 k1 k2knr 11).hnr 1 均为Ax b 的解 所以 x1 h2 h1x2 h3 h1 xn r h n r 1 h1 均为 Ax b 的解 用反证法证 x1 x2 xn r 线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数 l1 l2 l1 x 1 即 亦即 由 h1 h2 l2x2 ln r xnrlnr使得0l1(h2 h1) (l1 l2 hnl2(h3 h1) l n r(hn r 1 h1) 0 ln r)h1 l1h2 l2h3 l n rhn r 1 0r 1 线性无关知(l1 l2 矛盾 因此 x1 x2 基础解系ln r) l1 l2 xn r 线性无关 x1 x2lnr0 xn r 为 Ax b 的一个设 x 为 Ax b 的任意解 则 x h1 为 Ax 0 的解 故 x h1 可由 x1 x2 xn r 线性表出 设x h1 k2x1 k3x2 x h1(1 k2 k3 令 k1 1 k2 k3 knr 1kn kn knr 1)r 1xn-rk2(h2 h1) k3(h3 h1) 则 k1 k2 k3r 1hn r 1kn k2h2 k3h3 knr 1(hn r 1h1)r 1 hn r 1knr 11 于是x k1h1 k2h2 36 设 V1 {x (x1 x2 V2 {x (x1 x2xn)T | x1 xn)T | x1xn R 满足 x1 x2 xn R 满足 x1 x2xn 0} xn 1}问 V1 V2 是不是向量空间？为什么？ 解 V1 是向量空间 因为任取 a (a1 a2 有 从而 a1 a2 b1 b2 (a1 a2 所以 la1 la2 la (la1 a (a1 a2 有 从而 所以 a1 a2 b1 b2 (a1 a2 la2 an)T V1 b (b1 b2 an 0 bn 0 (an bn) bn) 0 an) 0 an) (b1 b2 lan l(a1 a2 lan)T V1 bn)T V1 bn)T V1 l R(a1 b1) (a2 b2)a b (a1 b1 a2 b2an bn) T V1V2 不是向量空间 因为任取 an)T V1 b (b1 b2 an 1 bn 1 (an bn) bn) 2 an bn)T V1 an) (b1 b2(a1 b1) (a2 b2) a b (a1 b1 a2 b237 试证 由 a1 (0 1 1)T a2 (1 0 1)T a3 (1 1 0)T 所生成的 向量空间就是 R3. 证明 设 A (a1 a2 a3) 由 0 1 1 | A| 1 0 1 1 1 0 2 0知 R(A) 3 故 a1 a2 a3 线性无关 所以 a1 a2 a3 是三维空间 R3 的 一组基, 因此由 a1 a2 a3 所生成的向量空间就是 R3. 38 由 a1 (1 1 0 0)T a2 (1 0 1 1)T 所生成的向量空间记作 V1,由 b1 (2 1 3 3)T b2 (0 1 1 1)T 所生成的向量空间记作 V2, 试证 V1 V2. 证明 设 A (a1 a2) B (b1 b2) 显然 R(A) R(B) 2 又由 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 3 3 0 1 1 1( A, B)~r1 0 0 01 1 0 02 3 0 00 1 0 0知 R(A B) 2 所以 R(A) R(B) R(A B) 从而向量组 a1 a2 与向量 组 b1 b2 等价 因为向量组 a1 a2 与向量组 b1 b2 等价 所以这两个 向量组所生成的向量空间相同 即 V1 V2.39 验证 a1 (11 0)T a2 (2 1 3)T a3 (3 1 2)T 为 R3 的一个 8 13)T 用这个基线性表示.基, 并把 v1 (5 0 7)T v2 ( 9 解 设 A (a1 a2 a3) 由1 2 3 |(a1, a2, a3)| 1 1 1 0 3 26 0知 R(A) 3 故 a1 a2 a3 线性无关 所以 a1 a2 a3 为 R3 的一个基.设 x1a1 x2a2 x3a3 v1 则 x1 2x2 3x3 5 x1 x2 x3 0 3x2 2x3 7 解之得 x1 2 x2 3 x3 1 故线性表示为 v1 2a1 3a2 a3 设 x1a1 x2a2 x3a3 v2 则 x1 2x2 3x3 9 x1 x2 x3 8 3x2 2x3 13 解之得 x1 3 x2 3 x3 2 故线性表示为 v2 3a1 3a2 2a340 已知 R3 的两个基为 a1 (1 1 1)T a2 (1 0 1)T a3 (1 0 1)T b1 (1 2 1)T b2 (2 3 4)T b3 (3 4 3)T 求由基 a1 a2 a3 到基 b1 b2 b3 的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3 是三维单位坐标向量组 则 1 1 1 (a1, a2, a3) (e1, e2, e3) 1 0 0 1 11 1 1 1 (e1, e2, e3) (a1, a2, a3) 1 0 0 1 11 于是 1 2 3 (b1, b2, b3) (e1, e2, e3) 2 3 4 1 4 3 1 1 1 (a1, a2, a3) 1 0 0 1 111 11 2 3 2 3 4 1 4 3由基 a1 a2 a3 到基 b1 b2 b3 的过渡矩阵为P1 1 1 1 0 0 1 1111 2 3 2 3 4 1 4 32 3 4 0 1 0 1 0 1第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) (a1, a2, a3) 11 1 12 4 13 9解 根据施密特正交化方法 b1 a1 1 1 1 [b1,a2 ] b [b1,b1] 1 1 0 1 1 2 1b2 a2b3 a3[b1,a3] [b2,a3] b1 b2 1 [b1,b1] [b2 ,b2 ] 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0(2) (a1, a2, a3)解 根据施密特正交化方法 b1 a1 1 0 1 1 [b1,a2] b1 1 [b1,b1] 3 1 3 2 1 1 3 3 4b2 a2b3 a3[b1,a3] [b2,a3] b1 b2 1 [b1,b1] [b2 ,b2 ] 52 下列矩阵是不是正交阵: 1 (1) 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 ; 2 1 1 2解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 9 7 9(2)解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 xTx 1 令 H E 2xxT 证明 H 是对称 的正交阵 证明 因为 HT (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)T E 2(xT)TxT E 2xxT 所以 H 是对称矩阵 因为 HTH HH (E 2xxT)(E 2xxT) E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT) E 4xxT 4x(xTx)xT E 4xxT 4xxT E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1AT B1BT(AB)T(AB) BTATAB B 1A 1AB E 故 AB 也是正交阵 5 求下列矩阵的特征值和特征向量: 2 1 2 (1) 5 3 3 ; 1 0 2 解 2 l | A lE | 5 1 1 3 l 0 2 3 2 l (l 1)3故 A 的特征值为 l 1(三重) 对于特征值 l 1 由 A E 3 1 2 5 2 3 1 0 1~1 0 1 0 1 1 0 0 0 1)T 向量 p1 就是对应于特得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 1 征值 l 1 的特征值向量. 1 2 3 (2) 2 1 3 ; 3 3 6 解 1 l 2 3 | A lE | 2 1 l 3 3 3 6 l 1 l3 9 l(l1)(l9)故 A 的特征值为 l1 0 l2 对于特征值 l1 0 由 A1 2 3 2 1 3 3 3 6~1 2 3 0 1 1 0 0 0得方程 Ax 0 的基础解系 p1 ( 1 l1 0 的特征值向量. 对于特征值 l2 1, 由1 1)T 向量 p1 是对应于特征值A E2 2 3 2 2 3 3 3 7~2 2 3 0 0 1 0 0 0得方程(A E)x 0 的基础解系 p2 ( 1 1 0)T 向量 p2 就是对应于特 征值 l2 1 的特征值向量 对于特征值 l3 9 由 A 9E 8 2 2 8 3 3 3 3 3~1 1 0 1 0 01 1 2 0得方程(A 9E)x 0 的基础解系 p3 (1/2 1/2 1)T 向量 p3 就是对应 于特征值 l3 9 的特征值向量 0 (3) 0 0 1 解 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 . 0 0 l 0 0 1 0 l 1 0 0 1 l 0 1 0 0 l (l 1)2(l 1)2| A lE |故 A 的特征值为 l1 l2 对于特征值 l1 l2 A E1 l3 l4 1 1 由 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1~1 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 0 0 1 0)T 向得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 0 0 量 p1 和 p2 是对应于特征值 l1 l2 对于特征值 l3 l4 1 A E 1 0 0 1 由 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 11)T p2 (0 11 的线性无关特征值向量~1 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 0 0得方程(A E)x 0 的基础解系 p3 (1 0 0 1)T p4 (0 1 1 0)T 向量 p3 和 p4 是对应于特征值 l3 l4 1 的线性无关特征值向量 6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为 |AT lE| |(A lE)T| |A lE|T |A lE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同 7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A) R(B) n 证明 A 与 B 有公共 的特征值 有公共的特征向量 证明 设 R(A) r R(B) t 则 r t n 若 a1 a2 an r 是齐次方程组 Ax 0 的基础解系 显然它们是 bn t 是齐次方程组 Bx 0 的基础解系 则 an knrA 的对应于特征值 l 0 的线性无关的特征向量 类似地 设 b1 b2 它们是 B 的对应于特征值 l 0 的线性无关的特征向量 由于(n r) (n t) n (n r t) n 故 a1 a2 必线性相关 于是有不全为 0 的数 k1 k2 k1a1 k2a2 kn ranr rb1 b2 ln 0tbn 使tl1 l2rl1b1 l2b2ln rb n记 g k1a1 k2a2 kn ran r (l1b1 l2b2 ln rb n r ) 则 k1 k2 kn r 不全为 0 否则 l1 l2 ln t 不全为 0 而 l1b1 l2b2 ln rbnr0与 b1 b2 bn t 线性无关相矛盾 因此 g 0 g 是 A 的也是 B 的关于 l 0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值 有公共的特征向量 8 设 A2 3A 2E O 证明 A 的特征值只能取 1 或 2 证明 设 l 是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于 l 的特征向量 则 (A2 3A 2E)x l2x 3lx 2x (l2 3l 2)x 0 因为 x 0 所以 l2 3l 2 0 说l 1或l 2 9 设 A 为正交阵 且|A| 因为 A 为正交矩阵 |A|等于所有特征值之积 征值为 1 即 l 阵 BA 的特征值 证明 设 x 是 AB 的对应于 l 0 的特征向量 则有 (AB)x lx 于是 或 B(AB)x B(lx) BA(B x) l(Bx) 即 l 是方程 l2 3l 2 0 的根 也就是 1 证明 l 又|A| 1 是 A 的特征值 证明 1 所以必有奇数个特所以 A 的特征值为 1 或 1 因为1 是 A 的特征值10 设 l 0 是 m 阶矩阵 Am nBn m 的特征值 证明 l 也是 n 阶矩从而 l 是 BA 的特征值 且 Bx 是 BA 的对应于 l 的特征向量 11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A3 5A2 7A| 解 令 j(l) l3 5l2 7l 特征值 故 |A3 5A2 7A| |j(A)| j(1) j(2) j(3) 3 2 3 18 12 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A* 3A 2E| 解 因为|A| 1 2 ( 3) 6 0 所以 A 可逆 故 A* |A|A 令 j(l) 特征值 故 6l1 1则 j(1) 3 j(2) 2j(3) 3 是 j(A)的6A1 1A* 3A 2E6A3A 2E 则 j(1)13l2 21 j(2) 5 j( 3)5 是 j(A)的|A* 3A 2E| | 6A3A 2E| |j(A)|j(1) j(2) j( 3) 似 证明 取 P A 则1 5 ( 5) 2513 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相P 1ABP A 1ABA BA 即 AB 与 BA 相似 2 0 1 3 1 x 可相似对角化 求 x 4 0 52 l 0 1 3 1 l x 4 0 5 l14 设矩阵 A 解 由| A lE |(l1)2 (l6)得 A 的特征值为 l1 6 l2 l3 1 因为 A 可相似对角化 所以对于 l2 l3 1齐次线性方程组(A E)x 0 有两个线性无关的解 因此 R(A E) 1 由( A E) 1 0 1 3 0 x 4 0 4~r1 0 1 0 0 x 3 0 0 0知当 x 3 时 R(A E) 1 即 x 3 为所求 15 已知 p (1 1 量 (1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值 解 设 l 是特征向量 p 所对应的特征值 则 (A lE)p 02 l 1 即 5 a l 1 b 2 3 2 l 1 1 1 0 0 01)T 是矩阵 A2 1 2 5 a 3 的一个特征向 1 b 2解之得 l 1 a 3 b 0 (2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由 解 由2 l | A lE | 5 1 得 A 的特征值为 l1 l2 l3 1 1 3 l 0 2 3 2 l (l 1)3由A E 1 1 2 5 2 3 1 b 1~r1 0 1 0 1 1 0 0 0知 R(A E) 2 所以齐次线性方程组(A E)x 0 的基础解系只有一 个解向量 因此 A 不能相似对角化 16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角 阵: 2 2 0 (1) 2 1 2 ; 0 2 0 解 将所给矩阵记为 A 由 2 l 2 A lE 2 1 l 0 2 得矩阵 A 的特征值为 l1 对于 l1 0 2 (1 l)(l 4)(l 2) l2 l2 1 l3 42 解方程(A 2E)x 0 即 4 2 0 x1 2 3 2 x2 0 2 2 x3 0得特征向量(1 2 2)T 单位化得 p1 (1 , 2 , 2)T 3 3 3 对于 l2 1, 解方程(A E)x 0 即1 2 0 得特征向量(2 12 0 20 x1 2 x2 1 x302)T 单位化得 p2 ( 2 , 1 , 2)T 3 3 3 2 0 x1 3 2 x2 2 4 x3对于 l3 4, 解方程(A 4E)x 0 即 2 2 0 得特征向量(2 02 1)T 单位化得 p3 ( 2 , 2 , 1)T 3 3 3于是有正交阵 P (p1 p2 p3) 使 P 1AP diag( 2 1 4) 2 2 2 (2) 2 5 4 2 4 5 解 将所给矩阵记为 A 由 A lE 2 l 2 2 2 5 l 4 2 4 5 l (l 1)2(l 10)得矩阵 A 的特征值为 l1 l2 1 l3 10 对于 l1 l2 1 解方程(A E)x 0 即 1 2 2 2 4 4 2 x1 4 x2 4 x3 0 0 0得线性无关特征向量( 2 1 0)T 和(2 0 1)T 将它们正交化、单位 化得 p1 1 ( 2, 1, 0)T 5 p2 1 (2, 4, 5)T 3 5对于 l3 10, 解方程(A 10E)x 0 即 8 2 2 2 5 4 2 x1 4 x2 5 x3 0 0 0得特征向量( 12 2)T 单位化得 p31 ( 1, 2, 2)T 3 5 4 y 4 l y是于是有正交阵 P (p1 p2 p3) 使 P 1AP diag(1 1 10) 17 设矩阵 A 1 2 4 2 x 2 与 4 2 1 相似 求 x y 并求一个正交阵 P 使 P 1AP 解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然 l 5 l 的特征值 故它们也是 A 的特征值 因为 l 以 | A 4E | 解之得 x 4 已知相似矩阵的行列式相同 因为 | A| 1 2 4 2 4 2 4 2 1 5 100 | | 4 y 20 y 5 2 4 2 x 4 2 9(x 4) 0 4 2 5 4 是 A 的特征值 所所以 20y 100 y 5 对于 l 5 解方程(A 5E)x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得 p1 对于 l 1 (1, 0, 1)T 2 p2 1 (1, 4, 1)T 3 24 解方程(A 4E)x 0 得特征向量(2 1 2)T 单位化得 p3 1 (2, 1, 2)T 3于是有正交矩阵 P1 2 1 2 3 3 2 4 0 1 3 3 2 1 2 1 2 3 3 2使 P 1AP18 设 3 阶方阵 A 的特征值为 l1 2 l2 2 l3 1 对应的特征 向量依次为 p1 (0 1 1)T p2 (1 1 1)T p3 (1 1 0)T 求 A. 解 令 P (p1 p2 p3) 则 P 1AP diag(2 因为 P1 011 111 11012 1)A P P11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 4 5 4 4 1 l3 0 2)T 求 A 2p2 即 3 3 2 对应 l1、所以A P P1011 2 0 0 111 0 2 0 110 0 0 119 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 l1 1 l2 l2 的特征向量依次为 p1 (1 2 2)T p2 (2 1 解 设A x1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6 则 Ap1 2p1 Ap2x1 2x2 2x3 1 x2 2x4 2x5 2 x3 2x5 2x6 2 2x1 x2 2x3 2 2x2 x4 2x5 1 2x3 x5 2x6 2 再由特征值的性质 有 x1 x4 x6 l1 l2 l3 0 由①②③解得 x1 1 1x 3 2 6 x2 1 x6 2①②③x3 2 1 x6 3 4x4 1 1 x6 x5 2 1 x6 3 2 3 4 1 x 0 x 2 x 1 令 x6 0 得 x1 2 3 4 3 3 3 10 2 因此 A 1 0 1 2 3 2 2 0x5 2 320 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 l1 6 l2 3 l3 3 l1 6 对应的特征向量为 p1 (1 1 1)T 求 A. 解 设A x1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6与特征值因为 l1 6 对应的特征向量为 p1 (1 1 1)T 所以有 1 A1 1 1 61 1 x1 x2 x3 6 即 x2 x4 x5 6 x3 x5 x6 6 ①l2 l3 3 是 A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知 R(A 3E) 1 利用①可推出 A 3E x3 x1 3 x2 x2 x4 3 x5 x3 x5 x6 3~1 1 1 x2 x4 3 x5 x3 x5 x6 3因为 R(A 3E) 1 所以 x2 x4 3 x5 且 x3 x5 x6 3 解之得 x2 x3 x5 1 x1 x4 x6 4 因此 A 4 1 1 1 4 1 1 1 421 设 a (a1 a2 ? ? an)T a1 0 A aaT (1)证明 l 0 是 A 的 n 1 重特征值 证明 设 l 是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于 l 的特征 向量 则有 Ax lxl2x A2x aaTaaTx aTaAx laTax 于是可得 l2 laTa 从而 l 0 或 l aTa 设 l1 l2 ln 是 A 的所有特征值 性上的元素为 a12 a22 a 12 a22 an2 所以 an2 aTa l1 l2 ln 而其余 n 1 个全 因为 A aaT 的主对角线这说明在 l1 l2 ln 中有且只有一个等于 aTa 为 0 即 l 0 是 A 的 n 1 重特征值 解 设 l 1 a Ta l 2 向量 对于 l2 ln 0 ln 0(2)求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量 因为 Aa aaTa (aTa)a l1a 所以 p1 a 是对应于 l1 aTa 的特征 解方程 Ax 0 即 aaTx 0 因为 a 0 所以 anxn 0 其线性无关解为 p2 ( a2 a1 0 ? ? 0)T p3 ( a3 0 a1 ? ? 0)T pn ( an 0 0 ? ? a1)T 因此 n 个线性无关特征向量构成的矩阵为 ( p1, p2, , pn ) 1 4 2 0 3 4 0 4 3 a1 a2 a2 a1 an 0 22 设 A 解 由 | A lE | 1 l 0 0 4 2 3 l 4 4 3 l (l 1)(l 5)(l 5) 求 A100 an 0 a1aTx 0 即 a1x1 a2x2得 A 的特征值为 l1 1 l2 5 l3 5 对于 l1 1 解方程(A E)x 0 得特征向量 p1 (1 0 0)T 对 于 l1 5 于 l1 解方程(A 5E)x 0 得特征向量 p2 (2 1 2)T 对 5 解方程(A 5E)x 0 得特征向量 p3 (1 P 1AP diag(1 5 A P P A100 P 因为100 1 1002 1)T令 P (p1 p2 p3) 则 5)P1diag(1 ) 1 2 1 0 1 2 0 2 11P 所以 A15 0 5 1 0 1 2 5 0 2 11001 2 1 1 5 0 5 1 0 1 2 100 5 0 1 2 5 0 2 1 100 0 2 1 5 1 0
0 510023 在某国 每年有比例为 p 的农村居民移居城镇 有比例 为 q 的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口 迁移的规律也不变 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比 例依次记为 xn 和 yn(xn yn 1) (1)求关系式 xn 1 yn 1 解 由题意知 xn yn1 1A xn 中的矩阵 A ynxn qyn pxn (1 p)xn qyn yn pxn qyn pxn (1 q)yn可用矩阵表示为 xn 1 yn 1 因此 A xn 1 p q p 1 q yn1 p q p 1 q x0 y0 0.5 0.5 求(2) 设 目 前 农 村 人 口 与 城 镇 人 口 相 等 即 xn yn 解 由 xn 1 yn 1 x A xn 可知 n yn yn An x0 y0 由l q | A lE | 1 p 1 q l p(l 1)(l 1 p q)得 A 的特征值为 l1 1 l2 r 其中 r 1 p q 对于 l1 1 解方程(A E)x 0 得特征向量 p1 (q p)T 对于 l1 r 解方程(A rE)x 0 得特征向量 p2 ( 1 1)T 令 P ( p1, p2) q 1 p 11 1n则P 1AP diag(1 r) A P P 于是 An An P nPq 1 1 0 p 1 0 r 1q 1 p 11q 1 1 0 p q p 1 0 rn 11 1 p qq pr n q qr n p q p pr n p qr n xn yn q pr n q qr n 0.5 p q p pr n p qr n 0.5 11 2q ( p q)r n 2( p q) 2 p (q p)r n 24 (1)设 A 解 由 2 | A lE | 3 l 2 3 l 得 A 的特征值为 l1 1 l2 5 对于 l1 1 解方程(A E)x 0 得单位特征}