考试指南：
备考真题：
教师资源：
期中试题：
期末试题：
单元测试：
小学试题：
语文试题：
语文考点：
数学试题：
数学乐园：
英语知识点：
英语试题资源：
编辑推荐 |
奥数网微信
中考网微信
欢迎扫描二维码关注奥数网微信ID：aoshu_2003
欢迎扫描二维码关注中考网微信ID：zhongkao_com
奥数关键词数学里也能耍流氓 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
数学里也能耍流氓
数学推理也会漏洞百出，但仍然充满智慧
有漏洞的数学推理就毫无意义吗？
本文作者:matrix67
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，果壳死理性派会用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。
逻辑中的那些流氓
耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。
你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liar paradox）到罗素悖论（Russell's paradox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。
欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
最经典的“无字证明”
一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。
《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面
旋轮线的面积
旋轮线。图片来源：Wikipedia
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
你可能感兴趣
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
显示所有评论
全部评论(321)
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
－－！你狠。。。引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事
证明菱形数量一定相同那个题，可以用三次单位根赋值的方法
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
理论物理博士，科学松鼠会成员
其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！
动物学硕士，猫咪控
旋轮线，一句话 真是太神奇了！
关于0.999……＝1，俺也是这样证明的：1/3＝0.333……1/3×3＝10.333……×3＝0.999……0.999……＝0.333……×3＝1/3×3＝1
好爱伽利略耍的流氓！！！
引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =
好优美的耍流氓！
我是个老实人，我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1
blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]
话说...耍流氓不成也是常有的事情...比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n-&inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n-&inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n-&inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......证明过程有一步写错了，10a-a=9a才对。接下去应该是9a=9，所以a=1……啊当然，其实结果还是一样的，只是证明过程有点小纰漏……但是的确很流氓……
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~
流氓~~~嘎嘎~~~引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？最简单的证法：1/3=0.……（①）则0.=0.……1/3*3=1∴1=0........
资深心理学爱好者
心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩
哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~
最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。
我觉得，学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算，否则很多人都会想耍流氓。
在上管理学的课，老师是流氓...
……没有语言了……
富有激情的心理学工作者
引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓这是从何说起。。。
旋轮线。。。太NB了。。。。
哈哈，太有意思了
伽利略...非礼啊~
显示所有评论
(C)2017果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：初中数学热点：图形运动问题的分析
我的图书馆
初中数学热点：图形运动问题的分析
常见的图形运动有三种：旋转、平移和翻折。运动变化问题正是利用它们变化图形的位置，引起条件或结论的改变，或者把分散的条件集中，以利于解题。这类问题注重培养学生用动态的观点去看待问题，有利于学生空间想象能力和动手操作能力的锻炼，这类问题的解题关键在于如何“静中取动”或“动中求静”。
　　平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它只是相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力；其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结核方程的思想及数字建模，函数的思想，分类讨论的思想方法等。
　一、平移
　　在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。
　　例1在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)点B(x2,0)，且(x1+1)(x2+1)=8。
　　(1)求二次函数的解析式(2)将上述二次函数图像沿x轴向右平移两个单位，设平移后的图象与y轴交点为C，顶点为P，求△POC的面积。
　　分析：抛物线的运动问题只需抓住顶点和开口方向这两个要素的变化规律即可。一般地总是先配方使之成为顶点式后再求解。关于平移的变化规律是：平移―顶点改变(“左加右减，上加下减”)，开口不变。
　　解：⑴由题意知x1,x2方程x2+(k-5)x-(k+4)=0的根则x1+x2=5-kx1.x2=-(k+4)由(x1+1)(x2+1)=-8即x1x2+(x1+x2)=-9得-(k+4)+(5-k)=-9
　　解k=5则所求二次函数解析式为y=x2-9
　　⑵由题意，平移后的函数解析式为y=(x-2)2-9则点C的坐标为(0，-5)，顶点P的坐标为(2,-9)所以△POC的面积S=×5×2=5
　　翻折是指把一个图形按某一直线翻折180度后所形成的新的图形的变化。
　　关于翻折还有二个基础知识点：
　　1、一个图形沿一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴。
　　2、平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。
　　翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多。另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。比如2004年毕业考最后一题中函数和几何的综合题中的求定义域的问题，这里的特殊位置实际上就是运动中的一种“静态”要素。
　　三、旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
　　一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点叫做对称中心。
如果一个正方形绕着它的中心旋转后与原图形重合，那么小于360°的一个旋转角是度(2003年毕业考)
解析：此题较为简单，属考查概念的基本题360/5=72，为72度
　　在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。平移中，直线平移K不变，抛物线平移，a不变；翻折中，翻折前后二个图形全等及其推出的性质；旋转中，抓住旋转角。
TA的最新馆藏
喜欢该文的人也喜欢当前位置：
＞＞＞在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板..
在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示
（1）通过计算（结果保留根号与π）， & （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为&______ cm；& （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 _______ cm；& （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为&_______ cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
题型：解答题难度：偏难来源：江苏模拟题
（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法& 连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点设OG=x，则OP=10-x & 则有：& 解得：& &则ON=，∴直径为：&
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板..”主要考查你对&&正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆的关系：把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 与正多边形有关的概念： （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。圆的计算公式：1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）· r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
发现相似题
与“在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板..”考查相似的试题有：
392148894977922150391208122184350882小学数学六年级有关圆的组合图形的面积问题_百度文库
赠送免券下载特权
10W篇文档免费专享
部分付费文档8折起
每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
小学数学六年级有关圆的组合图形的面积问题
阅读已结束，下载本文需要
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
加入VIP
还剩5页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢}