您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
第5章弹性及其应用习题.doc 11页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
你可能关注的文档：
··········
··········
第5章 弹性及其应用
一、名词解释
2、供给的价格弹性
3、需求(价格)弹性
4、需求的交叉价格弹性
5、需求的收入弹性
二、正误题(请判断下列描述的正误，正确的打√，错误的打×)
1、______如果一种物品的需求量对该物品价格的变动敏感，可以说需求是价格缺乏弹性。
2、______用中点法计算弹性，如果铅笔的价格由10美分上升到20美分，需求量从1000枝减少到500枝，那么铅笔的需求是单位价格弹性。
3、______轮胎的需求应该比固特异牌轮胎的需求更缺乏弹性。
4、______这个月阿司匹林的需求应该比今年阿司匹林的需求更富有弹性。
5、______需求价格弹性的定义为某种物品价格变动的百分比除以该物品需求量变动的百分比。
6、______如果两种物品之间的需求交叉价格是正的，这两种物品可能是互补品。
7、______如果一种物品是需求缺乏价格弹性，那么其价格上升将增加那个市场上的总收益。
8、______胰岛素这类必需品往往是需求富有弹性的。
9、______如果需求曲线是线性的，沿着这条曲线的需求价格弹性是不变的。
10、______如果乘公共汽车的需求收入弹性是负的，那么乘公共汽车就是低档物品。______由于直线型需求曲线的斜率不变，故而其上各点所对应的需求的价格弹性也不变。
三、单项选择题
1、下列哪一种弹性是衡量沿着需求曲线的移动而不是曲线本身的移动？
需求的价格弹性
需求的收入弹性
需求的交叉价格弹性
需求的预期价格弹性
2、若X和Y两产品的交叉弹性是2、3，则________
X和Y是替代品
X和Y是正常商品
X和Y是劣质品
X和Y是互补品
3、如果某商品的需求富有价格弹性，则该商品的价格上升会使________
该商品销售收益增加
该商品销售收益不变
该商品销售收益下降
该商品销售收益可能上升也可能下降
4、政府对卖者出售的商品每单位征税5美元，假定这种商品的需求价格弹性为零，可以预料价格的上升________
5、若需求曲线是一条直线，则当价格从高到低不断下降时，卖者的总收益________
在开始时趋于增加，达到最大值后趋于减少
在开始时趋于减少，达到最小值后趋于增加
不断减少。
6、厂商在工资下降的时候一般倾向于增雇工人，假如对工人的需求缺乏弹性，工资率的下降将导致工资总额________
7、如果价格下降10%能使买者的总支出增加1%，则这种商品的需求量对价格________
具有单元弹性
其弹性不能确定
8、政府为了增加财政收入，决定按销售量向卖者征税，假如政府希望税收负担全部落在买者身上，并尽可能不影响交易量，那么应该具备的条件是：________
需求和供给的价格弹性均大于零
需求的价格弹性大于零小于无穷，供给的价格弹性等于零
需求的价格弹性等于零，供给的价格弹性大于零小于无穷
需求的价格弹性为无穷，供给的价格弹性等于零
9、如果政府对卖者出售的商品每单位征税5美分，那么这种做法将引起这种商品的（已知该商品的供给与需求曲线具有正常的正斜率与负斜率）________
价格升5美分
价格上升小于5美分
价格上升大于5美分
10、政府为了扶持农业，对农产品规定了高于其均衡价格的支持价格。政府为了维持支持价格，应该采取的相应措施是：________
增加对农产品的税收
实行农产品配给制
收购多余的农产品
对农产品生产者予以补贴
11、政府把价格限制在均衡水平以下可能导致________
买者按低价买到了希望购买的商品数量
12、如果一种商品的供给完全没有价格弹性，而且该商品的一种替代商品的价格上升，那么均衡量将________均衡价格将________
保持不变，上升
保持不变，下降
减少，上升
增加，保持不变
13、当菠菜价格上升时，以其他蔬菜代替菠菜会比在所有蔬菜价格上升时，以其他食品代替蔬菜________我们因此预期________的需求对价格的敏感性会比________的需求________
容易，蔬菜，菠菜，大
容易，菠菜，蔬菜，小
困难，蔬菜，菠菜，小
困难，菠菜，蔬菜，大
14、如果一种商品的需求的价格弹性是2，价格由1元上升至102元会导致需求量：________
15、如果商品的需求价格弹性等于2，价格________会导致总收入________
下降，增加
下降，减少
上升，增加
上升，不变
16、如果一种商品的需求完全没有价格弹性，需求曲线将会：________
17、如果________，那么一个企业希望增加收入时就应该降低其商品
正在加载中，请稍后...(window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
id: '2014386',
container: s,
size: '234,60',
display: 'inlay-fix'
(12人评价)
&&|&&1次下载&&|&&总32页&&|
您的计算机尚未安装Flash，点击安装&
阅读已结束，如需下载到电脑，请使用积分（）
下载：20积分
5人评价28页
5人评价97页
2人评价43页
3人评价54页
2人评价23页
所需积分：（友情提示：大部分文档均可免费预览！下载之前请务必先预览阅读，以免误下载造成积分浪费！）
（多个标签用逗号分隔）
文不对题，内容与标题介绍不符
广告内容或内容过于简单
文档乱码或无法正常显示
文档内容侵权
已存在相同文档
不属于经济管理类文档
源文档损坏或加密
若此文档涉嫌侵害了您的权利，请参照说明。
我要评价：
价格：20积分VIP价：(1/2)某商品价格为11美元时需求量为13,价格为13美元时,需求量为　P=11 Qd=13作为基数时的需求弹性.P=13..._百度知道
(1/2)某商品价格为11美元时需求量为13,价格为13美元时,需求量为　P=11 Qd=13作为基数时的需求弹性.P=13...
(1/2)某商品价格为11美元时需求量为13,价格为13美元时,需求量为　P=11 Qd=13作为基数时的需求弹性.P=13,Qd=11作为基数
我有更好的答案
首先我想问下，这个基数是不是指的初始量？如果是，那么这个问题很简单需求弹性的公式：Ed=（Qd1-Qd2）/(P1-P2)Ed=(11-13)/(13-11)=1
弹性计算中必须把符号都变为正数 此为单位弹性
采纳率：36%
P1=11，Q1=13
P2=13，Q2=11（1）Ed=-△Q/△P·P/Q=-(11-13)/(13-11)·11/13=11/13（2）Ed=-△Q/△P·P/Q=-(13-11)/(11-13)·13/11=13/11
为您推荐：
其他类似问题
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
微观经济学习题-需求供给???,????
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
微观经济学习题-需求供给
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口一个只消费两类物品的消费者面临正的价格
时间： 2:43:34
平新乔《微观经济学十八讲》答案目录第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题.....................................................................................2 第二讲 间接效用函数与支出函数.................................................................................................9 第三讲 价格变化对消费者配置效应与福利效应.......................................................................18 第四讲 VNM 效用函数与风险升水 ............................................................................................25 第五讲 风险规避、风险投资和跨期决策...................................................................................32 第六讲 生产函数与规模报酬.......................................................................................................45 第七讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数 .......................................................57 第八讲 完全竞争与垄断...............................................................................................................68 第九讲 Cournot 均衡、Bertrand 均衡与不完全竞争..................................................................80 第十讲 策略性博弈与纳什均衡...................................................................................................93 第十一讲 广延型博弈与反向归纳策略.....................................................................................100 第十二讲 子博弈与完美性.........................................................................................................105 第十三讲 委托–代理理论初步.................................................................................................110 第十四讲 信息不对称、逆向选择与信号博弈.........................................................................118 第十五讲 工资、寻找工作与劳动市场中的匹配.....................................................................125 第十六讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理 .................................................................134 第十七讲 外在性、科斯定理与公共品理论.............................................................................140&&&&第一讲 偏好、效用……第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题1. 1.1. 根据下面的描述，画出消费者地无差异曲线．对于 1.2 和 1.3 题，些出效用函数． 王力喜欢喝汽水 x ，但是厌恶吃冰棍 y 可能的一个无差异曲线是这样：yx01.2. 李楠既喜欢喝汽水 x ，又喜欢吃冰棍 y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的． 只要满足（0，2）和（3，0）在同一条无差异曲线上就符合题目要求．可能的一个无 差异曲线是这样：y2x01.3.3萧峰有个习惯，它每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是多多 益善．2&&&&第一讲 偏好、效用……y yx0y u = min{x, } 2 效用函数为1.4. 杨琳对于有无汽水 x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍．yx0效用函数为 u = y 2. 作图：如果一个人的效用函数为：u ( x1 , x 2 ) = max{x1 , x 2 }2.1. 请画出三条无差异曲线．x2x1 0（10，0）3&&&&第一讲 偏好、效用……2.2.如果 p1 = 1 ， p 2 = 2 ， y = 10 ．请在图上找出该消费者的最优的消费组合． 在图中，赭线是预算线．与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点（10，0）的 那条无差异曲线（上图中为橙线） ．消费者的最优的消费选择是（10，0） ． 下列说法对吗？为什么？ 若某个消费者的偏好可以由效用函数2 u ( x1 , x 2 ) = 10( x12 + 2 x1 x 2 + x 2 ) ? 503.来描述，那么对此消费者而言，商品 1 和商品 2 是完全替代的． 答：此说法正确．令t ( x1 , x 2 ) =u + 50 10 ， t 由单调变换的定义知， 与 u 是同一个偏好的效用函数． 且t ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 ，即 t 所描述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．因此 u 所描4. 述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的． 若某个消费者的效用函数为u ( x1 , x 2 ) =其中， x1 , x 2 ∈ R+ 4.1.1 1 ln x1 + ln x 2 2 2证明： x1 与 x 2 的边际效用都递减． 证明： u ( x1 , x 2 ) 对 x1 取二阶偏导：? 2u 1 =? 2 &0 2 ?x1 2 x1因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x 2 的边际效用也是递减的．i 4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质． 答：可能的一个效用函数是 u ( x1 , x2 ) = x1 + x2 ． 5. 常见的常替代弹性效用函数形式为u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2请证明： 5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性． 证明：当 ρ = 1 时，效用函数为(ρρ ρ)1u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2此时，函数 u 是线性的．4&&&&第一讲 偏好、效用……5.2.当 ρ → 0 时，该效用函数趋近于 u ( x1 , x 2 )= x1 1 x 2αα2证明：令β1 =α1 α 1 + α 2 ， β 2 = 1 ? β 1 ．则 u 的一个单调变换结果是1t = ( β 1 x1 + β 2 x 2 )又：ρρρ1lim t ( x1 , x2 ) = lim eρ →0 ρ →0ρln β1x1ρ + β 2 x2 ρ()1=e1 ? ? lim ln ? β1x1ρ + β 2 x2 ρ ? ? ρ →0 ρ ?=eβ x ρ ln x1 + β 2 x2 ρ ln x2 lim 1 1 ρ →0 β1x1ρ + β 2 x2 ρ=eβ1 + β 2β β ln x1 1 x2 2β = x1β1 x2 22β t ( x1 , x2 ) = x1β1 x2 2 的一个单调变换结果是 u ( x1 , x 2 ) = x1α x 2 α1，因此，当 ρ → 0时，原效用函数所描述的偏好趋近于效用函数u ( x1 , x 2 ) = x1 1 x 2所描述的偏好．αα2如果 α 1 与 α 2 满足 α 1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → 0 时，同时有效用函数u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2趋近于以下效用函数：(ρρ ρ)1u ( x1 , x 2 ) = x1 1 x 25.3.αα2ii当 ρ → ?∞ 时，该效用函数趋近于 u ( x1 , x2 ) = min{x1 , x2 }证明：令β1 =α1 α 1 + α 2 ， β 2 = 1 ? β 1 ．则 u 的一个单调变换结果是1t = ( β 1 x1 + β 2 x 2 )当 x1 & x2 时，ρρρ? ?x lim t ( x1 , x 2 ) = lim x1 ? β1 + β1 ? 2 ?x ρ → ?∞ ρ → ?∞ ? ? 1 ?同理，当 x1 & x 2 时，有ρ → ?∞? ? ? ?ρ?ρ ? = x1 ? ?1lim t ( x1 , x 2 ) = x 25&&&&第一讲 偏好、效用……当 x1 = x 2 时，有 t ( x1 , x 2 ) ≡ x1 = x 2 综上所述，当 ρ → ?∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于u ( x1 , x2 ) = min{x1 , x2 } 所描述的偏好关系．如果 α 1 与 α 2 满足 α 1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → ?∞ 时，同时有效用函数u ( x1 , x 2 ) = α 1 x1 + α 2 x 2趋近于以下效用函数：(ρρ ρ)1u ( x1 , x2 ) = min{ x1 , x2 }6. 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格 是 p 2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上， 那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变′ ′ 为 p1 和 p 2 ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements） ，即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性） ：1 u (c, s) = min{c, s} 2 其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．很明显，她的最优选择必然是c=1 s 2（*）考虑c≠1 s 2 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了—— c= 1 s 2 ．还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 她面临的约束条件为：p1c + p 2 s ≤ M由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：p1c + p 2 s = M（**）s=综合*与**式，可以得到，2M M c= p1 + 2 p 2 ， p1 + 2 p 26&&&&第一讲 偏好、效用……′ ′ 如果价格变成 p1 和 p 2 ，同样可以得到消费比例不会发生变化． 7. 7.1.s′ =2M M c′ = ′ ′ ′ ′ p1 + 2 p 2 ， p1 + 2 p 2 ．咖啡和糖的令 ≥ 为偏好关系，&为严格偏好关系， ≈ 为无差异关系．证明下列关系≥?≥说明： 感觉能力不济；这道题只能说说自己的想法了．由于偏好的完备性，因此定义在任何 一个选择集上的偏好关系都是唯一的．又由于任何集合都是自己的子集，所以 ≥?≥7.2.= ?≥ 证明：7.3.≈=≥ ∩ ≤?≈?≥ ≈ ∪ &=≥证明：≈=≥ ∩ ≤ ? ? &=≥ ? ≤ ? ?≈ ∪ &=≥7.4.≈ ∩ &= ?证明：≈=≥ ∩ ≤? ? &=≥ ? ≤ ? ?≈ ∪ &=≥8. 证明下列结论（或用具说服力的说理证明） 8.1. & 与 ≈ 都不具有完备性 说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好关系 不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性． 8.2. ≈ 满足反身性 说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消 费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本 身，这是矛盾的． 8.3. 严格偏好关系不满足反身性 说明：如果严格偏好关系满足反身性，那么根据严格偏好关系的定义，则对任一对消 费束 a, b，如果 a 严格偏好于 b，则说明 b 不可能偏好于 a；而根据假设 b 严格偏好于 a，b 必然偏好于 a．因此它们是矛盾的． 8.4. 对于任何 X 中的 x 与 x ， 在下列关系中， 只能居其一：x & x ，x & x ， x ≈ x 或1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2说明：根据 8.3 的说明， x & x 与 x & x 不可能同时成立，那么，当 x & x 和x 2 & x1 同时不成立的时候，必有 x1 ≥ x 2 且 x 2 ≥ x1 ，即 x1 ≈ x 29. 一个只消费两类物品的消费者面临正的价格，其拥有正的收入，他的效用函数为：u ( x1 , x 2 ) = x1导出其马歇尔需求函数．7&&&&第一讲 偏好、效用……解：解线性规划max u ( x1 , x 2 )x1 , x2s.t. p1 x1 + p 2 x 2 = y由约束条件 p1 x1 + p2 x2 = y 知x1 =y ? p 2 x2 p1y y 当 x 2 = 0 时， u 有最大值 p1 ．此时， x1 的消费量为 p1 ． y 即，马歇尔需求函数为 x1 = p1 ， x 2 = 010. 一个人的效用函数为 u ( x1 , x 2 ) = Ax1 x 2 ，这里 0 & α & 1 ， A & 0 ．假定存在内点解， 请导出其马歇尔效用函数． 解：解线性规划α max Ax1 x1?α 2x1 , x2α1?αs.t. p1 x1 + p 2 x 2 = y其拉格朗日函数为α L(λ ; x1 , x 2 ) = Ax1 x1?α + λ ( y ? p1 x1 ? p 2 x 2 ) 2使 L(?) 最大化的 x1 ， x 2 ， λ 满足一阶条件：?L α = αAx1 ?1 x1?α ? λp1 = 0 2 ?x1 ?L α ? = (1 ? α ) Ax1 x 2 α ? λp 2 = 0 ?x 2 ?L = y ? x1 p1 ? x 2 p 2 = 0 ?λ将 1 式除以 2 式，得（1）（2）（3）x p 1?α α x 2 p1 = x2 = 1 1 1 ? α x1 p 2 ，即 p2 α代 4 式入 3 式，得（4）x1 =αyp1（5）8&&&&第一讲 偏好、效用……代 5 式入 4 式，得x2 =(1 ? α ) y p2（6）5 与 6 式即为 x1 与 x 2 的马歇尔需求函数．第二讲 间接效用函数与支出函数1. 设一个消费者的直接效用函数为 u = a ln q1 + q 2 ． 构造出该消费者的间接效用函数． 并 且运用罗尔恒等式去构造其关于两种物品的需求函数． 验证： 这样得到的需求函数与从 直接效用函数推得的需求函数是相同的． 解：解线性规划：max(a ln q1 + q 2 )q1 , q 2s.t. p1 q1 + p 2 q 2 = yq2 = y ? p1 q1 p 2 ，将它代入式 a ln q1 + q2 中，我们的问题转化为： y ? p1 q1 ) p2将约束条件变形为max(a ln q1 +q1 , q2满足最大化的一阶条件是：aap 1 p1 ? = 0 ? q1 = 2 p1 q1 p 2 y ? ap 2 p2代入约束条件中，可以得到：q2 =即为消费者的需求函数． 消费者的间接效用函数为：v( p, y ) = a ln由罗尔恒等式，有：ap 2 y ? ap 2 + p1 p29&&&&第二讲 间接效用……?v q1 = ??p1 =? ?v ?yap1 ap 2? ap 2 ?? 2 ? p 1 ? 1 p2? ? ? ap ?= 2 p1p1 a y ? 2 ap 2 p1 p 2 y ? ap 2 ?p 2 q2 = ? =? = 1 ?v p2 ?y p2 ?v a与从直接效用函数中推得的结果一致． 2. 某个消费者的效用函数是 u ( x1 , x2 ) = x1 x2 ，商品 1 和 2 的价格分别是 p1 和 p 2 ，此消费2者的收入为 m ，求马歇尔效用函数和支出函数． 解：解线性规划：max x12 x 2x1 , x2s.t. p1 x1 + p 2 x 2 = y其拉格朗日函数为：L(λ ; x1 , x 2 ) = x12 x 2 + λ ( y ? p1 x1 ? p 2 x 2 )使 L(?) 最大化要求 x1 , x 2 , λ 满足一阶条件?L = 2 x1 x 2 ? λp1 = 0 ?x1 ?L = x12 ? λp 2 = 0 ?x 2 ?L = y ? p1 x1 ? p 2 x 2 = 0 ?λ1 式除以 2 式，得：1232 x2 px p = 1 ? x2 = 1 1 2 p2 x1 p2代 4 入 3 式，得 x1 的需求函数：4y?3 2y p1 x1 = 0 ? x1 = 2 3 p15代 5 入 4 式，得 x 2 的需求函数：10&&&&第二讲 间接效用……x2 =y 3 p26代 5、6 两式入效用函数中，得到当效用最大化时有间接效用函数：? 2y ? y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = ? ? 3p ? 3p ? 2 ? 1?2 12又消费者效用最大化意味着y = e( p, v( p, y ))即可得到支出函数：e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u3. 考虑下列间接效用函数()1 3=3 2 p12 p 2 u 2()1 3v( p1 , p 2 , m ) =这里 m 表示收入，问：m p1 + p 2什么是该效用函数所对应的马歇尔需求函数 x1 ( p1 , p 2 , m) 与 x 2 ( p1 , p 2 , m) 解iii：根据罗尔恒等式，可以得到这个效用函数所对应的马歇尔需求函数：**?v x1 = ??p1 =? ?v ?y?( p1 + p 2 )21 p1 + p 2m=m p1 + p 2?p1 =? x2 = ? ?v ?y4.?v?( p1 + p 2 )21 p1 + p 2m=m p1 + p 2考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三成事中选择居住地．假 定 他 的 选 择 决 策 只 根 据 其 效 用 函 数 ， 设 该 效 用 函 数 的 形 式 为 u = x1 x2 ， 这 里(x1 , x2 ) ∈ R+2 ． 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) ， 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) ， 并 且a b p1a p 2 = p1b p 2 ， 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2 ． 又 知 广 州 的 物 价 为(p , p ) = ? 1 (p ? 2c 1 c 2?a 1+ p1b ,) 1 (p 2a 2b ? + p2 ? ? ．若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去)生活？iv 解：设老人在北京、上海、广州的效用分别为 u , u , u ，设老人的收入为 m ．11a b c&&&&第二讲 间接效用……有m2 m2 + a b 4 p1a p 2 4 p1b p 2 ua + ub m2 m2 ? 1 1 2 ? ? uc = ? = ? a a + b b ? c c? c c 2 2 8 ? p1 p 2 p1 p 2 p1 p 2 ? 4 p1 p 2因为 p1 p 2 = p1 p 2 ，所以a a b b1 ? ua + ub m2 ? 1 ? uc = ? a a ? c c? 2 4 ? p1 p 2 p1 p 2 ?又 p1 ≠ p1 , p 2 ≠ p 2 ，有a b a b（*）2 8 = a & c b a b p p2 p1 + p1 p 2 + p 2c 1()()2a b p1a p 2 p1b p 2=1 a p p2a 1（**）由*与**，得a bua + ub ? uc & 0 2a c b c 又 u = u ，所以有 u ? u & 0 ， u ? u & 0即老人将选择在广州生活．1 5. 5.1. 设 u = x1 x2 ，这里 ( x1 , x 2 ) ∈ R+ ，求与该效用函数想对应的支出函数 e( p1 , p2 , u ) ．2解：解线性规划：min p1 x1 + p 2 x 2x1 , x2s.t.x1 x 2 = u其拉格朗日函数为：L(λ ; x1 , x 2 ) = p1 x1 + p 2 x 2 + λ (.u ? x1 x 2 )使 L(?) 最大化要求 x1 , x 2 , λ 满足一阶条件?L = p1 ? λx 2 = 0 ?x1 ?L = p 2 ? λx1 = 0 ?x 2 ?L = u ? x1 x 2 = 0 ?λ1123该题解答的修正得益于网友 caidb 在中心论坛上的帖子．关于 caidb 的个人信息在 http://forum.ccer.edu.cn/forum/user_info.asp?id=121264 上12&&&&第二讲 间接效用……由 1 式、2 式，得 e( p1 , p2 , u )x2 =代 4 入 3，得p1λ ，x1 =p2λ4u?代 5 入 4，得p1 p 2λ2=0?λ =p1 p 2 u5x2 =u p1 u p2 x1 = p2 ， p1于是可以得到对应的支出函数e( p1 , p 2 , u ) = p1 x1 + p 2 x 2 = 2 p1 p 2 u5.2. 又 设 u ′ = ln x1 + ln x 2 ， 同 样 ( x1 , x 2 ) ∈ R+ ， 求 与 该 效 用 函 数 想 对 应 的 支 出 函 数2e′( p1 , p 2 , u ′)解：解法与 5.1 完全相同，得到e′( p1 , p 2 , u ′) = 2 p1 p 2 e u′5.3. 证明： e ′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )证明：u = x1 x2 ? u′ ln u ? ? u ′ = ln u ? 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 ? e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )根据 5.1 与 5.2 的结果，得到6.设某消费者的间接效用函数为v( p1 , p2 , m ) =m p1 p1?α ，这里 0 & α & 1 ．什么是该消费 2α者对物品 1 的希克斯需求函数？ 解：若消费束 x 是消费者的最优选择，那么根据引理一，间接效用函数与支出函数存在 以下关系m = e( p, v( p, m ))由该消费者的间接效用函数，得到α m = u p1 p 1?α ，其中 u = v( p1 , p 2 , m) 212由 1 式和 2 式，得到α e( p, v( p, m )) = u p1 p 1?α 213&&&&第二讲 间接效用……因此，由 Shepard 引理，得到?p ?e = u? 1 x = ?p ?p1 ? 2h 1? ? ? ?α ?1?p ?e = u? 1 x = ?p ?p 2 ? 2 ，h 2? ? ? ?α7.考虑含 n 种商品的 Cobb-Douglass 效用函数u ( x ) = A ∏ x iα ii =1n这里， A & 0 ， 7.1.∑αi =1ni=1求马歇尔需求函数 解：解线性规划：max A∏ xiα ix i =1ns.t. px = y其拉格朗日函数为：L(λ ; x ) = A∏ xiα i + λ ( y ? px )i =1n使 L(?) 最大化要求 x1 , x 2 , λ 满足一阶条件?L u α ?1 = α j x j j A∏ xiα i ? λp j = α j ? λp j = 0 ?x j xj i≠ j ，j = 1,2,3,..., n?L = y ? px = 0 ?λ由 1 式，得12xj =代 3 入 2，得uα jλp j ， j = 1,2,3,..., nu∑α ii =1 n3y ? ∑ pii =1nuα i = y? λp iλ= y?uλ=0?λ =u y4代 4 入 3，得希克斯需求函数xj =αjyp j ， j = 1,2,3,..., n14&&&&第二讲 间接效用……7.2.求间接效用函数 解：根据 7.1 的结果?α y ? v( p, y ) = u ( x) = A∏ ? i ? ? ? i =1 ? p i ? 其中 x 为消费者的需求量．nαi= Ay∑αii =1n?α ∏ ? pi ? i =1 ? in? ? ? ?αi?α = Ay∏ ? i ? i =1 ? p in? ? ? ?αi7.3.计算支出函数 （同第 6 题的解法．不过这样的写法可能会好些?） 解：令?α ? u = v( p, y ) = Ay∏ ? i ? ? ? i =1 ? pi ?nαi得到?α y = uA ∏? i ? i =1 ? p i?1n? ? ? ??α i又由 y = e( p, v( p, y )) ，得到?p e( p , u ) = u A ∏ ? i ? i =1 ? α i?1n? ? ? ?αi7.4.计算希克斯需求函数 解：根据 Shepard 引理和 7.3 的结果，得到希克斯需求函数?α ?e α ?1 x = = u A ?1 p j j ∏ ? i ? ?p j i ≠ j ? pih j? ? ? ? ， j = 1,2,3,..., nαi8.以 Cobb-Douglass 效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得 到同一需求函数．解：令效用函数形式为u ( x ) = A ∏ x iα ii =1n，预算约束为 px = y************************************************************* 求解效用最大化问题得到的需求函数为（见 7.1 题）xj =αjypj， j = 1,2,3,..., n************************************************************* 求解支出最小化问题的拉格朗日函数为n ? L ′(λ ; x ) = px + λ ′? u ? A∏ xiα i ? i =1 ?? ? ? ?使 L(?) 最大化要求 x, λ 满足一阶条件′15&&&&第二讲 间接效用……xj = u ? A∏ xiα i = 0i =1 nλ ′uα jpj1代入，得n?α u ? Aλ ′u∏ ? i ? i =1 ? p i代 2 入 1 得到希克斯需求函数：? ? ? ?αi?p = 0 ? λ′ = A ∏? i ? i =1 ? α i?1n n? ? ? ?αi2x =h jλ ′uα jpj?p = A ∏? i ? i =1 ? α i?1? αj ? u ? pj ? ， j = 1,2,3,..., nαi3代u ( x ) = A ∏ x iα ii =1n入 3 得到ni ?p ? αj x = ∏ ? i xi ? ? ? p i =1 ? α i j ? ， j = 1,2,3,..., nαh j4代 4 入预算约束 px = y 得αi αi αi ? n ?p ? ? n ?p ? α j ? ? n ? p i ? ?? n ? ? ? i xi ? ? xi ? ?? ∑ α j ? = ?∏ ? i xi ? ? ? = ?∏ ? y = ∑ p j ?∏ ? ? ? ? ? ? i =1 ? α i ? p j ? ? i =1 ? α i ? ?? j =1 ? ? i =1 ? α i ? ? j =1 ? ? ? ? ? ?? ? 5n代5入4得i n ?p ? α j yα j x h = ∏ ? i xi ? j ? ? p = p i =1 ? α i j j ? ， j = 1,2,3,..., nα69.由 3 式与 6 式知，求解支出最小化与效用最大化得到的需求函数是一样的． 下列说法对吗？为什么？1x h ( p , u ) = ( p x + u ) 2 可以作为某种商品的希克斯需求函数． 函数 j x答：不对．由于该需求函数仅与该商品的价格相关，因此可以令所有其它商品的消费量 为零．根据 Shepard 引理，支出函数是该希克斯需求函数的一个原函数． 又∫ ( p x + u ) 2 dp x1=3 2 ( p x + u )2 + C 33 2 ( p x + u )2 + C 其中，无论 C 取什么值， 3 都不是 p x 的一次齐次函数，因此该函数不可以作为某种商品的希克斯需求函数． 10. 下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？x( p x , p y , y ) =2 px I px + p y2 216&&&&第二讲 间接效用……这里， x 与 y 是两种商品， I 为收入． 答：假设该函数是一个马歇尔需求函数． 由?x?I&0可知， x 是正常商品，它的需求量在任何情况下随收入上升而上升．p & p x 时， 又当 y升． 综上所述，当?x?p x&0，因此在p y & p x 时， x 的需求量随价格上升而上p y & p x 时，该商品的替代效应为正．而任何商品价格变化对该商品需求量所起的替代效应为非正．因此，该函数不是一个马歇尔需求函数．17&&&&第三讲 价格变化……第三讲 价格变化对消费者配置效应与福利效应1. 证明， x1 与 x 2 不可能都是劣等品． 说明：如果仅仅要求偏好满足完备性与传递性假设，两个产品都是劣等品是可能的． 如果要求偏好满足局部非餍足性，那么一个产品都成不了劣等品．也就是说，这是不可 能的． 如果再加些性状良好（单调性、凸性或严格凸性）的条件，这就更不可能了． 如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？ 答：不是．对不同相对价格水平来说，替代效应为零或负无穷大． 已知一个消费者对牛奶的需求函数为2. 3.x = 10 +y 10 p这里 x 为一周内牛奶的消费量， y = 120 元为收入， p = 3 元/桶，现在假定牛奶价格从 3 元降为 p ′ = 2 元． 问： 3.1. 该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化多少？）x = 10 +解：y y = 14 x ′ = 10 + = 16 10 p 10 p ′ ， ．所以需求的变化量?x = x ′ ? x = 2 桶3.2. 请算出价格变化的替代效应． 这里的替代效应指斯勒茨基替代效应．有：y ′′ = y + ?px = 120 + (?1) × 14 = 106 x ′′ = 10 + y ′′ = 15.3 10 p ′s因此，价格变化的替代效应 ?x = x ′′ ? x = 1.3 3.3. 请算出价格变化的收入效应． 解由 3.1 与 3.2 得，价格效应为 ?x 4.m= x ′ ? x ′′ = 0.72某个消费者的效用函数为 u ( x1 , x 2 ) = x1 x 2 ．令 p1 ， p 2 与 m 分别表示商品 1 的价格、 商品 2 的价格和收入．18&&&&第三讲 价格变化……4.1.如果 m = 24 ， p1 = 1 ， p 2 = 1 ，现在 p1 上升为 2，求此消费者关于商品 1 的斯拉茨 基替代效应和收入效应．′ 解：令 x1 为商品 1 价格变化前的消费量， x1 为变化后的消费量．有：x1 =′ 2m 2m =8 = 16 x1 = ′ 3 p1 3 p1 ，′ 令 x1′ 为调整收入以保持购买力条件下，对商品 1 的消费量． m ′′ 为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：m ′′ = m + ( p ′ ? p ) x1 = 24 + (2 ? 1) × 16 = 40′ x1′ =2m′′ 2 × 40 40 = = 3 p′ 3× 2 3s其中，斯拉茨基替代效应 ?x 为′ x1′ ? x1 =收入效应 ?x 为m40 8 ? 16 = ? 3 3′ ′ x1 ? x1′ = 8 ?4.2.40 16 =? 3 3请根据计算，验证恩格尔加总规则． 解：由 4.1 知S1 =?x y 1 24 2 η 1 = 1 × = × = 1 η1 = 2 × = × = 1 1 S2 = ?y x1 3 16 ?y x 2 3 8 3， 3， ，?xy2 24因此S1η1 + S 2η 2 = 1恩格尔加总规则成立． 5. （单项选择）当价格是（3，1）时，某个消费者选择的消费束是 ( x, y ) = (6,6) ．在新 的价格( p x , p y ) 下，他选择的消费束是 ( x, y ) = (5,8) ，若此消费者的行为满足显示偏好的弱公里，那么必定有： （1）2 p y & p x （2） p x & 2 p y （3） p x & 3 p y （4） 3 p x = p y 6 px + 6 p y & 5 px + 8 p y解：选择 1．如果该消费者的行为满足显示偏好弱公理，那么必然有即：19&&&&第三讲 价格变化……2 p y & px6. （单项选择）1997 年，小李将他的全部收入用在两种商品 x 和 y 上．与 1997 年相比， 1998 年商品 x 和 y 的价格都上升了 8%，1998 年小李消费的 x 和 1997 年一样多，但他 消费的 y 却比 1997 年少．我们可以断定： （1） y 是个正常商品（2） y 是个劣等商品（3） x 是个劣等商品（4）由于商品的相对 价格没有变，小李的行为是非理性的 解：选择 1．相对价格不变，购买力（或实际收入）的减少带来 y 消费量的减少，即可 断定 y 收入效应为正，根据定义可知 y 是正常商品．由前一句可知 2 是错的． x 的消费 量与收入变化无关，可以知道 x 不是劣等商品，因此 3 是错的．1 的判断完全基于理性 假设进行的，因此 4 是错的． 7. 7.1. 考虑一个不变弹性需求函数 Q = Ap 求反需求函数 p (Q)?ε， A ，ε & 0 ．Q = Ap ?ε7.2.解： 计算需求的价格弹性? A ?ε ? p=? ? ?Q? ? ?1E=解： 7.3.?Q p p × = ? ε × Ap ?ε ?1 × = ?ε = ε ?p Q Ap ?εε 的值为多少时，称需求是无弹性的？答：当 ε & 1 时，称需求是无弹性的．p(Q)7.4. 证明边际收入函数对反需求函数的比，1MR(Q) ，独立于产出 Q ．ε 证明： TR (Q ) = pQ = A Q1?1ε，因此1dTR ? 1 ?? A ? ε MR(Q) = = ?1 ? ?? ? dQ ? ε ?? Q ? ? ? p (Q) MR(Q)因此，=1 ε = 1 ε ?1 1?εp(Q)，因此MR(Q) 与 Q 无关．8. 判断下述论断是否正确，并给出理由： 8.1. 如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的． 判断：并不是所有直线上的弹性都是一样的．20&&&&第三讲 价格变化……理由：一类线性需求曲线可以由 q = ?ap + b ， a & 0 ， b & 0 来表示，它的弹性E=dq p ap = dp q ? ap + b即，弹性 E 是价格 p 的函数，也就是说，这样的直线上需求价格弹性是随价格变化， 不是一样的． 但考虑与 x 轴垂直的需求曲线 (a = 0) ，它的弹性就是不变的． ，讨论各点上的弹性 最后考虑与 x 轴水平的需求曲线，它的弹性不存在（无穷大的） 是否相等无意义． 8.2. 如果对 X 的需求是由 X 的价格、 Y 的价格和收入决定的，则当 X 的价格、 Y 的价格 和收入都上涨一倍时，对 X 的需求不变． 判断：正确 理由： 考虑典型的预算约束表达式p x x + p y y ≤ m ，其中 p x 、 p y 和 m 分别为 X 、Y的价格和收入． 在这样的预算约束和一定的偏好下， 消费者将选择一定的 X 和 Y 的消 费量．消费者的选择变化无非基于两个条件的变化，这两个条件就是选择集－预算约 束和偏好．当 X 的价格、 Y 的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为(2 p x )x + (2 p y )y ≤ 2m ，它与 p x x + p y y ≤ m 表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下 （这是 “如果对 X 的需求是由 X 的价格、Y 的价格和收入决定的” 的含义） ， 消费者的选择将不会发生变化，也就是说，对 X 的需求不变． 9. 判断对错并简要说明理由：?x1x1 和 x 2 是一个消费者消费的两种物品， 我们说 x1 是 x 2 的替代品， 如果为 x 2 的价格．如果 x1 是 x 2 的替代品，则 x 2 也是 x1 的替代品．?p 2&0，p 2判断：第一句错误，第二句正确． 说明：两个商品之间的替代关系是通过净替代效应的正负来定义的（张定胜《高级微观 经济学》第一章） ，也即是对 x1 的希克斯需求函数求 p 2 的偏导，如果是正，则替代， 是负为互补． 根据马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系， 即使总替代关 系为正，由于未剔除收入效应，仍有可能净替代效应为负，从而两种商品互补．该命题 第一句是错误的． 根据净替代效应的对称性，如果商品 2 是商品 1 的替代品，则 1 也是 2 的替代品，命题21&&&&第三讲 价格变化……第二句是正确的．2 10. 以需求函数 q = a ? bp 为例， 试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生 最大利润． 分析：该需求的弹性表达式为E=需求曲线缺乏弹性时，有dq p p bp = ?b = dp q a ? bp a ? bpbp a &1? p & a ? bp 2b经营的总收益为 TR = pq = ap ? bp2考虑企业的成本函数 C = c(q ) ，其中 c(q ) & 0 ， c ′(q ) ≥ 0 企业的利润函数为 π = TR ? C 最大利润产生在利润对价格一阶导等于零的地方：dπ dTR dC dq a + bc ′(q) a & = ? = a ? 2bp + bc ′(q ) = 0 ? p = dp dp dq dp 2p 2b因此在需求曲线缺乏经营不可能产生最大利润． 11. 判断对错并简要说明理由： 11.1. 如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定 是负的． 错．考虑完全互补偏好，相对价格变化的斯拉茨基替代效应为零． 11.2. 假设某消费者的效用函数是 u ( x, y ) = x y ，则他关于 x 的需求对 y 价格的交叉价格 弹性为零．α βx=对．他关于 x 的需求为αm (α + β ) p x ，其中 m 为收入， p x 为 x 的价格．从需求函?x ?x p y =0 E xy = =0 p ?p y x ，由此可以得到 ． 数与 y 的价格 y 无关可以得到 ?p y12. 下面的说法对吗？为什么？ 某个消费者将他的全部收入花在两种商品上， 其中一种商品是吉芬商品． 如果吉芬商品 的价格上升，那么他对另外一种商品的需求必定下降． 对．如果吉芬商品价格上升，消费量增大，另一种商品的预算份额下降，在价格不变的 前提下，需求必定下降．2该题解答的修正得益于网友 54gg 在中心论坛上的回复．关于 54gg 的个人信息请见 http://forum.ccer.edu.cn/forum/user_info.asp?id=&&&&第三讲 价格变化……? ?xih ? ? ?p j 13. 令斯拉茨基公式中右端第一项 ?r? ? ? s ? 为 ij ， s ij 叫做 xi 与 x j 的净替代效应．对于效用函数 u = x1 x 2 ，证明： s11 p1 + s12 p 2 = 0 证明：由 u = x1 x 2 和预算约束 px ≤ y ，得到 x1 、 x 2 的需求函数rx1 =由此可以得到间接效用函数ry y x2 = (1 + r ) p1 ， (1 + r ) p 2 r r y 1+ r (1 + r ) r +1 p1r p 21v ( p, y ) =然后，根据本章引理一，得到? p r p u ? 1+ r e( p, u ) = (1 + r )? 1 r 2 ? ? r ? ? ?由 Shepherd 引理和s ij 的定义，得到1 1 ? 1 1 2+ r 1 ? ? 2 e( p , u ) r ? u ? 1+ r ? 1+ r 1+ r ? r ? u ? 1+ r ?1+ r 1+ r = p1 ?? =? p1 s11 = p1 p1 p 2 p1 p 2 ? ? ? ? ? 1+ r ? rr ? ? 1+ r ? rr ? ?p12 ? ? 1 1 ? r ? 1 1 1 ? 2 e( p , u ) r ? u ? 1+ r ?1+ r ?1+ r ? r ? u ? 1+ r ?1+ r 1+ r = p2 ? = p 2 s12 = p 2 ? r ? p1 p 2 ? r ? p1 p 2 ?1 + r ? r ? ? 1+ r ? r ? ?p1?p 2 ? ?因此， s11 p1 + s12 p 2 = 0 14. 我们观察到，一个消费者在 p1 = 2 ， p2 = 6 时，购买的 x1 = 20 ， x 2 = 10 ；当价格为p1 = 3 ， p 2 = 5 时，购买的 x1 = 18 ，x 2 = 4 ．他的行为符合显示性偏好的弱公理吗？答：符合．如果要符合显示性偏好弱公理，因为2 × 20 + 6 × 10 = 100 ≥ 2 × 18 + 6 × 4 = 60所以必然应当预测到3 × 20 + 5 × 10 ≥ 3 × 18 + 5 × 4而后一个等式确实是成立的（ 110 ≥ 74 ） ，符合预测．因此他的行为符合显示性偏好的 弱公理． 这里 a ，b & 0 ． 假定政府开征消费税 （从价税） ， 15. 设消费者的反需求函数为 p = a ? bq ， 因此消费者支付的价格会从 p 上升到 p (1 + t ) （这里，t 为税率） ．证明：消费者剩余的23&&&&第三讲 价格变化……损失总是超过政府通过征税而获得的收入． 证明：征税前消费者的消费者剩余为CS =征税后，消费者的剩余为1 (a ? p )q = 1 (a ? p )? a ? 1 ? 2 2 ?b b? p? ?CS ′ =他们所损失的消费者剩余为1 [a ? p(1 + t )]? a ? 1 p(1 + t )? ? ?b b 2 ? ?1 ? apt a 2 p 2t p 2t 2 ? ?? ? ? pt + + 2? b b b b ? ? ??CS = CS ′ ? CS =政府征税所获收入为? ?a 1 T = pt ? ? p(1 + t )? ? ?b bT + ?CS =因此，1 ? p 2t 2 ?? 2? b ?? ?&0 ? ?即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入． 16. 设 一 个 消 费 者 只 消 费 两 类 商 品 ， 他 在 p1 = 10 元 ， p 2 = 5 元 时 购 买 了 x1 = 5 ，x 2 = 10 ．现在， p1 下降至 8 元， p 2 上升至 6 元．问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？为什么？ 答：因为价格变化前后，消费者都能买到 x1 = 5 和 x 2 = 10 （购买力不变） ，也就是说， 他至少会和价格变化前一样好． 在不清楚消费者的偏好是否连续和可导的情况下， 还不能判定他的效用水平 （也就是生 活水平）会不会有提高．24&&&&第四讲 VNM 效用……第四讲 VNM 效用函数与风险升水1. （单项选择）一个消费者的效用函数为 u ( w) = ? ae 为： （A） a （B） a + b （C） b （D） c? bw+ c ，则他的绝对风险规避系数解：B．计算过程为? ab e ′′ Ra ( w) = ? u ( w) ′ =? u ( w) abe ?bw2? bw=b? cw2.证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数 c ，则其效用函数形式必为 u ( w) = ?e 这里 w 代表财产水平． （这个结论是有问题的，见证明结果） 证明：由已知得，Ra ( w) = ? u ′′( w)u ′′( w) =c u ′( w)? cw + C因此∫ u ′(w) dw = ? ∫ cdw ? ln u ′(w) = ?cw + C ? u ′(w) = e~ = Ce ? cw ?~ C ?cw u ( w) = ? e + C1 ~ C c ，其中 C = e & 0 ， C1 为任意实数．如果 c & 0 ，根据效用函数可单调变换的性质，该偏好可以用效用函数形式u ( w) = ?e ? cw 表示．如果 c & 0 ，那么该偏好可以用效用函数形式 u ( w) = e ? cw 表示．3. 若一个人的效用函数为 u = w ? αw ， 证明： 其绝对风险规避系数是财富的严格增函数．2证明：直接运用绝对风险规避系数的定义：Ra ( w) = ?1 2α 时，u ′′( w) 2α 1 = w≠ u ′( w) 1 ? 2αw ，当 2α 时．因此，当w≠2 dRa ( w) ? (2α ) =? &0 dw (1 ? 2αw)2 ，4.即，绝对风险规避系数是财富的严格增函数． 设一种彩票赢得 900 元的概率为 0.2， 而获得 100 元的概率为 0.8． 计算该彩票的期望收 入． 若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入， 请写出这个人的效用函数形式． （形25&&&&第四讲 VNM 效用……式不唯一） 解：最方便的一个形式就是有常绝对风险规避系数的效用函数形式，比如u ( w) = e w5. 5.1. 证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：u ( w) = (w + α ) ， α ≥ 0 ， 0 & β & 1 ．β由Ra ( w) = ?u ′′( w) β ( β ? 1)( w + α ) β ?2 1 ? β dRa ( w) =? = &0 β ?1 u ′( w) w + α ，得到 dw β (w + α ) ，因此该效用函数显示出递减的风险规避行为． 5.2.u ( w) = wdRa ( w) =0 由 Ra (w) = 0 ，知 dw ，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．5.3.u ( w) = ln(w + α ) ， α ≥ 0u ′′( w) Ra ( w) = ? =? u ′( w) ? 1 1 (w + α ) 2 = dRa ( w) 1 &0 w+α w+α ，得到 dw ，因此该效用函由数显示出递减的风险规避行为． 5.4.u ( w) = w 3 Ra ( w) = ? u ′′( w) 6w 2 dRa ( w) =? 2 =? &0 u ′( w) w ，得到 dw 3w ，因此该效用函数不显示出由6.递减的风险规避行为． 一个具有 VNM 效用函数的人拥有 160000 单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种 发生概率为 5%的火灾会使其损失 70000；另一种发生概率为 5%的火灾会使其损失 120000．他的效用函数形式是 u ( w) =w ．若他购买保险，保险公司要求他自己承担前 7620 单位的损失（若火灾发生） ．什么是这个投保人愿支付的最高保险金？（需要补 充的条件为：两种火灾的发生是相斥事件） 解：如果保险人不购买保险，他不发生火灾损失的概率为他的期望效用水平为Eu ( w) = 0.9 × 160000 + 0.05 × 90000 + 0.05 × 40000 = 385同时，他愿支付的最高保险金 I ，就是使他在支付前后效用水平相等的保险金．3 即有 E ′( w) = 0.9 × 160000 ? I + 0.1 × 1600000 ? 7620 ? I = 3853一般的假定是，如果决策者在选择间无差异的时候，就表示他在做一个随机决策，也就是说，任何决策 都是可以接受的．反过来，假定决策者在选择间无差异时，却出现了他不愿意选择某一个决策的情况，那 就是说明他在决策间不是无差异的．26&&&&第四讲 VNM 效用……解得： I = 22008 ， -
（舍去） 即，投保人愿意付的最高保险金为 22008 元． 考虑下列赌局7.10000 元 支 1 付 赌 局 2 3 4 0.10 0.20 0.02 0.011000 元 0.90 0.60 0.06 0.090元 0.00 0.20 0.92 0.90上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局 1 中，发生 10000 元的概率为 0.1） ．如果有人告诉你，他在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1” ，在赌 局“3”与“4”之间严格偏好于“3” ．请问他的选择一致吗？请做出说明． 说明：他的选择是一致的．设该赌徒的效用函数为 u (w) ，设它原来的财富为零（初始 财富量不影响分析结果，后面会看到． ） 那么Ew1 = 0.1 × 10000 + 0.9 × 1000 = 1900 ，σ ( w1 ) = E ( w1 ? 1900) 2 = 3000同理可得Ew2 = 2600 ， σ ( w2 ) ≈ 3352.7从 σ ( w1 ) & σ ( w2 ) ， Ew1 & Ew2 且 w1 f w2 知，此人的偏好呈是风险规避且财富增加 的边际效用为正，或呈风险喜好且财富增加的边际效用为负4． 那么现在考虑赌局“3”和“4” ．Ew3 = 260 ， σ ( w3 ) ≈ 1389 Ew3 = 190 ， σ ( w3 ) ≈ 1011同时有 w3 f w4 ，通过和上面相同的比较，得到，如果此人财富增加的边际效用为正， 那么我们无法确定他对风险的偏好是规避还是喜好； 如果此人财富的增加的边际效用为 负，我们就可以确定他是风险喜好的． 综上所述，他的选择有可能是一致的． 两匹马赛跑．李某对该赛马打赌．马 A 与 B 之间，或 A 赢，或 B 赢，无平局．李某按8.4似乎很 BT 的偏好情况，但是理论上这仍然是可行的．27&&&&第四讲 VNM 效用……下列偏好序对打赌进行排序： 他在 A 上下赌注 2 元，如果 A 赢了，则会获得 x 元；若 A 输了，则分文无收． 不赌． 他在 B 上下赌注 2 元，如果 B 赢了，则会获得 x 元；若 B 输了，则分文无收．8.1.1 你能得出结论说，李某相信 A 获胜的概率 P 大于 2 吗？解：不能．如果李某是风险偏好的，使得他偏好风险更大的选择——即使该选择期望1 收入相对低．那么从这样的排序中不能得到相信 A 获胜的概率大于 2 ．8.2. 如果李某是风险规避的，你能知道 P ? x 的值吗？ 能．如果李某是风险规避的，有 u ( g ) & u[E ( g )] ，其中 g 是赌 A 的赌局．而且从它的 排序所体现出来的偏好，我们有 u ( w0 ) & u ( g ) ，其中 w0 是他的初始财产．综上所述， 有 u ( w0 ) & u[E ( g )]， 因此有 w0 & E ( g ) ． E ( g ) = P ? (w0 + x ) + (1 ? P )( w0 ? 2) ． 又 解 不等式w0 & P ? (w0 + x ) + (1 ? P)( w0 ? 2) ? P ? x & 2(1 ? P)无论 P 取 (0,1] 上的哪个值，这个等式都是成立的． （当 P = 0 时，这个等式恒不成立） 因此， 2(1 ? P) ∈ [0,2) ．综上所述， P ? x ∈ [2,+∞) ． 9. 一个消费者具有 VNM 效用函数，他面临四种结局：A、B、C、D．其偏好序为A f B f C f D ．试验显示，他认为 B = 0.4 A + 0.6 D C = 0.2 B + 0.8 D （这里的等号表示“无差异” ）请对 A、B、C、D 四种结局构筑出一组 VNM 效用值． 解：令 u A = 1 ， u B = 0 ， （由连续性公理）有u B = 0.4u A + 0.6u D = 0.4u C = 0.2u B + 0.6u D = 0.0810. 近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保 险．假定有一户居民拥有财富 10 万元，包括一辆价值 2 万元的摩托车．该户居民所住 地区时常发生盗窃，因此有 25%的可能性该户居民的摩托车被盗．假定该户居民的效 用函数为 u ( w) = ln w ，其中 w 表示财富价值．28&&&&第四讲 VNM 效用……10.1. 计算该户居民的效用期望值． 解： Eu ( w) = 0.25 × ln 80000 + 0.75 × ln 100000 = 2.82 + 8.63 = 11.45 10.2. 如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？ 解：利用绝对风险规避系数来计算，具体地，由? 1 2 1 u ′′( w) w = &0 Ra ( w) = ? =? 1 u ′( w) w w ， w & 0） （可以得到该户居民是愿意避免风险的． 10.3. 如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价 值相等的赔偿．试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费． 解：思路同第六题．该户居民最多愿意支付的保险费就是使他的期望效用在支付前后 不变的保险费．设保险费为 I ，有11.45 = ln(100000 ? I ) ? I ≈ 6099 元即该户居民最多愿意支付的保险费是 6099 元． 10.4. 在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除 “公平”的保险费后的纯收入是多少元？ 解：公平保险为 0.25 × 20000 = 4000 元．保险公司扣除公平保险费的纯收入 R 的期 望值为E ( R) = 0.75 × 4000 + 0.25 × (4000 ? 20000) = 011. 下列三个说法对吗？请说明理由． 11.1. 摸彩票的期望收益低于消费者付出的货币，而消费者却常常热衷于此，说明在这种情 况下，摸彩票的人是喜爱风险的． 对． 11.2. 一个人面对两种收入可能，一种是获得 2000 元和 1000 元收入的概率均为 0.5，另一 种是获得 2500 元和 500 元收入的概率各为 0.5，两种情况的期望收入相同，故消费者 对二者的评价相同． 不全面．它没有考虑风险问题．假如消费者对不同的风险水平不是无差异的，这两种 收入可能的风险是不一样的（比如，它们收入的标准差是不一样的） ，因此，消费者 对二者的评价不一定会相同． 11.3. 一个消费者的效用函数为 u ( w) = w0.5，有两种可能的收益，第一种是获得 4 元和 25元的概率均为 0.5，另一种情况是他获得 9 元和 16 元的概率分别为 0.4 和 0.6，则他对 第一种的评价好于第二种． 错．在第一种情况 g1 下，u ( g1 ) = Eu ( w) = 0.5 × ln 4 + 0.5 × ln 25 ≈ 0.69 + 1.61 = 2.3在第二种情况 g 2 下29&&&&第四讲 VNM 效用……u ( g 2 ) = Eu ( w) = 0.4 × ln 9 + 0.6 × ln 16 ≈ 0.88 + 1.66 = 2.54 ．即他对第二种的评价好于第一种． 12. 一个人具有期望效用函数，其效用函数的原形是 u ( w) = ln w ．他有机会参与掷硬币， 头面向上的概率均为 π ．如果他下赌注 x 元，若头面向上，他会拥有 w + x ；反之，若 背面向上，则他只拥有 w ? x ．请解出其作为 π 的函数的最优赌注 x 量．当 么是他的关于 x 的最佳选择？ 解：设掷硬币为赌局 g ．那么该赌局的效用π=1 2 ，什u ( g ) = Eu (?) = π ln(w + x) + (1 ? π ) ln(w ? x)使 u (g ) 最大化的 x 所满足的一阶条件为：(1?π (? ( =0 w+ x w? x解得 x = 2πw ? w ． 又 x ≥ 0 ，因此他的最优赌注为：π(?( ? x = 2πw ? w ? ? ( ?x = 0 ? ?1≥ π ≥1 21 &π ≥0 2当π=1 2 时，直接应用前面得到的结果，得出他的最佳选择是 x = 0 ． w ．他的财产初值为 4 元．他13. 一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为 u ( w) =拥有一张奖券，该奖券值 12 元的概率为 0.5，值零元的概率为 0.5．什么是这个人的期 望效用？若要他出让该彩票，他索取的最低价会是多少？ 解：拥有这张奖券意味着参加了抽奖的赌局，设该赌局为 g ．他的期望效用为u ( g ) = 0.5 × 4 + 12 + 0.5 × 4 = 3若让他出让该彩票， 他索取的最低价应当是使他出让前后效用水平不变化的价格， 设该 价格为 p ，有u ( w + p) = u ( g ) ，即 4 + p = 3解得 p = 5 ．即他索取的最低价会是 5 元．30&&&&第四讲 VNM 效用……14. 一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为u ( w) = ?1 w ．他有机会参加一场赌博，若赢了， 他的财产会达到 w1 ， 赢率为 P ； 但该赌局下他的财产为 w2 的概率为 1 ? P ． 为 使他对持有当前财产与参与赌博无差异，则他当前的财产水平 w0 应该是多少？ 解：对持有当前财产与参与赌博无差异，也就是说，有?解得? 1 ? 1 ? 1 ? = ? ? ? P + ? ? ?(1 ? P ) ? w ? ? w ? w0 ? 1 ? 2 ? ?w0 =P(1 ? P ) (1 ? P) w1 + Pw2 w0 = P(1 ? P ) (1 ? P) w1 + Pw2 时，才使他对持有当前财产与参与赌即，当前财产水平应当为 博无差异．31&&&&第五讲 风险规避……第五讲 风险规避、风险投资和跨期决策1. 一个农民认为在下一个播种的季节里， 雨水不正常的可能性是一半对一半． 他的预期效 用函数的形式为预期效用=1 1 ln y NB + ln y B 2 2这里， y NB 与 y B 分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入． 1.1. 假定农民一定要在两种如下表所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？谷物 小麦 谷子y NB28000 元 19000 元yB10000 元 15000 元解：设种小麦(wheat)和谷子(rice)的效用分别为 u w 和 u r ，有Eu w =1 1 ln 28000 + ln 10000 ≈ 9.725 2 2 ，同理可得 Eu r ≈ 9.734有 Eu r & Eu w ，因此他会选择种谷子． 1.2. 假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释 你的结论． 解：设农民这样播种的效用为 u1 ，有Eu1 =1 28000 + 00 + 15000 ln + ln ≈ 9. 2 2因为 Eu1 & Eu r ，因此他会选择这样做． 我的解释：根据他的效用函数，农民是风险规避的．因此，能降低风险的组合，只要 预期收入属于一定范围内，农民会更偏好能降低风险的组合．每种作物播种一半就是 这样的情况． 怎样组合小麦和谷子才可以给这个农民带来最大的效用？ 解：解线性规划问题S ∈[ 0 ,1]1.3.1 1 max ln[28000 S + 19000(1 ? S )] + ln[10000 S + 15000(1 ? S )] 2 232&&&&第五讲 风险规避……其中 S 是小麦在组合中所占的比例． 满足最大化的 S 值 S 必定满足的一阶条件为：( (? ( =0 19000 + 9000 S 15000 ? 5000 S( 4 S= 9． 解得 4 5 即，使小麦占 9 ，谷子占 9 的组合能给他带来最大效用．1.4. 如果对于只种小麦的农民，有一种要花费 4000 元的保险，在种植季节多雨的情况下 会赔付 8000 元，那么这种有关小麦种植的保险会如何改变农民的种植情况？ 解：考虑选择只种小麦并投保的农民的效用 u wIEu wI =1 1 ln(28000 ? 4000) + ln(10000 ? 4000 + 8000) ≈ 9.816 2 2在 1.3 中，最佳比例的效用值约为 9.7494，小于 u wI ．因此，这个保险会使农民都种 小麦． 2. 证明：如果一个人拥有初始财产 w ，他面临一场赌博，赌博的奖金或罚金都为 h ．赌 博的赢输概率都为 0.5 （公平赌博） 若这个人是风险厌恶型的， ． 则他便不会参加该赌博． 证明：风险厌恶型意味着 u ( g ) & u[E ( g )] ，若 g 是题目中的赌局，即*u ( g ) & u[E ( g )] = u (w* )也就说， w f g ，他不会参加该赌博． 3. 当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是 P ， 并且罚金额为 f ．假定所有的个人都是风险厌恶型的，并且 u ′′( w) & 0 ，其中 w 是个人 的财富． 被抓到的可能性按比例增加和罚金按比例增加在防止非法停车上谁更有效？ （提示： 运 用泰勒级数展开式） 解：非法停车可以看作一个赌局， g ( P, w0 + f ) 表示，其中 w0 为初始财富．有*u ′′( w0 ) 2 ? u ′′( w0 ) 2 ? Eu[g (mP, w0 + f )] ≈ E ?u ( w0 ) ? u ′( w0 ) f + f ? = u ( w0 ) ? mPu ( w0 ) f + mP f 2 2 ? ?33&&&&第五讲 风险规避……u ′′( w0 ) 2 ? u ′′( w0 ) ? (mf )2 Eu [g (P, w0 + mf )] ≈ E ?u ( w0 ) ? u ′( w0 ) f + f ? = u ( w0 ) ? mPu ( w0 ) f + P 2 2 ? ?其中 m & 1 ， u ′′( w) & 0Eu[g (mP, w0 + f )] & Eu[g (P, w0 + mf )] ，即罚金按比例增加在防止非法停车上更有效． 4. 在固定收益率为 r 的资产上投资 w 美元，可以在两种状态时获得 w(1 + r ) ；而在风险资 产上的投资在好日子收益为 4.1. 4.2. 4.3. 5. 5.1. 5.2. 5.3.w* (1 + rg ) ，在坏日子为 w* (1 + rb ) ，其中 rg & r & rb ．通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究． 请画出两种投资的结果． 请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”这样可以在你的图中得到显示．你 怎样说明投资在风险资产中的财富比例？ 请说明个人对于风险的态度会怎样的决定它们所持有的无风险资产与风险资产的组 合．一个人会在什么情况下不持有风险资产？ 设题 4 中的资产收益要上交税收．请说明（用文字） ： 为什么对财富按比例征税不会影响配置只在风险资产上的财富比例 假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税．这会怎样影响风险资产在财富中的 比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？ 如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对 5.2 的回答会怎样变化？ 4 题和 5 题的答案在后面．1 2 某消费者的效用函数为 u (c0 , c1 ) = c 0 c1 ．这里 c 0 表示其在时期 0 的消费开支， c1 达标6.其在时期 1 的消费开支．银行存贷利率相等且为 r ，该消费者在 t = 0 期的收入为I 0 = 60 ，在 t = 1 的收入 I 1 = 100 ．问6.1. 如果 r = 0 ，他该储蓄还是借贷？解：他的财富现值为I0 +I1 = I 0 + I 1 = 160 1+ r ，解线性规划max u (c0 , c1 )c0 , c1s.t.c0 +c1 = c0 + c1 = 160 1+ r得，c0 =320 160 c0 = 3 ， 3因为 c 0 ? I 0 & 0 ，因此，他该借贷．34&&&&第五讲 风险规避……6.2.如果 r = 1 ，他该储蓄还是借贷？ 解：解线性规划max u (c0 , c1 )c0 , c1s.t.c0 +c1 I = I 0 + 1 = 110 2 2得，c0 =220 220 c0 = 3 ， 3因为 c 0 ? I 0 & 0 ，因此，他还是该借贷． 7. 一个人拥有固定财富 w ， 并把它分配在两时期的消费中， 个人的效用函数由 u (c1 , c2 ) 给出，预算约束为 7.1.w = c1 +c2 1 + r ，这里 r 是单期利率．证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则它应当选择MRS1, 2 = 1 + r 时 c1 与c 2 的组合．证明：解线性规划max u (c1 , c 2 )c0 , c1s.t.c1 +( (c2 =w 1+ r使 u 最大化的 c1 ， c 2 必然满足( ( ( ( ?u (c1 , c 2 ) ?u (c1 , c 2 ) ( ( du (c1 , c 2 ) = dc1 + dc 2 = 0 ?c1 ?c 2 ( ( MU 1 (c1 , c 2 ) dc 2 ( ( MRS1, 2 (c1 , c 2 ) = ( ( =? MU 2 (c1 , c 2 ) dc1即1同时由约束条件c1 +c2 =w 1+ r ，得到 dc1 +?dc 2 =0 1+ r即 由 1 式和 2 式，得到dc 2 = 1+ r dc12( ( MRS1, 2 (c1 , c 2 ) = 1 + r ．结论得证．35&&&&第五讲 风险规避……7.2.?c 2 ?c1 ≥0 证明 ?r ，但是 ?r 的符号不确定．证明：由约束条件，得c1 = w ?c2 1 + r ，代入 u (c1 , c 2 ) ，有c ? ? u = u? w ? 2 , c2 ? 1+ r ? ?使 u 最大化的 c 2 ，和 r 必然满足du = ?也就是u1 uc dc 2 + 1 2 2 dr + u 2 dc 2 = 0 1+ r (1 + r )dc 2 u1c 2 = (1 + r )[u1 ? (1 + r )u 2 ] dr?c 2 u1c 2 ≥ 0 ，但 u1 ? (1 + r )u 2 的符号不定，因此 ?r 的符号不确定． 因为由约束条件，得 c 2 = (1 + r )(w ? c1 ) ，代入 u (c1 , c 2 ) ，有u = u[c1 , (1 + r )(w ? c1 )]使 u 最大化的 c1 ，和 r 必然满足du = u1 dc1 + (w ? c1 )u 2 dr ? (1 + r )u 2 dc1 = 0也就是(c1 ? w)u 2 dc1 = dr u1 ? (1 + r )u 2?c1 因为 (c1 ? w)u 2 ≤ 0 ，但 u1 ? (1 + r )u 2 的符号不定，因此 ?r 的符号也不确定．58. 一个人寿保险推销员说： 在你这个年纪购买一张 100000 美元终身寿险保单比一张定期 “ 保单要好得多．持有终身寿险保单，你只在前 4 年里每年支付 2000 美元，但在你生命 的以后的日子里就无须支付了． 一张定期保单每年需要你支付 400 美观， 而且永远是这 样． 如果你再活 35 年， 你只须对终身保单支付 8000 美元， 但对定期保单则要支付 14000 美元，所以终身保单无疑是笔更好的交易． 假定推销员的寿命预期是正确的，你将如果评价他的论断？更确切地说，假定利率为 10%，请计算两张保单的保费成本的贴现现值．5这是个与题目的结论不同的答案．事实上，我认为题目是有问题的——正如我所证明的一样．36&&&&第五讲 风险规避……解：如果他的预期是正确的，终身保单的现值为PV p = ?∑y =03(1 + r )4002000y+(1 + r )≈ ?3059定期保单的现值PV f = ?∑y =034(1 + r )y+(1 + r )≈ 3299.定期保单更划算． 一个强行推销汽车贷款的女推销员对一个刚刚购车的人说： “假定你用现金购买这辆 10000 美元的汽车，因为你用那笔钱可在银行获得 10%的利率，所以三年内你将至少损 失 3000 美元．另一方面，如果你要选择我们的低成本的汽车贷款购买 10000 美元的汽 车，那么只 需每月支 付 350 美元持续 36 个月即可， 总体上你只 需为汽车支 付12600 ? 10000 = 2600 美元的利息．因此，你通过这样融资就可以省钱． ”你是如何评价这一说法的？汽车贷款果真是低成本之举吗？ 解：仍通过现值计算．现金支付的现值 ? 10000 ．年利率为 10%，那么月利率 rm 可以 计算为 (1 + rm )12= 1.1 ，得到 rm ≈ 0.0079 ，那么 36 个月连续支付 350 美元的现值为?∑35m =0(1 + rm )m350≈ ?11106．因此，这个推销员的建议是没有理由的．10. 某人计划花 1 万元去旅游，其旅游的效用函数为 v( w) = ln w ，这里 w 为其支出的价值 量．如果他在旅途中丢失 1000 元的概率为 25%，他如想为丢钱的损失买保险，且保险 价是公平价，则他愿为这 1000 元损失支付的最高保险金为多少？ 解：保险公司的价格为公平价，即为购买 R 的保险，损失后的赔付为 0.25 R ．因此他 的期望效用为Eu (w) = 0.25 ln (10000 ? 0.25 R ? 1000 + R ) + 0.75 ln(10000 ? 0.25 R )他的问题是0.25 ln(10000 ? 0.25 R ? 1000 + R ) + 0.75 ln(10000 ? 0.25 R ) ≥ 0.25 ln 9000 + 0.75 ln 10000解得 （这个不等式方程我实在解不出来） 说明一下： 个人感觉本题的目的是考察风险规避和公平保险条件下的最优保险金额， 但 是提的问题感觉偏离了这个意图． 11. 消费者的效用函数为 u (c1 , c 2 ) = c1 c 2 ， 在第一期和第二期的收入分别为 100 元和 .6元，利率为 r ． 求： 11.1. 第一期和第二期的消费分别是多少？37&&&&第五讲 风险规避……解： （题目假定消费者能自由借贷） 消费者的问题可以表述为：max u (c1 , c 2 )s .t .c1 + c2 180 =100 + 1+ r 1+ r由于消费者的效用函数是 Cobb-Douglass 形式的，可以直接6解得第一期和第二期的消 费，180 ? ? 0.6?100 + ? 1+ r ? 180 ? ? ? c2 = = 60(1 + r ) + 108 0.4?100 + ? 1 72 1+ r ? ? c1 = = 40 + 1 1+ r ， 1+ r11.2. r 取什么值时，该消费者在第一期储蓄、贷款或不借贷？解： 当期消费小于收入则储蓄． 令 得 r & 0 .2 ．c1 = 40 +72 & 100 1+ r ， 则该消费者在第一期储蓄． 解同 理 ， 令c1 = 40 +72 = 100 1+ r ， 得 r = 0 .2 时 ， 消 费 者 不 借 贷 ； 令c1 = 40 +72 & 100 1+ r ，得 r & 0.2 时，消费者贷款．11.3. 当利率变化对 c1 和 c 2 的影响是什么？dc1 72 =? &0 dr (1 + r )2 ，得第一期的消费额变动与利率变动方向相反． 解：由 dc 2 = 60 & 0 ，得第二期的消费额变动与利率变动方向相同． 由 dr12. 一个人买了一打鸡蛋，并一定要把它们带回家．尽管回家的旅行是无成本的，但在任何 一条路上所带的鸡蛋被打破的概率都是 50% ．这个人会考虑两个战略． 第一个战略：走一条路带所有 12 个鸡蛋． 第二个战略：走两条路，每次带 6 个鸡蛋．结果（未打碎的鸡蛋） 可能性0 0.512 0.56请参考《十八讲》25 页．38&&&&第五讲 风险规避……12.1. 请列出每种战略的可能结果与每种结果的可能性．请说明在每种战略下，回家之后平 均都有 6 个鸡蛋没有被打碎． 解：战略一：结果（未打碎的鸡蛋） 可能性 战略二：0 0.256 0.512 0.25平 均 打 碎 的 鸡 蛋 个 数 为0 × 0.5 + 12 × 0.5 = 6 （个）平均打碎的鸡蛋个数为 0 × 0.25 + 6 × 0.5 + 12 × 0.25 = 6 （个） 12.2. 画一图表示在每种战略下可获得的效用，人们会倾向于哪一个战略？ 解，如图 效用战略二 战略一未打碎的鸡蛋 0 6 12 如果人们是风险规避的偏好，他们的个人效用函数是凹函数．如图所示，他们将选择39&&&&第五讲 风险规避……战略二． 12.3. 采用多于两条路的方案，效用是否可以被进一步改善？如果其他的路是由成本的，那 么这种可能性会受到什么样的影响． 解：直观地，如果方案多于两条路，效用可以被进一步的改善． （可以参考本章最后 一段）如果其他路是有成本的，那么这种可能性将减小． 13. 判断：下列说法对么？为什么？ 13.1. 当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，而且贷款数量一定会增加；当利率下降时， 原来的借款者将继续借款，而且借款数量至少不会减少． 答： 这里假定，消费的收入效应为正． 第一句错误．因为利率上升除了带来跨期间的替代效应（倾向增加贷款，至少不会减 少贷款） ，也会带来贷款者财富的增加，这将倾向于增加当期的消费，产生减少贷款 的因素．因此不能确定原来的贷款者将贷款． 第二句正确．因为利率下降无论是跨期间的替代效应（倾向增加借款，至少不会减少 借款） ，还是收入效应（财富增加导致当期的消费量增加，因此倾向于增加借款）对 借款的影响都是非负的． 如果某一期的收入效应不确定正负（理论上是可能的） ，那么两句话都是错误的，分 析方法完全相同． 13.2. 跨期消费的第一期和第二期的消费之间的边际替代率为 1 + r ． 答：正确．消费者效用最大化的标准为边际替代率等于价格之比，若令第一期商品价1 格为 1，那么第二期商品的价格为 1 + r ．MRS1, 2 = p1 = p2 1 = 1+ r 1 1+ r由此可知其正确性． 13.3. 如果名义利率小于通货膨胀率，则一个理性的消费者不会选择存钱． 答：错误．考虑这个理性消费者只在第一期有收入，无论名义利率如何，他不存钱， 第二期就会饿死．消费者是否存钱取决于他第一期的收入是否大于第一期最优消费 额，第一期的收入是先在决定的，利率只能部分地影响最优消费者，利率不能完全左 右这个关系． 14. 在一个封闭的村庄里中唯一的产品是玉米，由于土地的原因好收成与坏收成交替出现， 今年的收成是 1000 公斤，明年的收成是 150 公斤，这个村庄与外界没有贸易．玉米可 以储存但是老鼠会吃掉 25%， 村民的效用函数为 u (c1 , c 2 ) = c1c 2 ，c1 是今年的消费，c 2 是明年的消费． 14.1. 画出跨时期预算曲线，指出截距位置．40&&&&第五讲 风险规避……c2(0,900)(4.2. 村民今年消费量是多少？ 此题与 11 题的计算方式完全相同，所不同的是，因为老鼠的参加使利率 r = ?0.25 ， 再有，今年消费不能超过 1000 公斤． 解： （方法类似 11 题）消费者的问题是max u (c1 , c2 )s .t .c1 +c2 =1200 ,c1 ≤解得：c1 = 600 （公斤）即，村民今年消费 600 公斤玉米． 14.3. 老鼠吃掉多少？ 解：根据 14.2 的结果，村民将储存 1000 ? 600 = 400 公斤玉米，其中 400 × 25%= 100 公斤玉米被老鼠吃掉．14.4. 村民明年消费多少？ 解：把 14.2 解完，得到 c 2 = 450 （公斤） ，即村民第二年吃 450 公斤玉米．41&&&&第五讲 风险规避……第五讲，第 4 题wgABwb第一问，第二问 基本上的图就是这样，A 点为将财富全部投入到风险投资时的状态，B 点为全部投入到安全 资产时的状态，以这两点为端点的线段表示的就是投资者所有可能的资产组合． 第三问 见第 5 题的解答．第五讲，第 5 题设投资者的效用函数为 u (w) ． 设wg 为投资者在好的状态下的财富， wb 为坏状态下的财富．设投资者认为有 P 的概率出现好的状态． 设 λ ∈ [0,1] 为风险资产在投资组合中所占比例． 由题意知，投资者决定 λ 是以 u 的最大化为标准．即：λ ∈ arg max u ( w* , λ )λ∈[ 0 ,1]7因此， λ 必须满足 又du (·)dλ=0*7事实上，很明显这个集合里面至多只有一个元素．42&&&&第五讲 风险规避……u ( w* , λ ) = Pu ( wg + (1 ? P )u ( wb ) = Pu λ (1 + rg ) w* + (1 ? λ )(1 + r ) w* + (1 ? P )u λ (1 + rg ) w* + (1 ? λ )(1 + r ) w*代入（*）得，[[]]du ( w g )dw = ? 1 ? P · rb ? r = k du ( wb ) P rg ? r dwdu ( wg ) dw du ( wb )**现在证明dw 是 λ 的单调函数．***j i若 u ′( w) & 0 ， u ′′( w) & 0j i u[ w g (λ )] & u[ w g (λ )] ， u[ wb (λ j )] & u[ wb (λi )] 那么，如果有 λ & λ 则有du[ wg (λ j )] du[ wb (λ )]jdu[ wg (λi )] dw & dw du[ wb (λ )]idw dw （即为 λ 的单调递增函数）由假设（***）知，必然有也就是说，等式（**）决定了唯一一个最优风险资本比例 λ ．du ( wg ) dw如果 k 值并不在du ( wb )dw 的值域内， 事实上就说明， 投资者将选择纯风险投资， λ = 1 ， 即如果 k = 1 ，那么，投资者将选择 λ = 1 （这解答了第 4 题的第三问） 第一问du ( wg ,t w )设对财富按比例征税的税率为 t w ，那么du ( wb ,t w )dw = dw(1 ? t w ) (1 ? t w )du ( wg ) du ( wb ) dw = dwdu ( wg ) dw du ( wb ) dw ，而仍然对应原有的风险资产比例 λ ，风险资产的比例不变． 第二问 设对安全资产的收益按比例征税的税率为 t s 那么du ( wg ,t s )dw = ? 1 ? P · rb ? r + t s + rt s & ? 1 ? P · rb ? r = k du ( wb ,t s ) P rg ? r + t s + rt s P rg ? r dw所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例 λ 应该增加．这对只投资无风险资产的投43&&&&第五讲 风险规避……资者的影响最大． 第三问 设对安全资产的收益按比例征税的税率为 t s ，对风险资产收益按比例征税的税率为 t r ．dw = ? 1 ? P · rb ? r ? t r ? rg t r + t s + rt s du ( wb ,t s ,t r ) P rg ? r ? t r ? rg t r + t s + rt s dw 那么结果是，如果du ( w g ,t s ,tr )? t r ? rg t r + t s + rt s & 0 ， 那 么 最 优 风 险 资 产 比 例 λ 应 该 上 升 ， 如 果? t r ? rg t r + t s + rt s & 0 ，那么最优 λ 应当下降， ? t r ? rg t r + t s + rt s = 0 时，最优 λ 应当保持不变．44&&&&第六讲 生产函数……第六讲 生产函数与规模报酬1. 1.1. 生产函数为 Q = ? KL + 16 L ? 18 ，工人工资为 w = 8 ，产品价格为 p = 1 ．计算：2短期内 K = 2 ，最优劳动投入是多少？ 解：短期内生产函数为QS = ?2 L2 + 16 L ? 18 ， S 表示短期．厂家的问题是max π S (L )L ≥0其中π S (L ) = pQS ( L) ? wL = ?2 L2 + 8L ? 18解决这个问题的劳动最优投入量 L 满足一阶条件(( dπ S = ?4 L + 8 = 0 dL因此( ( L = 2 （ L ≥ 0 ，因此符合约束条件）1.2. 即，最优劳动投入为 2． 最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？ 解：这个问题可以表述为：maxL ≥0QS ( L) L其中， QS 同 1.1．? 解决这个问题的劳动投入量 L 满足一阶条件 18 d ? QS ? ? ? = ?2 + 2 = 0 ? dL ? L ? L即? L=310 即，人均产量最大的劳动投入为 3，此时的最大平均产量为 3 ．45&&&&第六讲 生产函数……2. 2.1.确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？f ( x, y ) = x 3 ? xy + y 32 解：因为 ?t & 0 ，使得对 ? r ∈ R ， f (tx, ty ) = t f ( x, y ) 在 R 上都不成立．所以，r它不是齐次函数． 比如 t = 2 时，f (2 x,2 y ) ? 2 r f ( x, y ) = 8 ? 2 r x 3 ? 4 ? 2 r xy + 8 ? 2 r y 3 = 0恒成立的条件是， ?r ∈ R ，使得()()()8 ? 2r = 4 ? 2r = 0即8=42 而 8 = 4 是不可能的．因此对 ? r ∈ R ， f (2 x,2 y ) = 2 f ( x, y ) 在 R 上都不成立，这r就证明了前面的结论． 2.2.f ( x, y ) = 2 x + y + 3( xy ) 21 1 解：因为对 ?t & 0 ，都有 f (tx, ty ) = 2tx + ty + 3t ( xy ) 2 = t f ( x, y ) ，所以它是一次齐 1次函数，规模报酬不变． 2.3.f ( x, y, w) = x 4 ? 5 yw 3()1 2 2 3解：因为对 ?t & 0 ，都有 f (tx, ty , tw) = t f ( x, y, w) ，因此，它是齐次函数．当 t & 1 时，有 f (tx, ty , tw) & tf ( x, y, w) ，因此规模报酬递减． 3. 设某一省有一个村， 该村生产粮食又会织布． 其产品既可用来自己消费， 也可以出卖． 但 粮食与布也可以从外边买入来满足消费， 如果村外的市场价格比率是一担粮食能换回的 布少于 2 米，则该村民们会不再种粮食；如果一担粮可以换回 2 米的布，则该村将 提供 24 担粮食，如果一担粮可以换回一米布，则该村将提供 30 担粮食；最后，如果一 担粮可以换回 4 米布，则该村会提供 38 担粮食． 但是，该村的劳动力于土地如果用产棉织布，也是有机会成本的．当织布的产量从零增 加到 32 米这一阶段， 粮食产量会从 38 担下降到 30 担； 如果布的产量要从 32 米上升到 38 米，则粮食产量会从 30 担进一步下降到 24 担；如果布的产量从 38 米上升到 50 米， 则粮食产量更会从 24 担下降到零． 作图： 3.1. 请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，作出该村粮食的 供给曲线． （扫描）1146&&&&第六讲 生产函数……3.2.请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，作出该村布的供给 曲线．4.两张图的连线都是假设的，它们可以有其他的（比如说平滑的）形状． 对下面的生产函数f ( K , L) = β 0 + β1 (KL )其中 4.1.12+ β2 K + β3L0 ≤ β i ≤ 1 ， i = 1,2,3 ） （当 β 0 、 β 1 、 β 2 、 β 3 满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变． 解：设 t & 1 ，令 f (tK , tL ) = tf (K , L ) ，有47&&&&第六讲 生产函数……β 0 + β1t (KL ) 2 + β 2 tK + β 3tL = tβ 0 + β1t (KL ) 2 + β 2 tK + β 3 tL1 1即，对 ?t & 1 ，有 β 0 = tβ 0 ，因此 β 0 = 0 时，该生产函数呈现规模报酬不变． 4.2. 证明在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际生产力递减而且边际生产力函数是 零次齐次的． 解：对 f ( K , L) =β1 (KL ) 2 + β 2 K + β 3 L11?f 1 ? L ?2 MPK (L, K ) = = β1 ? ? + β 2 ?K 2 ? K ? 有 K 的边际生产力则 MPK (tL, tK ) = MPK (L, K ) 即函数对 K 的边际生产力函数是零次齐次的．? d2 f 1 = ? β 1 K 2 L2 & 0 2 4 ，即 K 的边际生产力递减 又dK3 1同样可以得到 L 的边际生产力函数一次齐次和递减． 5. 判断下列结论是否正确，并说明理由： 5.1. 边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升，平均产量则不一定上升． 答：边际产出大于零，即多增加一个单位的投入，总产出的增量为正，即总产量将随 着投入的增加而上升．如果多增加一个单位的投入，总产量的增量高于平均产量，那 么平均产量在增加该单位的投入后将上升，但是，也可能出现总产量增量在为正的同 时低于平均产量的情况（因为平均产量严格大于零） ，那么平均产量在增加该单位的 投入将上升． 5.2. 如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的． 答：假设一个经济生产的产品包括 q1 ， q 2 ，利用唯一的生产要素 x ；生产可能性边 界可以表述为x = h(q1 , q 2 )范围经济生产有效率，必然有联合经营所需要素投入低于分别经营要素投入量总 和．即，如果 (αq1 , (1 ? α )q 2 , h(αq1 , (1 ? α )q 2 )) 是有效率的生产，必有：h(αq1 ,0 ) + h(0, (1 ? α )q 2 ) ≥ h(αq1 , (1 ? α )q 2 )如果生产可能性边界是外凸的，必然有 h(q1 ,0 ) + h(0, q 2 ) ≥ h(q1 , q 2 ) ，这样在生产可 能性边界上必然存在一个最高效率的生产线． 但是，考虑下面的图， 绿线是等要素投入线，橙线表示两种产出的（消费者）边际替代率． 尽管 A 点是有效率的，但是，它所在的生产可能性边界不是外凸的．它是一个凹集．48&&&&第六讲 生产函数……q2Ah(q1 , q 2 ) = xq1即，生产有效率并不是一定意味着生产可能性边界外凸． 6.3 假定一家企业的生产函数为 y = L ，产出品价格 p = 3 ，工资率 w = 4 ，固定资本成 1本为 2． 6.1. 求最优要素投入量 L*3 解：企业利润 π (L ) = pL ? wL ? 2 ，最大化的一阶条件是 1?2 d π L* 1 = pL* 3 ? w = 0 dL 3( )代入 p = 3 ， w = 4 ，解得L* =1 8 ．又?5 d 2 π L* 2 = ? pL* 3 & 0 9 d L2 ．( )因此函数在 6.2. 最优供给量L* =1 1 8 取得最大值．即最优要素投入量为 8 ．解：当 6.3.L* =1 1 y* = 8 时，产出 2．计算这家企业的利润量． 解： π L = pL*( )*13? w* L ? 2 = ?16.4.这家企业应不应关闭？49&&&&第六讲 生产函数……答：应该，因为它无法取得非负的利润． 7.α ( 证明： 若某家企业的生产函数为 AL ， 0 & α & 1) ， 如果该企业的资本支出为一常数 J ，则 7.1. 其供给量 q 随产品价格 p 上升而上升． 证明：设该企业的工资率为一常数 w ，则它的利润 π (L ) = pAL ? wL ? J 最大化的α α ?1 dπ L L* = ? ? = αpAL* ? w = 0 ? w ? 一阶条件是 d L ，即*( )? αpA ? 1?α11 &0 ，因为 1 ? α ，所以L* 是 p 的增函数，又生产函数是 L* 的增函数，所以供给量随产品价格 p 上升而上升．7.2.q 随工资率 w 上升而下降? αpA ? 1?α L =? ? ? w ? 知，L* 是 w 的减函数，又生产函数是 L* 的增函数，因此 q 随 证明：从 工资率 w 上升而下降．* 18.1 已知一家企业的生产函数为 F (K , L ) = 4 K L ，产品价格为 1，工资率为 4 ，利率为1 2 1 41 2 ．固定资本成本为 k ．8.1. 求 L : K 的最优比率．解：企业利润π (K , L ) = 4 K L ? L ? K ? k1 4 1 21 21 4最大化的一阶条件为1 ? F* 1 ?π K * , L* 1 = 2 K * 2 L4 ? = ? =0 ?K 2 2K * 2 1 1 ? ?π K * , L* 1 F* 1 *2 4 =K L ? = * ? =0 ?L 4 4L 4 3()()F* 2K *即有 8.2.F* 4 L*=1 21 4，即 L : K最优为1 : 1求 L 与 K 的最优量．50&&&&第六讲 生产函数……解： 由上一问的解， 可以得到 K = L = F* **2 4 * * ， 代入 F (K , L ) = 4 K L ， F = 4F 4 ， 有113解得 F = 256 ．因此 K = L = 256 ．* * *9.某公司有甲、乙、丙三分公司，每个分公司都生产 X 和 Y 两种产品，下面是三个分公 司用其全部资源可生产的 X 和 Y 的最大产量． 解： （具体数据在书上． ）要说明的是，这道题对生产集没有任何限制，甚至没有说明生 产集的连续性，因此，这个生产可能性边际曲线甚至可能不存在．10. 在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入．每小时可获得的海蚶总量 q 由下式给出q = 100 L其中， L 是每小时的劳动投入． 10.1. 用图表示出 q 与 L 的关系．q 单位 100L 单位 1（刻度不知道怎么标） 10.2. 落日湾中劳动的平均生产力为多少？用图表示这一关系并表明随着劳动投入的增加APL 下降．平均生产力为APL =q 100 = L L．见图上的虚线， 它们的斜率表示平均生产力． 随着 L 的增加， 这些虚线的斜率减小． 说 明随着劳动投入的增加， APL 减小．51&&&&第六讲 生产函数……10.3. 证明落日湾的劳动边际产出为MPL =50 L用图表示这一关系，并证明对于所有的 L 值， MPL & APL ．请解释它．解： q = 100 L 对 L 求导，得MPL =50 L边际产出用暗红色虚线标出．在图中，任一点上代表该点上平均产出的斜线斜率均大 于该点上边际产出的直线的斜率．因为在每一个劳动投入水平上，额外增加的一个劳 动力，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力多生产的都少，所以，它自然 也少于所有劳动力产出量的平均值． 11. 某公司使用两种类型的除草机割草．小型除草机具有 24 英寸刀片并适用于具有较多树 木与障碍物的草坪． 大型的除草机恰为小型除草机的两倍大并适用于操作时不太困难得 空旷场地． 两种生产函数的情况如下： 每小时产出（平方英尺） 大型除草机 8,000 小型除草机 4,000 资本投入 2 1 劳动投入 1 111.1. 对应第一种生产函数，图示出 q = 4000 平方英尺的等产量线．如果这些要素没有浪 费地结合起 来， 则需要使 资本投入 用多少 K 与L？解： 如上图所 示． 这些要素 没有浪费地 结合起来， 需 要使用 1 的资 劳动投入 本投入 K 和 0.5 的劳动投 （他们需要工作半小时． ） 入L．(0.5,1)这道题之所以这样解，很多是自己猜的．我假设资本投入和劳动投入具有列昂惕夫形 式，是因为我认为除草时，两个人用一台机器不会比一个人快多少．而 4000 平方英 尺资本和劳动用量都是一半，也是因为我认为前 4000 英尺和后 4000 英尺耗费的资本 和劳动是一样多的． 11.2. 对应第二种生产函数，回答 1 中的问题52&&&&第六讲 生产函数……解：如下图所示．这些要素没有浪费的结合，需要使用 1 的资本投入 K ，和 1 的劳动 投入 L ． （他们需要工作一小时． ） 资本投入(1,1)劳动投入11.3. 如果 4000 平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成， 则 K 与 L 应如何无浪费地配合？如果 3/4 的草坪由第一种生产函数完成，而 1/4 的草 坪由第二种生产函数完成，则 K 与 L 应如何配合？ 解：大除草机工作 0.25 小时完成 2000 平方英尺的除草任务，无浪费的组合需要 0.25 的 L 和 0.5 的 K ，小除草机 0.5 小时完成 2000 平方英尺，无浪费的组合需要 0.5 的 L 和 0.5 的 K ．因此，总共需要 0.75 的 L 和 1 的 K 的组合． 同理，在第二种情况下，总共需要 0.875 的 L 和 1 的 K 的组合． 11.4. 在你考虑 3 中问题的基础上，画出 q = 4000 平方英尺的联合生产函数的等产量线． 解：如下图所示： 资本投入(0.5,1) (1,1)劳动投入12. 假定 q = L K ， 0 & α & 1 ， 0 & 12.1. 证明αββ & 1，α + β = 1eq , L = α，eq , L = β53&&&&第六讲 生产函数……证明：eq , L =L ?q L = αLα ?1 K β α β = α ?L q L K．同理，得eq , L = β? 2q ?2q &0 &0 2 2 12.2. 证明 MPK & 0 ， MPL & 0 ； ?K ， ?L证 明 ： MPK = αLα ?1K β ， 其 中 L ， K ， α 均 大 于 零 ， 因 此 MPK & 0 ． 而? 2q = (α ? 1)αLα ? 2 K β & 0 2 ?K ，因为 0 & α & 1 ．12.3. 证明 MRTS 只取决于 增加而递减．KL 而不依赖于生产规模，而且 MRTS（ L 对 K ）随着KL的证明：MRTS L , K =MPL αLα ?1 K β αK = = K K MPK βLα K β ?1 βL ，即 MRTS 只取决于 L ，而随着 L的增加而递减． 13. 我们已知，对于欧拉定理（见本讲第五节） ，它意味着规模报酬不变的生产函数q = f (K , L ) ，有 q = fK K + fLL运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果 MPL & APL ，则 MPK 必为负数．这意味 着生产应该在何处进行呢？一个企业能够在 APL 递增的点进行生产吗？ 证明：在等式两边同除以 K ，得q K = fK + fL L L其中APL = qL ， MPL = f L ， MPK = f K ．因此有： L MPK = ? (MPL ? APL ) K因此当 MPL & APL 时，MPK 必为负．这说明生产应当在边际产出大于平均产出的地方 进行，也就是，不应当在平均产出达到最低点前进行．这也是最后一个问的答案，一个 企业不能在 APL 递增的点进行生产． 14. 再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入 K 和 L 的一个规模报酬不变的生产函数，54&&&&第六讲 生产函数……f KL 必定为正．解释这一结论．证明：在 q = f K K + f L L 两边对 L 求一阶偏导数．有：′′ ′′ f L = f KL K + f LL即f KL =1 ( f L ? f LL ) K其中 f L 大于零， f LL 小于零，因此 f KL 为正． 函数的规模报酬不变， 这说明产出与有效率的要素总投入量具有线性关系， 但是对各个 生产要素， 同等要素投入增量的边际产出却呈现递减的趋势， 这说明一个要素的边际生 产能力会受另一个要素投入量提高而提高． 15. 生产函数形式如下1 1q = K 2 L215.1. 劳动和资本的平均生产力是多少？? K ?2 ? L ?2 APL = ? ? APK = ? ? ?L? ， ?K? 解：15.2. 图示当 K 等于 100 时的 APL 曲线．11APL , MPLL解： 这里没有办法标出点（word 技术问题） ，边际产出为红线．15.3. 证明MPL =1 1 APL MPK = APK 2 2 ， ．运用这一信息，加一个 MPL 函数到 2 图中，这1一曲线有何特别的地方}