请问上限是兀，下限是0，xsinx/(1+(cosx)^2)dx的定积分怎么求？_百度知道
请问上限是兀，下限是0，xsinx/(1+(cosx)^2)dx的定积分怎么求？
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解：为了解题方便，设M=∫&0,π&xsinxdx/(1+cos²x)
∵M=∫&0,π&xsinxdx/(1+cos²x)
=∫&π,0&(π-x)sin(π-x)d(π-x)/(1+cos²(π-x))
(用π-x代换x)
=-∫&π,0&(π-x)sinxdx/(1+cos²x)
(应用诱导公式)
=∫&0,π&(π-x)sinxdx/(1+cos²x)
(交换积分上下限)
=π∫&0,π&sinxdx/(1+cos²x)-∫&0,π&xsinxdx/(1+cos²x)
=-π∫&0,π&d(cosx)/(1+cos²x)-M
=-πarctan(cosx)│&0,π&-M
=-π(arctan(-1)-arctan(1))-M
=-π(-π/4-π/4)-M
=π²/2-M..........(1)
∴解方程(1)，得2M=π²/2
==&M=π²/4
故∫&0,π&xsinxdx/(1+cos²x)=π²/4。
本题需先证明一个结论，这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。有了这个结论本题就十分简单了，下面是过程。
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