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历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)
1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00――9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是(
A．y=－φ(x)
B．y=－φ(－x)
C．y=－φ1(x)
D．y=－φ1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是(
C．－1&k&1
D．0&|k|&13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)| |x|+|y|&1}，N={(x，y)| (x－2+(y+)2+22(x2+(y－2&22}， 22P={(x，y)| |x+y|&1，|x|&1，|y|&1}．则A．M??P??N
B．M??N??P
C．P??N??M
D．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有π
命题甲：θ& 3命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要
B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件
D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I；
⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是A．1
D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：b－b1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= a2－a12．x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为
．DE3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= BC4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，??直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为
．三．(15分)2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．11五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*， ab(a+b)n－an－bn?22n－2n+1．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，?5an+1－3an(an?an+1为偶数)，an+2=? an+1为奇数)．?an+1－an(an?试证：对一切n∈N*，an≠0．
S?PQR2二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证： S?ABC9AHQBRC
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，??，ln，?的直线族，它满足条件：
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，??)；⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，??)；
⑶ knkn+1?0，(n=1，2，3，??)．并证明你的结论．
1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是(
A．y=－φ(x)
B．y=－φ(－x)
C．y=－φ1(x)
D．y=－φ1(－x)－－解：第二个函数是y=φ1(x)．第三个函数是－x=φ1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是(
C．－1&k&1
D．0&|k|&1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1&0，选D．3．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)| |x|+|y|&1}，N={(x，y)| (x－2+(y+)2+22(x2+(y－2&22}， 22P={(x，y)| |x+y|&1，|x|&1，|y|&1}．则A．M??P??N
B．M??N??P
C．P??N??M
D．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表1111示焦点为()，(－)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成2222的六边形内部的点的集合．故选A．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有π
命题甲：θ& 3命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要
B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件
D．A、B、C都不对ππ解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=．当它们交于一点时，θ&π．选C． 335．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I；
⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是A．1
D．4解：均正确，选D．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：b4－b31．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= a2－a1b4－b3812解：a2－a1=y－x)，b4－b3=(y－x)，?． 43a2－a132．x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为
．解：(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn1+C2n+125xn2+?+C2n+122n+1)． －－1352n+11令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)． 2DE3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= BCDEAD解：△AED∽△ABC，==|cosα|． BCAC4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，??直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为
．解 画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有C14种比赛方式．三．(15分)2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE==6π623V=)2=．同样， 33392△BCD旋转所得旋转体的体积=． 9其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=1633∴其体积=()2． 342823323∴ 所求体积=－π=3π． 9872四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．1111111解：Z1=－，故得|－－Z0|=|，即|ZZ0+1|=1．|Z+=||．即以－||为半径的圆． ZZZZ0Z0Z0Z011五．(15分)已知a、b为正实数，且1．试证：对每一个n∈N*， ab(a+b)n－an－bn?22n－2n+1．证明：由已知得a+b=ab．又a+b?2ab，∴ ab?2ab，故a+b=ab?4．于是(a+b)k=(ab)k?22k． 又 ak+bk?2ab=2(a+b)?2k+1．下面用数学归纳法证明：1° 当n=1时，左=右=0．左?右成立．2° 设当n=k(k?1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk?22k－2k+1成立．－－则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak1+bk1)－－=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ ab(ak1+bk1)?4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．故对于一切n∈N*，命题成立．
二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， 3DO?AB6OM==． 2DA423AOC7B?5an+1－3an(an?an+1为偶数)，an+2=? an+1为奇数)．?an+1－an(an?试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证an?0(mod 4)或an?0(mod 3)．证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，??∴ a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod 4)．设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod 4)．则 a3k+1≡533－332=9≡1(mod 4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod 4)；a3k+3≡532－331=7≡3(mod 4)． 根据归纳原理知，对于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod 4)恒成立，故an?0(mod 4)成立，从而an≠0．又证：a1≡1，a2≡2(mod 3)．设a2k－1≡1，a2k≡2(mod 3)成立，则当a2k－1?a2k为偶数时a2k+1≡532－331≡1(mod 3)，当a2k－1?a2k为奇数时a2k+1≡2－1≡1(mod 3)，总之a2k+1≡1(mod 3)．当a2k?a2k+1为偶数时a2k+2≡531－332≡2(mod 3)，当a2k?a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡2(mod 3)，总之，a2k+2≡2(mod 3)．于是an?0(mod 3)．故an≠0．S?PQR2二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证： S?ABC9AHQBRC1证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=． 3则SPQ?RHPQAR1PQ2=，但AB&&， CNABAC2AB3S?ABCAB?S2AP?AB－PQ&－，∴ AR=AP&，AC&，故& S?ABC9三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，??，ln，?的直线族，它满足条件：⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，??)；⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，??)；
⑶ knkn+1?0，(n=1，2，3，??)．并证明你的结论．证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．11现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－ kn+1=kn－knkn+1=kn2－1． knkn∴ kn&1或kn&－1．从而k1&1或k1&－1．11⑴ 当k1&1时，由于0&，故k1&k2=k1－，若k2&1，则又有k1&k2&k3&0，依此类推，知当km&1k1k1111时，有k1&k2&k3&??&km&km+1&0，且0&&?&&1， k1k2km11112mkm+1=km－km－=km－1－km－1－?&k1－． kmk1k1k1km－1k1mm由于k1－随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－?1，从而必存在一个m值k1k1m=m1?m0，使km1－1?1，而1&km1=km1－1－即此时不存在这样的直线族．11⑵ 当k1&－1时，同样有－1&，得k1&k2=k1－&0．若k2&－1，又有k1&k2&k3&0，依此类推，知当k1k1&0，此时km1?km1+1&0． km1－11111km&－1时，有k1&k2&k3&??&km&km+1&0，且0&&?&&－1， k1k2km11112mkm+1=km－km－=km－1－km－1－?&k1－． kmk1k1k1km－1k1mm由于k1－随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k1－1，从而必存在一个mkmk1值，m=m1(m1?m0)，使km1－1?－1，而－1&km1=km1－即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．
，此时km1?km1+1&0． km1－11厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知
贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：
一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1．预赛：（1）时间：日（星期六）9：00――11：30，在本市考点进行。（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2．复赛（1）时间与地点：日（星期日）8：00――12：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8：00―9：20，加试时间为9：40―12：10。（2）试题来源与命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷结构：全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。
二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。
三、报名、报名费和准考证采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用Excel文档并按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。各参赛学校请将报名表的电子文本用E.mail发送至电子油箱；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：6257416。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至，短信联系进行报名的确认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。
四、考号安排学 校
外国语学校
考号安排10001――――――――――――――13400 学 校
考号安排 松柏中学
13401――13600 厦门三中
13601――13800 华侨中学
13801――14000 禾山中学
14001――14200 大同中学
14201――14400 康桥中学
14401――14600集美中学
20001――20400 英才学校
20401――20600 灌口中学
20601――28000 乐安中学
20801――21000同安一中
30001――30600 启悟中学
30601――30800 第二外国语学校 30801――31000 翔安一中
40001――40400 新店中学
40401――40600 内厝中学
40601――40800 诗扳中学40801――41000
海沧实验中学东山中学
21001――――――――――――――31600
五、考务：有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六、奖项：按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者； （2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者； （3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者； （4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。厦门市教育科学研究院 基础教育研究室 厦门市教育学会 数学教学专业委员会日
（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）
1992年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)1. 对于每个自然数n，抛物线y?(n＋n)x?(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|22＋|A2B2|＋?＋|A|的值是(
(D)2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是(
)(A)(x＋(C)(x＋?y2)(y＋?x2)=0
(B)(x??y2?y2)(y??x2)=0
(D)(x?)(y??x2?x2)=0 )=04?y2)(y＋3. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记?=(A)2&??4
(C)2.5&??4.5
(D)3.5&?&5.5(?Si)i?1/S，则?一定满足(
),都是方程logx=log(4x?4)的根，4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b?1)，且则△ABC(
)b(A)是等腰三角形，但不是直角三角形
(B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形
(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5. 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z1?2z1z2＋z2=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为(
)(A)822(B)4
(D)126. 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)?f(10?x)， f(20?x)??f(20＋x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数
(B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数
(D)奇函数，但不是周期函数二．填空题(每小题5分共30分),,?成等差数列，则1. 设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且2. 在区间[0，?]中，三角方程cos7x?cos5x的解的个数是______．的值是______．3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．z24. 设z，z都是复数，且|z|=3，|z|=5|z＋z|=7，则arg(1121212)的值是______．35. 设数列a1，a2，?，an，?满足a1?a2?1，a3?2，且对任何自然数n， 都有anan＋1an＋2?1，又anan＋1an＋2an＋3?an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋?＋a100的值是__
__．6. 函数f(x)=x4?3x2?6x?13?x4?x2?1的最大值是_____．8016???17k?1三、(20分)求证：．- 10 -
四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．n?1?n?1?1x?x五、(20分)设n是自然数，fn(x)?(x?0，?1)，令y=x＋x1.求证:fn＋1(x)=yfn(x)?fn－1(x)，(n&1)2.用数学归纳法证明： .fn(x)=?y?Cy???(?1)Cy???(?1),(i?1,2,?,,n为偶数)?n?1n?1?n1n?2iin?2i,n为奇数)22??1,(i?1,2,?,?y?Cn?1y???(?1)Cn?iy???(?1)Cnn1n?2n?1iin?in?2in
1993年全国高中数学联合竞赛试卷第
试一．选择题(每小题5分，共30分)1． 若M＝{(x，y)| |tg?y|+sin?x?0}，N＝{(x，y)| x+y?2}，则M?N的元素个数是（
） 222(A)4
(D)92． 已知f
(x)＝asinx+b+4(a，b为实数)，且 f
(lglog310)?5，则f(lglg3)的值是（
(D)随a，b取不同值而取不同值3． 集合A，B的并集A?B＝{a1，a2，a3}，当A?B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（
（D）274． 若直线x＝4被曲线C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是(
(D)?sin?cos的值5． 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c?a等于AC边上的高h，则是(
(D)?1- 11 -
(A)(B)(C)(D)6． 设m，n为非零复数，i为虚数单位，z?C，则方程| z＋ni|＋| z－mi|＝n与| z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是(
)二．填空题（每小题5分，共30分）1． 二次方程(1－i)x＋(?＋i)x＋(1＋i?)＝0(i为虚数单位，??R)有两个虚根的充分必要条件是?的取值范围为________． 2??min_____
__． 2． 实数x，y满足4x－5xy＋4y＝5，设 S＝x＋y，则max22223． 若z?C，arg(z?4)＝2，arg(z+4)＝，则z的值是_
_______． 2?93??31?4． 整数?10?3?的末两位数是_______．logx01993?logx11993?logx21993k?logx019935． 设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使最大值是_____
__．6． 三位数(100，101，?，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是
，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印
张卡片．三．（本题满分20分）三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D?，则D?为三棱锥S－ABC的外接球球心．四．（本题满分20分）设0＜a＜b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y＝x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹． 2123?3恒成立，则k的- 12 -
五．（本题满分20分）设正数列a0，a1，a2，?，an，?满足nn?2?n?1n?2?2an?1(n?2)且a＝a＝1．求{an}的通项公式． 01
1994年全国高中数学联赛试题第
一．选择题(每小题6分，共36分)1．设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx?bcosx?c?0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c&0
(B)a2?b2?c
(C)a2?b2?c
(D)a2?b2?c2．给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2?b2?c2，则a2?b2?c2?0；?b2?c2?0，则a2?b2?c2． (2)设a，b，c都是复数，如果a那么下述说法正确的是 2(A)命题(1)正确，命题(2)也正确
(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误
(D)命题(1)错误，命题(2)正确3．已知数列a?9，{an}满足3an?1?an?4(n?1)，S则满足不等式且1其前n项之和为n，|Sn?n?6|?1125的最小整数n是(A)5
(D)80?b?1,0?a?4．已知小关系是 ?4，则下列三数：x?(sina)logbsina，y?(cosa)logbcosa， z?(sina)logbcosa的大(A)x＜z&y
(B)y＜z＜x
(C)z＜x＜y
(D)x＜y＜z5．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ((A)n?2n?1?n?2n?1?,?)(?,?)(?,?)(0,)nnn2
|x?y||x?y|??12b6．在平面直角坐标系中，方程2a(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形
(B)正方形(C)非正方形的长方形
(D)非正方形的菱形
二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(?1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是__
____．?x3?sinx?2a?0x,y?[?,],a?R?34y?sinycosy?a?0，则cos(x?2y)=_____． 442．已知且???55A?{(x,y)|(x?3)2?(y?4)2?()2}B?{(x,y)|(x?4)2?(y?5)2?()2}223．已知点集，，则点集A?B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____．sin(1?cos?)0????24．设，则的最大值是______．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于?，则sin?=___ ?6．已知95个数a1,a2,a3,?,a95， 每个都只能取＋1或?1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2?a1a3???a94a95的最小值是_
1995年全国高中数学联赛第
一．选择题(每小题6分，共36分)1. 设等差数列{an}满足3a8?5a13且a1?0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是(
(D)S21- 14 -
2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1,Z2,?,Z20，则复数Z1对应的不同的点的个数是(
(D)203. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有(
(D)100个 1995，Z21995，?,Z201995所4. 已知方程|x?2n|?k(n?N)在区间(2n-1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是(
(B)0?k?1 1?k?2n?1
(D)以上都不是5. logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1,logcos1tg1的大小关系是(
)logsin1cos1?logcos1sin1?logsin1tg1?logcos1tg1logcos1sin1?logcos1tg1?logsin1cos1?logsin1tg1logsin1tg1?logcos1tg1?logcos1sin1?logsin1cos1logcos1tg1?logsin1tg1?logsin1cos1?logcos1sin1
(D)6. 设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式111??PQPRPS(A)有最大值而无最小值
(B有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等
(D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1. 设?,?为一对共轭复数，若|???|?23，且??2为实数，则|?|?_____．2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______．- 15 -
3. 用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2x?[lgx]?2?0的实根个数是______．?y?3x?xy??3?x?y?1004. 直角坐标平面上，满足不等式组?的整点个数是______．5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是______．6. 设M={1，2，3，?，1995}，A是M的子集且满足条件:当x?A时，15x?A，则A中元素的个数最多是______． 一九九六年全国高中数学联合竞赛
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）222
2 1. 把圆x+ (y C1 ) =1与椭圆9x+ (y + 1)= 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________.(A) 线段
(B) 不等边三角形
(C) 等边三角形
(D) 四边形2. 等比数列{an}的首项a1＝1536, 公比是q＝． 用Tn表示它的前n项之积，则Tn(n?N)最大的是____________(A) T9
(D) T133.存在在整数n，使是整数的质数p
．(A) 不存在
(B) 只有一个
(C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个 ?12p?n?n14设x?(C2，0)，以下三个数： ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小关系是
__________．(A) ?3 & ?2 & ?1
(B) ?1 & ?3 & ?2
(C) ?3 & ?1 & ?2
(D) ?2 & ?3 & ?12 25.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x) = x+ px + q与g(x) = x + ()在同一点取相同的最小值,那么f (x)在该区间上的最大值是__________. 4?(A)(B)
(D)以上答案都不对6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是_____________.(A)1
二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)1. 集合{x| C1? log ()10 &C , x?N}的真子集的个数是_____________________． 11?444?512?41?2?422
(C)2. 复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心1为半径的圆上，z1z1的实部为零，z1的辐角主值为____________．3.曲线C的极坐标方程是? = 1 + cos?, 点A的极坐标是(2, 0)． 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________．
4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________．5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. 1?6，则z 2 =(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为- 16 -
_______________．
1997年全国高中数学联合竞赛试卷(10月5日上午8:00?10:00)
一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{xn}满足xn?1?xn?xn?1(n?2)，x?a， x?b， 记S?x＋x＋?＋x，则下列结论正确的是 12n12n(A)x100＝－a，S100＝2b－a
(B)x100＝－b，S100?2b－a(C)x100＝－b，S100＝b－a
(D)x100＝－a，S100＝b－?a
2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得B(C)(D)???(0?????)， 记f(?)??????其中??表示EF与AC所成的角，??表示EF与BD所成的角，则 f(?)在(0,??)单调增加 f(?)在(0,??)单调减少 (A)(B)f(?)在(0，1)单调增加，而在(1，＋?)单调减少 f(?)在(0，＋?)为常数23.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97，则这样的数列共有(A)2个
4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2?y2?2y?1)?(x?2y?3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)
(B)(1，＋?)
(D)(5，＋?)5．设(A)(C)??,??arccos(),??arcctg)?(?f(x)?x??x，? ? arcsin，，则 2f(?)?f(?)?f(?)?f(?)
(B)f(?)?f(?)?f(?)?f(?) f(?)?f(?)?f(?)?f(?)
(D)f(?)?f(?)?f(?)?f(?)6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0条
(C)多于1 的有限条
(D) 无穷多条
二、 填空题(每小题9分，共54分)(x?1)??1?(x?1)3?1997?3(y?1)?1997(y?1)?1，则x＋y ?
. ?设x，y为实数，且满足y2x??12过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数?使得|AB| ??的直线l恰有3条，则?＝
. 2|2z?|?1z已知复数z满足，则z的幅角主值范围是
．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为
．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共
种． 设a ?lgz＋lg[x(yz)?＋1]，b ?lgx?＋lg(xyz＋1)，c ?lgy＋lg[(xyz)?＋1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为
一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷（10月11日上午8∶00―10∶00）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a?1)+lg(b?1)的值(A) 等于lg2
(D)不是与a,b无关的常数2． 若非空集合A={x|2a+1?x?3a?5},B={x|3?x?22}，则能使A?A?B成立的所有a的集合是(
)(A){a|1?a?9}
(B){a|6?a?9}
(C){a|a?9}
(D)?3． 各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于(
(C) 150或?200
(D)400或?50abc??ab2c24． 设命题P：关于x的不等式ax+bx+c＞0与ax+bx+c＞0的解集相同；命题Q：222111222。则命题Q(A)是命题P的充分必要条件
(B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件5． 设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C?FG?E的大小是(
) (A)arcsin3?
(B)2?3 22BD?(C)2
(D) 6． 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是(
(D) 37 ?2??二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）1． 若是以2为周期的偶函数，当的排列是_________________. f(x)(x?R)x?[0,1]时，f(x)?x11998，则f()f()f()19,17,15由小到大2． 设复数z=cos??isin?(0????180?)，复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______.3． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种.4． 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项
5． 若椭圆x2?4(y?a)2?4与抛物线x2?2y有公共点，则实数a的取值范围是_____________.6． △ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为2________. 2，此时三棱锥A?BCM的体积等于CB三、 （本题满分20分）?已知复数z=1?sin?+icos?(2????)，求z的共轭复数z的辐角主值。四、 （本题满分20分）设函数f(x)?ax2?8x?3(a＜0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)|?5都成立。问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。五、 （本题满分20分）22A(a,b)(ab?0,b?2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线y?2px
已知抛物线及定点,B(?a,0),的另一交点分别为M1,M2.求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1,M2存在且M1≠M2），直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。1999年全国高中数学联合竞赛
一． 选择题（满分36分，每小题6分）1． 给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3， b2＝a4＋a5＋a6，?， bn＝a3n?2＋a3n?1＋a3n,?，则数列{bn}(
)(A)是等差数列
(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q的等比数列
(D)既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |－1)＋(| y |?1)＜2的整点(x，223y)的个数是(
(D)253． 若(log23)?(log53)?(log23)xx?y?(log53)?y，则(
(D)x＋y?04． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面?上的直线a与平面?上的直线b为异面直线，直线c是?与?的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
)(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确
(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确
(D)两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(
(D)36． 已知点A(1,2)，过点(5,?2)的直线与抛物线y＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(
)(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)直角三角形
(D)答案不确定二． 填空题（满分54分，每小题9分）1． 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________． 2cos2??isin2?5z?239?i2． 已知?＝arctg12，那么，复数的辐角主值是______
___．ctgCctgA?ctgB＝__________． 3． 在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a＋9b?19c＝0，则222x2y2??11694． 已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____．5． 已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{?3，?2，?1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__
____．6． 已知三棱锥S?ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H?AB?C的平面角等于30?,SA＝2。那么三棱锥S?ABC的体积为__________．22xcos??x(1?x)?(1?x)sin??0恒成立，试求的取值范围． 三、(满分20分)已知当x?[0,1]时，不等式x2y25??1四、(满分20分)给定A(?2,2)，已知B是椭圆2516上的动点，F是左焦点，当|AB|＋3|BF|取最小值时，求B的坐标．22a?a1n?1?M的所有等差数列a,a,a,?.，试求S＝an五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件123＋1＋an＋2＋?＋a2n＋1的最大值．- 20 -
2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x| ?0}，B={x|
(A){2} (B){-1} (C){x|x?2} (D)2．设sina＞0,cosa＜0,且
sin ＞cos ,则
的取值范围是( )
(A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z
,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)64．给定正数p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线
的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)6．设
，则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0(C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000°)=__________.- 21 -
8．设an是(3- 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,?)，则
)=________.9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.10．在椭圆
则∠ABF=_________.
(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是
，11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a1b,b1c,c1d,d1a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数
的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设Sn=1+2+3+?+n,n?N，求f(n)= 的最大值.14．若函数
在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1: (a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
2001年全国高中数学联合竞赛题21、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1
（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个
（D）3个 23、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x|
（C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的SABC恰有一个，那么k的取值范围是 ?0，2（A）k=8
（B）0&k?12
（D）0&k?- 22 - ??12?cos?的短轴长等于
38、若复数z,z满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=2121212-I,则z1z2=
。9、正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是
。13?2?log1x210、不等式2的解集为
。11、函数y?x?x?3x?2的值域为
。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有
种栽种方案。一、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设{a}为等差数列，{b}为等比数列，且b1?a1nn22，b2?a22b?a3，32（a1&a2）,又n???lim(b1?b2???bn)?2?1，试求{an}的首项与公差。x2?y2?1214、设曲线C:a(a为正常数)与C:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。 212（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；时，试求SOAP的面积的最大值（用a表示）。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1&a2&a3&a4&a5&a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。
11（2） O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0&a&2
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x-2x-3)的单调递增区间是（
）。（A）（－∞,－1）
（B）（－∞,1）
（C）（1,＋∞）
（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)+(y-12)=14，则x+y的最小值为（
）。（A）2
（D）√23、函数f(x)=x/1-2-x/2（
）（A）是偶函数但不是奇函数
（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数
（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x/16+y/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（
- 23 - 22x222222
（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,?,a100｝与B＝｛b1,b2,?,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)?f(a2)???f(a100)则这样的映射共有（
）。（A）C50100
（B）C24899
（C）C49100
6、由曲线x=4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x+y?16,x+(y-2)?224,x+(y+2)?4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（
）。（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2
二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足OZ1O＝2,OZ2O＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则O(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)O=
。8、将二项式（√x+1/（2√x））的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有
个。9、如图，点P1，P2，?，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k?10）有
个。10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)?f(x)+5，f(x+1)?f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=
。11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则OxO-OyO的最小值是
。12、使不等式sinx+acosx+a?1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是
。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、已知点A（0,2）和抛物线y=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。14、如图，有一列曲线P0，P1，P2??，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn
为曲- 24 - 2224n
线Pn所围成图形的面积。（1） 求数列｛Sn｝的通项公式；（2） 求limSn.n→∞
2003年全国高中数学联赛第一试
23． 过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60?的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于
15、设二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件： （1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)?x; 2（2） 当x∈(0,2)时，f(x)?((x+1)/2); （3） f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)?x。 21638(A)
(D)82?5????4． 若x?[?12,?3]，则y= tan(x+3)?tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是656(A)
(D)94225． 已知x,y都在区间(?2,2)内，且xy＝?1，则函数u=4?x+9?y的最小值是8121224(A)5
(D)5?6． 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于311(A)2
(D)3- 25 -
二、 填空题(每小题9分,满分54分)327． 不等式|x|?2x?4|x|+3＜0的解集是__________.x2y2??1948． 设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.29． 已知A={x|x?4x+3＜0,x?R}, B={x|2____________. 1?x?a?0, x2?2(a+7)x+5?0,x?R}．若A?B, 则实数a的取值范围是3510．已知a,b,c,d均为正整数，且logab=2, logcd=4，若a?c=9, 则b?d=________.11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2?an|ai只取0或1(i=1,2,?,n?1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元Snn??Tn=_______. 素的和，则lim三、 解答题(每小题20分，满分60分)1.
3?x?5已知2,证2x?1?2x?3??3x?22. 设A、B、C分别是复数z0?ai,z1?1?biz?1?ci(a,b,c?R)对应的不共线三点。 2,24224z?zcost?2zcostsint?zsint(t?R)与?ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出012证：曲线此点。
3. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A?刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A?取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。1994年全国高中数学联赛试题第
一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式asinx?bcosx?c?0.都成立的充要条件是22
(A)a,b同时为0,且c&0
(B)a?b?c2222
(D)a?b?c2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c都是复数，如果a2?b2?c2,则a2?b2?c2?0.(2).设a,b,c都是复数，如果a2?b2?c2?0,则a2?b2?c2.那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确,命题(2)也正确
(B)命题(1)正确,命题(2)错误(C)命题(1)错误,命题(2)也错误
(D)命题(1)错误,命题(2)正确3、已知数列{an}满足3an?1?an?4(n?1),且a1?9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn?n?6|?1125的最小整数n是- 26 -
(D)84、已知0?b?1,0?a??4,则下列三数:x?(sina)logbsinalogbcosalogbcosaz?(sina)y?(cosa),, 的大小关系是(A)x&z&y
(D)x&y&z5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是n?2n?1?n?2n?1?,?)(?,?)(?,?)(0,)nnnn2
(D) (|x?y||x?y|??12b6、在平面直角坐标系中,方程2a(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形
(B)正方形(C)非正方形的长方形
(D)非正方形的菱形
二、填空题(每小题9分，共54分)1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(?1,1)和(2,2)，若直线l:x?my?m?0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是______.3?x?sinx?2a?0??x,y?[?,],a?R?3442.已知且?4y?sinycosy?a?0则cos(x?2y)=_____.55A?{(x,y)|(x?3)2?(y?4)2?()2}B?{(x,y)|(x?4)2?(y?5)2?()2}223.已知点集, ,则点集A?B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.sin(1?cos?)24.设0????,则的最大值是______. ?5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于?,则sin?=___6.已知95个数a1,a2,a3,?,a95, 每个都只能取+1或?1两个值之一,那么它们的两两之积的和a1a2?a1a3???a94a95的最小值是___.
1995年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)- 27 -
1. 设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1&0，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是（
(D)S212. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1,Z2,...,Z20， 则复数Z1,...,Z201995所对应的不同的点的个数是（
(D)203. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（
(D)100个4. 已知方程 |x-2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是(
(B)0&k≤1/√(2n+1)(C)1/(2n+1) &k ≤1/√(2n+1)
(D)以上都不是5. logsin1cos1，logsin1tg1，logcos1sin1，logcos1tg1的大小关系是(A)logsin1cos1& logcos1sin1&logsin1 tg1&logcos1tg1(B)logcos1sin1&logcos1tg1&logsin1cos1 &logsin1tg1(C)logsin1tg1&logcos1tg1&logcos1sin1 &logsin1cos 1(D)logcos1tg1&logsin1tg1&logsin1cos1 &logcos1sin 16. 设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA,PB的延长线分别交于Q、R，则和式1/PQ + 1/PR + 1/PS (
)(A)有最大值而无最小值
(B)有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等
(D)是一个与面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1. 设α、β为一对共轭复数，若|α - β|=2 √3，且α/β2为实数，则|α|=____。2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为____。3. 用[x]表示不大于实数 x的最大整数，方程 lg2 x -[lg x]-2=0的实根个数是____。4. 直角坐标平面上，满足不等式组y≤3xy ≥x/3x+y≤100 {5. 的整点个数是____。6. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是____。7. 设M={1,2,...,1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x就不属于A，则A中元素的个数最多是____。
1996年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.把圆x2+ (y C1 )2 =1与椭圆9x2
+ (y + 1)2 = 9的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为(A) 线段
(B) 不等边三角形
(C) 等边三角形
(D) 四边形2.等比数列{an}的首项a1=1536, 公比是q=?(A)π9
(B)π3.存在整数n使11 1.用πn表示它的前n项之积，则πn(n?N)最大的是 212
(D)π13 p?n?n是整数的质数p(A) 不存在
(B) 只有一个
(C) 多于一个，但为有限个
(D)有无穷多个14设x?(, 0),以下三个数: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小关系是 2(A) ?3 & ?2 & ?1
(B) ?1 & ?3 & ?2
(C) ?3 & ?1 & ?2
(D) ?2 & ?3 & ?15.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f (x) = x2 + px + q与g(x) = x +区间上的最大值是（A）4+1在同一点取相同的最小值，那么f (x)在该x（B）4－2?4（C）1－2?4（D）以上答案都不对 4226.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是(A)1
(D)4二、填空题(本题满分54分,每小题9分)13. 集合{x| C1? log110&C , x?N}的真子集的个数是_____________________ 2x12.复平面上非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z1z2的实部为零，z1的辐角主值为 ? , 则6z2 = ____________.3.曲线C的极坐标方程是? = 1 + cos?, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________.4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两顶点间的距离是__________.5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_______________.【第二试】一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，?），数列{bn }满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，?）。求数列{bn }的前n项和.- 29 -
二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，π/2]恒有（x+3+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2?1/8.
三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。
四、（本题满分35分）有n（n?6）个人聚会，已知：（1）每人至少同其中??个人互相认识； 2?n????n?（2）对于其中任意??个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识。 ?2?
2001年全国高中数学联赛试题第 1 试一、 选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定2．命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点。以上三个命题中正确的有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D) 3个3． 在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以π为周期，在(0,π/2)上单调递增的偶函数是( )(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|4． 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是( )- 30 -
(A)k=8√3 (B)0＜k?12 (C)k?12 (D)0＜k?12或k=8√35． 若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+?a，则a0+a3+a6+a9+?+a1998的值为( )(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)320016． 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 ( )(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7． 椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于________.8．若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=3/2-i，则z12z2=_________.9．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是________.10．不等式|1/log1/2x+2|＞3/2的解集为__________________.11．函数y=x+√(x2-3x+2)的值域为______________.12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案。三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1＜a2), 又(b1+b2+?+bn)的极限=√2+1。 试求{an}的首项和公差。[注意：√2+1和√(2+1)表示的数字不相同]14．设曲线C1:x2/a2+y2=1(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方仅有一个公共点P。(1)求实数m的取值范围(用a表示); (2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜1/2时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示)。15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6的电阻组成一个如图的组件，在组装的过程中如何选择电阻，才能使该组件的电阻值最小？证明你的结论。
2001年全国高中数学联赛试题
【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（
Ｄ．不确定- 31 -
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（
）．Ａ．0个
Ｄ．3个3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜
Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜
Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（
Ａ．Ｂ．0＜ｋ?12
Ｄ．0＜ｋ?12或5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋?＋ａ，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋?＋ａ1998的值为（
）．Ａ．3333
Ｄ．320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（
Ａ．2枝玫瑰价格高
Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同
Ｄ．不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１2ｚ２＝______________．
9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．
10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________． 11．函数的值域为______________．
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设｛ａｎ｝为等差数列，｛ｂｎ｝为等比数列，且ｂ１＝ａ１２，ｂ２＝ａ２２，ｂ３＝ａ３２（ａ１＜ａ２＝．又试求｛ａｎ｝的首项与公差．x2?y2?1214．设曲线C1：a（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．
⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）；1⑵ O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0&a&2时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1&a2&a3&a4&a5&a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
【第二试】 一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE；(2) OH⊥MN．- 33 -
FD E CN BM二．（本题满分50分）?x?0i设（i=1，2，…，n）且i?1三．（本题满分50分） nx?22i1?k?j?n?nkxkxj?1xi?j，求i?1的最大值与最小值．将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．DCn
选择题：1．C
6．A二．填空题：- 34 -
7．233?8．273072?i3)?[2,??)
10．(0,1)?(1,2)?(4,??)[1,11．
732三．解答题：13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得22422a(a?2d)?(a?d)2a?4ad?d?0 11111
化简得：解得：d?(?2?2)a1
………………………………………………………
5分 而?2?2?0，故a1＜0q?2a22a12a22a1
若d?(?2?2)a1，则?(2?1)2 ?(2?1)2
若d?(?2?2)a1，则但n???q?
………………………………
10分 2q?(2?1)存在，故| q |＜1，于是不可能． lim(b1?b2???bn)?2?12a121?(2?1)
从而?2?1?a12?(22?2)(2?1)?2
所以a1??2,d?(?2?2)a1?22?2
………………………………
20分?x22?2?y?1?a?y2?2(x?m)?14．解：(1)由2222
消去y得：x?2ax?2am?a?0
①2222f(x)?x?2ax?2am?a
设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：a2?1m?2，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；
1°△＝0得：2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．22
f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a，由于－a－2a＜－a，从而m≠－a．- 35 -
a2?1m?2或－a＜m≤a；
综上可知，当0＜a＜1时，当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………
10分1ayp2 (2)△OAP的面积S?122?a?aa?1?2m＜a， 2
∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜由唯一性得
xp??a2?aa2?1?2m?yp?2a?a2a2取值最大，此时，x2p
显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝2S?aa?a∴．a2?112m?S?a?a22时，xp＝－a2，yp＝?a，此时2
当．1a?a2下面比较aa?a与2的大小： 2令aa?a2?11a?a2a?23 ，得111a?a2Smax?a?a222
故当0＜a≤3时，aa?a≤2，此时．111?a?aa?a2?a?a2222时，
当3，此时Smax?aa?a．………
20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R i＝a i，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小
………………………………………
5分证明如下：111??1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则RR1R2．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．- 36 -
2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RABRAB?
RR?R1R3?R2R3R1R2?R3?12R1?R2R1?R2
显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的―个．111??RCDRABR4?3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD
若记S1?S2?1?i?j?4R1R2?R1R3?R1R4?R2R3?R2R4R1
R2R4?R1R3R4?R2R3R4
1?i?j?k?4?RiRjRk，则S1、S2为定值，于是RCD?S2?R1R2R3S1?R3R4只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小
……………………………………………………………………
15分4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF＝∠BAC1又∠OBC＝2(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2
∵BE⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2
∵DA⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2
∵OB⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2
∵OC⊥DE- 37 -
∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2
……………………………………
①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2
MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH⊥MN
……………………………………………………………………
50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则y??kAC??aa,kAB??cb
∴直线AC的方程为ac(x?c)y?(x?b)ca，直线BE的方程为c?y?(x?b)??a?a2c?bc2ac2?abc?y??a(x?c),22?c?a2?c2)
得E点坐标为E(a?ca2b?b2cab2?abc,22a2?b2)
同理可得F(a?b直线AC的垂直平分线方程为y?acc?(x?)2a2b?c2
直线BC的垂直平分线方程为x?acc?y??(x?)??2a2?b?cbc?a2?x?b?c,?22a)
得O(2bc?a2bc?a2??b?cac?ab?b2ab2?abcab?ac?2?22ab?bca?bckOB,kDF∵kOBkDF??1
∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．- 38 -
bcc?y?(x?b)a在直线BE的方程中令x＝0得H(0，a)kOH∴bc?a2bc?a2?3bc??b?cab?ac2y?ab?acxa2?bc
直线DF的方程为ab?ac?y?x2??a?bc?a2c?bc2abc?ac2?y??a(x?c),2222?c?
得N (a?2bc?ca?2bc?c)a2b?b2cabc?ab2,2222
同理可得M (a?2bc?ba?2bc?b)kMN∴a(b2?c2)(a2?bc)ab?ac???(c?b)(a2?bc)(a2?3bc)a2?3bc∵kOH 2kMN ＝－1，∴OH⊥MN． (二．解：先求最小值，因为n?x)??2ii?1i?1nnxi2?21?k?j?n?kxkxj?1?j?xi?1ni≥1 等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴?xi?1i最小值为1．
……………………………………………………………
10分 再求最大值，令xk?kyk∴k?1?kyn2k?21?k?j?n?kykyj?1
①?y1?y2???yn?a1?y2???yn?a2?????kyk?yn?an， 令? M?
设?x??kk?1k?1nn222a?a???a?1
……………………………………………………
则①?- 39 -
令an?1＝0，则?M??k?1nk(ak?ak?1)nn
?k?1nkak??k?1nkak?1??k?1kak??k?1?(k?1nk?k?1)ak
由柯西不等式得：M?[
?k?1n(k?k?1)](21?k?1n2ak)1?[?k?1n(k?k?1)2]1
222akana1??????221(k?k?1)(n?n?1)
等号成立?222a1?a2???an2ak
?1?(2?)???(n?n?1)??1[22?(k?k?1)2?ak?
?k?1n(k?k?1)2]21(k=1，2，…，n)yk?ak?ak?1?2k?(k?1?k?1)[n?0由于a1≥a2≥…≥an，从而[?(k?1k?k?1)2]1，即xk≥0所求最大值为?k?1n(k?k?1)2]1……………………………………………
50分三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n)
(*)其中(m，n) 表示m和n的最大公约数
…………………………………………
事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)当用m＝1时，命题显然成立．假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m―n＋n―(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n)
…………………………
(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap- 40 -
不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形
(或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap的正方形，由归纳假设a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)．
…………………………………………
2001年全国高中数学联赛试题第 2
试一．（本题满分50分）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N 。求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE(2) OH⊥MN。二、（本题满分50分）设 xi ≥ 0 ,i∈N+ ,且 ∑1≤i≤n(xi2) + ∑1≤k≤j≤n( √(k/j)×xkxj ) = 1 。求：∑1≤i≤n xi 的最小值 。三．（本题满分50分）
将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
2002年全国高中数学联赛试题及解答
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（
）．Ａ．｛2｝
Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ?2｝
Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（
）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（
Ｄ．6 ?0｝，Ｂ＝｛ｘ｜4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａ- 42 -
ｘ＋ｃ＝0（
）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（
）．Ａ．／170
Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（
）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－则
ｎ）的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，?），＝_______．9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______．10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为- 43 -
F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是∠ＡＢＦ＝______． ，则11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋?＋ｎ，ｎ∈Ｎ的最大值． ，求ｆ（ｎ）＝14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，- 44 -
得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．
又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，同理可得Ｃ（2，－）． ）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3． ／3ｘ＋／3，代4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是
从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜?2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ／85知，ω，ω2，ω3，?，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）?（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．
①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则- 45 -
（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．
②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．
提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ223ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝?＝18（∴原式＝189．公比
10．由ｃ／ａ＝）． ＝?＝18． ，由等比定理，得
，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝?＝3ａ2－ｃ2．2
而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）＝?＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝
12．按，故球的体积为Ｖ＝?＝． 中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的- 46 -
数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数三、13．
共有6＋16＋6＝24（个）．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50．14．分三种情况讨论：（1）当0?ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ?0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．
综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．
假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａ，整理得1／ａ2ｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有- 47 -
＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得
又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则
同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师- 48 -
提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．
2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)第
时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（
B. ?12or5?
12C. ?6or5? 12 D. ? 12N??，则b2、已知M?{(x,y)|x2?2y2?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有m?R,均有M的取值范围是（
33D. ?? ??3、
1log1x3?2?0的解集为（
） 22 C. [2,4)
D. (2,4] B. (2,3]4、设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积的比为（
D. 5 35、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（
D. 216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正周期长的区间上的图像
与函数g(x)?的图像所围成的封闭图形的面积是________________。8、设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意x,y?R,都有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)=_____________________。- 49 -
9、如图、正方体ABCD?A1BC11D1中，二面角A?BD1?A1的度数是____________。10、设p是给定的奇质数，正整数k
也是一个正整数，则k=____________。11、已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则1的值是?i?oain_________________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(?1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过?ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。215、已知?,?是方程4x?4tx?1?0(t?R)的两个不等实根，函数f(x)?n432x?t的定义域为??,??。 x2?1（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x)； （Ⅱ）证明：对于ui?(0,?2)(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?
1,则111??? g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)二○○四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2
、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档- 50 -
次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程x?4xcos??cot??0有重根，故??16cos??4cot??0 220????2???2,?4cot?(2sin2??1)?0
得sin2??1 2?6或2??5??5?或，于是??。
故选B。 61212222、解：M2b2N??相当于点（0，b）在椭圆x?2y?
上或它的内部?。?1,???b?322故选
A。 331log2x???03、解：原不等式等价于
222??log2x?1?0?321?t?t??0?t,则有?2 2??t?0即0?log2x?1?1,?2?x?4。
解得0?t?1。 故选C。 4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则OA?OC?2OD2(OB?OC)?4OE(1)(2)由（1）（2）得，OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0， 即OD与OE共线，且|OD|?2|OE|?S?AEC3S3?2?,??ABC??3， 故选C。 S?AOC2S?AOC25、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,...,9}（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所以，n1?C9?9。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为2a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C9。但当大数为底时，设a&b，必1须满足b?a?2b。此时，不能构成三角形的数码是
共20种情况。2同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。 222故n2?C3(2C9?20)?6(C9?10)?156。 综上，
n1?n2?165。6、解：AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB?面PAB?面POB,?OH?HC,OH?PA。C是
PA中点，?OC?PA?当HO?HC时S?HOC最大，也即VO?HPC?VP?HCO最大。 此时，
1D。 HO?故HO=OP,??HPO?300,?OB
?OP?tan300?2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）12?7、解：f(x)?ax??),其中??arctan，它的最小正周期为，。由f(x)aa2?的图像与g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为的长方形，故a8、解：对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2∴f(x)f(y)?f(y)?x?2=f(y)f(x)?f(x)?y?2
即f(x)?y?f(y)
?x,令y?0,得
f(x)?x?1。9、解：连结D1
C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FE?BD1，连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA是二面角A?BD1?A1的平面角。连结AC，设AB=1，则AC?AD1?
BD1?在Rt?ABD1中，AE?AB?AD1， ?BD1- 52 -B
4?21 在?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC?2AE?AC???2AE?CE2AE22322222??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。10、
?n,n?N,则k?pk?n?0,k?p2?4n2是平方数，设*22为m2,m?N*,则(m?2n)(m?2n)?p2
?p2?1m???m?2n?1?2 p是质数，且p?3,??,解得?22?m?2n?p?n?p?1??4p?m2p?(p2?1)(p?1)2?k??,故k?。（负值舍去） 24411、解：设bn?111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18, anbn?1bn1311?2(bn?) 33
即3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1?故数列{bn?是公比为2的等比数列， 13111111bn??2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。 33a0333nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)??2?n?3?。 ???i??3?2?1i?oaii?0i?03?3n12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：(x?a)2?(y?3?a)2?2(1?a2)对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当?MPN取最大值时，22经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足2(1?a)?(a?3),解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为P(1,0)和P(?7,0)，而过点M，N，p'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半'径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而6?4?2,6?5?2，因此，当n?5时，n次出现的点数之和大于- 53 - 45
2n已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。5分（Ⅱ）设事件An为“第n关过关失败”，则对立事件An为“第n关过关成功”。第n关游戏中，基本事件总数为6个。第1关：事件A， 1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）n?过此关的概率为：P(A1)?1?P(A1)?1?22?。 63第2关：事件A2所含基本事件数为方程x?y?a当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有111。 C1?C2?C3?1?2?3?6（个）?过此关的概率为：P(A2)?1?P(A2)?1?65?。
10分第3关：事件A3所含基本事件为方程x?y?z?a当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。222222即有C2。 ?C3?C4?C5?C6?C7?1?3?6?10?15?21?56（个）?过此关的概率为：P(A3)?1?P(A3)?1?5620?。
63272520100?故连过前三关的概率为：P(A1)?P(A2)?P(A3)???。
3627243（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y?BC的距离依次为d1? 15分
20分 44(x?1),y??(x?1),y?0。点P(x,y)到AB、AC、y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|。依设，552d1d2?d3,得|16x2?(3y?4)2|?25y2，即16x2?(3y?4)2?25y2?0,或16x2?(3y?4)2?25y2?0，化简得点P的轨迹方程为圆S：2x2?2y2?3y?2?0与双曲线T:8x2?17y2?12y?8?0（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：2x?2y?3y?2?0与双曲线T：8x?17y?12y?8?0
5分 ① ②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。1?ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1?d2?d3，解得D(0,)，且知它在圆S上。直线L经过D，2且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为- 54 -1y?kx?
2③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y?1平行于x轴，表明L与双曲线有不2同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
10分（ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??1，直线L的方程为x??(2y?1)。代入方程2②得y(3y?4)?0，解得E(,)或F(-)。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当k??时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。
15分 21情况2：直线L不经过点B和C（即k??），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有2?8x2?17y2?12y?8?0?且只有一个公共点。即方程组?有且只有一组实数解，消去y并化简得1?y?kx??2(8?17k2)x2?5kx?25?0 42该方程有唯一实数解的充要条件是8?17k?0或(?5k)?4(8?17k)22 ⑤
4解方程④得k??
，解方程⑤得k??。 2171,?,?。
20分 综合得直线L的斜率k
的取值范围是有限集{0,?2215、解：（Ⅰ）设??x1?x2??,则4x1?4tx1?1?0,4x2?4tx2?1?0,2?4(x12?x2)?4t(x1?x2)?2?0,?2x1x2?t(x1?x2)?1?0 2则f(x2)?f(x1)?2x2?t2x1?t(x2?x1)?t(x1?x2)?2x1x2?2? ?2?222x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)1?0?f(x2)?f(x1)?0 25分 又t(x1?x2)?2x1x2?2?t(x1?x2)?2x1x2?故f(x)在区间??,??上是增函数。????t,????, 14- 55 -
?g(t)?maxf(x)?minf(x)?f(?)?f(?)?(???)?t(???)?2???2??2?2??2?
?2?15?t2??22?t?5)
??216t?252t?16（Ⅱ）证：
)?24cosuicosuicosuicosuig(tanui)????(i?1,2,3)216?9cosuii
i?92cosui3132???(16?9cosui)??3?9?3?9)?sin2ui)
15分 i?1i?1g(tanui)i?133?sinui?1i?1,且ui?(0,),i?1,2,32?而均值不等式与柯西不等式中，?3?sinui?(?sinui)2?1，2i?1i?133等号不能同时成立，
?1111????9?)?g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)3
20分2004年全国高中数学联赛加试试卷一、（50分）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长。 解：由题设可知：?ADB??AEC?90?,??ADB?AEC，?ADBDAB??
???????10分 AECEAC又BC=25，BD=20，BE=7，故CD=15，CE=24.由①可解得：AD=15，AE=18.
??????20分于是点D是Rt?AEC的斜边AC的中点，DE=15.连接DF,因为点F在以DE为直径的圆上，?DFE?90?，故点F为线段AE中点，AF=9.
??????30分因为G、F、E、D四点共圆，D、E、B、C四点共圆，所以?AFG??ADE??ABC，于是FGBC，延长AH交BC于P，故：P AKAF?
??????????????40分 APAB又H为?ABC的垂心，故AP?BC，BA?BC?25,??ABP??CBE，AP=CE=24，于是 AK?AF?AP9?24216??
??????????????50分 AB2525- 56 -
二、（50分）在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列?A
n?与曲线y?满足OAn?OBn?x?0?上的点列?Bn?1，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn,n?N*。 n（Ⅰ）证明an?an?1?4,n?N*；（Ⅱ）证明有n0?N*，使得对?n?n0都有b2b3??b
1b2?bnbn?1??n?2004。 bn?1bn（Ⅰ）证明：依题设有：An?0,??11?OB?，由得： ,Bb,b?0?n?n?nnnn?
bn?2bn?21*， ,?b?
1,n?Nn2n1?
?1??0?????bn?0? n??n?又直线AnBn在x轴上的截距为an满足?an?0?an?
???????????????10分 1 2nbn2n2bn?1?n
??20分 221?2nbnbnn??an?1?， 11??0，有an?an?1?4,n?N*
???????30分 nn?1显然，对于（Ⅱ）证明：设cn?1?bn?1,n?N*，则
bncn??11?n?2??n?
???2n?1?12n?1?????22
?n?1??22?n?1???- 57 -
?2n?1??n?2??2?n?1?设Sn?c1?c2?2?n?0,?cn?1,n?N*
??????40分 n?2?cn,n?N*，则当n?2k?2?1?k?N*?时， 11?11??1???????2?kk2?12?34??2?1?2k?1?1k?1?。 2k211Sn???34?2???1??1??3??k?12??2?1?12k?? ?121?2?3?222所以，取n0?24009?2，对?n?n0都有：?b2??b3??1????1????b1??b2?故有?b??n?1??Sn?Sn0??2004 bn?2?b2b3??b1b2?bnbn?1??n?2004成立。
?????????50分 bn?1bn三、（50分）对于整数n?4，求出最小的整数f?n?，使得对于任意正整数m，集合?m,m?1,,m?n?1?的任一个f?n?元子集中，均有至少3个两两互素的元素。,m?n?1?： 解：当n?4时，对集合M??m,m?1,若2m，则m?1,m?2,m?3两两互素；若2m，则m,m?1,m?2两两互素。于是M的所有n元子集中，均有至少3个两两互素的元素，于是f?n?存在且f?n??n。??10分设Tn?tt?n?1,且2t,或3t，则Tn是集合?2,3,能两两互素，因此f?n??Tn?1。由容斥原理知：Tn??，从而必有： ????????2??3??6???,n?1?的子集，且该集合中任意3个元素均不?n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1?f?n????????1
??????????20分 ???236??????因此，f?4??4,f?5??5,f?6??5,f?7??6,f?8??7,f?9??8。下证f?6??5设x1,x2,x3,x4,x5为?m,m?1,若这5个数中有3个奇数，则它们两两互素；,m?5?中的5个数元素，若这5个数中有两个奇数，则必有3个偶数，不}